《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)

⎪⎧(x − x′) + ( y − y′) + (z − z′) = 0 ,
⎪ ⎨
x
2
+
y2
+
z2
=
x′2
+
y′2
+
z′2 ,
⎪ ⎪
x′
=
y′
=
z′ −1.
⎩2 1 0
在方程组中消去 x′, y′, z′ ，可得
………………7 分
2(x2 + y2 + z2 ) − 5(xy + xz + yz) + 5(x + y + z) − 7 = 0. 4．(10 分)解：
(A) 0 或 5； (B) 0 或-5；
(C) 5 或-5；
(D) 无法确定.
2. 在下列曲面中,( )是直纹面.
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 双叶双曲面； (D) 双曲抛物面.
3. 设 3 阶方阵 A 相似于对角矩阵 diag( 1 , 1 , 1 ) ,则 A−1 − E 等于( ). 234
(A) f (α , β ) = x1 y1 − 6x1 y2 − 3x2 y1 + x3 y3 ； (B) f (α , β ) = (x1 + 3y2 − x3 )2 − x2 y3 ；
(C) f (α , β ) = 2 − x1 ；
(D) f (α , β ) = 2 y13 − 4sin x2 + 3 .
3．(12 分) 求直线 x = y = z −1 绕直线 x = y = z 旋转所得旋转曲面的方程. 21 0
4．(10 分) λ 取何值时,下列二次型是正定的：
f (x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 + 3x32 + 2λ x1x2 + 2x1x3 .
5．(10 分) 问 m, p, q 满足什么条件时,有 x2 + mx +1| x3 + px + q ？
答案共 3 页第 1 页
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
μ1 μ1
(
x 3
+
z) 4
+ ν1 (1
(1 −
y 2
)
+ν1(
x 3
+ −
y 2 z 4
) )
= =
0 0
及
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
μ2 μ2
(
x 3
+
z) 4
+ν
2
(1
(1 +
y 2
)
+ν
2
(
x 3
− −
y 2 z 4
) )
= =
0 0
………………4 分
《高等代数与解析几何（下）》期末考试试卷（A 卷）
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 如果 (x +1) | f (x) ，则 f (−1) =
.
2. 系数在数域 K 中的次数小于 n 的多项式构成的线性空间 K[x]n 的维数等
于
.
3. 在 n 维欧几里得空间中，由规范正交基到标准正交基的过渡矩阵是
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
∵dim(V−2 ) + dim(V3 ) = 3，故A可以相似于一个对角矩阵.
………………2 分
⎛ −1 −1 −1⎞
⎛ −2 0 0⎞
取可逆矩阵 T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0
−1⎟⎟ ，使 T −1AT
=
⎜ ⎜
0
1 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0
−2 0
0 3
⎟ ⎟⎟⎠
.
2．(10 分) 解：两条同族直母线为
………………4 分
(A) 11；
(B) 24 ；
(C) 1 ； 24
(D) 6 .
∫ 4. 在 R[x] 中，定义内积 ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx,
则 f (x) = 1, g(x) = x 的夹角
0
是（ ）.
(A) π ； 2
(B) π ； 4
(C) π ； 3
(D) π . 6
5. 设V = K 3 ， α = (x1, x2 , x3 ) ， β = ( y1, y2 , y3) ，下列二元函数中是双线性函数的 为( )．
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
有
个线性无关的特征向量.
5. 在几何空间中,一个不含 x 的方程 F ( y, z) = 0 表示的曲面是
.
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1. 设方阵 A 满足 A2 + 5A = 0 ,则 A 的特征值为( ).
5 5 λ+7 5 5 λ+7
故特征向量为-2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
答案共 3 页第 2 页
当 p = 1− m2 , q = −m 时，有 x2 + mx +1| x3 + px + q .
………………2 分
6．(10 分) 解： q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32 = (x1 − x3 )2 + (x2 + x3 )2 − ( 3x3 )2 ．
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
………………2 分
…………………7 分 ………………6 分
答案共 3 页第 3 页
………………4 分
令
⎧ ⎪ ⎨
y1 y2
= =
x1 x2
− x3 + x3
,
⎪⎩ y3 = 3x3
即
⎧ ⎪
x1
=
y1
+
⎪⎪ ⎨
x2
=
y2
+
⎪
1 3 y3
1 3
y3
．
⎪ ⎪⎩
x3 =
1 3
y3
………………4 分
则有： q(x1, x2 , x3 ) = y12 + y2 2 − y32 ． 7．（13 分）证明：
………………5 分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
……………5 分 ………………2 分
5．（10 分）解：
x3
+ px + q x2 + mx +1
x3 + mx2 + x
x−m
−mx2 + ( p −1)x + q
−mx2 − m2 x − m ( p −1+ m2)x + q + m
………………2 分 ………………1 分
………8 分
将点（-3,-2, 4）代入，求得: μ1 : v1 = 1:1，ν2 = 0.
………………4 分
故直母线方程为：
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x 3 x 3
+ −
y 2 y 2
+ −
z 4 z 4
+1 +1
= =
0 0
及 ⎪⎨⎪⎧⎪⎩⎪13x++2y4z==00
.
………………2 分
3．(12 分)解：原点 O 在旋转轴上，且轴的方向向量是ξ = (1,1,1) .可得方程组：
命题共 2 页第 2 页
参考答案及评分细则
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 0
2. n
3. 正交
4. n
5． 母线平行于 x 轴的柱面
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1． B 2． D 3． D 4． D 5． A
三．解答题：（共 80 分）
1．（15 分）
λ − 3 −5 −5 λ + 2 0 λ + 2 解： χA (λ) = λE − A = −5 λ − 3 −5 = 0 λ + 2 λ + 2 = (λ + 2)2 (λ − 3) ，