因式分解公式法、十字相乘法教师版

2、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()

立方和、立方差公式

a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：

特别地：（1）当a b c ++=0时，有a

b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）

A. ()()()a b a b -++22

B. ()()a b a b -++2

C. ()()a b a b -++2

D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322x

x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()

由此可得211120

23a a b m b +=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()

由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =12

3. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a

b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。 分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：Θa b c ab bc ac 2220++---=

∴∆ABC 为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数）

则()()232122n n +-+

由此可见，()

()232122n n +-+一定是8的倍数。 5、中考点拨：

例1：因式分解：x

xy 324-=________。 解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223x

y x y xy ++=_________。 解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y ()

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

例1. 已知：a

m b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 222222++-+- =+-++()()a b c a b c 222 =+-()a b c 2

∴原式=

+-()a b c 2 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，，求证：a b c 5550++=

证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()

∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式，

可得abc =0，即a

=0或b =0或c =0 若a

=0，则b c =-，∴++=a b c 5550 若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++=

说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

例3. 若x

y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。 解：Θ

x y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 229-+= 又x xy y 229

2-+=() 两式相减得xy =0 所以x y 229+= 说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】

1. 分解因式：（1）()()a

a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+- （3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+- 2. 已知：x x +=-13，求x x 441+的值。

3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a

b c bc 22220---< 4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc

a b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b

(

)()()111111+++++的值。 【试题答案】 1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]

a a a a 231231=+-+()()4123a a =-+-()()4123a a 说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。

（2）解：原式=---x x y x x y 5222()()=--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()

（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222=-+-()()x y a x y 22

2. 解：Θ()x x x x

+=++121222 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：Θa b c bc 2222---