量子力学试题
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量子力学试题（一）及答案
一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中
()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0
,0
中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212
1
31210,ϕϕϕψ+-=
状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；
（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为
()x
a n a x n n ma E n n π
ϕπsin 2,3,2,1 ,222
2
2===
（1） 首先，将()0,x ψ归一化。由
12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为
13
12
=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113
31341360,ϕϕϕψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13
3 ;13
4 ;136321===
E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为
()()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ
（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱
()⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00
,0
.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2
V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02
<-
=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03
21
其中，
E m V E m k 2 ;)
(20=
+=
α
在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()()
a a a a '3
'
2
32ψψψψ==
得到
()()
a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin
于是有
α
k
ka -=tan
此即能量满足的超越方程。
当02
1
V E -=时，由于
1tan 00
0-=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ mV mV a mV
故
4
0π
π-
=n a mV
， ,3,2,1=n
最后，得到势阱的宽度
0 41mV n a π⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
三.（20分）设厄米特算符H
ˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符
()n
m n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]
n m U H
,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；
（3） 计算迹(){}
n m U
,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为n
m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U
A A n
m mn ,ˆˆ,∑= (){}
q p U A
A pq ,ˆˆTr +=
解：
（1）对于任意一个态矢ψ，有
()[
]()(
)(
)(
)()(
)ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U
E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H
n m U H
n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=
故
()[]
()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为
(){}
(
)mn
m n k n k
m k
k
k
k n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆTr
（4）算符
()n m U
A A A A n
m mn n
n m n
m m m m
m ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ
而
(
)(){}
q p U A
q p U A A A A A k
k
k k
k p q k
q
k k
k p q p pq ,ˆˆTr ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 四. （20分）自旋为
21
、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2
=x s 的状态，
（1） 求出0>t 时的波函数；
（2） 求出0>t 时x s
ˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。