离散数学-图论
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
图论是离散数学
1
2
比如，顶点3的度是3。
3
Input Output
Total
4
5
• 有向图中，分入度和出度两部分，满足： TD(v) =
ID(v) + OD(v) 。
1
2
比如，顶点3的入度是1，出度为1，
度为2
3
4
7.2 图的相关术语
7.2.5 度
• 一般地，若图G中有n个顶点，e条边或弧，则图中
边与顶点的度的关系如下：
能否从河岸或小岛 出发，通过每一座 桥，而且仅仅通过 一次回到原地？
1736 年 29 岁的欧拉解决了该问题，这也意味新的 数学分支——图论的诞生
7.1 图的定义和基本术语
7.1.1 背景
• 四色问题（世界三大数学难题之一）
证明不论地图多么复 杂，最多使用四种颜 色就能保证相邻地区 使用不同颜色。
• G1是有向图（包含弧的图）
7.1 图的定义和基本术语
1
2
3
4
G1
7.1.3 图的基本术语
• G2是无向图（没有弧的图） • G2中有边(1,4), (1,2), (2,3),
(2,5), (3,5), (3,4) • 无序对（x，y）表示x和y之间的
一条边（edge）。所谓无序对， 就是指（x，y）等同于（y，x） • 1条边等于2条弧，即(1,4)等于 <1,4>加上<4,1>
• 图就是数据元素间为多对多关系的 1
2
数据结构。怎么理解？
3
• 线性表是一对一关系：每一对结点
中，前者只有一个直接后继，后者只 4
5
有一个直接前驱
• 树是一对多关系：每一对结点中，前者可能有多个直
离散数学——图论
提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完 全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。
基本通路一定是简单通路，但反之简单通路 不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。
定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长 度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。 任一通路中如果删去所有回路，必得基本通 路。 任一回路中如删去其中间的所有回路，必得 基本回路。
例1：教材121页。
结点次数
引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)
结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为 结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展
图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
有向连通图
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
离散数学-图论
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G‘=〈V’，E‘〉，使得V’是V的子集， E‘是E的子集，则称G‘是G的子图。 • 如果G的子图G‘包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
图论
可达性矩阵
• 设G=〈V，E〉是图，V={v1, v2,…, vn}， 建立n阶方阵P(G)=(aij)，使得 aij =1， 从vi到vj至少存在一条路； aij =0，否则， 则称P(G)为图G的可达性矩阵。 比较：可达性矩阵与邻接矩阵的区别
图论
思考
• 邻接矩阵与可达矩阵之间有什么联系？ • 如何从邻接矩阵计算出可达矩阵？
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。 • 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。 • 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。 • 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！ • 连通性所划分的等价类是什么？
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集； • 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
14
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
19
第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学第8章 图论
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
离散数学——图论
2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
2021/10/10
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❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
2021/10/10
30
离散数学 图论-通路与回路
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。
3、通路的表示：
可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度 小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于 n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度 小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
（3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算 （4）A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2 的通路条数：
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj 由此可推断，A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目 （5）定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的
注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立
单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}．
D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学-图论
若图 G 是连通图，则 G 只有一个分图。
27
用第二章“关系”的概念解释分图的概念如下：
设有图 G = (V, E)，其中 V 有 n 个结点。在 V 上定义一个二
元关系 ，当且仅当从 vi 到 vj 有路连接时，vi vj。 图 G 中结点之间的连接关系 是 V 上的一个等价关系。
要求的 V 到 V 的双射函数 h。
因为这两个图中边与结点的关联关系不相同。
例如，在 G 中度为 3 的 4 个结点构成一个长为 4 的环，而在
G 中度为 3 的 4 个结点没有构成长为 4 的环。
23
五、子图与分图
利用子集的概念可定义图 G 的子图。 定义8-7 设有图 G1 = (V1, E1) 和图 G2 = (V2, E2)， (1) 若 V2 V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的子图，或称 G1 包含 G2，记作 G2 G1； (2) 若 G2 G1 但 G2 G1（即 V2 V1 或 E2 E1），则称 G2 是 G1 的真子图，记作 G2 G1； (3) 若 V2 = V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的生成子图。 显然，任一图 G 都是自己的子图。
8
例2 (a), (b) 分别给出了例 1 中图 G 的图解方法5
(a)
矩阵表示法
v1 v2 v3 v4 v5 (b)
用矩阵的方法也可以表示一个图。在 8.2 节中我们再专门讨论。
9
二、完全图与补图
v1
(n, m) 图
具有 n 个结点和 m 条边的图称为 (n, m) 图。
例1 设 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，
离散数学中的图论入门
离散数学中的图论入门图论是离散数学的一个重要分支，研究的对象是图。
图是由一些点和连接这些点的边组成的数学模型，可以用来描述现实世界中的各种关系和问题。
本文将介绍图论的基本概念和常见应用，帮助读者初步了解图论的入门知识。
一、图的定义与基本术语图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合是图中的点的集合，用V表示；边集合是图中连接顶点的边的集合，用E表示。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系；无向图中的边是无方向的，表示两个顶点之间的关系。
图还可以分为简单图和多重图。
简单图中不存在重复的边和自环（起点和终点相同的边）；多重图中可以存在重复的边和自环。
图中的边可以带权重，表示顶点之间的距离、代价或其他属性。
带权图可以用来解决最短路径、最小生成树等问题。
图的度是指与顶点相关联的边的数量。
对于无向图，顶点的度等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边的数量和从该顶点指出的边的数量。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于稠密图，但对于稀疏图来说，会浪费较多的存储空间。
邻接表是由若干个链表构成的数组，数组的每个元素对应一个顶点，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
邻接表适用于稀疏图，可以有效地节省存储空间。
三、常见的图论算法与应用1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，通过递归的方式依次访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
DFS可以用来解决连通性、可达性等问题。
2. 广度优先搜索（BFS）：BFS也是一种用于遍历图的算法，通过队列的方式按层次遍历图中的顶点。
BFS可以用来求解最短路径、网络分析等问题。
3. 最小生成树（MST）：最小生成树是指在连通图中选择一棵生成树，使得树中所有边的权重之和最小。
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
21
连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
20
14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
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G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
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38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
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3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
高等数学中的离散数学与图论
高等数学是大学数学教育的一门重要课程，它包含了广泛的数学知识和应用，其中离散数学与图论是其重要的分支之一。
离散数学与图论主要研究的是离散对象及其性质，如集合、函数、关系、图等。
离散数学的思维方式迥异于传统的解析数学，它更加关注于离散的实际问题，对于计算机科学、通信工程、运筹学等应用学科具有重要意义。
图论作为离散数学的一部分，是研究图及其性质的数学分支。
图是由若干个点与连接它们的边所构成的数学结构，用于刻画实际问题中的关系和连接。
图论研究的问题包括图的遍历、最短路径、网络流等。
以最短路径问题为例，假设有一个城市网格，每个点代表一个路口，每条边代表两个路口的连通关系，我们想要找到从一个路口到另一个路口的最短路径。
图论提供了一种抽象的方法来解决这个问题，通过建立图，计算图中的最短路径，就可以找到两个路口之间的最短路径。
离散数学和图论在实际问题中扮演着重要的角色。
它们广泛应用于计算机科学领域，如网络建模、算法设计等。
以网络建模为例，离散数学提供了一种抽象的方法来描述网络中的关系，如节点之间的连接、数据的传输等。
借助离散数学的工具，可以对网络的特性进行分析和优化。
图论在算法设计中也发挥了重要作用，例如最短路径算法和最小生成树算法等都是图论中的经典算法。
这些算法在计算机科学中起着重要的作用，被广泛应用于路线规划、网络设计、数据比对等领域。
除了计算机科学领域，离散数学与图论还在其他学科中有广泛的应用。
在通信工程中，离散数学用于设计和优化信号传输的方法，如纠错码和调制解调器等。
在运筹学中，离散数学和图论可用于解决诸如旅行销售员问题、背包问题等组合优化问题。
离散数学和图论的方法不仅解决了这些实际问题，更深入地探索了问题的本质，为我们理解和解决更加复杂的问题提供了思路和方法。
总而言之，高等数学中的离散数学与图论是一门重要的学科，它们集中研究了离散对象及其性质，对于计算机科学、通信工程、运筹学等学科具有重要作用。
离散数学和图论的方法与传统的解析数学有所不同，更加关注实际问题，通过建立抽象的模型来解决实际问题。
离散数学图论
1
2
3
(3)为(1)的生成子图，(2)为(1)的真子图。
补图
定义7 设图G=<V, E> ,若G是n阶无向图，则G的补图为： KnG。即为n阶完全无向图与G的差。若G是n阶有向图， 则G的补图为：n阶有向完全图与G的差。
（这一节介绍了图的一些基本概念，如图的定义，图 中顶点的度，图的所有顶点的度为边的2倍，且一个 图中有偶数个奇顶点，简单图等的定义，图的运算， 子图，补图的一些概念。要掌握这些简单的定义）
e3
d e2
d 1 1 1 0 0
c
e
0
0
0
0
0
有向图的矩阵表示
与无向图相对应，有向图也有类似的矩阵表示。 如右图：
称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接的。 若边e对应的是无序偶{a,b},则称e为无向边。同样
称a,b是端点，称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接 的。 每一条边都是有向边的图，称为有向图。每条边都 是无向边的图，称为无向图。
图中不与任何顶点邻接的点称为 孤立点。全都是孤 立点的图称为零图。关联于一个顶点的边称为自回路， 也称为自圈。
哥尼斯堡七桥问题
城的四个陆地部分分别表以A，B（大岛），C，D（小岛)， 将陆地设想为图的顶点，把桥画成相应的边，
A
B
D
C
则问题等价于在图中从某一顶点出发找一条回径，通过它的每条 边一次且仅一次，并回到原顶点。
（你能否看出，此问题无解，即这样的走法不存在呢？）
主要内容
1.图的基本概念 2.路径与回路 3.图的矩阵表示 4.几种特殊的图 5.无向树, 有向树
定义5 在有向图G中，如果在任两个顶点中，存在从一个顶点到 另一个顶点的路径，则称图G为单向连通的。如果在G中，任 何两个顶点都互相可达，则称G为强连通的。如果它的基础图 （底图）是连通的，则称之为弱连通的。
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图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！ • 连通性所划分的等价类是什么？
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集； • 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
图论
割点的判定
• 设无向图G=〈V，E〉是连通图，结点v 是G的割点的充要条件是存在结点u和w， 使得u和w的每一条路都经过结点v.Fra bibliotek论点连通度
• 若G是不完全图，定义点连通度k(G)为结 点数最少的点割集的结点数，即从G中最 少删除k(G)个结点后，图G即成为不连通。 • 注意： • 若G不连通，则k(G)=0； • 若G存在割点，则k(G)=1； • 规定完全图Kp的k(Kp)=p-1 （为什么？）。
图论
边割集
• 设无向图G=〈V，E〉为连通图，若有边 集E1是E的真子集，使得图G在删除了E1 中所有边后，所得的子图是不连通的， 而在删除了E1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称E1是G的一个边 割集； • 如边割集中仅有一条边则称此边为割边 （或称为桥），即使得w(G-e)>w(G).
• 设G=〈V，E〉和G„=〈V‟，E„〉都是图， 且两个图的结点和边分别存在一一对应 关系，且保持相应的关联，则称两个图 同构。 • 两个图同构说明一个图的两种画法。
图论
路与回路
• 设G=〈V，E〉是图，v0, v1,…, vn ∈V， e1, e2,…, en∈E, 其中 ei=< vi-1, vi >, 交替序 列v0e1v1e2…envn称为从v0连接到vn的路。 • v0是此路的起点，vn是此路的终点。 • 路中边的数目是此路的长度。 • 当起点与终点相等时，此路称为回路。 • 注意：对于简单图的情形，可以仅用结 点序列或边序列来表示路或回路。
图论
特殊的路与回路
迹：路中所有的边均不相同； 通路：路中所有的结点均不相同； 圈：回路中除起点与终点外的结点均不相 同；
图论
路的性质
• 在一个具有n个结点的图中，如果从结点 vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结 点vk一定存在一条不多于n-1条边的路， 即存在一条边数小于n的通路。 • 此结论对于有向图和无向图都适用吗？
图论
无向图的连通性
• 在无向图G中，结点u和v之间如果存在一 条路，则称这两个结点是连通的。 • 如果G中任意两个结点之间都连通，那么 称图G为连通图。
图论
无向图的连通分支
• 如果无向图G不连通，而G1是G的子图， 且G1是连通的，则称G1是G的一个连通 子图。 • 如果连通子图G1是最大的连通子图，即 增加任意一个G中的结点到G1，将使得 G1成为不连通，那么称G1是G的一个连 通分支。 G的连通分支的个数记为w(G)。 • 一个无向图G是连通的当且仅当w(G)=1。
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。 • 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。 • 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。 • 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
图论
差图
• 设G„=〈V‟，E„〉是G=〈V，E〉的子图， 若给定另外一个子图G“=〈V”，E“〉使得 E“ =E- E„ ，且V”中仅包含E“的边所关联 的结点，则称G“是图G与子图G„的差图， 或称子图G„相对于图G的补图，记作 G“ =G- G„ 。显然，同时有G„ =G- G“ 。
图论
图的同构
图论
有向图度数的性质
• 在任何有向图中，所有结点的入度之和 等于所有结点的出度之和，并等于图中 边的个数。 • 孤立结点的入度和出度均为0 • 有向环的对应结点的入度和出度均增加1
图论
无向图的度
• 在无向图G=〈V，E〉中，与结点相关联 的边的个数称为该结点的度数，记作 deg(v)。 • 在无向图G=〈V，E〉中，结点度数的总 和是边数的两倍。 • 在无向图G=〈V，E〉中，度数为奇数的 结点必定是偶数个。
图论
邻接点与特殊的图
• 在一个图中，若两个结点由一条边关联， 则称这两结点是邻接点。 • 不与其它任何结点相关联的结点称为孤 立结点。 • 仅由孤立结点组成的图称为零图。 • 仅由一个结点组成的图称为平凡图。 • 任意两个结点都相邻的图称为完全图。
图论
思考
• 有n个结点的无向完全图Kn有多少条边？ • 有向图的情形呢？
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G„=〈V‟，E„〉，使得V‟是V的子集， E„是E的子集，则称G„是G的子图。 • 如果G的子图G„包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
图论
图的抽象性及方向性
• 图的结点与连接都是一种抽象的表示，其位置 与长度没有意义。 • 如果边是两个结点之间的有序偶，则称该边是 有向边，记为〈vi, vj〉。包含有向边的图为有 向图。 • 如果边是两个结点之间的无序偶，则称该边为 无向边，记为（ vi, vj ）。包含无向边的图为无 向图。 • 注意：既有有向边又有无向边的图称为混合图。
图论
抽象的图
• 一个图G是一个三元组〈V(G), E(G), φG〉，其中V(G)是一个非空的结点集合， E(G)是边集合， φG是从边集合到结点集 合的函数。 • 如果把φG总是看成是结点之间的一种关 联，并在E(G)中清楚地描述这种关联， 那么一个图G通常简记为一个二元组序偶 形式G=〈V，E〉，其中V是一个非空结 点集合，E是连接结点的边的集合。