因式分解公式法、十字相乘法教师版

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(完整版)十字相乘法因式分解讲义2

课题因式分解十字相乘法1、认识因式分解的意义。

教课目的2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。

要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

要点、难点难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教课内容一、概括定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学问题的有力工具。

因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。

学习它，既能够复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综合剖析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在比赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要完全2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）十字相乘法分解因式1．二次三项式（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同样，多项式 (x ) 27()12，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y2．十字相乘法的依照和详细内容(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)方法的特点是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )它的特点是“ 拆两端，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例 1把以下各式分解因式：(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．例 2把以下各式分解因式：(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．例 3把以下各式分解因式：1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．例 5分解因式6x45x338 x25x6．例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．试一试：把以下各式分解因式：(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2课后练习一、选择题1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 63．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 24．不可以用十字相乘法分解的是()A ．x2x2B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)206．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m6__________．(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．11．a2n a(_____)(________) 2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把以下各式分解因式：(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．15．把以下各式分解因式：(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。

因式分解章节复习(基础,教师版)

因式分解训练知识点1：因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.知识点2：提取公因式法把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表示为：()ma mb mc m a b c ++=++注意：（i ）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（ii ）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.（iii ）提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列. 提取公因式的步骤“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.知识点3：运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.（ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.（ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，清楚a 、b 分别表示的量。

第13讲-因式分解之十字相乘法-教案

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
【答案】B
例8、把多项式因式分解是，则m、n的值分别是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【试一试】整式能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有（）
（A）4个.（B）5个.（C）6个.（D）8个.
【答案】C
课堂作业
1．若能分解成两个一次因式的积，且m为整数，则m不可能是( )D
【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：1＝1×1；
分解常数项：6=1×6=6×1=(－1)×(－6)=(－6)×(－1) =2×3=3×2=(－2)×(－3)=(－3)×(－2).
【答案】（1）6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5)；（2）5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y)
（3）(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
【说明】把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1×3+2×1=5
1×1+2×3=7
1×(－3)+2×(－1)=－5
1×(－1)+2×(－3)=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
【答案】2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).

因式分解公式法、十字相乘法-教师版

2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

初二下册因式分解公式法、十字相乘法

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。

思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。

北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪

分解因式-十字相乘法一. 十字相乘法1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。

2. 规律内涵:(1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.3. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.二．分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4，故选D2．计算结果为x2+7x﹣18的是（）A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6）解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B．3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．5．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）A．m=﹣2，n=5 B．m=2，n=5 C．m=5，n=﹣2 D．m=﹣5，n=2解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．故选C6．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+4）解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；B、x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；C、3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；故本选项错误；D、2x+4=2（x+2）；故本选项错误．故选B．7．把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）A．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x﹣y+1） D．（x﹣y+1）（y﹣x+1）解：原式=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）故选A8．多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）A．（a﹣c）（a+b+c）B．（a﹣c）（a+b﹣c）C．（a+c）（a+b﹣c）D．（a+c）（a﹣b+c）解：原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）故选A9．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）B．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）C．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y+1）D．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x+y）2﹣1=（2x+y+1）（2x+y﹣1）解：4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）．故选；A．10．下列分解因式正确的是（）A．（x+y）（﹣y）=x﹣y2 B．x2﹣3=（x+1）（x﹣1）﹣2C．a2+b2﹣2ab+1=（a﹣b）2+1 D．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2解：（A）等式右边还是多项式，故A错误；（B）等式右边不是整式乘积的形式，故B错误；（C）等式右边不是整式乘积的形式，故C错误；（D）等式左边是一个多项式，右边是乘积形式，故选D11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣3），∴a=1﹣3=﹣2，b=﹣3×1=﹣3，故选：B．12．下列多项式变形不正确．．．的是（）A．a2﹣4a+3=（a﹣2）2﹣1 B．a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）C．a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3） D．a2﹣4a+3=（a﹣）2﹣a解：A、a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1，故本选项不符合题意；B、a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3），故本选项不符合题意；C、a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3），故本选项不符合题意；D、a2﹣4a+3=a2﹣4a+（）2+2a﹣2a=（a﹣）2﹣（4+2）a，故本选项符合题意；故选：D．13．将多项式x2﹣3x﹣4分解因式后正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）﹣3x B．x（x﹣3）﹣4 C．（x﹣1）（x+4）D．（x+1）（x﹣4）解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．故选D．14．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解：下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），故选C15．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则mn的值为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10解：由x2+mx﹣15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，比较系数，得m=3+n，﹣15=3n，解得m=﹣2，n=﹣5，则mn=（﹣2）×（﹣5）=10．故选：C．16．下列因式分解中正确的是（）A．m2﹣n2=（m﹣n）2 B．3m2﹣6m﹣9=3（m﹣3）（m+1）C．x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2 D．x2﹣3x﹣4=（x+4）（x﹣1）解：A、原式=（m+n）（m﹣n），不符合题意；B、原式=3（m2﹣2m﹣3）=3（m﹣3）（m+1），符合题意；C、原式=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2，不符合题意；D、原式=（x﹣4）（x+1），不符合题意，故选B17．下列因式分解错误的是（）A．3x2﹣6xy=3x（x﹣2y） B．x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y）C．4x2+4x+1=（2x+1）2 D．x2﹣y2+2y﹣1=（x+y+1）（x﹣y﹣1）解：A、3x2﹣6xy=3x（x﹣2y），正确，不合题意；B、x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y），正确，不合题意；C、4x2+4x+1=（2x+1）2，正确，不合题意；D、x2﹣y2+2y﹣1=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故此选项错误，符合题意；故选：D．18．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（）A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）解：x2﹣y2+（2x+2y）=（x+y）（x﹣y）+2（x+y）=（x+y）（x﹣y+2），故选：A．19．能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A．xy﹣2x+3y﹣6 B．xy﹣3y+2x﹣y C．﹣6+2y﹣3x+xy D．﹣6+2x﹣3y+xy解：（x+2）（y﹣3）=xy﹣3x+2y﹣6．故选：C．20．下列各式按如下方法分组后，不能分解的是（）A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx） B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）C．（x2﹣y2）+（ax+ay）D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）解：A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx）=2a（x﹣5y）+b（5y﹣x）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）=x（2a﹣b）+5y（b﹣2a）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；C．（x2﹣y2）+（ax+ay）=（x+y）（x﹣y）+a（x+y）=（x+y）（x﹣y+a），故此选项不合题意；D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）=x（x+a）﹣y（y﹣a），无法分解因式，符合题意．故选：D．基础演练1．若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（）A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12∴m=﹣8故选C2．下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2 D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．3．若把多项式x2+mx﹣6分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．3解：设x2+mx﹣6=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，可得m=a﹣2，2a=6，解得：a=3，m=1，故选B．4．下列各等式中正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2） D．（a m）n=a m+n解：A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2），故此选项正确；D、（a m）n=a mn，故此选项错误；故选：C．5．下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2=5a（2a2+a）B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）解：A、10a3+5a2=5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．6．多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（）A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x﹣5）（x﹣6）D．（x+5）（x+6）解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．7．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．8．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数D．非正数解：多项式m3﹣m2﹣m+1，=（m3﹣m2）﹣（m﹣1），=m2（m﹣1）﹣（m﹣1），=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．9．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）解：x2y2﹣y2﹣x2+1=y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）=（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．10．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（b﹣1）B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．巩固提高11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3，故选A12．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．13．若多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，则满足条件的整数p共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，∴p=±13，±8，±7，共6个，故选C14．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）解：A、原式不能分解，错误；B、原式=（x﹣1﹣）（x﹣1+），错误；C、原式=x（2x﹣y﹣1），错误；D、原式=（x+2）（x﹣3），正确．故选D．15．下列运算正确的是（）A．×= B．•=1C．﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D．（﹣a）7÷a3=a4解：A、原式=2×=，错误；B、原式=|a﹣b|•=1或﹣1，错误；C、原式=（1﹣x）（2x+5），正确；D、原式=﹣a4，错误．故选C．16．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D17．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）解：x2﹣m2+4mn﹣4n2=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）=x2﹣（m﹣2n）2=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．故选：B．18．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（）A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）C．（x+y﹣3）（x﹣y） D．（x﹣y+3）（一x﹣y）解：x2﹣y2+3x﹣3y=（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+3）．故选：A．19．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．20．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x），正确；C、ax+x+ay+y=（ax+ay）+（x+y）=（a+1）（x+y），正确；D、﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2结果不是积的形式，故本选项错误．故选D．1．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C．12 D．﹣12解：∵x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3）=x2﹣（m+3）x+3m，∴m+3=1，﹣n=3m，解得：m=﹣2，n=6，则mn=﹣12．故选D2．若x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3），则p﹣q的值为（）A．5 B．7 C．﹣7 D．﹣5解：∵x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∴﹣p=1，q=﹣6，解得：p=﹣1，q=﹣6，则p﹣q=﹣1+6=5，故选A．3．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解；∵x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），∴只有选项C正确．故选；C．4．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．故选D．5．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）解：a2﹣b2+2b﹣1=a2﹣（b2﹣2b+1）=a2﹣（b﹣1）2=（a﹣b+1）（a+b﹣1）．故选：D．6．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）2解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；B、原式=（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；C、原式=（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；D、原式=（a﹣1）2，故本选项错误；故选：C．7．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．8．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，∴b=﹣2，c=﹣3．故选：C．9．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2﹣2y+1）=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选B．10．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．1．分解因式x2﹣4x﹣5正确的是（）A．（x﹣5）（x+1）B．（x+5）（x﹣1）C．（x﹣5）（x﹣1）D．（x+5）（x+1）解：x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．故选：A．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正确；C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；D、没有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．3．多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含下列哪个因式（）A．2x+1 B．x（x+1）2C．x（x2﹣2x）D．x（x﹣1）解：2x（x﹣2）﹣2+x=2x2﹣3x﹣2=（x﹣2）（2x+1）．所以多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含因式（x﹣2）或（2x+1）．故选：A．4．已知（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）可分解因式为（3x+a）（x﹣b），其中a、b均为整数，则3a+b的值为（）A．﹣6 B．3 C．9 D．﹣3解：∵（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）=（3x﹣2）（2x﹣9﹣x+6）=（3x﹣2）（x﹣3），∴a=﹣2，b=3，∴3a+b=3×（﹣2）+3=﹣3．故选D．5．若多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+4），则abc的值为（）A．﹣16 B．16 C．8 D．﹣8解：根据题意得：ax2+bx+c=（x﹣2）（x+4）=x2+2x﹣8，∴a=1，b=2，c=﹣8，则abc=﹣16．故选A6．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1解：原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．故选C．7．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y）C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）D．1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b）解：A.15a2+5a=5a（3a+1），故此选项错误；B．﹣x2﹣y2两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y），故此选项错误；D.1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．8．下列式子中，因式分解错误的是（）A．a2﹣bc+ac﹣ab=（a﹣b）（a+c） B．ab﹣5a+3b﹣15=（b﹣5）（a+3）C．x2﹣6xy﹣1+9y2=（x+3y+1）（x+3y﹣1） D．x2+3xy﹣2x﹣6y=（x+3y）（x﹣2）解：A、a2﹣bc+ac﹣ab=（a2﹣ab）+（ac﹣bc）=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），故本选项正确；B、ab﹣5a+3b﹣15=（ab﹣5a）+（3b﹣15）=a（b﹣5）+3（b﹣5）=（b﹣5）（a+3），故本选项正确；C、x2﹣6xy﹣1+9y2=（x2﹣6xy+9y2）﹣1=（x﹣3y）2﹣1=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1），故本选项错误；D、x2+3xy﹣2x﹣6y=（x2+3xy）﹣（2x+6y）=x（x+3y）﹣2（x+3y）=（x+3y）（x﹣2），故本选项正确．故选C．9．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2=﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c）解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y=（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c），正确．故选B．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3解：x2+ax+b=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，故a=2，b=﹣3，故选：B．12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣6 B．a=5，b=6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，故选：A．13．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2解：根据题意得：x2+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，则a=1，b=﹣2，故选B14．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．5解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）=（x+2）（2x﹣1﹣2）=（x+2）（2x﹣3），∴m=2，n=﹣3．∴m﹣n=2﹣（﹣3）=5．故选D．15．下列四个等式中错误的是（）A．1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B．1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C．1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D．1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）解：A、1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）+（﹣b+ab）=（1﹣a）﹣b（1﹣a）=（1﹣a）（1﹣b），故本选项不符合题意；B、1+a+b+ab=（1+a）+（b+ab）=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b），故本选项不符合题意；C、∵（1﹣a）（1+b）=1﹣a+b﹣ab≠1﹣a+b+ab，∴错误，故本选项符合题意；D、1+a﹣b﹣ab=（1+a）+（﹣b﹣ab）=（1+a）﹣b（1+a）=（1+a）（1﹣b），故本选项不符合题意．故选C．16．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2+2y+1），=x2﹣（y+1）2，=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．17．分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A．（a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c） B．（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C．（a+b﹣2c）（a﹣b+2c） D．（a+b+2c）（a﹣b+2c）解：a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣（b2﹣4bc+4c2），=a2﹣（b﹣2c）2，=（a﹣b+2c）（a+b﹣2c）．故选C．18．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．故选：B．。

初中数学：十字相乘法-教师版

1 / 17十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如2x px q ++这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．十字相乘法知识结构知识精讲内容分析2/ 17【例1】如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（）． A ．abB ．a b +C ．ab -D ．()a b -+【难度】★ 【答案】D【解析】22()()()x a x b x a b x ab x px q ++=+++=-+．【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【例2】不能用十字相乘法分解的是（） A ．22x x +-B ．23103x x -+C ．22568x xy y --D ．242x x ++【难度】★ 【答案】D【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1，判断出D ．【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数．【例3】分解因式：（1）256x x ++；（2）256x x -+．【难度】★【答案】（1）(3)(2)x x ++；（2）(3)(2)x x --．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例4】分解因式：（1）2712x x -+；（2）2412x x --；（3）2812x x ++；（4）21112x x --．【难度】★【答案】（1）(3)(4)x x --；（2）(6)(2)x x -+；（3）(6)(2)x x ++；（4）(12)(1)x x -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．例题解析【例5】 m 为下列各数时，将关于x 的多项式242x mx +-分解因式．（1）1m =-；（2）19m =．【难度】★【答案】（1）(6)(7)x x +-；（2）(21)(2)x x +-．【解析】（1）242(7)(6)x x x x --=-+；（2）21942(21)(2)x x x x +-=+-．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例6】分解因式：（1）212x x +-；（2）222064xy y x -++．【难度】★★【答案】（1）(3)(4)x x -+-；（2）(16)(4)x y x y --．【解析】（1）原式=2(12)(3)(4)x x x x ---=-+-；（2）原式=222064(16)(4)x xy y x y x y -+=--．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例7】分解因式：（1）22815a ab b ++；（2）22752500x y xy --．【难度】★★【答案】（1）(5)(3)a b a b ++；（2）(100)(25)xy x -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例8】分解因式：（1）322718a a b ab +-；（2）3223246xy x y x y --．【难度】★★【答案】（1）(9)(2)a a b a b +-；（2）2(3)()xy y x y x -+．【解析】（1）原式22(718)(9)(2)a a ab b a a b a b =+-=+-；（2）原式222(23)2(3)()xy y xy x xy y x y x =--=-+．【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式．【例9】分解因式：（1）432654a a a --；（2）642244379a a b a b -+．【难度】★★【答案】（1）2(34)(21)a a a -+；（2）2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b +-+-．【解析】（1）原式222(654)(34)(21)a a a a a a =--=-+；（2）原式2422422222(4379)(4)(9)a a a b b a a b a b =-+=--2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b =+-+-．【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解为止．【例10】分解因式：()()22141m m m ---．【难度】★★【答案】2(1)(2)m m --．【解析】原式()()2222141(1)(44)(1)(2)m m m m m m m m =---=--+=--．【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止．【例11】分解因式：()2222abcx a b c x abc +++．【难度】★★【答案】()()abx c cx ab ++．【解析】原式()()abx c cx ab =++．【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．【例12】分解因式：（1）4245x x +-；（2）42224x x --．【难度】★★【答案】（1）2(1)(1)(5)x x x -++；（2）22(6)(4)x x -+．【解析】（1）原式222(1)(5)(1)(1)(5)x x x x x =-+=-++；（2）原式22(6)(4)x x =-+．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例13】分解因式：（1）()()229210x y x y ----；（2）()()2214248a b a b +-++．【难度】★★【答案】（1）(210)(21)x y x y ---+；（2）(26)(28)a b a b +-+-．【解析】直接利用十字相乘法，其中把括号内2x y -与2a b +看作整体即可．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例14】分解因式：（1）()22234x x --；（2）()2229x x --．【难度】★★【答案】（1）(3)(1)(3)(1)x x x x -++-；（2）2(3)(1)(23)x x x x -+-+．【解析】（1）原式22(32)(32)(3)(1)(3)(1)x x x x x x x x =---+=-++-；（2）原式22[(2)3][(2)3](23)(23)x x x x x x x x =---+=---+2(3)(1)(23)x x x x =-+-+．【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例15】分解因式：（1）()()2221760x x x x +-++；（2）()()2222728x x x x +-+-．【难度】★★【答案】（1）2(4)(3)(5)x x x x +-+-；（2）2(4)(2)(1)x x x +-+．【解析】（1）原式222(12)(5)(4)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-=+-+-；（2）原式222(28)(21)(4)(2)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例16】分解因式：（1）()()2222222x x x x ----；（2）()()211a b ab +-+．【难度】★★【答案】（1）2(2)(1)(22)x x x x -+--；（2）22(1)(1)a ab b ab +-+-．【解析】（1）原式222(22)(2)(2)(1)(22)x x x x x x x x =----=-+--；（2）原式2222()()1[()1][()1](1)(1)ab a b a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-=+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例17】分解因式：()()()()222222261561121x x x x x x ++++++++．【难度】★★★【答案】229(41)(1)x x x +++．【解析】原式2222[2(61)(1)][(61)2(1)]x x x x x x =++++++++ 22(3123)(363)x x x x =++++ 229(41)(21)x x x x =++++229(41)(1)x x x =+++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意合并同类项与因式分解要彻底．【例18】已知：关于x 的多项式()22124x m x -++可以在有理数范围内分解因式，求m的值．【难度】★★★【答案】1234567813159111213562222m m m m m m m m ==-==-==-==-，，，，，，，．【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得2421ab a b m =+=+，，根据ab 是有理数，可得11124a b =⎧⎨=⎩，112m =；22124a b =-⎧⎨=-⎩，213m =-； 33212a b =⎧⎨=⎩，3132m =；44212a b =-⎧⎨=-⎩，4152m =-； 5538a b =⎧⎨=⎩，55m =； 6638a b =-⎧⎨=-⎩，66m =-； 7746a b =⎧⎨=⎩，792m =；8846a b =-⎧⎨=-⎩，8112m =-．【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．【例19】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，8/ 17求它的面积. 【难度】★★★ 【答案】152cm ．【解析】由长方形周长为16cm ，∴8x y +=． ∵22220x y x xy y --+-+=，∴2()()20x y x y --+-+=．因式分解，得：[()2][()1]0x y x y ----+=，即(2)(1)0x y x y ---+=．∴208x y x y --=⎧⎨+=⎩或者108x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得：2112752392x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或者． ∵x ，y 是整数， ∴35x y ==，．∴该矩形的面积为152cm ．【总结】利用因式分解以及根据周长求出边长再求面积，考察学生对题中条件的运用和分析能力．随堂检测师生总结十字相乘法的基本步骤和方法是什么？【习题1】如果()22530x a b x b x x ++⋅+=--，则b 为（）A ．5B ．6-C ．5-D ．6【难度】★ 【答案】B【解析】∵1530a b b +=-=-，，∴6b =-．【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【习题2】填空题：已知：()()256m m m a m b --=++，a =__________，b =__________．【难度】★【答案】61a b ==-，或16a b =-=，．【解析】256(6)(1)m m m m --=-+，所以61a b ==-，或16a b =-=，．【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【习题3】m 为下列各数时，将关于x 的多项式236x mx ++分解因式．（1）20m =；（2）13m =-．【难度】★【答案】（1）(18)(2)x x ++；（2）(9)(4)x x --．【解析】（1）22036(18)(2)x x x x ++=++；（2）21336(9)(4)x x x x -+=--．【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【习题4】分解因式：（1）2820x x +-；（2）2524x x --；（3）21227x x ++；（4）2812x x -+．【难度】★【答案】（1）(10)(2)x x +-；（2）(8)(3)x x -+；（3）(9)(3)x x ++；（4）(6)(2)x x --．【解析】直接利用十字相乘法即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【习题5】将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有（）．①21x -；②2242x x -+； ③232x x ++；④256x x --； ⑤2224x x --； ⑥256x x --． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★★ 【答案】A【解析】①原式(1)(1)x x =+-； ②原式22(1)x =-； ③原式(2)(1)x x =++；④原式(6)(1)x x =-+；⑤原式(6)(4)x x =-+；⑥原式(8)(7)x x =-+．故包含因式1x -的多项式只有①和②．【总结】本题主要考查因式分解的综合运用．【习题6】填空：当k =______时，多项式237x x k +-有一个因式为__________．（只需填写一个合理答案即可）【难度】★★【答案】参考答案：-4；(34)(1)x x ++【解析】根据十字相乘法则，只要满足二次项系数与常数项分解后之和为7即可．【总结】利用十字相乘法以及待定系数，本题难度较大，注意二次项系数不等于1．【习题7】若6x y -=，1736xy =，则代数式32232x y x y xy -+的值为__________．【难度】★★ 【答案】17【解析】3223222172(2)()361736x y x y xy xy x xy y xy x y -+=-+=-=⋅= 【总结】利用因式分解求代数式的值．【习题8】分解因式：2612x x -+-．【难度】★★【答案】(34)(23)x x --+．【解析】原式2(612)(34)(23)x x x x =-+-=--+．【总结】直接利用十字相乘，注意符号问题．【习题9】分解因式：（1）421336x x ++；（2）42536x x --．【难度】★★【答案】（1）22(4)(9)x x ++；（2）2(3)(3)(4)x x x -++．【解析】（1）原式22(4)(9)x x =++；（2）原式222(9)(4)(3)(3)(4)x x x x x =-+=-++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题10】分解因式：（1）22616x xy y +- ；（2）22524x xy y +-；（3）221124x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）(2)(8)x y x y +-；（2）(8)(3)x y x y +-；（3）(3)(8)x y x y --．【解析】（1）原式(2)(8)x y x y =+-；（2）原式(8)(3)x y x y =+-；（3）原式(3)(8)x y x y =--．【总结】直接利用十字相乘法分解因式，注意多项式中含有两个字母，因此分解的因式中也要含有两个因式．【习题11】分解因式：()()2x a b c x a b c +++++．【难度】★★【答案】()()x a b x c +++．【解析】()()2()()x a b c x a b c x a b x c +++++=+++．【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．【习题12】分解因式：（1）()()226227x y x y +++-；（2）()()21556a b a b +-++；（3）()()222812a a a a +-++．【难度】★★【答案】（1）(29)(23)x y x y +++-；（2）(7)(8)a b a b +-+-；（3）(3)(2)(2)(1)a a a a +-+-．【解析】（1）原式(29)(23)x y x y =+++-；（2）原式(7)(8)a b a b =+-+-；（3）原式22(6)(2)(3)(2)(2)(1)a a a a a a a a =+-+-=+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题13】分解因式：（1）2673x x --；（2）22935x x --；（3）2253x x --．【难度】★★【答案】（1）(23)(31)x x -+；（2）(25)(7)x x +-；（3）(21)(3)x x +-．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解，综合性较强．【习题14】分解因式：()()22222848a a a a +-++．【难度】★★【答案】2(4)(3)(2)(1)a a a a +-+-．【解析】()()22222848a a a a +-++22222[()14()24]a a a a =+-++ 222(12)(2)a a a a =+-+-2(4)(3)(2)(1)a a a a =+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题15】分解因式：（1）()222416x x +-；（2）()()2222321233x x x x ++-++．【难度】★★【答案】（1）22(2)(2)x x -+；（2）2(2)(1)(554)x x x x -+++．【解析】（1）原式2222(44)(44)(2)(2)x x x x x x =+-++=-+；（2）原式2222(321233)(321233)x x x x x x x x =++---+++++ 22(2)(554)x x x x =--++2(2)(1)(554)x x x x =-+++．【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意判断哪些是无法十字相乘的二次三项式．【习题16】分解因式：()()2234x x x +++-．【难度】★★【答案】(21)(2)x x ++．【解析】方法一：原式222564252(21)(2)x x x x x x x =+++-=++=++；方法二：原式()()23(2)(2)(2)(32)(2)(21)x x x x x x x x x =++++-=+++-=++．【总结】本题有两种方法，一是先拆开再利用十字相乘法，二是先利用公式再提取公因式．【习题17】分解因式：()()()()2212112x y x y x y x y +++-+-．【难度】★★★【答案】()()553x y x y ++．【解析】原式()()()()324x y x y x y x y =++-⋅++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()553x y x y =++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意最后合并同类项．【习题18】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-．【难度】★★★【答案】2(2)(1)(2)x x x x +-+-．【解析】原式()2223()10x x x x =+++-22(2)(5)x x x x =+-++2(2)(1)(2)x x x x =+-+-．【总结】本题主要考查了“换元法”的思想，将2x x +看作一个整体，再利用十字相乘法进行因式分解．【习题19】已知：关于x 的多项式236x mx ++可以在有理数范围内分解因式，求m 的值．【难度】★★★【答案】123456783737131315152020m m m m m m m m ==-==-==-==-，，，，，，，．【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得36ab a b m =+=，，根据ab 是有理数，可得11136a b =⎧⎨=⎩，137m =；22136a b =-⎧⎨=-⎩，237m =-；33218a b =⎧⎨=⎩，320m =；44218a b =-⎧⎨=-⎩，420m =-； 55312a b =⎧⎨=⎩，515m =；66312a b =-⎧⎨=-⎩，636m =-； 7749a b =⎧⎨=⎩，713m =；8849a b =-⎧⎨=-⎩，813m =-．【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．课后作业【作业1】多项式23x x a -+可分解为()()5x x b --，则a ，b 的值分别为（）．A ．10和2-B ．10-和2C ．10和2D ．10-和2-【难度】★ 【答案】D【解析】由223(5)5x x a x b x b -+=-++，可得：553a b b =+=，，所以2b =-，10a =-．【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【作业2】分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是（）．A ．()()221320x y x y +-++ B ．()()2221320x y x y +-++C ．()()221320x y x y ++++D ．()()22920x y x y +-++【难度】★ 【答案】A【解析】()()()()()()2422542521320x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．【总结】本题主要考查因式分解与多项式乘法间的关系．【作业3】分解因式：（1）21348x x +-；（2）21772x x ++．【难度】★【答案】（1）(16)(3)x x +-；（2）(9)(8)x x ++．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘．【作业4】分解因式：（1）2672x x -+；（2）2121115x x -- ．【难度】★★【答案】（1）(32)(21)x x --；（2）(35)(43)x x -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解．【作业5】分解因式：（1）221112x xy y --；（2）2245a ab b --．【难度】★★【答案】（1）(12)()x y x y -+；（2）(5)()a b a b -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．【作业6】分解因式：（1）2282615x xy y +-；（2）22232x xy y -++．【难度】★★【答案】（1）(415)(2)x y x y +-；（2）(2)(2)x y x y -+-．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．【作业7】分解因式：42816x x -+．【难度】★★【答案】22(2)(2)x x -+．【解析】422222816(4)(2)(2)x x x x x -+=-=-+、【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【作业8】已知221547280x xy y -+=，求xy的值．【难度】★★★【答案】7435；．【解析】∵22154728(37)(54)x xy y x y x y -+=--， ∴(37)(54)0x y x y --=．∴37x y =或者54x y =．∴73x y =或者45x y =．【总结】利用因式分解求解方程，注意多解情况以及解是否满足题意．【作业9】分解因式：633619216x x y y --．【难度】★★★【答案】3333(27)(8)x y x y -+（上海教材立方公式不考查）或2222(3)(39)(2)(24)x y x xy y x y x xy y -+++++【解析】原式33332222(27)(8)(3)(39)(2)(24)x y x y x y x xy y x y x xy y =-+=-+++++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底，有能力的学生可以鼓励其用立方公式．【作业10】分解因式：()()2222483482x x x x x x ++++++．【难度】★★★【答案】()()()24258x x x x ++++．【解析】原式()()2248248x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++++++⎣⎦⎣⎦()()226858x x x x =++++()()()24258x x x x =++++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．。

第05讲因式分解公式法与十字相乘法(原卷版)

第05讲因式分解—公式法与十字相乘法1. 平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的乘以这两个数的。

即：=-22b a 2. 式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个，符号且都可以写成的形式。

②因式分解结果：等于写成平方形式时的的和乘以的差。

考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。

②利用平方差公式分解因式。

【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）A ．x 2﹣25B ．x 3﹣4C ．x 2﹣2x +1D ．x 2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（）A ．﹣m 2+n 2B ．﹣m 2﹣n 2C ．4m 2﹣1D ．（m +n ）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x 2﹣25y 2．（2）﹣4m 2+25n 2．（3）（a +b ）2﹣4a 2．（4）a 4﹣1．（5）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2．（6）mx 2﹣4my 2．知识点02 完全平方公式分解因式1. 完全平方公式分解因式的内容： =+±222b ab a 。

2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个，其中两项符号且都能写成的形式，第三项是平方两项乘积的。

②因式分解结果：等于的平方或的平方。

若第三项与平方两项符号，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号，则等于底数差的平方。

若平方两项是符号，则在括号前添加负号。

题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。

②利用平方差公式分解因式。

③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A ．a 2+ab +b 2B ．9y 2﹣4yC ．4a 2+1﹣4aD ．q 2+2q ﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x 2﹣2xy +y 2；②a 2+ab +b 2；③﹣4ab ﹣a 2+4b 2；④4x 2+9y 2﹣12xy ；⑤3x 2﹣6xy +3y 2，能用完全平方公式分解的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n 2﹣6mn +9m 2 （2）a 2﹣14ab +49b 2（3）a 2﹣4ab +4b 2 （4）m 2﹣10m +25．【即学即练4】7．分解因式：①x 2+6x +9＝；②1﹣4x +4y 2＝；③﹣a 2+2a ﹣1＝．【即学即练5】8．已知x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，则x ﹣y ＝．【即学即练6】9．若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（）A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4【即学即练7】10．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（）A ．m ＝，n ＝B ．m ＝，n ＝5C ．m ＝25，n ＝5D ．m ＝5，n ＝知识点03 十字相乘法分解因式1. 十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式c bx ax ++2，若存在21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++ 举例说明：3522++x x 12⨯ 13⨯23== 523=+。

因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)

十字相乘法
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)，其中a 5, x 3.
20023 2 20022 2000 20023 20022 2003
六．利用分解因式计算：（1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 解：原式 =-3.14 ×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是（ D ）

因式分解之十字相乘、选主元、双十字相乘法.题库教师版

十字相乘、选主元、双十字相乘板块一：十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例1】分解因式：256x x ++【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】(2)(3)x x ++【例2】分解因式：256x x -+【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】(2)(3)x x --【例3】分解因式2299x x +-等于（）A ．()()911x x --B ．()()911x x +-C ．()()911x x -+D ．()()911x x ++【考点】因式分解【难度】3星【题型】选择【关键词】1999年，北京市中学生数学邀请赛，十字相乘法【解析】()()2299911x x x x +-=-+【答案】C【例4】分解因式：276x x ++【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】(1)(6)x x ++【例5】分解因式：276x x -+【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】(1)(6)x x --【例6】分解因式：268x x ++【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【答案】(2)(4)x x ++【例7】分解因式：278x x +-【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【答案】(8)(1)x x +-【例8】分解因式：212x x +-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】()()()22212121234x x x x x x x x +-=-++=---=-+- 【答案】()()34x x -+-【例9】分解因式：2376a a --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2376(32)(3)a a a a --=+-【答案】(32)(3)a a +-【例10】分解因式：2383x x --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2383(31)(3)x x x x --=+-【答案】(31)(3)x x +-【例11】分解因式：25129x x +-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】25129(3)(53)x x x x +-=+-【答案】(3)(53)x x +-【例12】分解因式：2121115x x --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】()()21211154335x x x x --=+-【答案】()()4335x x +-【例13】分解因式：42730x x +-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】4222730(3)(10)x x x x +-=-+【答案】22(3)(10)x x -+【例14】分解因式：()()()2442111x x x ++-+- 【考点】因式分解【难度】5星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】原式224222(21)(21)(21)x x x x x x =+++-++-+42223103(31)(3)x x x x =++=++【答案】22(31)(3)x x ++【例15】分解因式：26x x --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】26(2)(3)x x x x --=+-【答案】(2)(3)x x +-【例16】分解因式：2922x x --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2922(2)(11)x x x x --=+-【答案】(2)(11)x x +-【例17】分解因式：21220x x ++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】21220(2)(10)x x x x ++=++【答案】(2)(10)x x ++【例18】分解因式：2672x x -+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2672(21)(32)x x x x -+=--【答案】(21)(32)x x --【例19】分解因式：2121115x x --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2121115(43)(35)x x x x --=+-【答案】(43)(35)x x +-【例20】分解因式：256x x -++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】256(7)(8)x x x x -++=+-【答案】(7)(8)x x +-【例21】分解因式：26136x x -+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】26136(32)(23)x x x x -+=--【答案】(32)(23)x x --【例22】分解因式：2273x x ++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2273(3)(21)x x x x ++=++【答案】(3)(21)x x ++【例23】分解因式：2253x x -+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】(1)(23)x x --【答案】(1)(23)x x --【例24】分解因式：222064xy y x -++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】22-++=--2064(16)(4)xy y x x y x y【答案】(16)(4)--x y x y【例25】分解因式：2222x x x x x x++++++(48)3(48)2【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】2x x x x++++(2)(4)(58)【例26】分解因式：2222+++()abcx a b c x abc【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2222+++()()()abcx a b c x abc=++，利用十字相乘思想abx c cx ab【答案】()()abx c cx ab++【例27】分解因式：4222-++(1)x x a a【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】4222222-++=--(1)(1)()()x x a a x a x(1)()(1)=+-+-，利用十字相乘思想x x x a x a【答案】(1)(1)()()+-+-x x x a x a【例28】分解因式：2x x--273320【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2273320(94)(35)--=+-x x x x【答案】(94)(35)+-x x【例29】分解因式：2+-12x x【考点】因式分解【难度】2星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【答案】(3)(4)x x +-+【例30】分解因式：2612x x -+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【答案】(23)(34)x x -+-【例31】分解因式：2214425x y xy +-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【答案】(16)(9)x y x y --【例32】分解因式：22672x xy y -+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【答案】(2)(32)x y x y --【例33】已知221547280x xy y -+=，求x y的值【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y +=由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =- 【答案】73x y =-或45x y =-【例34】分解因式：22121115x xy y --【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【答案】(35)(43)x y x y -+【例35】分解因式：2358x x +-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】()()2358138x x x x +-=-+，此题注意观察题干中的二次三项式的各个系数和刚好等于0，对于一般表达式20ax bx c ++=而言，若0a b c ++=，那么()()21ax bx c x ax c ++=--，这个结论很重要【答案】()()138x x -+【例36】分解因式：2212197x xy y -+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】()()2212197127x xy y x y x y -+=--，若0a b c ++=，那么()()21ax bx c x ax c ++=--，这个结论很重要【答案】()()127x y x y --【例37】因式分解：2(2)(3)4x x x +++-= ．【考点】因式分解【难度】3星【题型】填空【关键词】泰安市中考，十字相乘法【解析】2222(2)(3)4564252(21)(2)x x x x x x x x x x +++-=+++-=++=++【答案】(21)(2)x x ++【例38】分解因式：2()4()12x y x y +-+-；【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-【答案】(2)(6)x y x y +++-【例39】分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【答案】(53)(5)x y x y ++【例40】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【答案】(23)(23)a a -+【例41】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【答案】(22)(26)a b a b ----【例42】分解因式：633619216x x y y --【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】十字相乘法，应用公式法【解析】6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【答案】2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y +--+++【例43】分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】22(64)(2)x x x +++【答案】22(64)(2)x x x +++【例44】分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】229(1)(41)x x x +++【答案】229(1)(41)x x x +++【例45】分解因式：222()14()24x x x x +-++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】省略【答案】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+【例46】分解因式：2()2a b x ax a b -+++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2()2a b x ax a b -+++(1)()x ax bx a b =+-++，利用十字相乘思想【答案】(1)()x ax bx a b +-++【例47】分解因式：2()()x a b c x a b c +++++【考点】因式分解【解析】2()()x a b c x a b c +++++()()x a b x c =+++，利用十字相乘思想【答案】()()x a b x c +++【例48】分解因式：2222()abcx a b c x abc +++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2222()()()abcx a b c x abc abx c cx ab +++=++【答案】()()abx c cx ab ++【例49】分解因式：2()(1)1a b ab +-+【考点】因式分解【难度】4星【题型】解答【关键词】十字相乘法【解析】2()()1a b ab a b +-++[()1][()1]a a b b a b =+-+-22(1)(1)a ab ab b =+-+-【答案】22(1)(1)a ab ab b +-+-【例50】已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值【考点】因式分解【难度】5星【题型】解答【关键词】2005年，东清市初中数学竞赛，十字相乘法【解析】三式相加得：()()22222272a b c a b c ab bc ca ++++++++=即()()2720a b c a b c +++++-=，即()()980a b c a b c +++++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 因为a b c ，，都是正实数，所以90a b c +++>故8a b c ++=【答案】8a b c ++=【例51】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.【考点】因式分解【解析】由已知,有8x y +=∵22222()()20x y x xy y x y x y --+-+=---+=∴(1)(2)0x y x y -+--=，10x y -+=或20x y --=810x y x y +=⎧⎨-+=⎩或820x y x y +=⎧⎨--=⎩，7292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或53x y =⎧⎨=⎩ ∴63154xy xy ==或因为两边长都是整数，所以长方形的面积为152cm 【答案】152cm板块二：选主元【例52】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【考点】因式分解【难度】3星【题型】解答【关键词】主元法【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

七年级秋季班-第7讲：因式分解(二)-教师版

本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．1、二次三项式：多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则．如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．因式分解（二）内容分析知识结构模块一：十字相乘法知识精讲3、十字交叉法的定义一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征（1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A ．223x x --B ．22x x -+C ．22x x --D ．232x x -+【难度】★ 【答案】B【解析】2可以分解成12⨯和1(2)-⨯-，但两种情况相加均不为1-．【总结】考察十字相乘法的方法．【例2】因式分解225148x xy y -+正确的是（）．A ．()()58x y x y --B ．()()58x y x y --C ．()()524x y x y --D ．()()542x y x y --【难度】★ 【答案】C例题解析5x -4yx -2y【解析】225148x xy y -+可以用十字交叉线表示为：【总结】考察十字相乘法的方法．【例3】分解因式：（1）256___________x x -+=；（2）26___________x x --=；（3）2231___________x x -+=；（4）2321__________a a --=．【难度】★【答案】(1) (3)(2)x x --；(2) (3)(2)x x -+；(3) (21)(1)x x --；(4) (31)(1)a a +-．【解析】(1)(2)直接“拆常数项，凑一次项”；(3)(4)需要画十字交叉线．【总结】考察十字相乘法的方法．【例4】分解因式：（1）()()21024_______________a b a b ----=；（2）22222566_______________a x a xy a y --=．【难度】★【答案】(1) (12)(2)a b a b ---+；(2) 2(11)(6)a x y x y -+．【解析】(1) 中可将a b -看成一整体；(2) 中需要先提取公因式．【总结】考察十字相乘法的方法．【例5】对于一切x ，等式2(1)(2)x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为__________．【难度】★ 【答案】9．【解析】22(1)(2)2x px q x x x x -+=+-=--，所以12p q ==-，，249p q -=．【总结】考察求代数式的值，本题中需先根据等式成立条件求出p 、q ．【例6】若二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为_________．【难度】★★【答案】8，-8，16，-16．【解析】151151(15)353(5)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-，所以a 的值有四种情况．【总结】考察二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数的积的几种情况．【例7】分解因式：（1）23148x x -+；（2）21166a a --+；（3）()225()6a b c a b c ---+；（4）4224109x x y y -+；（5）()()222812x x x x +-++．【难度】★★【答案】(1) 11()()24x x --； (2) 11()()23a a -+-； (3) (3)(2)abc a b c ----；(4) ()()(3)(3)x y x y x y x y +-+-； (5) (1)(2)(2)(3)x x x x --++．【解析】(1)直接用十字相乘法分解；(2) 先提取符号在因式分解；(3)(5)先将小括号里看成一整体再分解；(4)中422422(),()x x y y ==．【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底，如(5)．【例8】分解因式：（1）220920x x --+；（2）539829x x x -+；（3）()22234x x --；（4）()()22247412x x x x ++++；（5）()()2223234x x x x ---+．【难度】★★【答案】(1)(45)(54)x x -+-； (2) (3)(3)(31)(31)x x x x x +-+-；(3) (1)(1)(3)(3)x x x x +-+-； (4) 2(1)(2)(3)x x x +++； (5) (1)(1)(4)(2)x x x x -+--．【解析】(1) 先提取负号；(2) 先提取公因式x ；(3) 先将小括号看成一整体，利用平方差公式分解；(4)(5)将小括号里的代数式看成一整体，(5)需先将常数项放在括号外面来．【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底．【例9】用简便方法计算：2998998016++．【难度】★★ 【答案】1006000．【解析】229989980169989981016++=+⨯+(9988)(9982)=++10061000=⨯ 1006000=．【总结】考察利用十字相乘法进行简便计算．【例10】已知()()22223540x y xy +++-=，试求22x y +的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】令22x y +=a ，则a >0．原式可化为()3540a a +-=，所以2354(9)(6)0a a a a +-=+-=，所以a =6，即226x y +=．【总结】考察利用十字相乘法求代数式的值，本题中注意22x y +的符号．【例11】试判断：当k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【难度】★★★ 【答案】成立．【解析】534254(54)k k k k k k -+=-+22(4)(1)k k k =--(2)(1)(1)(2)k k k k k =--++为5个连续自然数的乘积．5个连续自然数中，至少有一个能被3整除，至少有一个能被5整除，至少有一个能被4整除，另外(除了能被4整除的这个)还至少有一个能被2整除，3542120⨯⨯⨯=，所以5个连续自然数的乘积一定能被120整除，即k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【总结】考察代数式的因式分解，及被某数整除的条件．（1）()()22323416x x x x +-++-；（2）()()()()312424x x x x --+++；（3）()22214(1)y x yx y ----．【难度】★★★【答案】(1) 2(36)(4)(1)x x x x +++-； (2) 2(3)(2)(8)x x x x +-+-； (3) (1)(1)x y xy x y xy -++---．【解析】(1) ()()22323416x x x x +-++-222(3)2(3)24x x x x =+++- 22(36)(34)x x x x =+++- 2(36)(4)(1)x x x x =+++-；(2) ()()()()312424x x x x --+++22(12)(2)24x x x x =+-+-+222(2)10(2)24x x x x =+--+-+ 22(24)(26)x x x x =+--+-- 2(3)(2)(8)x x x x =+-+-；(3) ()22214(1)y x yx y ----222241x x y xy y =---+ 2222(2)(21)x xy y x y xy =-+-++ 22()(1)x y xy =--+(1)(1)x y xy x y xy =-++---．【总结】考察较复杂的代数式因式分解的方法．（1）2231092x xy y x y --++-；（2）222456x xy y x y +--+-．【难度】★★★【答案】(1) (21)(52)x y x y +--+；(2) (22)(3)x y x y -++-．【解析】(1) 2231092x xy y x y --++-(5)(2)2452x y x y x y x y =-+++-+- (5)(2)2(2)(52)x y x y x y x y =-+++--+ (52)(2)(52)x y x y x y =-++--+ (52)(21)x y x y =-++-；(2) 222456x xy y x y +--+-(2)()63226x y x y x y x y =-+-+++- (2)()3(2)2()6x y x y x y x y =-+--++- (2)(3)2(3)x y x y x y =-+-++-(22)(3)x y x y =-++-．【总结】考察较复杂代数式因式分解的方法，本题还可以用双十字相乘法．1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6模块二：分组分解法知识精讲【例14】把多项式2242x x y y ---用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）．A ．()()2242x y x y --+ B ．()224(2)x y x y --+C ．224(2)x x y y -++D ．()()2242x x y y --+【难度】★ 【答案】B【解析】B 中分组之后还可以继续分解，其余不行．【总结】考察分组的原则．【例15】把多项式2221xy x y --+分解因式（）．A ．()()11x y y x -+-+B ．()()11x y y x ---+C ．()()11x y x y ---+D ．()()11x y x y -+-+【难度】★ 【答案】A【解析】2222211(2)xy x y x xy y --+=--+21()x y =--(1)(1)x y x y =+--+．【总结】考察分组的方法．【例16】将多项式2a ab ac bc -+-分解因式，分组的方法共有________种．【难度】★ 【答案】2【解析】一二分组或一三分组．【总结】考察分组的方法．例题解析【例17】（1）若3223a a b ab b --+有因式()a b -，则另外的因式是____________．（2）若多项式3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，则m 的值为____________．【难度】★★【答案】(1) ()()a b a b +-；(2) -9．【解析】(1) 322322()()a a b ab b a a b b a b --+=---22()()a b a b =--2()()a b a b =+-； (2) 32233(3)3()3m x x x m x x x +-+=+--，由题意，393mm -==-，．【总结】考察分组的方法．【例18】分解因式：（1）221448x y xy --+；（2）2222242a x a y a xy -+-；（3）234416x x x +--；（4）3223x x y xy y +--．【难度】★★【答案】(1) (122)(122)x y x y +--+；(2) (2)(2)ax ay ax ay -+--；(3) (14)(2)(2)x x x ++-； (4) 2()()x y x y +-．【解析】(1) 后三项一组提取公因式4；(2) 一三四一组提取a 2；(3)一二、三四分组；(4) 一二、三四分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例19】分解因式：（1）222ax ay x xy y --+-；（2）22222x x xy y y --+-．【难度】★★【答案】(1) ()()x y a x y --+；(2) ()(22)x y x y -+-．【解析】(1) 一二、三四五分组；(2) 22222x x xy y y --+-22222x x xy y x y =--++-，然后按顺序两两分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例20】分解因式：（1）54321x x x x x +++++；（2）222212x y z yz x ---+-．【难度】★★【答案】(1) 22(1)(1)(1)x x x x x +++-+；(2) (1)(1)x y z x y z ++----．【解析】(1) 54321x x x x x +++++322(1)(1)x x x x x =+++++23(1)(1)x x x =+++22(1)(1)(1)x x x x x =+++-+；(2) 222212x y z yz x ---+-222(21)(2)x x y z yz =-+-++ 22(1)()x y z =--+(1)(1)x y z x y z =++----．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例21】分解因式：（1）243(34)x y x y +-+；（2）2222()()ab c d cd a b +++．【难度】★★【答案】(1) (1)(43)x x y --；(2) ()()ac bd bc ad ++．【解析】(1) 小括号展开后一四、二三分组；(2) 小括号展开后一四、二三分组；或者一三、二四分组．【总结】考察分组的方法．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）2214129x xy y -+-，其中1823x y ==，；（2）22446125x xy y x y -+-++，其中28x y =+．【难度】★★【答案】(1) (123)(123)x y x y +--+，-48；(2) (21)(25)x y x y ----，21．【解析】(1) 2214129x xy y -+-21(23)x y =--(123)(123)x y x y =+--+，把1823x y ==，代入上式得值为-48； (2) 22446125x xy y x y -+-++2(2)6(2)5x y x y =---+(21)(25)x y x y =----，把28x y =+代入上式得值为21．【总结】考察先因式分解再求值，注意方法的合理选择及运用．【例23】当2a c b +=时，求式子22244a c b bc --+的值．【难度】★★【答案】0．【解析】22244a c b bc --+222(44)a c bc b =--+22(2)a c b =--(2)(2)a c b a c b =+--+当2a c b +=时，代入上式第二个因式为0，所以原式值为0．【总结】考察先因式分解再求值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式23232n +-+-的值一定是 10的整数倍．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】223232n n n n ++-+-223(31)2(21)n n =+-+10352n n =⨯-⨯110(32)n n -=-．当n 为任意正整数时，132n n --必为整数，所以代数式223232n n n n ++-+-的值一定是10的整数倍．【总结】考察分组分解法分解因式及倍数的概念．【例25】求证：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】 2241293035x x y y -+++224129930251x x y y =-+++++22(23)(35)1x y =-+++>0所以：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【总结】考察将代数式化成完全平方的形式．【例26】如果多项式2223352kx xy y x y --+-+能分解成两个一次因式乘积，求250.25k k ++的值．【难度】★★★【答案】 3.75-．【解析】2223352kx xy y x y --+-+22(32)(352)kx y x y y =+--+-2(32)(31)(2)kx y x y y =+---+因为接下来再用十字相乘法分解时，常数项可分为31y -和(2)y -+，两者之和正好为32y -，所以1k =-．所以250.25150.25 3.75k k ++=-+=-．【总结】本题综合性较强，主要考察将复杂代数式分解因式的方法．【例27】对于多项式32510x x x -++,我们把2x =代入多项式，发现2x =能使多项式32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式()2x -．［注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式()x a -］，于是我们可以把多项式写成：32510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m n 、后再代入 3510x x x -++=()()22x x mx n -++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m n 、的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项32584x x x +++．【难度】★★★【答案】(1)35m n =-=-，；(2) 322584(1)(2)x x x x x +++=++．【解析】(1) 322510(2)()x x x x x mx n -++=-++32(2)(2)2x m x n m x n =+-+--根据系数对应相等得：25210m n -=-⎧⎨-=⎩，解得：35m n =-⎧⎨=-⎩．(2) 32584x x x +++()()21x x mx n =+++ (根据试根法可得多项式含因式x +1)32(1)()x m x m n x n =+++++根据系数对应相等得：154m n +=⎧⎨=⎩，解得：44m n =⎧⎨=⎩．所以32584x x x +++()()2144x x x =+++2(1)(2)x x =++【总结】主要考查对题目的理解能力．【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）． A ．22x x +- B ．223103x x x -+ C ．232x x -+D ．2267x xy y -- 【难度】★【答案】B【解析】B 中合并同类项之后变成两项，而十字相乘法分解因式的形式为二次三项式．【总结】考察能用十字相乘法分解因式的条件．【习题2】下列因式分解错误的是（）．A ．()()2a bc ac ab a b a c -+-=-+B ．5315(5)(3)ab a b b a -+-=-+C ．22619(31)(31)x xy y x y x y --+=+++-D ．2326(3)(2)x xy x y x y x +--=+-【难度】★【答案】C【解析】C 中正确答案应为22619(31)(31)x xy y x y x y --+=-+--．【总结】考察分解因式的方法，注意符号问题．【习题3】分解因式：25____(___)(4)x x x x ++=++．【难度】★【答案】4，1．【解析】由一次项系数可得后面小括号填1，那么常数项为4．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的方法．随堂检测【习题4】若()()23x x -+是二次三项式2x mx n -+的因式分解的结果，则m 的值是_______．【难度】★【答案】1-．【解析】()()2236x x x x -+=+-=2x mx n -+，利用系数对应相等可得1m =-．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的逆运算．【习题5】若()()215x kx x a x b --=++，则a b +的值不可能是（）． A ．14 B ．16 C ．2 D ．14-【难度】★★【答案】B【解析】15ab =-，151151513553-=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯，所以a b +的值可能是14，-14，2，-2四种．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的方法．【习题6】分解因式：（1）3246____________ab a b -+-+=；（2）22____________a bx a cx bx cx --+=；（3）22244_____________a a b b --+=．【难度】★★【答案】(1) (23)(2)b a --；(2) ()(1)(1)x b c a a -+-；(3) (2)(22)a b a b -+-．【解析】(1) 一二、三四分组；(2) 一二、三四分组；(3) 一三、二四分组．【总结】考察分组分解法分解因式．（1）21024x +-；（2）2421x x --+；（3）22383x xy y +-；（4）42109x x -+．【难度】★★【答案】(1) (12)(2)x x +-； (2) (7)(3)x x -+-；(3) (3)(3)x y x y -+； (4) (1)(1)(3)(3)x x x x +-+-．【解析】(1)(3)直接十字相乘法分解；(2) 先提取负号；(4)先将422()x x =，注意分解彻底．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．【习题8】分解因式：（1）2365()()m n m n -+-+；（2）()229()20a b ac bc c +-++．【难度】★★【答案】(1) (9)(4)m n m n -+++-；(2) (4)(5)a b c a b c +-+-．【解析】(1) 2365()()m n m n -+-+ 2[()5()36]m n m n =-+++-[()9][()4]m n m n =-+++-(9)(4)m n m n =-+++-；(2)()229()20a b ac bc c +-++ ()229()20a b a b c c =+-++ (4)(5)a b c a b c =+-+-．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法，本题在于将小括号里的因式看成一整体．（1）22444a ab b --+；（2）322x x y xy y x y -+-+-；（3）22446129x xy y x y -+-++；（4）221194n n x x y +-+．【难度】★★【答案】(1) (22)(22)a b a b -+--；(2) 2()(1)x y x y -++；(3) 2(23)x y --； (4) 1111()()2323n n x y x y +++-．【解析】(1) 一三四分组；(2) 两两顺次分组；(3) 一二三、四五、六分组；(4) 一二四分组．【总结】考察分组的方法．【习题10】若一个长方形的周长为32，长为x ，宽为y ，且满足32230x x y xy y +--=．求这个长方形的面积．【难度】★★【答案】64．【解析】3223x x y xy y +--22()()x x y y x y =+-+22()()x y x y =+-2()()0x y x y =+-=，由题意只有x y =，又2432864x x x ===，所以，所以．即这个长方形的面积为64．【总结】考察多项式的因式分解及实际问题中值为0的条件．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：54321x x x x x +----．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +--．【解析】法一： 54321x x x x x +----42(1)(1)(1)x x x x x =+-+-+42(1)(1)x x x =+--；法二： 54321x x x x x +----5342()(1)x x x x x =--+--4242(1)(1)x x x x x =--+--42(1)(1)x x x =+--．【总结】考察分组的方法．【习题12】已知225302x x a a ++++=，求3x a +的值．【难度】★★【答案】-3．【解析】22532x x a a ++++2291344x x a a =+++++2231()()022x a =+++=，所以3122x a =-=-，，则33x a +=-．【总结】考察根据代数式求值的方法．【习题13】已知a b c d 、、、是整数，且7a b +=，7c d +=，判断ad bc -的值能否被7整除，并简要说明理由．【难度】★★★【答案】能，见解析【解析】因为7a b +=，所以()7a b d d += ①；因为7c d +=，所以()7b c d b += ②．两式相减得777()ad bc d b d b -=-=-，因为a b c d 、、、是整数，所以d b -也为整数，所以7()d b -能被7整除，即原题成立．【总结】考察能被7整除的条件．【习题14】分解因式：（1）2235294x xy y x y +-++-；（2）2232453x xy y x y +++++．【难度】★★★【答案】(1) (34)(21)x y x y -++-；(2) (23)(1)x y x y ++++．【解析】(1) 2235294x xy y x y +-++- 223(51)(294)x y x y y =++--+23(51)(21)(4)x y x y y =++---(34)(21)x y x y =-++-；(2) 2232453x xy y x y +++++22(34)(253)x y x y y =+++++2(34)(23)(1)x y x y y =+++++(23)(1)x y x y =++++．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题可用双十字相乘法分解．【习题15】分解因式：（1）()()226824x x x x +-+--；（2）()1(2)(3)(6)20x x x x +---+．【难度】★★★【答案】(1) (4)(3)(2)(1)x x x x +-+-；(2) 2(54)(1)(4)x x x x ----【解析】(1) ()()226824x x x x +-+-- 222(6)2(6)24x x x x =+--+--22(66)(64)x x x x =+--+-+(4)(3)(2)(1)x x x x =+-+-；(2) ()1(2)(3)(6)20x x x x +---+22(56)(56)20x x x x =---++222(56)12(56)20x x x x =--+--+22(562)(5610)x x x x =--+--+2(54)(1)(4)x x x x =----．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题主要考察整体思想．【作业1】分解因式：（1）22524__________x xy y --=；（2）2236_______________x ax bx ab +++=；（3）22993______________x x y y +--=．【难度】★【答案】(1) (8)(3)x y x y -+；(2) (2)(3)x a x b ++；(3) (3)(33)x y x y -++．【解析】(1) 直接用十字相乘法分解；(2)一二、三四分组；(3)一三、二四分组．【总结】考察较简单的因式分解的方法．【作业2】分解因式：（1）21220x x ++；（2）212x x +-；（3）2121115x x --．【难度】★【答案】(1) (2)(10)x x ++；(2) (4)(3)x x --+；(3) (43)(35)x x +-．【解析】(1)(3) 直接用十字相乘法分解；(2)先提取负号再用十字相乘法分解．【总结】考察用十字相乘法分解因式．课后作业【作业3】把下列各式因式分解：（1）222422x x y ++-；（2）22ax bx ax bx a b +--++．【难度】★【答案】(1) 2(1)(1)x y x y ++-+；(2) 2()(1)a b x x +-+．【解析】(1) 先提取公因式2，然后一二三、四分组；(2) 按顺序两两分组．【总结】考察用分组分解法分解因式．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值：2233a b a b ab -+-，其中83a =，2b =．【难度】★【答案】()(13)a b ab -+，343．【解析】2233a b a b ab -+- ()3()a b ab a b =-+-()(13)a b ab =-+，把83a =，2b =代入，得上式值为343．【总结】考察先分解因式后求值．【作业5】已知221547280x xy y -+=，求x y 的值．【难度】★★【答案】7435或．【解析】因为22154728x xy y -+(37)(54)0x y x y =--=，所以有3754x y x y ==或，所以7435x y =或．【总结】考察十字相乘法因式分解．【作业6】在因式分解多项式2x ax b ++时，小明看错了一次项系数后，分解得53x x ++，小华看错了常数项后，分解得()()42x x -+，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【难度】★★【答案】2215(5)(3)x x x x -+=-+．【解析】小明的常数项正确，为5315⨯=；小华的一次项系数正确，为422-+=-，所以原多项式为2215x x -+．【总结】考察十字相乘法因式分解的方法和逆用．【作业7】已知多项式2212x xy y --．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式2212x xy y --的值等于6-，且x y 、都是正整数，求满足条件的x y 、的值．【难度】★★【答案】(1) 2212(4)(3)x xy y x y x y --=-+；(2) 31x y ==，．【解析】616612(3)23-=-⨯=-⨯=⨯-=-⨯，因为x y 、都是正整数，所以34x y +≥，所以只有3641x y x y +=⎧⎨-=-⎩符合，解得：31x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察十字相乘法因式分解及根据已知条件求值．【作业8】分解因式：（1）()2222()()()a b a c c d b d +++-+-+；（2）42222222()()x a b x a b -++-．【难度】★★ 【答案】(1) 2()()a b c d a d +++-；(2) ()()()()x a b x a b x a b x a b +--+++--．【解析】(1)原式=()2222()()()a b b d a c c d +-+++-+=(2)()(2)()a b d a d a c d a d ++-+++-=()(2222)a d a b c d -+++=2()()a d a b c d -+++(2) 原式=4222222222()()4x a b x a b a b -+++-=22222(())(2)x a b ab -+-=222222(()2)(()2)x a b ab x a b ab -++-+-=2222(())(())x a b x a b ---+=()()()()x a b x a b x a b x a b +--+++--．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意分解要彻底．【作业9】分解因式：（1）22268x y x y -++-；（2）432433x x x x ++++．【难度】★★★【答案】（1）(2)(4)x y x y +--+；（2）22(1)(3)x x x +++．【解析】（1）原式=2221(69)x x y y ++--+=22(1)(3)x y +--=(2)(4)x y x y +--+；（2）原式=4322()(333)x x x x x +++++=222(1)3(1)x x x x x +++++=22(1)(3)x x x +++．【总结】考察复杂多项式的因式分解．【作业10】分解因式：（1）()22214()24x x x x +-++；（2）()2(1)1a b ab +-+；（3）(1)(1)(1)xy x y xy ++++；（4）()()22114x y xy --+．【难度】★★★ 【答案】（1）(1)(2)(3)(4)x x x x -+-+；（2）22(1)(1)a ab b ab +-+-；（3）(1)(1xy x xy ++++1)(1)x y xy x y -+-++【解析】（1）原式=22(2)(12)x x x x +-+-=(1)(2)(3)(4)x x x x -+-+；（2）原式22(2)(1)1a b ab ab =++-+22(1)(1)2(1)1a ab b ab ab ab =-+-+-+222222()(1)(21)a b a b ab a b ab =++-+-+22222()(1)(1)a b a b ab ab =++-+-22(1)(1)a ab b ab =+-+-；（3）原式(1)(1)xy xy x y xy =+++++2(1)(1)()xy xy x y xy =+++++(1)(1)xy x xy y =++++；（4）原式=222214x y x y xy --++=222221(2)x y xy x xy y ++--+．=22(1)()xy x y +--=(1)(1)xy x y xy x y +-+-++．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意方法的合理选择．【作业11】已知正有理数a b c 、、满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】8．【解析】三个方程相加可得2()()720a b c a b c +++++-=，分解因式，得：(8)(9)0a b c a b c ++-+++=，所以a b c ++=8或者9-(舍)．【总结】考察根据已知条件求值，本题运用了2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++公式的逆用．。

乘法公式和因式分解教案(教师版)1

乘法公式和因式分解姓名分数为生命画一片树叶只要心存相信，总有奇迹发生，希望虽然渺茫，但它永存人世。

美国作家欧;亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。

病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。

她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。

”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。

最后一片叶子始终没掉下来。

只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。

人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。

希望是人类生活的一项重要的价值。

有希望之处，生命就生生不息！感悟：【回头望月】两数和乘以它们的差公式：()()2ba b a b a -=-+两数和的平方公式：()2222bab a b a +±=±【运河通道1】因式分解1．几个整式相乘，每个整式叫俟它们的积的因式．2．因式分解是多项式的一种变形，就是把多项式转化为乘积的形式，•它与整式乘法正好是相反的变形．3．因式分解的结果必须是几个整式的积的形式，•而不是几个整式的积与某项的和差形式．【扬帆起航1】方法①提公因式法 ②运用公式法 ③十字相乘法 ④分组分解法【扬帆起航2】因式分解的一般步骤为：1、首先提取公因式；2、然后考虑用公式；3、十字相乘试一试；4、分组分解反复试；5、最后连成质因式。

【扬帆起航3】对下列多项式进行因式分解：（1）－5a 2＋25a ；（2）3a 2－9ab ；（3）25x 2－16y 2；（4）x 2＋4xy ＋4y 2.【经典变例】把下列各式分解因式：（1）22b a 9-；（2）22m n 4+-；（3）22b9a161-；（4）422c b 25a 16-；（5）09.0y x 4122+-。

思路分析（这是平方差公式的特征）通过变形，二项都是完全平方形式，且符号相反。

解：（1）)b a 3)(b a 3(b )a 3(b a 92222-+=-=-；（2）2222)n 2(m mn 4-=+- （加法交换律）=(m+2n)(m －2n)；（3）2222)b 3(4a b9a 161-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b 34a b 34a ；（比较两种分解方法）或)b 144a(161b9a1612222-=- ])b 12(a[16122-=)b 12a )(b 12a (161-+=；（与⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 34a b 34a 相等吗？）（4）222422)bc 5()a 4(c b 25a 16-=- （注意变形）)bc 5a 4)(bc 5a 4(22-+=；（5）2222xy 21)3.0(09.0y x 41⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+- （加法交换律）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xy 213.0xy 213.0。

十字相乘和分组分解法因式分解-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

十字相乘和分组分解法因式分解【知识梳理】一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=+．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【考点剖析】一．因式分解-十字相乘法等（共22小题）1．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x 2﹣13x ﹣30可因式分解成（7x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，求a +b +c 之值为何？（）A ．0B ．10C ．12D ．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x ﹣30因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．2．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：x2+3x﹣10＝．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+5），故答案为：（x﹣2）（x+5）【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．（20222x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．5．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．6．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．9．（2022x2﹣5x﹣6＝．【分析】因为﹣6×1＝﹣6，﹣6+1＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．10．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解a2﹣a﹣6＝．【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用十字相乘法求解．【解答】解：a2﹣a﹣6＝（a+2）（a﹣3）．故答案为：（a+2）（a﹣3）．【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．11．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2﹣5x﹣24＝．【分析】用十字相乘法因式分解．【解答】解：x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3），故答案为：（x﹣8）（x+3），【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值是解题关键．12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案为：（x+7）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．13．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．14．（2022ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．15．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．16．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．17．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．19．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．20．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣12）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．22．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．二．因式分解-分组分解法（共12小题）23．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．24．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．25．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．26．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．27．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．28．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．29．（2022秋•上海期末）分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝．【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay＝x（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+a）．故答案为：（x﹣y）（x+a）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法是解决本题的关键．30．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．33．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．34．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．三．因式分解的应用（共9小题）35．（2022秋•青浦区校级期末）用合理的方法计算：7.52×1.6﹣2.52×1.6．【分析】先利用提取公因式法，再利用平方差公式因式分解求得答案即可．【解答】解：原式＝（7.52﹣2.52）×1.6＝（7.5+2.5）×（7.5﹣2.5）×1.6＝10×5×1.6＝80．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法和平方差公式是解决问题的关键．36．（2022秋•黄浦区期中）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再将已知代入即可；（2）将所求的式子变形为xy（x2﹣3xy+y2），再将x2+y2＝6，xy＝1代入求值即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，∴6＝4+2xy，∴xy＝1；（2）x3y﹣3x2y2+xy3＝xy（x2﹣3xy+y2），∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝1×（6﹣3）＝3．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法因式分解是解题的关键．37．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．38．（2022秋•静安区校级期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝[1﹣1]（n2﹣1）＝0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝×（1+1）（n+1）（n﹣1）＝，设n＝2k﹣1（k为整数），则＝＝k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．39．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．40．（2022秋•闵行区校级期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，a2＝33124，c2＝33856，那么b2＝．【分析】由于a2＝33124，c2＝33856，则利用平方差公式得到（c+a）（c﹣a）＝732，再根据a、b、c是三个连续正整数得到c﹣a＝2①，于是可计算出c+a＝366②，然后由①②可解得c，从而得到b的值．【解答】解：c2﹣a2＝（c+a）（c）＝33856﹣33124＝732，∵a、b、c是三个连续正整数，∴c﹣a＝2，∴c+a＝366，∴c＝184，∴b＝183，∴b2＝33489．故答案为：33489．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．41．（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．【分析】根据②3a2﹣8b+c＝0，得出c＝8b﹣3a2，代入①a+b2﹣2c﹣2＝0，得出（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，根据完全平方数得出a，b，c的值即可．【解答】解：∵②3a2﹣8b+c＝0，∴c＝8b﹣3a2，∵a+b2﹣2c﹣2＝0，即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，∵a为正整数，∴a＝3，可得b＝5或11，c＝13或61，∴abc的最小值为3×5×13＝195．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识是解题的关键．42．（2022秋•杨浦区期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．43．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式：．（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝．（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．【解答】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；故答案为：a2+3a+2；（2）（a+b ）（a+b+c ）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc ＝a2+2ab+b2+ac+bc ；故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc ；（3）根据题意得；（a+b+c ）（a+b+c ）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ，而a+b+c ＝6，a2+b2+c2＝14∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc ，∴ab+bc+ca ＝11．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．【过关检测】一、单选题 1．（2023·上海·七年级假期作业）如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B 、253x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x −+=−−，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校考阶段练习）把多项式2+x ax bw +分解因式得(+1)(-3)x x ，则a.b 的值分别是（）【答案】A【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【详解】∵(x+1)(x−3)=x ⋅x−x ⋅3+1⋅x−1×3=x 2−3x+x−3=x 2−2x−3，∴x 2+ax+b=x 2−2x−3∴a=−2，b=−3.故选A.【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则求出（x+1）（x-3）的值.3．（2021秋·上海·七年级期中）若1a −是25a a m ++的因式，则m 的值是（）A ．4B ．6C ．－4D ．－6【答案】D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式25a a m ++因式分解后有一个因式为1a −， ∴设另一个因式是a k −，即25a a m ++＝()()1a a k −−＝()21a k a k −++，则()15k k m ⎧−+=⎨=⎩，解得：66k m =−⎧⎨=−⎩，故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．A ．5m =，1n =B ．5m =−，1n =C ．5m =，1n =−D ．5m =−，1n =−【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m所以n=-1，m=5．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．5．（2021秋·上海·七年级期中）多项式3333a b c abc −++有因式（）A ．a b c ++B ．c a b +−C ．222a b c bc ac ab ++−+−D ．bc ac ab −+【答案】B【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【详解】原式=33()33()a c b abc ac a c +−+−+=22()[()()]3()a c b a c b a c b ac a c b +−++++−+−=22()[()()3]a c b a c b a c b ac +−++++−=222()[23]a c b a c ac ab ac b ac +−+++++−=222()()a c b a c b ab ac ac +−++++−．故选：B ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．本题还需要熟练掌握立方和立方差公式． 6．（2023·上海·七年级假期作业）给出下面四个多项式：①2232x xy y −−；②22x x y y +−−；③76x xy −；④33x y +，其中以代数式x y −为因式的多项式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】综合提公因式法和公式法，十字相乘法，将四个多项式分解因式，根据分解的结果，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①()()223322x y x y x xy y −−=+−； ②()()()()()()()22221x x y y x y x y x y x y x y x y x y +−−=−+−=+−+−=−++； ③()()()()()()()663333222276x x y x x y x y x x y x y xy x xy x y x xy y =−=+−=+−+−++−； ④()()2323x y x y y x xy =++−+，∴以代数式x y −为因式的多项式为①②③，共3个，故选C ．【点睛】本题考查了公因式的确定，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：21124x x −+=________．【答案】()()38x x −−【分析】根据十字相乘法可进行因式分解．【详解】解：()()2112438x x x x −+=−−；故答案为：()()38x x −−．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．8．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：256x x −−=________．【答案】()()61x x −+【分析】直接根据十字相乘法分解即可．【详解】256x x −−=()()61x x −+，故答案为()()61x x −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【答案】241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+，故答案为：()()241x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．10．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：2x －ay ＋ax －2y ＝________．【答案】()()2x y a −+【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．【详解】解：原式＝()()()()()()22222x ax y ay x a y a x y a +−+=+−+=−+，故答案为：()()2x y a −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 11．（2023·上海·七年级假期作业）如图，边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则2233a b ab +=__________．【答案】225【分析】根据长方形的周长及面积可得出152a b +=，10ab =，将其代入2233a b ab +中即可求出结论．【详解】解：长方形的周长为15，面积为10，152a b ∴+=，10ab =，()22153333102252a b ab ab a b ∴+=+=⨯⨯=．故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出152a b +=，10ab =是解题的关键．【答案】27x y −−/27y x −−【分析】根据平方差公式将4249y x −分解因式，并变形为()()222277y x x y −−−，即可得出答案．【详解】解：∵()()2224224977y x y x y x =−−+()()222277y x x y ⎡⎤=−+−⎣⎦()()222277y x x y =−−−， ∴与()27x y −之积等于4249y x −的因式为27x y −−．故答案为：27x y −−．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−． 13．（2020秋·上海闵行·七年级期中）分解因式：321024a a a +−=____．【答案】()()122a a a +−【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +−=+−=+−．故答案为：()()122a a a +− 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．14．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解a 2－a －6＝_____．【答案】(a ＋2)(a －3)【分析】利用公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++ 公式进行因式分解. 【详解】解：()()()()226323232a a a a a a −−=+−++−⨯=−+ ，故填（a-3）（a+2）【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 15．（2020秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知多项式223x mx ++可以分解成两个一次多项式，则整数m 的值是_____________【答案】7±或5±【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的m 也有4种情况．【详解】解：221=⨯，313=⨯或13−⨯−，∴①2311m =⨯+⨯或2(3)1(1)⨯−+⨯−，即7m =±，②2131m =⨯+⨯或2(1)1(3)⨯−+⨯−，即5m =±，故答案为：7±或5±．【安静】此题主要考查了分解因式−十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：2()()()x m n x mn x m x n +++=++，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 16．（2023·上海·七年级假期作业）已知a ，b ，c 是三个连续的正整数，233124a =，233856c =，那么2b =_____．【答案】33489【分析】利用平方差公式得到()()732c a c a +−=，再根据a 、b 、c 是三个连续正整数得到2c a −=，于是可计算出366c a +=，然后可得c ，从而得到b 的值．【详解】解：()()223385633124732c a c a c a −=+−=−=，∵a 、b 、c 是三个连续正整数，∴2c a −=，∴366c a +=，∴184c =，182a =，∴183b =，∴233489b =．故答案为：33489．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．17．（2023·上海·七年级假期作业）23x +______多项式43225101518x x x x −−++的因式（填“是”或“不是”）【答案】是【分析】假设23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式，则只需将多项式43225101518x x x x −−++进行分组，43225101518x x x x −−++可写成4332223812231218x x x x x x x +−−++++，此时两两一组分解因式即可得到结果．【详解】43225101518x x x x −−++，4332223812231218x x x x x x x =+−−++++，32(23)4(23)(23)6(23)x x x x x x x =+−+++++，32(23)(46)x x x x =+−++，∴23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式．故答案为：是【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 18．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：2244x x a +−+．【答案】(2)(2)x a x a +++−【分析】分组，利用完全平方公式以及平方差公式分解即可求解．【详解】解：2244x x a +−+2244x x a =++−22(2)x a =+−(2)(2)x a x a =+++−．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．20．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式2812x x −+：．【答案】()()26x x −−【分析】根据十字相乘法，进行因式分解即可．【详解】解：()()281226x x x x −+=−−．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法因式分解，是解题的关键．21．（2022秋·上海·七年级校考期末）分解因式：()224516x xy y −−．【答案】()()()22454x y x y x xy y −−−−【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．【详解】解：()224516x xy y −− ()()222254x xy y =−− ()()()()22225454x xy y x xy y ⎡⎤⎡⎤=−+−−⎣⎦⎣⎦ ()()22225454x xy y xxy y =−+−− ()()()22454x y x y x xy y =−−−−．【点睛】本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底．22．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：4289ax ax a −−．【答案】()()()2331a x x x ++−【分析】先提取公因式a ，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．【详解】解：4289ax ax a −−()4289a x x =−−()()2291a x x +=−()()()2331a x x x ++=−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．23．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：23930x x −−．【答案】()()352x x −+．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．【详解】解：23930x x −−()23310x x =−−()()352x x =−+．【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．24．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式：22944a ab b −+−.【答案】()()3232a b a b +−−+【分析】先将多项式分组为()22944a ab b −−+，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：22944a ab b −+−()22944b a a b =−−+()292a b =−−()()3232a b a b =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()3232a b a b =+−−+．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．25．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读并解答：对于多项式32510x x x −++，我们把2x =代入多项式，。

因式分解公式法、十字相乘法-教师版

2、运用公式法‎进行因式分‎解【知识精读】把乘法公式‎反过来，就可以得到‎因式分解的‎公式。

主要有：平方差公式‎ a b a b a b 22-=+-()()完全平方公‎式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式‎a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变‎为两数立方‎和公式。

运用公式法‎分解因式的‎关键是要弄‎清各个公式‎的形式和特‎点，熟练地掌握‎公式。

但有时需要‎经过适当的‎组合、变形后，方可使用公‎式。

用公式法因‎式分解在求‎代数式的值‎，解方程、几何综合题‎中也有广泛‎的应用。

因此，正确掌握公‎式法因式分‎解，熟练灵活地‎运用它，对今后的学‎习很有帮助‎。

下面我们就‎来学习用公‎式法进行因‎式分解【分类解析】1. 把分解因式‎a a b b 2222+--的结果是（）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方‎差公式进行‎分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目‎时，一般先观察‎现有项的特‎征，通过添加项‎凑成符合公‎式的形式。

同时要注意‎分解一定要‎彻底。

2. 在简便计算‎、求代数式的‎值、解方程、判断多项式‎的整除等方‎面的应用例：已知多项式‎232x x m -+有一个因式‎是21x +，求m 的值。