初一数学知识点精讲精练——绝对值不等式

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绝对值不等式讲义

【知识点梳理】、绝对值的相关概念与性质: 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“|”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小 .绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为0.例如：若 |b |c 0，则 a 0， b 0， c 0 绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ，且a a ；(2) 若 a |b ，则 a b 或 a b ；(3) l ab a b ； a 曽(b o )；(4) | a |2 |a 2 | a 2 ；(5) a | |b | a b | |a b ，对于a b ||b ，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于|b | |a b ，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立.(5).对一切实数x ，都有|x| x |x|.(6)： |a ia 2 a 31 < | a i |心3丨；|印 a ? a . | < | 印 | | a ? | |a n |.(7 )： |a| |b| |a b| |a| |b |.力口强：|a| |b| |a b| |a| |b|.绝对值几何意义当x a 时，x a 0,此时a 是x a 的零点值.零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号•即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.求字母a 的绝对值： a(a 0)② a a(a 0) a(a 0) ① a0(a 0) a(a 0)a(a 0) a(a 0) 对值是5.a b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离.二、含绝对值方程(不等式、代数式)的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法| x | a a x a1.| x | a x a或x aa 0时，| f(x)| a f(x) a或f(x) a ；| f(x)| a2. 利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3. 反客为主4. 分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴ 14x-3|<2x+1(3) 3 2x| |5x 4 . x 1 x 3 6. a f(x) a ；⑵ |3-4x|>2x+12. (1)对任意实数x , |x 1| |x 2| a恒成立，则a的取值范围是3、4、5、6、7、9 .(2)对任意实数x ,若不等式若不等式若不等式已知2a|x-4|+|x-3|>a|x_4|_|x_3|<a|x_4|_|x_3|>a| x 1| | x 3| a恒成立，则a的取值范围是对于一切实数x恒成立，求a的取值范围的解集在R上不是空集，求a的取值范围在R上恒成立, a的取值范围4 |b5 3c c的值.2001若x 2——，则|x| |x 1| |x 2|2002|x 3| |x 4| |x 5|已知|x| 3, |y| 6，⑺9，求证:|x 2y 3z|设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证:|b|c.d ..| | 4.a10、已知f (x) x2 x 13,1，求证: f(x) f(a) 2(a 1)2 ax bx c ( a 0 ,且 b 0)，已知 bf(1)1，当 x 1时，证明f (x)2 ax bx c 对一切 x [ 1,1]，都有 | f (x) | 1，求证：(1)|a c| 1 ；(2)对一切 x [ 1,1]，都有 |2ax b | 4. 12、已知0 1, 0 a 1,试比较 | log a (1 x)| 和 I log a (1 x) | 的大小. 13、求证：一L a _SL 1 |a b| |a| |b| 1 |a| 1 |b|11、设二次函数 f(x)a , f(0) 1 , f( 1) 1 ,14、设二次函数 f (x)。

绝对值不等式知识点及典型练习题

绝对值不等式知识点及典型练习题1. 解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2. 注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。

||a|-|b||£|a+b|£|a|+|b|；||a|-|b||£|a-b|£|a|+|b|；并指出等号条件。

3. （1）|f（x）|<g（x）Û-g（x）<f（x）<g（x）；（2）|f（x）|>g（x）Ûf（x）>g（x）或f（x）<-g（x）.（无论g（x）是否为正）。

（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）左边在时取得等号，右边在时取得等号。

例1 解不等式分析：不等式（其中）可以推广为任意都成立，且为代数式也成立。

解：原不等式又化为∴原不等式的解集为点评：可利用去掉绝对值符号。

例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

解法一：分区间去绝对值（零点分段法）：∵||x+3|-|x-3||>3。

∴（1）Þx<-3；（2）Þ3/2<x£3或-3£x<-3/2 ；（3）Þx>3∴ 原不等式的解为x<-3/2或x>3/2。

解法二：用平方法脱去绝对值：两边平方：（|x+3|-|x-3|）2>9，即2x2+9>2|x2-9|；两边再平方分解因式得：x2>9/4Þx<-3/2或x>3/2。

例3 解不等式|x2-3|x|-3|£1。

解：∵|x2-3|x|-3|£1。

∴-1£x2-3|x|-3£1∴Þ∴ 原不等式的解是：£x£4或-4£x£点评：本题由于运用了x∈R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论。

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围。

绝对值的不等式

绝对值的不等式绝对值的不等式是数学中的一种重要概念，它在日常生活中也有着广泛的应用。

在不等式中，绝对值表示一个数与0的距离，因此它的结果始终为正数。

绝对值的不等式可以用来描述两个数之间的关系，掌握它的原理和应用对于我们做好数学和生活中的问题都非常有帮助。

首先，我们要了解绝对值的符号，用两条竖线括起来，例如|3|表示3的绝对值，也就是3与0的距离，即3。

如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这个数的大小也一定更大。

然后，要理解绝对值的不等式。

绝对值不等式的一般形式为|a|<b或|a|>b，其中a和b均为实数。

这意味着，如果|a|<b，那么a必须是一个离0足够近的实数，距离0小于b。

如果|a|>b，那么距离0更远，a的值越大或越小，a绝对值的结果越大。

接着，我们来看绝对值的不等式的应用。

在数学中，绝对值的不等式通常可用于解决不等式问题，如|x+2|<5，就可以用对称的形式把不等式拆分成两个绝对值不等式：-(x+2)<5和x+2<5。

这样，我们就可以得到-x<7和x<3两个解，取它们的交集，就得到了最终的解：-7<x<3。

在生活中，绝对值的不等式也有着广泛的应用。

例如，在购买商品时，我们需要对价格进行比较，绝对值的不等式可以帮助我们快速地比较两个价格的大小。

又如，在交通中，车速的不等式就是一种绝对值不等式，我们需要根据车速限制和实际行驶速度来调整车速，以保证自己和他人的安全。

总之，绝对值的不等式是数学中一个非常重要的概念，它在日常生活中也有着广泛的应用。

通过掌握绝对值的符号、原理和应用，我们可以更好地理解和解决数学问题，也可以更好地应对生活中的各种挑战，成为一个更加全面发展的人。

不等式的绝对值不等式

不等式的绝对值不等式不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。

而绝对值不等式则是一种特殊类型的不等式，它以绝对值的形式出现。

本文将介绍绝对值不等式的定义、性质以及解决方法。

一、绝对值不等式的定义绝对值是指一个数与零的距离，用符号“|x|”表示。

对于任意实数x，有以下绝对值的定义：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值不等式则是在绝对值的基础上，将不等式引入。

形式上，绝对值不等式可表示为|f(x)|<g(x)、|f(x)|>g(x)、|f(x)|≤g(x)或|f(x)|≥g(x)四种情况。

二、绝对值不等式的性质1. 对于任意实数a和b，有|a|≥0和|a|=-a当且仅当a=0。

解释：绝对值的定义使得它的值要么为非负数，要么为零；同时，只有当a等于零时，|a|才能等于零。

2. 对于任意实数a，有|-a|=|a|。

解释：绝对值的定义中，当a为非负数时，|a|与|-a|的数值相等；当a为负数时，|-a|和|a|的数值同样相等。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式的求解过程相对复杂，需要根据不同的情况进行讨论。

下面将介绍几种常见的解法方法：1. 使用数轴法将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题，通过确定不等式在数轴上的位置关系，找出满足条件的解。

例如，对于不等式|3x-2|<5，我们可以通过将3x-2视为一个变量，利用数轴上的图形表示，找出满足条件的解。

2. 分析法将绝对值不等式拆解成两个简单的不等式，再分别求解。

主要包括以下两种情况：a) 当不等式中的绝对值没有含有变量时，直接求解即可。

b) 当不等式中的绝对值含有变量时，将不等式转化为一个简单的二次不等式，再进行求解。

3. 化简法对于一些特殊的绝对值不等式，可以通过化简的方法求解。

例如，对于不等式|a-b|<c，我们可以将其拆解为两个不等式，即a-b<c和a-b>-c，再求解。

总结：绝对值不等式是数学中重要的概念，它可以用来描述数值之间的大小关系。

绝对值不等式

绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。

通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。

一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。

对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

例如，|5|=5，|-3|=3。

二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。

2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。

3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。

三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。

例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。

综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。

2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。

例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。

当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。

综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。

四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。

例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。

绝对值与绝对值不等式

绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与零之间的距离。

绝对值可以用符号“| |”来表示，其内部的数值可为正数或负数。

绝对值有时会与不等式一起讨论，这就是我们所说的绝对值不等式。

一、绝对值的定义绝对值的定义非常简单，对于任意的实数a，它的绝对值为|a|，表示数a与0之间的距离，计算公式如下：若a ≥ 0 ，则|a| = a若a < 0 ，则|a| = -a例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。

绝对值的本质是将一个数的正负情况抹去，只关注它与零之间的距离。

二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指将绝对值与不等式相结合，表示一个数与另一个数之间的关系。

绝对值不等式的一般形式为：|a - b| < c其中a、b、c为实数，且c > 0。

这种不等式的含义是，表示a与b之间的距离小于c。

例如，|x - 2| < 3，表示x与2之间的距离小于3。

三、绝对值不等式的求解方法要解决绝对值不等式，我们需要掌握一些基本的求解技巧。

1. 消去绝对值符号当绝对值不等式中只含有一个绝对值符号时，我们可以通过判断绝对值内部的值的范围来消去绝对值符号。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以考虑两种情况：当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，原不等式变为2x - 3 < 5，解得2x < 8，x < 4。

当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3)，原不等式变为-(2x - 3) < 5，解得2x > -2，x > -1。

综合以上情况可得，x的取值范围为-1 < x < 4。

2. 利用绝对值的性质绝对值有一个重要的性质：|a - b| ≤ c等价于 -c ≤ a - b ≤ c。

例如，对于不等式|3x - 1| ≤ 2，我们可以利用这个性质进行求解：-2 ≤ 3x - 1 ≤ 2，-1 ≤ 3x ≤ 3，-1/3 ≤ x ≤ 1。

教学知识点解简单的绝对值不等式

教学知识点解简单的绝对值不等式绝对值不等式是数学中的重要概念之一。

在解决实际问题以及各个学科领域中，都能够广泛地应用到绝对值不等式的知识。

本文将为您详细解析简单的绝对值不等式。

一、绝对值的概念在介绍绝对值不等式之前，我们先来回顾一下绝对值的概念。

绝对值，又称绝对数，是表示一个数到原点的距离，其定义如下：|x| ={x, 若x ≥ 0-x, 若 x < 0}例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。

绝对值的结果永远是非负数。

二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指一个以绝对值形式表示的不等式。

它包含一个绝对值表达式以及与之相关的等式或不等式关系。

例如，|x| > 3 表示x的绝对值大于3；|x| < 2 表示x的绝对值小于2。

解绝对值不等式是要找出满足不等式的x的取值范围。

三、解绝对值大于的不等式对于绝对值大于的不等式，我们需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。

举个例子，我们来解一个简单的绝对值大于的不等式：|x| > 3。

首先，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：x > 3 或者 x < -3。

对于第一个不等式 x > 3，我们可以得出x的取值范围为x > 3。

这表示x的取值大于3。

对于第二个不等式 x < -3，我们可以得出x的取值范围为x < -3。

这表示x的取值小于-3。

因此，将以上两个解合并，我们可以得出绝对值大于3的不等式的解为x > 3 或者 x < -3。

四、解绝对值小于的不等式对于绝对值小于的不等式，我们同样需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。

举个例子，我们来解一个简单的绝对值小于的不等式：|x| < 2。

同样地，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：-2 < x < 2。

对于不等式 -2 < x < 2，我们可以得出x的取值范围为-2 < x < 2。

绝对值不等式考点与题型归纳

绝对值不等式考点与题型归纳一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037，所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1；当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1；当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2，解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.。

总结解绝对值不等式的方法与技巧

总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。

解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。

一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。

3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。

4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。

5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。

2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。

3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。

4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。

三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。

绝对值不等式

绝对值不等式1. 引言绝对值不等式是数学中常见且重要的概念之一。

它描述了一个数的绝对值与其他数之间的关系，可以将其应用于数学问题中的求解，以及实际生活中的实际问题。

本文将介绍绝对值不等式的定义、性质和解题方法，希望能帮助读者更好地理解和应用绝对值不等式。

2. 绝对值不等式的定义绝对值不等式是指形如 $|x| \\leq a$ 或 $|x| \\geq a$ 的数学不等式，其中x是一个未知数，x是一个非负实数。

当不等式中的绝对值与不等号的关系相反时，我们称之为严格不等式，即|x|<x或|x|>x。

3. 绝对值不等式的性质3.1. 绝对值的定义绝对值的定义如下：$$ |x| = \\begin{cases} x, & x \\geq 0 \\\\ -x, & x < 0\\end{cases} $$3.2. 绝对值的性质在绝对值不等式中，我们需要注意以下性质：•对于任意实数x，有 $|x| \\geq 0$，即绝对值永远为非负数。

•若|x|=0，则x=0。

•对于任意实数x和x，有 $|xy| = |x| \\cdot |y|$。

•对于任意实数x和x，有 $|x + y| \\leq |x| + |y|$。

•对于任意实数x和x，有 $||x| - |y|| \\leq |x - y|$。

3.3. 严格不等式与非严格不等式的关系可以发现，严格不等式与非严格不等式之间存在以下关系：•对于任意实数x，若|x|<x，则 $|x| \\leq a$。

•对于任意实数x，若|x|>x，则 $|x| \\geq a$。

4. 绝对值不等式的解题方法解绝对值不等式的关键是找到使不等式成立的数值范围。

下面将介绍两种常见的解绝对值不等式的方法。

4.1. 分情况讨论法分情况讨论法是一种常用的解绝对值不等式的方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的形式进行分类讨论，即将不等式分为$|x| \\leq a$ 和 $|x| \\geq a$ 两种情况。

含绝对值的不等式知识点

2. | x | < a(a>0)的解集是{ x | — av xv a}.I x | > a( a>0)的解集是{ x | xv — a 或 x>a}.【思考导学】1 . | ax+ b| v b (b>0)转化成一bv ax+bv b 的根据是什么答：含绝对值白不等式| ax+ b | <b 转化—b< ax+ bv b 的根据是由绝对值的意义确定.2 .解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同.【典例剖析】［例1］解不等式2V | 2x-5 | & 7.,原不等式的解集为{ x 1 — 1Wxv 0或7 vxW6}2 2解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集不等式组(I )的解集为{ x I 7<x<6}2不等式组(n)的解集是{ x | - 1<x< - }2,原不等式的解集是{ x 1 — 1Wxv 0或7 vxW6}2 2解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.(I )2 < 2x-5< 7(n)2 V 5-2x< 7不等式(I )的解集为{ x | -<x<6}23不等式(n )的解集是{ x | - 1<x< -}2,原不等式的解集是{ x 1 — 1Wxv °或7 vxW6}.2 2点评：这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外〞向“里〞方法,去掉绝对值的符号,逐次化解. 【随堂练习】1 .不等式|8 — 3x | >0的解集是〔〕A. B . R 1.绝对值的意义是: x(x 0) x(x 0)含绝对值的不等式解法一：原不等式等价于 |2x 5| 2 |2x 5| 7.2x 5|2 或 2x 5 7 2x 5| 7 7一或x 21 x 6 (I) 2x 52 2x(n) 2x 5 02 5 2x点评：含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.［例2］解关于x的不等式：（1）I 2x+3 | — 1<a(a€ R)；（2） | 2x+ 1 | > x+ 1 .解：〔1〕原不等式可化为I 2x+3|va+1当a+1 >0,即a>—1时,由原不等式得一〔a+1〕 v 2x+3va+1a 4 a 2- .............. v x< ---------当a+1w0,即aw — 1时,原不等式的解集为综上,当a>- 1时,原不等式的解集是{ x 当aw — 1时,原不等式的解集是〔2〕原不等式可化为下面两个不等式组来解不等式组〔I 〕的解为x>02不等式组〔n 〕的解为x<- 23点评：由于无论x 取何值,关于x 的代数式的绝对值均大于或等于 0,即不可能小于0,故I f 〔x 〕 I < a 〔a< 0〕的解集为 .解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如 (2).例3］解不等式| x — |2 x+ 1|| > 1.解：二.由 |x —|2x+1|| >1 等价于(x —|2x+1|) >1 或 x —|2x+1|v —1(1)由 x — |2 x+ 1| > 1 得 |2 x+ 1| vx — 12x 1 0 32x 1 0 或 2x 1 x 1 (2x 1) x 11 1 x _ . x _ ..即 2或 2均无解x 2 x 0(2)由 x — |2 x+ 1| v — 1 得|2 x+ 1| >x+ 12x 1 0 - 2x 1 0或2x 1 x 1 (2x 1) x 1答案：C2.以下不等式中,解集为 R 的是〔〕A. | x+2 | > 1 B . | x+2 | + 1 >1C. 〔x- 78〕2>- 1 D . 〔x+78〕2-1>0答案：C3 .在数轴上与原点距离不大于 2的点的坐标的集合是〔〕A. {x | - 2<x< 2}B. {x I 0<x<2}C. {x I — 2<x<2}D. {x | x > 2 或 x w — 2}解析：所求点的集合即不等式I x | < 2的解集.答案：C4 .不等式| 1—2*|<3的解集是〔〕 <x<(I) 2x 2x 2x 1 0(2x 1),原不等式的解集为{ , 2… … x | x<--或 x>0}3 ,反复应用解答绝对值根本不等式类型的x 1A.{x | x< 1}B.{x | - 1<x< 2}C.{x | x>2}D.{x | xv — 1 或x>2}解析：由I 1 —2x|v3 得—3v2x— 1v3,,— 1vxv 2答案：B5.不等式| x + 4 | > 9的解集是 .解析：由原不等式得x+ 4>9或x+4v —9, x> 5或xv—13答案：{x [ x>5 或xv—13}6.当a>0时,关于x的不等式| b— ax | < a的解集是. 解析：由原不等式得I ax— b I v a,,一a〈ax—bvab-1<x<b+1b-1<x< b + 1} a a答案：{x| b - 1< x< — + 1} a a【强化练习】1.不等式I x+a | v 1的解集是〔〕A.{x | — 1 + avxv 1+ aB.{x | - 1 -a<x< 1- a}C.{x| — 1 — I al〈x<1 — I a I }D.{x|x<—1— I al 或x>1— |a|}解析：由I x+ a | < 1 得一1 vx+ a< 1答案：B2.不等式1 w | x— 3 | w 6的解集是〔〕A.{x | — 3<x<2 或4<x<9}B.{x | — 3<x<9}C.{x | — 1<x<2}D.{x | 4<x<9}x 3 0 3 x 3 0解析: 不等式等价于或1x36 13x6解得：4WxW9 或—3<x<2. 答案：A3.以下不等式中,解集为{ x | x< 1或x>3}的不等式是〔〕A.| x-2 | >5B.| 2x —4 | > 3C. 1 - | - - 1 | < 12 2D. 1 — | x-1\ < 12 2解析：A中,由 | x-2 | > 5得x—2>5或x—2v —5x> 7 或x< — 3同理,B的解集为{ x | x> 7或xv —1}2C的解集为{ x | xw 1或x> 3}D的解集为{ x | xv 1或x> 3}答案：D4.集合A= {x|| x-1|<2} , B= {x|| x-1| >1},那么An B等于〔〕A.{x| - 1 <x< 3}B.{x| xv 0 或x>3}C.{x| -1<x< 0}D.{x| —1 vxv 0 或2vx<3}解析：| x — 1| V 2 的解为一1 vxv 3, | x- 1| >1 的解为x<0 或x>2.・•.An B= {x| —1 v xv 0 或2v x v 3}.答案：D5.不等式I x -2 | < a〔a>0〕的解集是{ x | — 1 vxv b},那么a+ 2b= 解析：不等式I x-2 | < a的解集为{ x I 2-a<x<2+a}由题意知：{x| 2— avxv2+a} = {x| —1vxvb}2 a 1 a 32 a c c 5. ・a+ 2b=3+2X5=13答案：136.不等式|x+2| >x+2的解集是.解析：:当x+2>0 时,|x+2| =x+2, x+2>x+2 无解.当x+2<0 时,|x+2| =—(x+2) >0>x+ 2・••当xv— 2 时,| x + 2 | >x+2答案：{x | xv— 2}7.解以下不等式：(1)|2 — 3x| W2; (2)|3 x-2| >2.解：(1)由原不等式得一2<2-3x<2,各加上一2得一4W —3xW0,各除以一3得f >x>0,解集为{x|03一一4、v xw — }.3(2)由原不等式得3x-2<- 2或3x—2>2,解得x<0^x>4,故解集为"|*<0或*>£}.3 38.解以下不等式：(1)3 w |x—2| <9; (2)|3 x-4| >1 + 2x.解：(1)原不等式等价于不等式组由①得xW — 1或x>5;由②得一7vxv 11,把①、②的解表示在数轴上(如图),・,・原不等式的解集为{x| — 7vxw — 1或5W xv 11}.(2)原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：D 3x 4 0,② 3x 4°’3x 4 1 2x; (3x 4) 1 2x.3由不等式组①解得x>5;由不等式组②解得x<3.5,原不等式的解集为{x| x< 3或x>5}.59.设A= {x | | 2x-1 | < 3}, B= { x | |x+2 | < 1},求集合M使其同时满足以下三个条件：(1)M [(AU E)nz】；(2)M中有三个元素；(3)MA Bw解：: A= { x | | 2x- 1 | <3} = { x | - 1<x< 2}B= {x | | x+2 | < 1} = { x | - 3<x<- 1}M [(AU B) AZ] = { x | — 1 wxw 2} U { x | — 3vxv —1} n Z= { x | - 3<x<2} n Z= {—1,0,1, 2}又「MP Bw , •. 一2C M又M中有三个元素・♦・同时满足三个条件的M为：{— 2, — 1, 0}, {— 2, — 1, 1}, {— 2, — 1, 2}, {— 2, 0, 1}, {— 2, 0, 2}, {— 2, 1 , 2}.【学后反思】解绝对值不等式,关键在于“转化〞.根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组)I x | v a与| x | > a(a>0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集.不等式| x | va(a>0)的解集是{x | —avxva}.其解集在数轴上表示为(见图1 -不等式| x | > a(a>0)的解集是{ x | x>a或xv —a},其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式I x I < a与I x I > a(a>0)中的x替换成ax+ b,就可以得到I ax+ b I v b与I ax+ b I>0)型的不等式的解法.12 2,• ' x> 0 或xv ——2 332 ,综上讨论,原不等式的斛集为{x|x< ------------ 或x>0}.3C. {x| xw 1 2 3 * * * * 8 , xC F} D . { 8} 3 32,一7)：> b(b。

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解

1.求 x 3 的x最大9 值 2.求 x 3 的x最 9小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集为，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像，并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是

初中数学知识归纳解绝对值不等式的问题

初中数学知识归纳解绝对值不等式的问题绝对值不等式在初中数学中是一个重要的概念，它在解决实际问题中起到了重要的作用。

本文将归纳绝对值不等式的解法，以帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

一、绝对值不等式的基本概念绝对值不等式是将绝对值函数与不等式结合起来的一种形式。

一个一般的绝对值不等式可以写成：|ax + b| < c 或 |ax + b| > c，其中 a、b、c 为已知实数。

绝对值不等式的解可以是一个或多个实数或者一个或多个数的范围。

下面将介绍三种常见的绝对值不等式的解法。

二、绝对值不等式的解法1. 直接法当绝对值的表达式的绝对值号内没有任何变量时，可以直接解题。

例如，要解决 |5x - 3| > 2 的不等式，我们可以将其分为两种情况讨论：当 5x - 3 > 0 时，不等式变为 5x - 3 > 2，则解为 x > 1/5；当 5x - 3 < 0 时，不等式变为 -(5x - 3) > 2，则解为 x < 5/3。

综合两种情况，得到解为 x < 5/3 或 x > 1/5。

2. 分组法当绝对值的表达式内有两个变量时，可以通过分组法解题。

例如，要解决 |2x - 7| < 3x + 1 的不等式，我们可以按照不等式的正负情况进行讨论：当 2x - 7 > 0 时，不等式变为 2x - 7 < 3x + 1，则解为 x > -8 ；当 2x - 7 < 0 时，不等式变为 -(2x - 7) < 3x + 1，则解为 x < 0 ；综合两种情况，得到解为 x < 0 或 x > -8。

3. 区间法当绝对值的表达式内有两个变量时，也可以使用区间法解题。

例如，要解决 |x + 2| > |x - 1| 的不等式，我们可以将不等式的绝对值表达式分为两种情况：当 x + 2 > 0 且 x - 1 > 0 时，不等式变为 x + 2 > x - 1，则解为 2 > -1，即该条件下不成立；当 x + 2 > 0 且 x - 1 < 0 时，不等式变为 x + 2 > -(x - 1)，则解为 x >-3；当 x + 2 < 0 且 x - 1 < 0 时，不等式变为 -(x + 2) > -(x - 1)，则解为 x < -1；当 x + 2 < 0 且 x - 1 > 0 时，不等式变为 -(x + 2) > x - 1，则解为 -2 > x - 1，即该条件下不成立。

掌握初中数学中的绝对值与不等式

掌握初中数学中的绝对值与不等式绝对值与不等式是初中数学中的重要概念，掌握它们对于解决数学问题至关重要。

本文将介绍绝对值和不等式的基本概念、性质以及解题方法，帮助读者全面理解和掌握这两个概念。

一、绝对值的概念与性质1.1 绝对值的定义绝对值是对一个实数取其非负值的运算，用符号“| |”表示。

对于实数 a，其绝对值记作 |a|，定义如下：当a ≥ 0 时，|a| = a；当 a < 0 时，|a| = -a。

1.2 绝对值的性质（1）非负性：对于任意实数 a，有|a| ≥ 0。

（2）正定性：对于任意实数 a，当且仅当 a = 0 时，有 |a| = 0。

（3）对称性：对于任意实数 a，有 |a| = | -a |。

（4）三角不等式：对于任意实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

二、绝对值的基本运算2.1 绝对值的四则运算（1）加法运算：对于任意实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

（2）减法运算：对于任意实数 a 和 b，有 |a - b| ≥ ||a| - |b||。

（3）乘法运算：对于任意实数 a 和 b，有 |a * b| = |a| * |b|。

（4）除法运算：对于任意非零实数 a 和 b，有 |a / b| = |a| / |b|。

2.2 绝对值与其他运算的关系（1）绝对值与取模运算关系 |a| = |-a|。

（2）绝对值与幂运算关系 |a^n| = |a|^n，其中 n 为自然数。

三、绝对值不等式的基本概念3.1 不等式的定义不等式是两个表达式之间的关系，用不等号（<、>、≤、≥）表示。

其中，不等号的左右两边的表达式称为不等式的左边和右边。

3.2 绝对值不等式的基本性质（1）绝对值不等式的取非：若 |a| < b，则 a > -b 且 a < b。

（2）绝对值不等式的加减法性质：若 |a| > b，则 a > b 或 a < -b。

掌握初中数学中的绝对值与不等式(二)

掌握初中数学中的绝对值与不等式（二）绝对值与不等式是初中数学中非常重要的概念，掌握好这一部分内容对于学生的数学能力的提升具有关键性的作用。

本文将继续探讨初中数学中的绝对值与不等式，并介绍一些相关的解题技巧和应用场景。

一、绝对值的基本性质绝对值是取一个数的非负值，可以用来表示数与零的距离。

而在不等式的求解过程中，绝对值则常常用来表示数值的范围。

1. 绝对值的非负性对于任意实数a，有|a| ≥ 0，即绝对值永远不会是负数。

2. 绝对值的定义对于实数a，若a ≥ 0，则|a| = a；若a < 0，则|a| = -a。

3. 绝对值的运算律（1）|a × b| = |a| × |b|（2）|a ÷ b| = |a| ÷ |b|（3）|a + b| ≤ |a| + |b|二、绝对值不等式的求解绝对值不等式是指在不等式中涉及到绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式的关键是要找出绝对值符号的取值范围，并将其转化为不等式的形式。

1. 一元绝对值不等式（1）|x| < a，其中a > 0解法：将绝对值去掉，得到-ａ < x < a，即数轴上以原点为中心，以a为半径的一个开区间。

（2）|x| > a，其中a > 0解法：根据绝对值的定义，可以分为两种情况，当x > 0时，可以得到x > a，当x < 0时，可得-x > a，进而得到x < -a或者x > a。

综合两种情况，可以写成x < -a或者x > a。

2. 二元绝对值不等式二元绝对值不等式是指不等式中存在两个变量，并且涉及到绝对值符号的不等式。

解这类不等式可以使用代数法和图像法两种方法。

（1）代数法通过分类讨论的方法，将不等式转化为多个一元绝对值不等式进行求解。

（2）图像法将不等式转化为数轴上的几何问题，来求解不等式的解集。

将一元绝对值不等式在数轴上进行几何操作，可以得到最终的解集。

【数学知识点】绝对值不等式公式四个

【数学知识点】绝对值不等式公式四个绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。

|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。

当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)。

绝对值重要不等式推导过程：我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);因此，有：-|a|≤a≤|a|......①-|b|≤b≤|b|......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即|a-b|≤|a|+|b|......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。