初一数学知识点精讲精练——绝对值不等式

3.（2016•建邺区期中）阅读下列材料并解决相关问题． 化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|， 只要考虑 x+5 的正负，可以分为 x＜﹣5 与 x≥﹣5 两种情况来讨论，这里的 x=﹣5 是使 x+5=0 的 x 值，我们 称它为 x+5 的一个零点．同理，对于 2x﹣3，也有一个零点 x= 3 ．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为
；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为
．
（2）解不等式|x﹣2|＜4；
（3）解不等式|x﹣5|＞7．
5.先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|x|＜3．
x 表示到原点距离小于 3 的数，从如图 1 所示的数轴上看：大于﹣3 而小于 3 的数，它们到原点距离小于 3，
(x 1) ． (x 1)
故可把 x 分为三段：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．
所以原不等式等价于下面三个不等式组：
(Ⅰ)
x
Fra Baidu bibliotek
2 x2

1

x

3
，或(Ⅱ)

x x

1 2

x

1

3
，或(Ⅲ)
2 x 2
x 1
1
x

3
．
不等式组(Ⅰ)的解集是 x＜－2，
2 将 x 的取值范围分成三段，即 x＜﹣5，﹣5≤x＜ 3 ，x≥ 3 进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为 0，找
22 出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|= （2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？ （3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
方法一是利用绝对值的几何意义： | x | 表示 x 到原点的距离；
| x | a(a 0) 的解为 x a
| x | a (a 0) 的解集为 a x a | x | a(a 0) 的解集为或 x a x a
方法二是一般思路，利用分类讨论去掉绝对值符号。 因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
．
（2）解不等式|x﹣5|＜3．
（3）解不等式|x﹣3|＞5．
（4）直接写出不等式|x﹣1|+|x+2|＜5 的解集：
．
【练习解析】
1. 解：由绝对值的性质得：
7 x 5

7

x

5
，
解得：2≤x≤12． 故绝对值不等式|7﹣x|≤5 的解集为：2≤x≤12．
2. 解：由于零点是 1 和 2，故将数轴分成三段来讨论． ⑴ 当 x≤1 时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即 x＜0．故不等式的解集是 x＜0． ⑵ 当 1＜x≤2 时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即 x＜－2．故不等式的解集是无解． ⑶ 当 x＞2 时，原不等式可化为(x－1)＋(x－2)＞x＋3，即 x＞6．故不等式的解集是 x＞6． 综上可知，原不等式的解集是 x＜0 或 x＞6． 3. 解：（1）|x+5|+|2x﹣3|=
问答问題： ①解方程丨 x+3|=4 ②解不等式|x﹣3|≥4 ③解方程|x﹣3|+|x+2|=8． 【考点】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确绝对值的几何意义， 找出所求问题需要的条件． 【解答】解：①解方程|x+3|=4，容易看出，在数轴上与﹣3 距离为 4 的点的对应数为﹣7，1，即该方程的解 为 x=﹣7 或 x=1； ②解不等式|x﹣3|≥4， 如图 3，在数轴上找出|x﹣3|=4 的解，即到 3 的距离为 4 的点对应的数为﹣1，7，则|x﹣3|＞4 的解集为 x≤ ﹣1 或 x≥7．
不等式组(Ⅱ)的解集是无解，
不等式组(Ⅲ)的解集是 x＞1． 综上可知原不等式的解集是 x＜－2 或 x＞1．
【练习】
1.阅读下面信息：绝对值不等式|x|＜2 的解集在数轴上为﹣2＜x＜2，绝对值不等式|x|＞2 的解集在数轴上为
（x＜﹣2，x＞2），则绝对值不等式|7﹣x|≤5 的解集为：
．
2.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．
【典型例题】
1．（2016 春•南外期末）阅读下列材料并解答问题： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|．也就是说，|x|表示在数轴上数 x 与数 0 对应的点之间的距离．
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数 x1 与 x2 对应的点之间的距离． 例 1：解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为 2 点的对应数为±2，即该方程的解为 x=±2 例 2：解不等式|x﹣1|＞2，如图 1，在数轴上找出|x﹣1|=2 的解，即到 1 的距离为 2 的点对应的数为﹣1，3， 则|x﹣1|＞2 的解集为 x＜﹣1 或 x＞3． 例 3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与 1 和﹣2 的距离之和为 5 的 点对应的 x 的值．在数轴上，1 和﹣2 的距离为 3，满足方程的 x 对应的点在 1 的右边或﹣2 的左边，若 x 对应点在 1 的右边，由图 2 可以看出 x=2．同理，若 x 对应点在﹣2 的左边，可得 x=﹣3，故原方程的解是 x=2 或 x=﹣3．
特殊不等式——绝对值不等式
【知识点】
1．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： ①当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； ②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a； ③当 a 是零时，a 的绝对值是零． 2. 解含有绝对值的不等式 解含绝对值不等式有两种思路：
5. 解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a； 不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 x＞a 或 x＜﹣a． 故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a 或 x＜﹣a． （2）|x﹣5|＜3， ∴﹣3＜x﹣5＜3， ∴2＜x＜8； （3）|x﹣3|＞5， ∴x﹣3＞5 或 x﹣3＜﹣5， ∴x＞8 或 x＜﹣2； （4）在数轴上找出|x﹣1|+|x+2|=5 的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 1 和﹣2 对应的点的距离之和等于 5 的点对应的 x 的值． ∵在数轴上 1 和﹣2 对应的点的距离为 3， ∴满足方程的 x 对应的点在 1 的右边或﹣2 的左边． 若 x 对应的点在 1 的右边，可得 x=2；若 x 对应的点在﹣2 的左边，可得 x=﹣3， ∴方程|x﹣1|+|x+2|=5 的解是 x=2 或 x=﹣3， ∴不等式|x﹣1|+|x+2|＜5 的解集为﹣3＜x＜2， 故答案为﹣3＜x＜2．
（1）含有一个绝对值的，根据绝对值的意义，即|
x
|=
x(x x(
0) x 0)
分类讨论去绝对值；
（2）对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，有一种通法——零点分段讨论法。 （3）零点分段法通常分三步：
①找到使多个绝对值等于零的点（即零点）；
②分段讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地 n 个零点把数轴分为 n＋1 段进行讨论； ③将分段求得的解集，总结在一起，中间用或字连接。
2.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3 的解集． 【考点】本题考查零点分段法解绝对值不等式，据绝对值为零时 x 的取值把实数分成三段，再分别讨论而 去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．
【解答】解：∵
|x＋2|＝
x 2 x 2
(x 2) (x 2)
，|x－1|＝
x 1 1 x
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有： x﹣1=0，x=1， x+1=0，x=﹣1， |x﹣1|﹣2=0，x=3 或﹣1，
综上所述，代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x=±1 或 3．
2x(x 1)
（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|=
2x 2(1 x 4(1 x 3）
③|x﹣3|+|x+2|=8， 当 x＜﹣2 时， 3﹣x﹣x﹣2=8， 解得，x=﹣3.5； 当 x=﹣2 时， |﹣2﹣2|+|﹣2+2|=4≠8， ∴x=﹣2 不能使得|x﹣3|+|x+2|=8 成立； 当﹣2＜x≤3 时， 3﹣x+x+2=5≠8， 在﹣2＜x≤3 时，不能使得|x﹣3|+|x+2|=8 成立； 当 x＞3 时， x﹣3+x+2=8， 解得，x=4.5，； 故|x﹣3|+|x+2|=8 的解是 x=﹣3.5 或 x=4.5．

1)
2x 3(x 3)
4 .解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 x＞a 或 x＜﹣a， 故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a 或 x＜﹣a； （2）|x﹣2|＜4，
∴﹣4＜x﹣2＜4， 则﹣2＜x＜6； （3）∵|x﹣5|＞7， ∴x﹣5＜﹣7 或 x﹣5＞7， 解得：x＜﹣2 或 x＞12
4.请阅读求绝对值不等 式|x|＜3 和|x|＞3 的解集的过程： 因为|x|＜3，从如图 1 所示的数轴上看：大于﹣3 而小于 3 的数的绝对值是小于 3 的，所以|x|＜3 的解集是﹣ 3＜x＜3； 因为|x|＞3，从如图 2 所示的数轴上看：小大于﹣3 的数和大于 3 的数的绝对值是大于 3 的，所以|x|＞3 的解 集是 x＜﹣3 或 x＞3．
所以|x|＜3 的解集是﹣3＜x＜3；
|x|＞3
x 表示到原点距离大于 3 的数，从如图 2 所示的数轴上看：小于﹣3 的数和大于 3 的数，它们到原点距离大
于 3，所以|x|＞3 的解集是 x＜﹣3 或 x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为
．不等式|x|＞a（a＞0）的解集为