第六章_数理方程勒让德多项式
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
数理方程课件第六章勒让德多项式
k
从而有
1ຫໍສະໝຸດ 1 mP ( x) Pn ( x)dx 0
n
x
称为n次勒让德多项式或第一类勒让德函数。 前六个勒让德多项式为：
P0 ( x) 1
P ( x) x 1
P2 ( x) 1 (3 x 2 1) 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3x) P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) 2 8 1 P5 ( x) (63 x 5 70 x 3 15 x) 8
1 1
1
1 n 1 d n1 1 d 1 k 2 n 2 n k 1 n x n1 ( x 1) k ( x 1) x dx 1 dx n 1 2 n! dx 1 n 1 k 1 k 1 d n x ( x 2 1) n dx 2 n! 1 dx n 1
HUST 数学物理方程与特殊函数
第6章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式
6.1 勒让德方程的导出 考虑球域内Laplace方程的Dirichlet问题
u u xx u yy u zz 0, x 2 y 2 z 2 1 u | x 2 y 2 z 2 1 f ( x, y, z )
1 2 u 1 u 1 2u 2 2 sin sin 2 sin 2 2 0
(0 1, 0 2 , 0 )
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
第六章勒让德多项式
1 d d 1 d 2 n(n 1) sin 2 2 sin d d sin d 1 d d 1 d 2 2 sin sin n ( n 1)sin 2 d d d 1 d 2u 2 m 2 1 d d 2 2 d sin sin n ( n 1)sin m d d ( ) B1 cos m B2 sin m 2 2 d d m cot [ n ( n 1) ] 0 2 2 d d sin 连带的勒让德方程
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例2:将Pl( x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式 解：方法一
Pl( x) Cn Pn ( x) Cn Pn ( x)
n 0
l 1
( l 1) / 2
n 0
n 0
Cl 2 n 1Pl 2 n 1 ( x)
方法二
2l 4n 1 1 1 2 l 4 n 1 Cl 2 n 1 Pl ( x) Pl 2 n 1 ( x)dx Pl 2 n 1 ( x)dPl ( x) 1 1 2 2 1 2l 4n 1 1 Pl 2 n 1 ( x) Pl ( x) |1 Pl ( x) Pl ( x)dx 2 n 1 1 2 2l 4n 1 2 Pl 2 n1 (1) Pl (1) 0 2l 4n 1 2
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
勒让德多项式
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
37
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
38
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部． (3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
二阶线性齐次常微分方程 (1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解．
在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称 为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式
证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明． 二项式展开定理为
33
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
17
这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
18
物理量总是有界的
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的 条件称为勒让德方程的自然边界条 件． 为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
第六章 勒让德多项式1
( 2 1)l ( x)
l 1
C
dx
（6.1.11）
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
式（6.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl ( x) 1 π 0
π
( x i 1 x 2 cos )l d
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（6.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 2 (3x 2 1) 1 4 (3cos 2 1)
(6.1.12)
x2 1
【证明】 取 C 为圆周，圆心在 z x ，半径为 ．在
C
上有：
x x 1e
2
i
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
P3 ( x)
1
1 (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20 cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30 cos ) 8 128
dl dx
l
x
2l 2 k
(2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x
《数学物理方法》第六章勒让德函数
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
第六章 勒让德函数
说明：
（2）对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级 数解法要选定某个点 z0 作展开中心，得到的解是以 z0 为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在 收敛圆内部才有意义。
（1 ） 级数解法是一个比较普遍的方法， 对方程无特殊的要求。
2.方程的常点和奇点
方程的标准形式： w( z) p( z)w( z) q( z)w( z) 0 （1） 其中： w( z ) ——未知的复变函数， p( z ) 、 q( z) ——已知的 复变函数（方程的系数）
k 0 k 0 k 0
w0 ( z ) C2 k z
k 0
2k
w1 ( z ) C2 k 1 z 2 k 1
k 0
w0 ( z ), w1 ( z ) 都是方程的解，但线性无关。方程的通解是 w0 ( z ) 与 w1 ( z ) 的线性组合。
数学物理方法
2(2k 2) 4k 4 2(2k 2 2) C2 k C2 k 2 C2 k 22 2k (2k 1) 2k (2k 1) (2k 2)(2k 2 1) (4k 4 )(4k 8 ) (2k )! (4 )( ) C0
w( z) p( z)w( z) q( z)w( z) 0 （ 1 ）有唯一满足初始条件
w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1 ) （ C0 , C1：任意常数）的幂级数解。解
的具体形式： w( z ) Ck ( z z0 ) k
k 0
数学物理方法
2
k 2
k (k 1)C x
k 0 k
k 0
第六章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。
勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。
§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1） 令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ， 代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。
为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3） 将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。
第六章 勒让德函数
上式为恒等式：在 x 0的邻域内成立，故有 (k 2)(k 1)Ck 2 [k (k 1) l (l 1)]Ck 0
数学物理方法
得系数递推公式：
Ck 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) Ck Ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
数学物理方法
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方 法，即如何确定常数 1 , 2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确 定在一般情况下很困难。 但在一定条件下，会出现（1） ， （2）或（3）式中级数没 有负幂项的情形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理：
2.将级数解代入方程，求待定系数。
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
（1）
数学物理方法
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
数学物理方法
例：求厄米特方程 w 2 zw w 0 在 z0 0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式 由于 p( 程的常点。 级数解具有以下形式：
w( z ) Ck z k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：
k 2 k k ( k 1) C x ( k 2)( k 1) C x k k 2 k 0 k 0
代入（4）式，有：
k {( k 2)( k 1) C [ k ( k 1) l ( l 1)] C } x 0 k 2 k k 0
勒让德多项式递推公式的证明
勒让德多项式递推公式的证明1 关于勒让德多项式勒让德多项式通常称为磁力线多项式，是一种特殊的线性代数多项式。
它由著名数学家勒让德在1898年提出，用来描述空间中磁场线的强度。
因为它有着易于计算的特性以及它的复杂性，它在磁学、电子、物理等很多领域得到了广泛的应用。
2 勒让德多项式递推公式勒让德多项式的定义有两种形式：一种是递推公式，另一种是泰勒级数展开。
其中，勒让德多项式递推公式常用来表示磁力线在空间上分布的状态：n^{2}B_{n,m}(\varphi,\theta)=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{\substack{j=0\\j \neq m}}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi,\theta )\right)其中，B_{n, m}(\varphi,\theta) 表示一维勒让德多项式的系数，n、m是多项式的指数。
式中的\varphi, \theta表示空间坐标系，它们按照以下关系标准化：\varphi=2\pi(x/a) \, \theta=\pi(y/b)其中，a, b是所考虑空间的特定尺寸，x, y表示空间坐标系的x, y分量。
3 证明勒让德多项式递推公式首先，我们考虑一维勒让德多项式定义：B_{n, m} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{im\varphi }f(\varphi )d\varphi因此，由定义式可得：B_{n, m}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi我们可以把积分定义为，用p表示：p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi由Leibniz积分公式可得：\begin{aligned} p &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }\dfrac{\partial^{j}f(\varphi )}{\partial\varphi^{j}}d\varphi \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}\dfrac{\partial^{j}f(0)}{\partial \varphi^{j}}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}\dfrac{\partial^{j}f(\pi)}{\partial \varphi^{j}}\end{aligned}也就是说：p=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-m}B_{n,m}(0,\pi )+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(0,\pi )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(0,\pi )\right)联立以上两个式子，可以得到：\begin{aligned} &n^{2}B_{n,m}(\varphi ,\theta )\\&=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi ,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi ,\theta )\right) \end{aligned}因此，以上公式就可作为勒让德多项式的递推公式。
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
第6页/共30页
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
第7页/共30页
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
第2页/共30页
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
第3页/共30页
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
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2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
an2k
(1)k
(2n 2k)! k !2n (n k)!(n 2k)!
当n为正偶数时，将这些系数代入到 y1(x) 中得到
y1 ( x)
(2n)! 2n (n!)2
dR dr
R
r 2 sin
d
d
sin
d
d
R
r 2 sin2
d 2
d 2
0
用 r 2 遍乘各项并移项整理，即得 R
1 R
d dr
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
d 2
Ql (x) 称为第二类Legendre函数，它在[ -1，1 ]上
仍是无界的.
lim
|x|1
|
Ql
(
x)
|
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
6. 4 函数展开成 勒让德多项式的级数
1 勒让德多项式的正交性
0, m n
1 1
Pm
(
x)
Pn
(
x)dx
2 2n
C0
1 2
1 f (x)dx 1
1
2
0 xdx 1
1
2
1 xdx 1
0
2
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
4n 1 1
C2n 2 1 f (x)P2n (x)dx
4n 1 2
0
1
1 xP2n (x)dx 0 xP2n (x)dx
(2k 1)!
a1
6. 2 勒让德方程的求解
y(x) a1 y1(x) a2 y2 (x)
其中
y1
1
n(n 1) 2!
x2
n(n
2)(n 4!
1)(n
3)
x4
(2k 2 n)(2k 4 n) (n)(n 1) (n 2k 1) x2k (2k)!
第六章 勒让德多项式
勒让德方程的引出 勒让德方程的求解 勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数
6.1 勒让德方程的引出
6.1 勒让德方程的引出
在球坐标系下
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
(0 r , 0 π, 0 2π)
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
代入方程得
(r2R" 2rR ') (" cot ')R 0
化简并引入参数
r2R" 2rR ' " ctg '
R
分解得到两个常微分方程
r2R" 2rR ' R 0
" cot ' 0
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
多项式的Rodrigues表达式
当为整数时,取
an
(2n)! 2n (n!)2
时,
y1(x), y2 (x)
中总有一个是勒让德多项式，在[ －1，1 ]上有界，
这时另一个函数仍是无穷级数，记作 Ql (x)
6. 3 勒让德多项式
此时Legendre方程的通解为
y(x) C1Pl (x) C2Ql (x)
连带的勒让德方程
6.1 勒让德方程的引出
m=0时
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
nn
1
P
0
勒让德方程
6. 2 勒让德方程的求解
6. 2 勒让德方程的求解
考整虑理勒c让(c德方1)a程0 x
1 x2
{[(k c
令
k0
cdd22x2)y2(ck(c2cx1dd)1xay)1axkcn21n
Laplace方程的表达式为
1 r2
r
r
2
u r
1
r 2 sin
sin
u
1
r 2 sin2
2u
2
0
6.1 勒让德方程的引出
令ur, , Rr 代入上式得
r2
d dr
r
2
ak 2
可以将其它系数一一推算出来，即
an2
n(n 1) 2(2n 1)
an
an4
(n 2)(n 3) 4(2n 3)
an2
n(n 1)(n 2)(n 3) 2 4(2n 1)(2n 3)
an
取
an
(2n)! 2n (n!)2
有
an2
(2n 2)! 2n (n 1)!(n
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
R的方程 r2R" 2rR ' n(n 1)R 0 的通解为
Rn (r) Anr n Bnr (n1)
当 r 0,| Rn | 应保持有界，故 Bn 0 ，即
Rl (r) Al rl
(k n)(k n 1) c =0时 递推公式 ak2 (k 2) (k 1) ak 依此可得
a2
l(l 1) 2!
a0
a4
(2 l)(l 3) 43
a2
(2 l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
a2k
(2k
2 l)(2k
4 l) (l)(l (2k )!
n n
1 sin2
0
6.1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2
结合，构成本征值问题
" 0
2
解之可确定本征值 m2, m 0,1,
和相应的本征函数 Acos m Bsin m
1
y
0
y([x()kxcc)(ka0ca1x1)an2(xn2 1)ak ]a}kxxkkc 0
比将较其可代得入勒让德方程，得
c(c 1)a0 0
c 0或＝1
c(c 1)a1 0 [(k c)(k c c 0或1) ＝ n－(n1 1)]ak xkc
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
例3 球形域内的电位分布 在半径为1的球内求调和函数u ，使其在球面上
满足 u |r1 cos2
解：在球面坐标系 所提问题可化为下列边值问题
1u
r
2
1 rr2
r2rurr2
u
rr
2s1inr2
在第二个方程中，令
n(n 1), x cos, (arccos x) P(x)
则有
1 x2
d2P dx2
2x
dP dx
n
n
1
P
0
勒让德方程
为保证函数 u 的有界性 n 只能取为整数，此时 P(x) CnPn (x) 是方程在自然边界条件 P(1) 下的特征函数系.
2n
k
(2n !(n
2k)! k)!(n
2k
xn2k )!
这两个多项式可以统一写成
n
Pn (x)
2
(1)k
k 0
(2n 2k)! 2n k !(n k)!(n
xn2k , 2k )!
n 0,1, 2,
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
1
,
m
n
N
1 1
Pn2
(
x)dx
2 称为勒让德多项式的模值。
2n 1
{Pn (x)}n0 是一个正交的函数系.