高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结
高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结

例6、求 (1 2x)5的展开式的:
(1)第三项的二项式系数; (2)第三项的系数; (3)所有项的系数和. 解:(2)由通项可知,展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以,第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的:
表示?
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的:
(1)第三项的二项式系数; (2)第三项的系数; (3)所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的:
(1)第三项的二项式系数; (2)第三项的系数; (3)所有项的系数和.
解:首先将A、B、C、D排成一排,共有 A44 种排法,每一种
排法都会产生五个“空”,在这五个“空”中任选一个,将E
放入,共有 C51 种方法;其次,E中的两个元素可以交换,有 A22
种方法.
所以,共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
(
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
)?
作业: 1.一个集合由8个元素组成,这个集合含有3个元素的子集有多 少个? 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位,每个单位至少 两人,一共有多少种不同的分配方案? 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项,并说明它是展开式的第几项.
3x
入,共有 A43 种排法. 所以,一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排,符合下列各题要求的不同排法有多 少种? (2)甲、乙相邻. 解:(2) 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻,所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
高中数学选修2-3知识点
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111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2-3知识点第一章 计数原理1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有N 类办法,在第一类办法中有M 1种不同的方法,在第二类办法中有M 2种不同的方法,……,在第N 类办法中有M N 种不同的方法,那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N 个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有M 2不同的方法,……,做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数:从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式:,11--=m n m n nA A6、组合:从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m nm m m n mn-=+--==Λ)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;mn n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理:()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式:,……T C a b r n r nr n r r+-==101() 10、二项式系数C n r为二项式系数(区别于该项的系数) 11、杨辉三角:()()对称性:,,,……,1012C C r n n r nn r==- ()系数和:…2C C C n n nn n012+++= (3)最值:n 为偶数时,n +1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第n C n n nn2112+⎛⎝ ⎫⎭⎪+项,二项式系数为;为奇数时,为偶数,中间两项的二项式() 系数最大即第项及第项,其二项式系数为n n C C n n nn +++=-+121211212第二章 随机变量及其分布1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
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第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 :高二()班学号:姓名:一.知识点整理价:1、两个基本 数原理:( 1)分 数原理:达成一件事,有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。
12n( 2)分步 数原理:达成一件事,需要分红n 个步 ,达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。
12n2、摆列( 1)摆列:一般地,从n 个不一样的元素中拿出m ( m n )个元素,并按必定的 序排成一列,叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。
( 2)摆列数公式:A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ,(n m)!3、 合( 1) 合:一般地,从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ,叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。
m( 2) 合数公式:C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !( 3) 合数公式性 :m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理:( 1)二 式定理: (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n( 2)通 是睁开式的第,即:2、二 睁开式的特色:( 1) 数:共 n + 1 ;( 2)指数: a 按降 摆列, b 按升 摆列,每一 中a 、b 的指数和 n( 3)系数 : 第 r + 1 的二 式系数 Cr(r =0,1,2, ⋯, n )n二.稳固练习价: 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排,假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。
数学选修2-3知识点总结
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数学选修2-3知识点总结
计数原理:这部分主要讲解分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
分类加法计数原理指的是,如果完成一件事情有N类方法,每类方法中有不同的方法数,那么完成这件事情的总方法数就是各类方法数之和。
而分步乘法计数原理则是说,如果完成一件事情需要分成N 个步骤,每个步骤中有不同的方法数,那么完成这件事情的总方法数就是各步骤方法数之积。
二项式定理:这部分主要讲解二项式定理及其通项公式,以及二项式系数的性质。
二项式定理给出了(a+b)^n的展开式,而二项式通项公式则给出了展开式中每一项的具体形式。
二项式系数的性质包括对称性、增减性与最大值以及各二项式系数和等。
概率论初步:这部分主要讲解随机事件、概率等基本概念,以及概率的基本性质。
随机事件是指在一次试验中可能出现的结果,而概率则是衡量随机事件发生的可能性的数值。
随机变量及其分布:这部分主要讲解随机变量的概念及其分布。
随机变量是随机试验可能出现的结果的数值表示,常见的随机变量分布有离散型分布和连续型分布。
以上就是数学选修2-3的主要知识点,通过学习这些内容,学生可以掌握基本的计数原理、二项式定理、概率论以及随机变量及其分布等数学知识,为进一步学习数学或其他相关学科打下基础。
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
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人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1,a2⋯,a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示。
排列数公式:n个元素的全排列数规定:0!=11.2.2组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号或表示。
组合数公式:∴规定:组合数的性质:(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律!(1)对称性(2)当n 是偶数时,共有奇数项,中间的一项取得最大值;当n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项,同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中,奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和:(5)一般地,第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0,1,2,⋯,n})叫做二项式系数(binomial coefficient);2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
(完整版)高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
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第一章:计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数:从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式: 其中4、组合:一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数:从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式:其中注意:判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质: m n A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=Λ.,,*n m N m n ≤∈并且mn n m nC C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中,设a=1,b=x ,则可以得到公式:2、性质:02413512n n n n n n nC C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和:注意事项:相邻问题,常用“捆绑法”不相邻问题,常用“插空法”巩固训练:1、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(1)男甲排在正中间;(2)男甲不在排头,女乙不在排尾;(3)三个女生排在一起;(4)三个女生两两都不相邻;2、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,可以熄灭的方法共有()3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级,每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?9、求值与化简:1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值:。
高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)
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高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)一. 基本原理1 •加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2 .乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二. 排列:从n 个不同元素中,任取 m (m<n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为2卫“+倔7加习…2 L 规定;C! = 1(2) «fl ! = [ (« -bl) -1] m =(母+1)近卫1一卫!二 3 +1) \-n !; (背)_ J7+1 ™ 1 JU- 1 1 _ 1 I5+1)! -(M + l)l - 5 + 1) ;" (n + l^l ~71~G + 1)!三-组合三从口个不同元素中任取n (mWn)个 元素并组成一组.叫做以口个不 同元紊中腿出珀个元索的一个组合,所有组合个数记为CJ规定;诗=1塞组合的亡;=c 厂.c : y'二% +……+cr;二巴① ^临二②躅十③心"呜 ④导隔…二碍若帶 二g 则厂口 四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序 ③分步还是分类。
2 .解排列、组合题的基本策略(1) 两种思路:① 直接法:② 间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况 去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。
即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为 全集。
(3) 分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步, 再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
高中数学选修2-3知识点
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高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章:计数原理1.分类加法计数原理:完成一件事情,有N类方法,第一类方法有M1种不同的方法,第二类方法有M2种不同的方法,以此类推,第N类方法有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有M1+M2+。
+MN种不同的方法。
2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成N个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有M2种不同的方法,以此类推,第N步有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。
3.排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。
从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An表示。
An=m!/(n-m)!(m≤n,n,m∈N)。
5.公式:A(n+m)=An+Am*m!(m≤n,n,m∈N);An=m*(m-1)*。
*(n-m+1)=n!/(n-m)。
6.组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7.公式:C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!];C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m);C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。
8.二项式定理:(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。
+C(n,n)*a^0*b^n。
9.二项式通项公式展开式的通项公式:T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n),其中C(n,r)为二项式系数。
10.二项式系数Cn:C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!),其中r为从n个元素中取出的元素个数。
11.杨辉三角:杨辉三角是一种数学图形,由二项式系数构成,XXX的数为C(n,0),C(n,1)。
数学选修2-3知识点总结
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第二章概率总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.2.分类随机变量(如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
)离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X 可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.连续型随机变量对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1,x 2,,x i ,,x nX 取每一个值xi(i=1,2, )的概率 P(ξ=x i )=P i ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列性质:①pi ≥0,i=1,2,… ; ②p 1+p 2+…+p n =1.③一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤随机变量 条件概率 事件的独立性 正态分布超几何分布二项分布数学期望 方差离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量连续性随机变例题:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次的得分的分布列.解:用随机变量X 表示“每次罚球得的分值”,依题可知,X 可能的取值为:1,0 且P (X=1)=0.7,P (X=0)=0.3 因此所求分布列为:引出超几何分布 一般地,设总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnN C C P X k k m C --===,其中{}min ,m M n =, 且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意:(1)超几何分布的模型是不放回抽样;(2)超几何分布中的参数是N 、M 、n ,其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤:例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率解:设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0,1,2,3,4,5.由题目可知,至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++≈0.191 答:中奖概率为0.191.条件概率1.定义:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,叫做条件概率.记作读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交(积):由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ,称为事件A 与事件B 的交(或积D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式: 二点分布如果随机变量X 的分布列为: 其中0<p<1,q=1-p ,则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布二点分布的应用:如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求A∩B发生的概率:解题步骤: 例题、10个产品中有7个正品、3个次品,从中不放回地抽取两个,已知第一个取到次品,求第二到次品的概率. 解:设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品},所以,P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9 答:第二个又取到次品的概率为2/9.相互独立事件1.定义:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立2.相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
高中数学知识点总结选修2-3
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高中数学知识点总结选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第第 2 类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有“不重不漏”。
1 类方案中有m 种不同的方法,在N=m+n 种不同的方法。
分类要做到分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m× n 种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n 元集合A={a1 , a2?, an} 的不同子集有2n 个。
1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。
从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号Amn 表示。
排列数公式:n个元素的全排列数规定: 0!=11.2.2 组合一般地,从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出元素的一个组合(combination) 。
从 n 个不同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个nm 不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号Cn 或 m 表示。
m 个组合数公式:mm∵ Amn=Cn?Am∴规定: ?? =组合数的性质:1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理 (binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2杨“辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律!(1)对称性(2)当 n 是偶数时,共有奇数项,中间的一项Cnn+12 取得最大值;n+1当 n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项Cn ,Cn 同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为012kn2n=Cn+Cn+Cn+ ?+Cn+ ?+Cn(4)二项式展开式中,奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和:024135Cn+Cn+Cn+ ?=Cn+Cn+Cn+ ? n-1(5)一般地,rrrrr+1Cr+Cr+1+Cr+2+ ?+Cn-1=Cn(n> )第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable) 。
高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结电子教案

选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理,如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A mn用于计算, 或m nA )!(!m n n -=()n m N m n ≤∈*,, 用于证明。
nnA =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用mn C 表示(2)组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 用于计算,或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练

第一章:计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列:
叫做从n 2n
3其中 4出m 5从n 取出m 6、组合数公式:
其中 注意:判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质: .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1
1+-=+
三、二项式定理
如果在二项式定理中,设a=1,b=x,则可以得到公式:
2、性质:
注意事项:
相邻问题,常用“捆绑法”
1、有4
(1
(2
(3
(4
2
3、(1)
(2)?
4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级,每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?
6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?
7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
9、求值与化简:。
选修2-3 概率知识点

一、离散型随机变量及其分布列
1. 离散型随机变量 : 若随机变量的取值能够一一列举出
来,这样的随机变量称为离散随机变量. 随机变量的线性组合 Y aX b ( a , b 是常数) 也是随机变量 2.离散型随机变量 X 的的分布列 设离散型随机变量 X 的取值为 a1 , a2 , 概率为 pi (i 1, 2,
选修 2-3
第二章
概率知 知识点
三、两个重要的分布
1.超几何分布: 一般地,设有 N 件产品,其中有 M ( M N ) 件次品, 从中任取 n (n N ) 件产品, 用 X 表示取出的 n 件产品中次 品的件数,那么 P ( X k ) C M C M N . 〔其中 k 为非负整 n
DX (a1 EX )2 p1 (a2 EX )2 p2
B) P ( B)
称为 X 的方差. 显然 DX 0 , 故 X
(ar EX )2 pr
DX , X 为 X 的标准差.
B 也可以记成 AB ).条件概率可以依照定义在压
缩的样本空间中计算;条件概率也可以按公式计算. 2.相互独立事件的概率: (1)对两个事件 A, B , 如果事件 B 发生与否不影响事件 A 发 生的概率,则称 A, B 相互独立,即有 P ( AB) P ( A) P ( B) . (2)若事件 A 与 B 独立,则 A 与 B , B 与 A , A 与 B 也 相互独立. (3)对多个事件,如果 A1 , A2 ,
CN
数〕.如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从 参数为 N , M , n 的超几何分布. 2、二项分布
, an , X 取 a i 的
进行 n 次试验,如果满足下列条件: (1)每次试验只有两种相互对立的结果,可以分别称为 “成功”和“失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为 p ,“失败” 的概率 均为 1 p ;
数学选修2-3知识点总结

第二章概率总结一、知识结构超几何分布离散型随机变量二项分布随机变量离散型随机变量的数字特征数学期望方差正态分布连续性随机变量条件概率事件的独立性二、知识点1.随机试验的特点 :①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.2.分类随机变量(如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母 X、 Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
)连续型随机变量离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量. 连续型随机变量的结果不可以一一列出 .3.离散型随机变量的分布列一般的 ,设离散型随机变量X 可能取的值为x,x ,,x,,x12inX 取每一个值 xi(i=1,2,)的概率P(ξ=x i)= P i,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列性质:① pi≥ 0, i =1, 2,⋯;②p1 + p2 +⋯+p n= 1.③ 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,不中得 0 分,已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次的得分的分布列 .解:用随机变量X 表示“每次罚球得的分值”,依题可知,X可能的取值为:1,0且P(X=1) =0.7,P(X=0 )=0.3因此所求分布列为:引出二点分布如果随机变量 X 的分布列为:其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X 服从参数 p 的二点分布二点分布的应用:如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地 , 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n ≤ N)件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,k n k则它取值为 k 时的概率为 P( XC M CN M(k 0,1,2, L , m ) ,其中 m min M , n ,k )nC N且 n ≤ N, M ≤ N ,n,M , N N *则称随机变量 X 的分布列C M 0 C N n MC M 1 C N n 1MC M m C N n m MC N nC N nC N n为超几何分布列 ,且称随机变量 X 服从参数 N 、M 、 n 的超几何分布注意:( 1)超几何分布的模型是 不放回抽样 ;( 2)超几何分布中的参数是 N 、M 、n ,其意义分别是 总体中的个体总数、 N 中一类的总数、样本容量解题步骤:例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏, 在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球除颜色外完全相同 .游戏者一次从中摸出 5 个球 .至少摸到 3 个红球就中奖,求中奖的概率解:设摸出红球的个数为 X, 则 X 服从超几何分布 ,其中 N 30, M10, n 5X 可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5.由题目可知,至少摸到3个红球的概率为C 103C 202 C 104C 201 C 105 C 200P(X ≥ 3) P(X 3)P(X 4) P(X 5)C 305C 305C 305≈0.191答:中奖概率为 0.191.条件概率1.定义:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率2.事件的交(积) :由事件 A 和事件 B 同时发生所构成的事件D,称为事件 A 与事件 B 的交(或作D=A ∩B 或 D=AB3.条件概率计算公式 :P(B | A)P(AB ) , P(A)0.P( A)P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间 ,求A∩B发生的概率 :P(B | A)在A发生的条件下 B包含的样本点数公在A 发生的条件下样本点数式推AB 包含的样本点数AB 包含的样本点数 / 总数导A包含的样本点数A包含的样本点数 /总数过程P(AB)P( A)若P(A ) 0,则 P( AB ) P(B | A) P(A)(乘法公式);0 P(B | A) 1.解题步骤:例题、 10 个产品中有 7 个正品、 3 个次品,从中不放回地抽取两个,已知第一个取到次品,求第二取到次品的概率 .解:设 A = { 第一个取到次B = { 第二个取到次品 } ,C321P( A)3P(AB)2..C101510所以, P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9答:第二个又取到次品的概率为2/9.相互独立事件1.定义:事件 A( 或 B)是否发生对事件 B(或 A) 发生的概率没有影响 ,这样的两个事件叫做相互独立说明(1)判断两事件 A 、 B 是否为相互独立事件,关键是看 A (或 B)发生与否对 B(或 A发生的概率是否影响,若两种状况下概率不变,则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件;相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响 .(3)如果 A 、B 是相互独立事件,则 A 的补集与 B 的补集、 A 与 B 的补集、 A 的补集与也都相互独立 .2.相互独立事件同时发生的概率公式说明( 1)使用时,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
高中数学选修2-3知识点汇编
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数学选修2-3第一章计数原理知识点必记1. 什么是分类加法计数原理?答:做一件事情,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法…在第n 类办法中有n m 种不同的方法。
那么完成这件事情共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
2. 什么是分步乘法计数原理?答:做一件事情,完成它需要n 个步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同的方法……做第n 个步骤有n m 种不同的方法。
那么完成这件事情共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法。
3. 排列的定义是什么?答:一般地,从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个排列。
4. 组合的定义是什么?答:一般地,从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的一个组合。
5. 什么是排列数?答:从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的排列数,记作m n A 。
6. 什么是组合数?答:从n 个不同的元素中任取()n m m ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的组合数,记作m n C 。
7.排列数公式有哪些?答:(1)()()()121+---=m n n n n A m n或()!m n n A mn -=!;(2)!n A nn =,规定1!0=。
8.组合数公式有哪些?答:(1)()()()!121m m n n n n C mn+---= 或()!!m n m n C mn -=!; (2)m n n m n C C -=,规定10=n C 。
9.排列与组合的区别是什么?答:排列有顺序,组合无顺序。
10.排列与组合的联系是什么?答:m m m n m n A C A ⋅=,即排列就是先组合再全排列。
高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结(K12教育文档)
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选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1。
分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别:如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理,如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理。
4。
排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数。
用符号m n A 表示(2)排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n 用于计算,或mnA )!(!m n n -=()n m N m n ≤∈*,, 用于证明.nnA =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用mn C 表示(2)组合数公式: (1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 用于计算,或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
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选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法
2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事,有n 类办法,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事,用分类计数原理,
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
(1)排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 (2)排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m
n
用于计算, 或m n
A )!
(!
m n n -=()
n m N m n ≤∈*,, 用于证明。
n
n
A =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0!=1 5.组合:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
(1)组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,用m
n C 表示
(2)组合数公式: (1)(2)(1)
!
m m n n
m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算,
或)!
(!!
m n m n C m n -=
),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
(3)组合数的性质:
①m n n m n C C -=.规定:10=n C ; ②m n C 1+=m n C +1-m n
C . ③ n C C n n n ==-11 ④1=n
n C
6.二项式定理及其特例:
(1)二项式定理()()
*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n
r r r 1
10
展开式共有n+1项,其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,
0r r ∈叫做二项式系数。
(2)特例:1
(1)1n r r
n n
n x C x C x x +=++++
+.
7.二项展开式的通项公式: r r r 1r b a C T n n -+= (为展开式的第r+1项) 8.二项式系数的性质:
(1)对称性:在()n
b a +展开式中,与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,
即m
n n m n C C -=,直线2
n
r =
是图象的对称轴. (2)增减性与最大值:当2
1
r +<
n 时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的
后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。
当n 是偶数时,在中间一项2
2n +T 的二项式系数2n n
C 取得最大值;
当n 是奇数时,在中间两项2
1n +T ,2
3n +T 的二项式系数12n n
C
-,12n n
C
+取得最大值.
9.各二项式系数和:
(1)
=+++n 21
0n n n n C C C C n 2, (2)1
5314202
-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C .
10.各项系数之和:(采用赋值法)
例:求()932y x -的各项系数之和
解:()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-
令1,1==y x
,则有()()132329
92109
-=-=++++=-a a a a y x ,
故各项系数和为-1
第二章 概率
知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i 的概率p 1,p 2,..... , p i ,......, p n ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列
4、分布列性质① p i ≥0, i =1,2,… n ;② p 1 + p 2 +…+p n = 1.
5、二点分布:如果随机变量X 的分布列为:
其中0<p<1,q=1-p ,则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布
6、超几何分布:一般地, 设总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,则它取值为m 时的概率为
为和中的较小的一个()(0,n M )m n m M N M
n
N
C C P X m m l l C --==≤≤, 7、条件概率:对任意事件A 和事件B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,叫
做条件概率.记作P(B|A),读作A 发生的条件下B 的概率 8、公式:
.
0)(,)()
()|(>=
A P A P
B A P A B P
9、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。
(|)
()P B A P B =
10、n 次独立重复试验:在相同条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,一般
就称它为n 次独立重复试验
11、二项分布: 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数设为X .如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,事件A 不发生的概率为q=1-p ,那么在n 次独立重复试验中 ,事件A
恰好发生k 次的概率是()k k n k
n P X k C p q -==(其中 k=0,1, ……,n )
于是可得随机变量X 的分布列如下:
这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 二项分布,记作X ~B(n ,p) 。
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为
则称1122()n n E X x p x p x p =++
+为离散型随机变量X 的数学期望或均值(简称为期望).
13、方差:22
21122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-+
+-叫随机变量X
的方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
15、正态分布:
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
)
,(,21
)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e x f x σμσ
π
的图像,其中解析式中的实数、μσ是参数,且0σ>,、μσ分别表示总体的期望与标准差. 期望为μ与标准差为σ的正态分布通常记作2
(,)μσN ,正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。
期望
方差
两点分布
()E X p = ()D X pq = 二项分布,X ~ B (n,p ) ()E X np = ()D X npq =
超几何分布N ,M ,n
()nM
E X N
=
16、正态曲线基本性质:
(1)曲线在x 轴的上方,并且关于直线x=μ对称.
(2)曲线在x=μ时处于最高点,并且由此处向左、右两边无限延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状.
(3)曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
17、3σ原则:
容易推出,正变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率只有 4.6%,在(3,3)μσμσ-+以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
(,)68.3%P μσμσ-+= (2,2)95.4%P μσμσ-+= (3,3)99.7%P μσμσ-+=。