数值分析报告模拟试卷1,2,3
数值分析习题和答案解析(最新整理)
(1)
要使
应满足（）.
(2) 已知方程组
，则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=
公式（6.13）直接计算即可。
对
，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］
=( ).
(3) 设
为互异节点， 为对应的四次插值基函
数，则
＝( )，
＝( ).
(4) 设
是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为 0.565 8． 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
，显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
，再令
由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是
5.计算
取 ，利用 ：
式计算误差最小。
四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
数值分析模拟试卷(六)
3、 x n 1 x n
f ( xn ) xn ； f ( xn ) 1
5 ( m) 1 ( m1) x2 x1 3 3 m 0,1, ， 1 12 ； 7、 1 ( m1) ( m 1) x2 x1 20
8、 2 3 3 ．
，
则
|| AX ||
________________
，
Cond1 ( A) ______________________ ；
6. 用二分法求方程 f ( x) x x 1 0 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行
3
二步后根所在区间为_________________；
* *
………12 分
六、(1) 当 n 1,2,, x [1,1] 时，
Tn1 ( x) cos(n arccos x arccos x)
x cos(n arccos x) sin(n arccos x) sin(arccos x)
xTn ( x)
xTn ( x)
2
1 0, x (1,2) ， x
………4 分 ………8 分
所以方程 x ln x 4 0 在区间[1,2]内有唯一的根 x ．
2
计算 x 的牛顿格式为 x n 1
2 xn ln x n 4 ， xn 1 2 xn xn
*
因为 f ( x ) 0, f ( x ) 0, x (1,2) ，牛顿格式是收敛的．
1 2 t 2
x3 1
1 t 1 t ( )3 1 ( )3 1 1 2 2 dt 2 2 dt 1 2 1 t 1 t ( 1 t ) ( )( ) 2 2 2 2
数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析报告试卷及问题详解
模拟试卷（一）—、填空题（每小题3分，共30分）1•有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.■ 1 5 -2' ，2 .设A = -2 1 0 / x =-4_ 1 -4 2. 12 > ，则⑷J—,同广14 is 913 •已知尸心）的均差（差商）/[如,％]“] = —, f[x x yX] = — , f[x,x^x\ =—,8/ [x o,x2,x3 ] = —#那么均差 / [x4,X2^Y3]=4.已知n=4时Newton - Cotes求积公式的系数分别是：C計=[,C；“ =^,C列=丄,7 \J 1 J 1 J则C『）二5・解初始值问题＜y = f（X，y）的改进的Euler方法是.）心0）=儿阶方法；6.求解线性代数方程组＜5%| - 3X2-0.1X3 = 3-2x, + 6X2+ 0.7® = 2的高斯一S德尔迭代公式为Xj +2X2+3.5X3 = 1若取捫＞=（1,71）,则利）=7•求方程x = f（x）根的牛顿迭代格式是 ____________ .8. f0（A）, £（x）,…,仁（X）是以整数点兀），西,…,俎，为节点的Lagrange插值基函数,则1＞0（忑）= ___________ •1-010・设/（・1） = 1J（O） = OJ（1） = 1J（2） = 5 ,则/（X）的三次牛顿插值多项式为 __________________ ，其误差估计式为______________________ .二.综合题（每题10分，共60分）1 .求一次数不超过4次的多项式“(X)满足："⑴=15 , "(1) = 20 , /「(1) = 30 p(2) = 57 , p‘⑵= 72.其代数精度.3 .用Newton法求方程x-Inx = 2在区间(2,s)的根要求忙 #I <10-8. 1^14・用最小二乘法求形如y = a + hx2的经验公式拟合以下数据：5・用矩阵的直接三角分解法解方程组y f = f(\ y)6试用数值积分法建立求解初值问题•小、丿的如下数值求解公式卜(0)=儿儿+1 = y»-i + - (£+1 + 4人 + A-i)，其中ft = /(兀,X), i = n-1,”，n + \.三.证明题(10分)设对任意的;V ,函数/(X)的导数广w都存在且0v/S广(QSM,对于满足2OvQv三的彳壬意几，迭代格式仏严九一兄/(忑)均收敛于/(%) = 0的根x・参考答案—s填空题1.5;2. & 9;3. — ;4. 一 ; 5•二;1545尤严)=(3 + 3 时)+o.lxf )/5 6. < 垮刖=(2 + 2屮初 _0.7歧))/6 ,(0.02,0.22,0.1543)£Z=(l — x ；Z —2x ；z)*2/7 • ■7・汕=入 _；二：］8-厂；° 以3) vl;10. —.V + x" —x, f (f)(x + 1)X (A * — l)(x — 2)/ 24 c s (—1,2) 6 6二综合题1・差商表：p{x) = 15 + 20(x -1) +15(x -1)2 + 7(x -1)' + (x - l)3(x - 2) = 5 + 4x + 3x 2 +2x 3+x其他方法：设 p(x) = 15 + 20(x 一 1) +15(x -1)2 + 7(x 一 1尸 + (x -1)3 (ax+b) 令 “(2) = 57 r⑵=72 ,求出 a 和b.2・取f(x) = 1, x ,令公式准确成立，得：2809I寸Eomom寸COMN CM"61II -二比三Eds H e•寸心Ix 三Ix H(X)J®Y寸・0)叵凶股皿眉•巾卑◎—€□((s 叵凶田ss H m ・m.^n s s gs ...寸r I S寸"H -WPQ 石 X H (X)： iH p -W ^gH<+<1・ I H<+<-0-£3启孑刃咲&讯篠世迎ffl®議・s•§38.O H ^・zzr,肖6・0口9去监s §s .o「991寸In -11解下三角方程组;有” =5 ,匕=3 ,1 >'23 2 1 V3171 0 17解初值问题等价于如下形式y （x ）=y （兀1）+匸几不）'，取 Y =耳+i ，有 y(©+i ) = yCji)+「z fa 、y(x)\ix f 利用辛卜森求积公式可得儿+严畑+ g （/；1+1 + 4/；_ + /；,_.）.三.证明题 证明 将 f(x) = 0 写成 x = x-/Lf(x) =(p(x) t 由于 ^(x) = [x-2/(x)r = l-2/r (x),所以 10(力曰1 一/lf(x)lvl 所以迭代格式札| =忑- A fM 均收敛于/(x) = 0的根F ・模拟试卷（二）一.填空题（每小题3分，共30分）1 .分别用2.718281和2.718282作数〔的近似值，则具有效位数分别有 _______ 位和再解上三角方程组得原方程组的解为“ 10 2 0'丁1 0 1 v 23 2 1兀362. 兰4.4=1 t = 1 t X3 =2 t X4 = 2 ・10 -2"2 .设4 =1 1 0 ■ x = 33-821>?3 =6，>4 =4・位；3•对于方程组Jacobi迭代法的迭代矩阵是G,=〔10刁-4七=3 J4.设f(jv) = H+x_l，则差商/[0,1,2,3]= _______________ , /[0, 1, 2, 3,4]= _________ •1 25・已知A=() ] f贝ij条件数Co认(A) ______________ ・6.为使两点的数值求积公式[f(x)dx = f(x0) + /(x,)具有最高的代数精确度,则具求积基点应为X。
最新(完美版)数值分析模拟试题
数值分析模拟试题4解答一、 填空题(每小题3分，共15分)1.41102-⨯ . 2. 123,1σσ== 3. 0.002 4. 120 5. 23346101(1)(1)y x x x =+++--- 二、（10分) 解：（1）因32()()f x x a =-，故'23()6()f x x x a =-。
由Newton 迭代公式：1'(),0,1,2,()k k k k f x x x k f x +=-=得 321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k kx a ax x x k x x a x +-=-=+=-（2）上述迭代格式对应的迭代函数为25()66a x x x ϕ=+，于是'35()63ax x ϕ-=-，又*x ='*35511()163632a x ϕ-=-=-=<且0≠，故此迭代格式是线性收敛的。
15(1)(2,1,2),(3,0,0),(5,1,2)125510105101121512514215151102410211331410510110551421115010211T T T T T x y u x y uu H I u uHA R Q H =-==-=----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦三（.分）解:0法一：111111105331411(2)514,,1511051021/3263187,,17/1522575TTQ R Q R x b R x Q b x -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11111111111222(1)(2,1,2),(3,0,0),(1,1,2)11122121121112122331224221331413114(14/11,3/11,4/11),(14/11,5/11,0T T TT T T x y u x y u u H I u u H A A x y =-=-=-=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-=-法00二：22222222121),(0,8/11,4/11)10005001121084034551042043105103314115142,05151110211001051(2)51415102T T T T T u x y u u H I u u Q H H R Q A Q =-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎢=--⎢-⎣1111133141,,110551263187,,151722575TTR Q R x b R x Q b x ⎤-⎡⎤⎥==⎢⎥⎥-⎣⎦⎢⎥⎦-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦123433012333133.15:,,,()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250,,,,()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54(1.5)(1.5)((4x x x x N x x x x x x x N x x x x N x x x x x x x N R f N N =+-+------==+--+--=-=-≈四（分）解以为节点利用Newton 插商得到以为插值节点得到于是事后误差估计为31.5)(1.5)) 1.1719N -=五、(15分)解：（1）设221100()()()x x k x k x ϕϕϕ=++ 则利用2()x ϕ和01(),()x x ϕϕ的正交性得14201012001,()3(),()5x dx x x k x x x dxϕϕϕ--<>=-=-=-<>⎰⎰15211114111,()0(),()x dxx x k x x x dxϕϕϕ--<>=-=-=<>⎰⎰故222033()()55x x x x ϕϕ=-=- （2）首先做变量代换12x t =，将区间从11[,]22-变换到[-1，1]，则()()2tf x x F t=== 对()2t F t =，取20123()1,(),()5t t t t t ϕϕϕ===-，有 1132001011220010121111411115322212122222112(),()342(),()8232(),()0(),()33()()525(),()(),()3()5t t dtt dt F t t c t t t dt t dttt tdt F t t c t t t dtt t t d t t dt F t t c t t t t dt ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------⋅<>=====<>⋅⋅<>===<>-⋅⋅-<>===<>⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1164220632(())551335620163962()72525t t t t dt---==-+⎰⎰所以20011223353()()()()()8965s t c t c t c t t ϕϕϕ=++=+- 故()f x x =在11[,]22-上的二次最佳平方逼近多项式2355()2432s x x =+。
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
数值分析题库及标准答案
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-r x, 则(1)=rx .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 .8．01(), (),, ()n x x x l l L l 是以整数点01, ,, ,n x x x L 为节点的Lagrange 插值基函数，则()nk jk k x x =∑l= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<;10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=, 011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=. 3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
哈工大研究生数值分析试题与答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题与答案---WORD 格式--可编辑--1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+2()328f x x x '=--()62f x x ''=-(3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代： 3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+ 2001023634x x x x ++==+ 2112123634x x x x ++==+ 2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+ 10210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ?=--=-- ? ? ? ? ? ???????112a b g a b -???? ? ?= ? ? ? ?a谱半径：()1JBaρ=<时Jacobi迭代收敛故：a>3. 设（1）⽤Crout三⾓分解法求解⽅程组1232325xx?=??；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
数值分析试卷
数值分析考试题（一） 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nna a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1） 若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作 )2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B xk k （3） 则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。
(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。
2、记*x x e k k -=，若0lim1≠=+∞→c ee pk k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】(A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。
3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、 )()(1kx f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x xfxf xf k i k i k i ∂∂+=+ (D)、 )()()()1(k k k x f x x-=+二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商=]1,0[f ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、 用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。
三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。
数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的（2）运行Newton.m可见，在（−1，−δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3。
最新(完美版)数值分析模拟试题 (7)
数值分析模拟试题3解答一、 填空题(每空3分，共15分)1. n , 2n+1 .2. (1)(1)!n n -+3. [1,2,3,4,5]2f =4. ,,,,n n n n Lx b L R x R b R ⨯=∈∈∈解其中为下三角阵二、 简单计算题(每小题6分，共18分)12/33232/3T T uu H I u u ⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而所求变换阵为111100002/330032/3IH H ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 2. 解：1232,7,2,26TT A A A A σσ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦的特征值为，122()cond A σσ==3. 解：100211210010111002A LU -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦211111.121(,)(,)(,),111(1,1,1),(,,)222A AT TA A x y x y x Ay A xx v u v v ε=======-==-三（分）解法：由对称正定可定义两向量的内积为进而引入向量的范数:于是有22211111(,)(2,1,0)2(,,)(1,0,1)222T T T v u u A εε=-=--=222T v v ε==(2,,3,(3,0),(5,T T Tx y u x y 1.解:令σ=-=-==-=-33311322(,)(,)1111(0,1,1)(,,)22223(1,1,1)4T T TTv u u A u A εεεε=--=---=-333111(,,)222Tv v ε==-123,,εεε即为所求向量组。
11.12(1,1,1),T v u ==-三（分）解法2：21221112(,)4,1(,)4(2,1,0)(1,1,1)(1,0,1)T T T u Av v u v v Av v λλ=+=-=-=-=--=其中故31323311221211223(,)(,)11,,,(,)4(,)2113(0,1,1)(1,1,1)(1,0,1)(1,1,1)424T T T Tu Av u Av v u v v v Av v Av v λλλλ=++=-=-=-=-=---=-其中故123,,v v v 即为所求向量组。
最新(完美版)数值分析模拟试题 (5)
数值分析模拟试题2解答一、 填空题(每小题3分，共15分)1. a = 3 , b = 3 , c = 0 .2.()nkk klx x ==∑ 3. 不稳定4. [1,2,3,4,5,6]0f =5. ,,,m n n m y Ax y A R x R y R ⨯=+∈∈∈ 二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 三、 1解：2. 解：1121513A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1111()414cond A A A -==⨯=。
3. 解：令()1f x =，左=右=1； ()f x x =，左=右=1/2； 2()f x x =，左=右=1/2； 3()f x x =，左≠右； 故求积公式的代数精度为2。
三、（12分）解、设123(,,)A u u u =，123(0,2,0),(2,1,2),(0,2,1),T T T u u u ===11111(0,2,0),/(0,1,0),T T v u v v ε====2221121222(,)(2,0,2),/T T v u u u v v εεεε=-=-===，434tan ,cos ,sin 35510003/54/504/53/5x C S G θθθ=======⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦333113223121(,)(,)2(1,0,1)2T v u u u u εεεεε=--=-=-，333/1,0,1)T v v ε==-于是可得11212212322u u u εεε⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=++⎪⎩即21201/1/10001/01/001/A QR ⎡⎡⎤-⎢⎢==⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣四、（10分）解：依题目可设11H()()()x h x h x =+2'2111'121'2211'121()(),()2(),(1)1,23(1)2()0,()(23)()(1),()(32),(1)1()(1)h x x ax b h x x ax b ax h a b a b h a b a h x x x h x x x h x x x h h x x x λλλ=+=++=+=⎧=-⎧⎪⎨⎨==++=⎪⎩⎩∴=-+=-=-==∴=-令由解得令由从而222311()()()(23)(1)2H x h x h x x x x x x x =+=-++-=- 五、 (10分)解：将01(),()f x f x 分别于2x 处作Taylor 展开，可得2302221231222248()()2'()''()'''()(1)23!()()'()''()'''()(2)23!h h f x f x hf x f x f h h f x f x hf x f x f ξξ=-+-=-+-（1）-4*（2）除以2h 并化简，可得2(3)0122()4()3()'()()23f x f x f x h f x f h ξ-+≈+六、(10分)解：1111011(1111()()2222tf t f x dx f dt ---++===⎰⎰⎰⎰))23(1)2231()21()23(1)2231((622--++-+≈f f f π12220111111122(()())622422960.3600x dx ππ+-≈⨯++⨯=≈⎰故 七、(15分)解：设所求曲线为12()()()s x a x b x ϕϕ=+，其中212(),()x x x x ϕϕ==12000.2110.5,,,24 1.039 1.2Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ=Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则法方程为1112121222(,)(,)(,)(,)(,)(,)Y a Y b ΦΦΦΦΦ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ΦΦΦΦΦ⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1436 6.1,369815.3a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得0.61840.0711a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦于是所求曲线为2()0.61840.0711s x x x =-。
数值分析报告模拟试卷1,2,3
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
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数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分）1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________.2 设Λ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=1)(dx x xqk________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+， （1） 证明R x ∈∀0均有•∞→=x x n x lim （•x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ，（1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Ax a x xk k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A是对称的且非奇异.设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。
已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L ，U 。
(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项。
（12分）线性方程组⎩⎨⎧=+=-22112122b x x b x x ρρ（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。
（2） 设2=ρ，给定松弛因子21=ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论收敛性。
五、（7分）改写方程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。
七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式具有的代数精度； （3） 用所求公式计算⎰12dx x。
八、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---=Λ互异，求],,,[10p x x x f Λ的值，这里.1+≤n p数值分析模拟试卷3一、填空题（每空3分，共30分）1． 设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[81Λf ；2．在用松弛法(SOR)解线性方程组b Ax =时，若松弛因子ω满足1|1|≥-ω，则迭代法 ；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,用Newton 迭代法求21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求12=x 具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确；7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 的插值多项式为_____________ ；8. 利用抛物(Simpson)公式求⎰212dx x = 。
二、（14分）已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积； (2) 给出A 的选主元的Doolittle 分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=。
三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项。
四、（10分）证明对任意的初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于方程x x cos =的根，且具有线性收敛速度。
五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
（可用数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ） 六、(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n Λ的三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110ΛΛn x T x xT x T x x T x T n n n （2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分dx x x x I ⎰--=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。
七、（10分）验证对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=∀+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 一、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．⎪⎩⎪⎨⎧≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii二、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R 三、（1）32=L ;（2）347.3≈•x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型的. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==GS J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2一、1．22．),1,0()()(1Λ='-=+n x f x f x x n n n n 3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 1 8. 是, 1二、(1) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、 )2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ 四、(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ 时收敛(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛 五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 八、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 一、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1Λ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31Λ='-=+n x f x f x x n n n n 5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 二、(2) 先交换2、3两行，交换1、2两行，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ 五、10512p p + 六、1=n ，2π。