巧用面积法 妙解几何题

B
EH
C
实用文档
（2）若P是等边△ABC外部一点，其他条件不
变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，
请说明理由；若不成立，请写出正确的结
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP， 由AB=BC=AC，可得正确结论：
△ABC 。
S、△△ABACD=CS，△则ADSC △ABC与S
△ADC的大小关系为
(2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S △EBC与
S平S行△四边AB形DA=BC1D的/2关S系平行为四边形ABCD
。
4.已知直线a ∥b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结
A。M、ASN、△ABMMN、=SBN△，BM则N S △AMN 与S △BMN的大小关系为
• 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容 易学，而且使几何问题变得更简捷，更有 趣味。
实用文档
温故知新
填空：
1.若。△ABC2≌5△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积为
2.已。知AD为S△△AABBDC=的S△中A线CD，则S △ABD与S △ACD的大小关系为
3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形
E
F
B DC
实用文档
变式训练
2.平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于 F，求证：BE=DF
分析：此题可以用平行四边形和 全等三角形的知识解决，但出现
A E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
两条“垂线段”，且都垂直于同
一条线段，可考虑面积法，根据
F
S平行四边形ABCD=2S △ABC=2S△ADC可得 B
C
证。
实用文档
结论:PD-PE=BF。
B
证明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E
∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP﹣S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE
∵AB=AC ∴PD﹣PE=BF 实用文档
DO Q
P
△ACE≌△DCB,则有 S△ACE =S△DCB
且AE=BD，可得CP=CQ。
A
C
B
证明：过点C作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q，
∵△ACD、△BCE是等边三角形 ∴AC=DC，EC=BC，
∠ACD=∠ECB=60° ∴∠ACE=∠DCB=120° ∴△ACE≌△DCB
∴S△ACE =S△DCB ，AE=BD ∴CP=CQ ∴OC平分∠AOB，
E
证明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF B
P
C
∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E
∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP+ S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE
∵AB=AC ∴PD+PE=BF
实用文档
C
用面积 法好简 单哟！
变式训练
1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC的 中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：DE=DF.
A
分析：此题用三角形全等可完成， 但题中出现两条“垂线段”，可考 虑面积法，连接AD，则S△ABD=S△ACD， 由AB=AC，可得DE=DF.
F
C
P
E
变式训练
3.（1）已知等边△ABC内有一点P，PD⊥AB， PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D、E、F，又 AH为△ABC的高，求证：PD+PE+PF=AH.
A
分析：考虑到题中出现了三条“垂 线段”和一条“高”，可尝试面积
DP F
法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP， 由AB=BC=AC，可得证PD+PE+PF=AH
实用文档
用面积法解几何问题常用到下列性质：
• 全等三角形的面积相等； • 三角形的中线把三角形分成面积相等的两
部分； • 平行四边形的对角线把其分成面积相等的
两部分； • 三角形的面积等于同底（或等底）等高的
平行四边形的面积的一半； • 同底（或等底）等高的三角形面积相等。
实用文档
例题讲解
• 证线段相等
实用文档
（2）若P为 △ABC的底边BC的延长线上一点，
其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗
？若成立，请说明理由；若不成立，请写出
正确的结论，并证明。
A
分析：虽然题目条件发生了变化，
但思路不变，方法不变，还是用面
积法。连接AP，根据S△ABC=S△ABP-
D
S△ACP，结合AB=AC，可得到正确的
D B
EH
PD+PF－PE=AH
P
F C
实用文档
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、AE 交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
分析：要证∠AOC=∠BOC，可证点
E
C到AO、BO的距离相等，如此就要 过C点作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q， 证CP=CQ，可考虑面积法，证
巧用面积法 妙解几何题
人教版八年级数学 上册 映山中学 严正霞
实用文档
何谓面积法
• 在求解平面几何问题的时候，根据有关几 何量与涉及的有关图形面积之间的内在联 系，用面积或面积之间的关系表示有关线 段间的关系，从而把要论证的线段之间的 关系转化为面积的关系，并通过图形面积 的等积变换对所论问题来进行求解的方法 ，称之为面积法。
例1.已知：△ABC中，∠A为锐角，AB=AC， BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：BD=CE.
A
分析：此题运用三角形全等可以解决，但考
虑到有“高” ，不妨用面积法来试试，可
用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD来完成。
E
D
B
证明：
∵ △ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴ S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD 又AB=AC ∴BD=CE
• 证线段的和差关系
例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P为底边
BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF.
A
分析：此题可构造矩形来证明，但较麻
烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可
尝试面积法。连接AP，根据
F
S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。 D