硕士高等土力学极限平衡法
刚体极限平衡法的名词解释
刚体极限平衡法的名词解释导语：极限平衡法（Limit Equilibrium Method）是一种用于求解土体和岩石坡体稳定性的常用方法，主要依据了刚体力学原理和平衡条件。
本文将解释极限平衡法的概念、原理以及在工程实践中的应用。
一、概念解释极限平衡法是一种经典的土体和岩石稳定性分析方法，其基本思想是，当土体或岩石予以允许的变形和破坏时，仍能保持总体的平衡状态。
该法简单而直观，假定土体或岩石以刚体形式存在，并运用静力平衡原理，寻找使坡体维持稳定的最不利条件。
二、原理解释1. 刚体假设极限平衡法假设土体或岩石均为刚体，意味着在其内部无内部变形，任何一个切面上的应力均为平衡的。
尽管实际情况中土体和岩石的变形符合连续介质力学的原理，但在小范围内近似将其视为刚体，有助于简化分析计算。
2. 静力平衡条件在极限平衡法中，静力平衡被视为稳定的一个必要条件。
考虑力的平衡条件是基于牛顿第三定律，即外力和内力之和为零。
通过在不同切面上施加斜坡、自重和外部荷载等力的平衡，可以确定最不利的力组合。
三、应用解释1. 坡体稳定性分析极限平衡法广泛应用于土体和岩石坡体的稳定性分析。
通过将坡体看作一个刚体，应用静力平衡条件，可以确定坡体的最不利荷载作用下的稳定状态。
根据判断坡体稳定与否的判据，如Fellenius判据、Bishop判据等，可以预测土体或岩石的稳定性。
2. 边坡工程设计极限平衡法对于边坡工程设计具有重要的意义，其可以用于判断边坡的整体稳定性以及寻找在边坡上最不利的滑动面。
根据切坡角度、土壤和岩石的强度参数以及设计荷载等参数，可以确定边坡的安全系数，并针对不同情况进行合理的设计和加固。
3. 基坑和挖掘工程极限平衡法也常应用于基坑和挖掘工程的稳定性分析。
通过将基坑看作一个刚体，分析土体受力平衡条件，可以评估基坑的稳定性状况。
在土体坍塌、基坑支护结构选取等方面，极限平衡法为工程设计提供了重要的理论基础。
结论：刚体极限平衡法是一种用于分析土体和岩石稳定性的重要方法。
极限平衡法介绍
极限平衡法介绍————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法,根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦-普瑞斯（Mor ｇｅns ｔern-P ｒice ）法、毕肖普（B ｉshop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Mor ｇens ｔｅrn-Pri ｃe)法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Ｊanb ｕ推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法(即微增量法),滑面形状任意,通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
Z i +1Z il i b iKWi WiNi EiXiXi +1 δ i α i Ei+1Tiyx图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00Y X可解得平衡条件:（12—1)式中：sii si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c •••++••+•+•••++••+•+=-------- αααα)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•= 11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式(12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
极限平衡法介绍
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop 法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为T i =c i l i F s+N i tanφiF s（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i −∑T i R =0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。
高等土力学
论述极限平衡理论的应用与发展状况—高等土力学读书报告1.前言边坡稳定分析是土力学中很值得研究的一个学术领域，而极限平衡法则在边坡稳定分析方法中应用是最早最广泛的。
该法以Mohr -Colomb强度理论为基础，通过分析土体在破坏那一刻的静力平衡来求得问题的解。
它没有像传统的弹塑性力学那样，引入应力应变关系来求解本质上为静不定的问题，而是引入了一些简化假定，从而使问题变得静定可解。
这种处理使方法的严密性受到了损害，但对稳定性计算结果的精度影响并不大，由此带来的好处是使分析计算工作大为简化。
这也是迄今为止国内外对边坡稳定问题的分析仍广泛采用极限平衡法的原因所在。
2.常用的极限平衡方法极限平衡法[1-2]是以极限平衡理论为基础，通过分析边坡上的滑体或滑块处于临界状态下的力的情况，求出极限破坏荷载和最危险滑动面，是工程实践中应用最早、最普通的一种定量分析方法，也是目前应用最多的一种分析方法。
边坡极限平衡法关键是建立在岩土边坡稳定安全系数Fs的基础上，将坡体的热剪强度参数降低Fs倍后，达到临界破坏状态下的滑动面满足Mohr-Coulomb强度准则。
极限平衡分析法基本假设有两点：一是认为当坡体的强度指标降低Fs倍以后，坡体内存在一达到极限平衡状态的滑面，滑体处于临界失稳状态。
这里，Fs 为坡体的稳定性系数。
第二点是认为对滑体进行剖分后，各条块为刚性块体，只发生整体运动而不变形。
目前己有了多种极限平衡分析方法，如：Fellenius法、Bishop法、Jaubu法、Morgenstern-Prince法[3-4]、Spencer法、不平衡推力法、Sarma法[5]、楔体极限平衡分析法等等。
其中Sarma法既可用于滑面呈圆弧形的滑体，又可用于滑面呈一般折线形滑面的滑体极限平衡分析；楔体极限平衡分析则主要用于岩质边坡中由不连续面切割的各种形状楔形体的极限平衡分析。
与其它方法相比，极限平衡法的缺点是在力学上作了一些简化假设，但该方法抓住了问题的主要方面，且简易直观，并有多年的实用经验，若使用得当，将得到比较满意的结果。
高等土力学教材 第六章 土工数值分析(一)土体稳定的极限平衡和极限分析
土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。
很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。
Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。
Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。
W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。
但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。
下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。
有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。
极限平衡法介绍
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop 法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为T i =c i l i F s+N i tanφiF s（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i −∑T i R =0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。
土的强度理论——极限平衡条件
表示，如图7-4（c），即在 - 直角坐标系中，按一定的比例尺，沿 轴截取OB和OC
分别表示 和 ，以O1点为圆心， 为直径作圆，从O1C开始逆时针旋转2 角，得O1A线。 可以证明，A点的横坐标即为斜面mn上的正应力 ，纵坐标即为斜面mn上的剪应力 。 该点所对应的圆心角2 表示该方向面与最大主应力面间的夹角的二倍（从大主应力 面逆时针旋转为正）。因此，莫尔应力圆可以表示土体中一点的应力状态，圆周上 各点的坐标表示土体该点相应斜面上的正应力和剪应力。由莫尔应力圆可知，最大 剪应力值 ，作用面与最大主应力作用面的夹角为45°。
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土的强度与地基土承载力的确定
7.2.2土的极限平衡条件
由于土中某点A可能发生剪切破坏的面的位置一般不能预先确定，该点往往处
于复杂应力状态，无法利用库仑定律直接判别该点是否会发生剪切破坏。为了建立 实用的土的极限平衡条件，可将该点的抗剪强度包线与莫尔应力圆画在同一坐标图 上，观察应力圆与抗剪强度包线之间的位置变化。随着土中应力状态的改变，应力 圆与抗剪强度包线之间的位置关系有三种情况，如图7-5所示，土中也将出现相应的 三种平衡状态：
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土的强度与地基土承载力的确定
7.2.1土体中任一点的应力状态
为简单起见，以下仅研究平面应变问题。在土体中任取一微单元体，如图7-4
（a）所示，设作用在该单元体上的大、小主应力分别为 和 ，在微单元体内与主应 力 作用平面成任意角 的mn平面上有正应力 和剪应力 。取楔形脱离体abc如图7-4 （b）所示。
土的强度与地基土承载力的确定
式（7-1）、（7-2）一起统称为库仑公式或库仑定律， 、 反映了土的抗剪强
度规律，称为土的抗剪强度指标。从式（7-1）可以看出，无黏性土（如砂土）的
高等土力学主要知识点整理（李广信版）
高等土力学主要知识点整理（李广信版）第二章土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
极限平衡法
圆弧形条分法
瑞典费兰纽斯等人所创立，也叫瑞典法。
针对平面问题，假定可能的滑面为圆弧形，位置和安全系数经反复试算确定，计算中不考虑条块间的作用力。
（1）计算方法
1.在已给定的边坡上，做出任意通过坡脚的圆弧AC ，半径为R ，以此圆弧作为可能的滑动面，将滑动面以上的土体分为几个条块。
A B
C
O
L i T i
W i N i αi
N i T i
T 2T 1E i
E i
W i
2.计算作用在每一个条块上的力，将每一个条块的自重W i 分解为垂直于滑动面的法向压力N i 和平行于滑动面的切向力T i ，即：
i i i i
i i W T W N ααsin cos ==
作用于该条块所对应的长为L i 还有摩擦力N i tg φ和内聚力CL i ，这些都是抵抗滑动的力。
在条块分界面上还有E 1，E 2，T 1，T 2等力，为了简化计算，假定E 1=E 2，T 1=T 2。
计算中这些力不预考虑。
3.计算和条块的下滑力对滑弧圆心O 点的力矩M 1：
i n
i i n i i W R T R M αsin 1
11∑∑==== 4.计算各条块抗滑力对O 点的力矩M 2： )cos ()(1
12φαφtg W CL R tg N CL R M i i i n
i i i n i +=+=∑∑== 5.计算安全系数F s ∑∑∑∑+=+==i i i i s i
i i i i s a W tg W CL F a W R tg W CL R M M F sin cos sin )cos (12φαφα。
高等土力学主要知识点整理(李广信版)
第二章 土的本构关系（一）概述材料的本构关系是反映其力学性能的数学表达式，一般为应力-应变时间-强度的关系，也称本构定律、本构方程。
土的强度是土受力变形的一个阶段，即微小应力增量小，发生无限大(或不可控制）应变增量，实际是本构关系一个组成部分，是土受力变形的最后阶段。
第一应力不变量kk z y x I σσσσ=++=1第二应力不变量kk yz xz xy z y z x y x I στττσσσσσσ=---++=2222第三应力不变量22232xyz xz y yz x yz xz xy z y x I τστστστττσσσ---+= 坐标系选择使剪应力为零 3211σσσ++=I ,3231212σσσσσσ++=I 3213σσσ=I 球应力张量)(31)(3131321332211σσσσσσσσ++=++==kk m 偏应力张量ii kk ij ij s δσσ31-=，其中⎩⎨⎧=≠=j i j i ii 10δ，克罗内克解第一偏应力不变量01≡=kk s J 第二偏应力不变量()()()[]23123222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J 第二偏应力不变量()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J 1.土的应力应变特性：非线性（应变/加工硬化、应变/加工软化）、剪胀性、弹塑性、各向异性、结构性、流变性（蠕变、应力松弛）。
加工硬化：应力随应变增加而增加，但增加速率越来越慢，最后趋于稳定（正常固结黏土、松砂）加工软化：应力一开始随应变增加而增加，超过一个峰值后，应力随应变增加而减小，最后趋于稳定（超固结黏土、松砂）剪胀性：剪应力引起的体积变化，含剪胀和剪缩土的结构性：由土颗粒空间排列集合、土中各相和颗粒间作用力造成，可明显提高土的强度和刚度。
灵敏度：原状黏性土与重塑土的无侧限抗压强度之比土的蠕变：应力状态不变条件下，应变随时间逐渐增长的现象，随土的塑性、活动性、含水量增加而加剧土的应力松弛:维持应变不变，材料内应力随时间逐渐减小的现象压硬性：土的变形模量（指无侧限，压缩模指完全侧限）随围压而提高的现象。
极限平衡法和有限单元法混合分析土坡稳定
第15卷第3期 2006年3月中 国 矿 业CHINA MINING MAG AZINE Vol.15,No.3March 2006极限平衡法和有限单元法混合分析土坡稳定3康亚明 杨明成 胡艳香(宁夏大学土木与水利工程学院・银川750021) 摘 要:利用有限单元法和极限平衡法对一边破稳定性进行了计算机模拟及计算分析。
确定了滑动面的位置和形式,然后用刚体极限平衡法计算安全系数。
这样不仅考虑了土体的应力-应变关系,同时能很方便的计算出土坡稳定的安全系数。
避免了极限平衡法单独计算时反复试算这一过程。
这两种方法联合应用可以互相补充,因此充分发挥了两者各自的优点。
关键词:ANSYS 有限元单元法 安全系数 边坡稳定性 刚体极限平衡法 混合分析 中图分类号:TU457 文献标识码:B 文章编号:1004-4051(2006)03-0074-04MIXED ANALYSIS ON SLOPE SABI L IT Y B Y L IMIT EQUI L IBRIUMMETH OD AN D FINITE E L EMENT METH ODKang Yaming Yang Mingcheng Hu Yanxiang(School of Civil and Hydraulic Engineering ,Ningxia University ・Y inchuan 750021) Abstract :Based on limit balance method and finite element method ,computer analogue and calcula 2tions analysis are carried out to the stability.We get the form and position of failure surface ,and then cal 2culate factor of safety with general limit equilibrium method.The nonlinear stress -strain relationship was considered ,meanwhile the calculation of safety factor of slope becames easy.Also repeating calculation based on limit balance method was avoided.The two methods can be supplementary to each other through associate application.So respective merit of them has been brought to play f ully. K ey w ords :ANSYS finite element factor of safety slope stability general limit equilibrium meth 2od mixed analysis3资助项目:教育部科学技术研究重点项目(编号:205174)收稿日期:2005-09-19作者简介:康亚明(1980-) 男 2004级结构工程专业硕士研究生引言边破稳定性分析是岩土力学与工程中最重要的理论与实践课题之一,也是经典土力学最早试图解决而至今仍未圆满解决的课题。
极限平衡法的几种方法介绍
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为（1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得（2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出(6)代入式(5)，简化后得(7)当采用有效应力法分析时，重力项将减去孔隙水压力，并采用有效应力强度指标有(8)在计算时，一般可先给假定一值，采用迭代法即可求出。
根据经验，通常只要迭代3~4次就可满足精度要求，而且迭代通常总是收敛的。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
极限平衡法
1定义（两种）极限平衡法是岩土体稳定性分析方法之一。
通常根据作用于岩土体中潜在破坏面上块体沿破坏面的抗剪力与该块体沿破坏面的剪切力之比，求该块体的稳定性系数。
[1]分析岩体和土体稳定性时假定一破坏面,取破坏面内土体,为脱离体计算出作用于脱离体上的力系达到静力平衡时所需的岩土的抗力或抗剪强度,与破坏面实际所能提供的岩土的抗力或抗剪强度相比较,以求得稳定性安全系数的方法,或根据所给定的安全系数求允许作用外荷载的方法.2目前常用的二维极限平衡分析方法有：瑞典法（亦称作Fellenious法）、简化Janbu 法、Bishop简化法、严格Janbu法、Lowe-Karafiath（罗厄）法、美国陆军工程师团法、Morgenstern-Price法、Spencer法、垂直条分Sarma法、斜条分Sarma法、传递系数法等，区别主要在于条间力假设。
这些方法都是假定滑体各分条块在某种条件下（超载或材料强度折减）在剪切面上都达到极限平衡状态，并将超载倍数或强度折减的系数定义为边坡稳定的安全系数。
上述各种极限平衡分析方法是一些基本的分析方法，在分析中需要进行迭代计算，在计算时会遇到迭代不收敛及计算精度问题。
随着岩土力学、数值分析方法和计算机技术的发展，许多学者对这些分析方法进行了不断地改进、发展与完善。
在边坡、坝基和其他建筑物的抗滑稳定分析中，极限平衡法是工程中普遍采用的方法；Spencer 和Morgenstern and Price method 都是严格的极限平衡；Fredlund和Krahn通过对不同分析方法的比较，得出Morgenstern-Price法是最优方法。
在二维分析的基础上，一些学者对边坡抗滑稳定的三维极限平衡分析方法进行了研究，将二维时的分条变成了三维时的分条柱，其分析方法的基本思路与二维一致。
三维极限平衡分析时将二维时的分条变成了三维时的分条柱，其分析方法的基本思路与二维一致。
三维极限平衡法计算的稳定安全系数均高于二维极限平衡平面法，三维法计算结果更接近真实性，二维法偏于保守。
边坡稳定分析的极限平衡法,是土力学中的一个经典的领域
岩质边坡稳定分析程序EMU使用手册1前言传统的边坡稳定极限平衡分析法采用垂直条分法，这个方法没有考虑岩质边坡中存在断层、节理等不连续结构面的特征。
在自然界中，绝大部分岩体至少存在一组陡倾角的结构面。
滑体沿某一滑裂面滑动的同时在其内部也产生沿陡倾角结构面的剪切破坏。
因此使用多块体破坏模式来分析岩质边坡的稳定性有一定的合理性。
Sarma首先提出对滑坡体进行斜分条的极限平衡分析法。
而这些条块的倾斜界面即为这一组陡倾角的结构面。
该法假定沿条块面也达到了极限平衡，这样，通过静力平衡条件即可唯一地确定边坡的安全系数或加载系数。
其它学者也提出了类似的方法。
这个方法受到Hoek教授的推崇(Hoek, 1983)。
近十多年来，许多学者致力于塑性力学的极限分析理论在边坡稳定领域的应用研究，并取得了一些进展。
例如，Sokolovski (1954), Booker（1972）等人根据塑性力学理论，创造了滑移线理论，但是他们的这种方法仅局限于边坡几何形状与物理条件十分简单的情况。
Sloan(1988,1989)运用有限元方法和线性规划方法给出了下限与上限分析方法，但是未见这种方法的实际应用的例子。
事实上，由于数值收敛困难、合理的变形模式难以确定等众多问题都未能得到很好的解决，这类方法很难在实际中得到运用。
1991年，Giam 和Donald在已有研究工作的基础上，成功地将塑性力学的上限定理运用到边坡稳定分析领域，即边坡稳定分析的能量法。
这种方法将滑动土体划分为一种多块体模式，然后基于摩尔－库仑破坏准则及相关联流动法则，构造一个协调位移场，并根据虚功原理，求出边坡安全系数的上限。
1992年，我国学者陈祖煜在澳大利亚Monash 大学任高级研究员期间，与Donald教授合作，对这一方法做出了重要发展。
并且在中国水利水电科学研究院岩基室研究人员的共同努力下，得到了完善和推广：在理论方面，提出了计算速度场的微分方程和相应的解，相应的功能平衡方程在一些具体的情况下可以回归到Sokolovski的滑移线理论解，一系列的算例表明，这一方法可与50年代Sokolovski提供的滑移线方法获得完全一致的结果。
硕士高等土力学极限平衡法
硕士高等土力学极限平衡法简介硕士高等土力学极限平衡法是土力学中的一种分析方法，用于研究土体在极限状态下的力学行为。
该方法是以学界著名学者Alfreds R. Jaeger和John N. Huddleston提出的边坡稳定分析理论为基础，根据边坡的工程实例对理论进行了验证和修正，形成了一套较为完整的分析方法。
原理该分析方法基于以下几个假设：1.边坡的稳定取决于其剪切强度；2.边坡的结构可以视为一个由土体和水组成的复合体系；3.边坡的力学行为是由多个因素的相互作用所决定的。
根据以上假设，极限平衡法首先将复合边坡体系分解为若干简单的力学元件，然后分别对每个元件进行力学分析，从而得到边坡的稳定状态。
具体来说，该方法可以被描述为以下几个步骤：1.确定边坡的几何形状和土体性质；2.将边坡分解为若干较小的力学元件；3.对每个元件进行平衡分析，确定其相应的稳定因素；4.整合所有力学元件的稳定因素，得出边坡的稳定状态；5.比较边坡的稳定状态和其实际状态，分析边坡是否具有稳定性。
应用硕士高等土力学极限平衡法被广泛应用于边坡工程、挖掘工程、隧道工程等土力学领域。
在实践中，该方法常被用于评估边坡的稳定性、确定边坡的最大可支撑高度、计算边坡的稳定系数等。
此外，该方法还可以进行隧道围岩的稳定分析、基坑支撑设计等。
优缺点作为土力学领域的一种分析方法，硕士高等土力学极限平衡法具有以下优点：1.该方法适用于各种类型的土体和边坡；2.该方法分析较为简便，可快速得出稳定性；3.该方法还可以考虑多种因素对边坡稳定性的影响。
但是，该方法也存在一些缺点：1.该方法忽略了土体内部的应力分布信息；2.该方法对随机因素的处理较为困难；3.该方法对土石块、软土等具有一定局限性。
硕士高等土力学极限平衡法是一种土力学分析方法，主要用于研究土体在极限状态下的力学行为。
该方法基于边坡稳定分析理论和工程实践，制定了较为完整的分析流程，并在土力学的多个领域得到了广泛应用。
极限平衡法介绍
基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法、毕肖普（Bishop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price ）法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu 推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程 可解得平衡条件：23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c ∙∙∙++∙∙+∙+∙∙∙++∙∙+∙+=-------- αααα （12—1）式中：biϕ——条块底面摩擦角 bic ——条块底面粘聚力 siϕ——条块侧面摩擦角 sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为（1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得（2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得(3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出(6)代入式(5)，简化后得(7)当采用有效应力法分析时， 重力项 将减去孔隙水压力 ，并采用有效应力强度指标有(8)在计算时，一般可先给 假定一值，采用迭代法即可求出。
土的极限平衡条件
土的极限平衡条件土体的极限平衡条件需要研究如何直接用主应力对土体是否破坏进行判断极限平衡状态：当土体中任意一点在某一平面上的剪应力达到土的抗剪强度时，就发生剪切破坏，该点即处于极限平衡状态。
极限平衡条件：土体剪切破坏时的应力条件，即土的极限平衡条件。
σ3σ1σ破坏面ταtan f c τσφ=+σ3σ1将各力在水平方向和垂直方向上投影，根据静力平衡条件可得：联立求解后得到mn平面上的应力：水平面上垂直面上σ3σ1σmn σ1σ3τα土体的极限平衡条件一、土中一点的应力状态αabcσ1σ3d s s i n αd s cos αστd s微单元体上的应力一、土中一点的应力状态莫尔圆：代表土体中一点应力状态，圆周上各点的坐标表示该点在相应平面上的正应力和剪应力。
圆心：半径：στOστ2ασ1σ3r σ3σ1σmnσ1σ3通过几何关系可证明A点的横、纵坐标即mn剪切面上的正应力和剪应力A土体的极限平衡条件DC Bσττf•与强度包线相离：任何一个面上剪应力都没有达到抗剪强度，土体不发生剪切破坏，处于弹性平衡状态；•与破坏包线相切：有一个面上的应力达到抗剪强度，土体破坏，处于极限平衡状态；•与破坏包线相交：有一些平面上的剪应力超过抗剪强度；不可能发生。
抗剪强度包线与莫尔应力圆画在一张图中，即有以下三种情况：二、土的极限平衡条件及应用土体的极限平衡条件tan f cτσφ=+σ1σ313ctg 2c σσφ+⋅+στOφc 根据极限应力圆与抗剪强度包线相切的几何关系，可建立以下极限平衡条件：131313132sin 2ctg ctg c c σσσσφσσσσφφ--==+++⋅+⋅二、土的极限平衡条件及应用土体的极限平衡条件131313132sin 2ctg ctg 2c c σσσσφσσσσφφ--==+++⋅+⋅化简后可得：或者根据三角函数可以证明：二、土的极限平衡条件及应用土体的极限平衡条件213231452tg 4522452tg 4522fftg c tg c φφσσφφσσ⎛⎫⎛⎫=︒++⋅︒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=︒--⋅︒- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭σ1fσ3f13ctg c σσφ+⋅+tan f c τσφ=+στOφc 132σσ-极限平衡条件剪切破裂面与大主应力作用面夹角？（剪破面位置）与大主应力面夹角： α=45︒+ φ/2二、土的极限平衡条件及应用土体的极限平衡条件有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）破坏判断方法：213452tg 4522ftg c φφσσ⎛⎫⎛⎫=︒++⋅︒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断破坏可能性σ1<σ1f 弹性平衡状态σ1=σ1f 极限平衡状态σ1>σ1f 破坏状态στOφcσ1f σ3σ1σ1σ3= 常数二、土的极限平衡条件及应用由σ3计算σ1f 比较σ1与σ1f土体的极限平衡条件破坏判断方法：判断破坏可能性σ1= 常数二、土的极限平衡条件及应用由σ1计算σ3f 比较σ3与σ3fσ3>σ3f 弹性平衡状态σ3=σ3f 极限平衡状态σ3<σ3f 破坏状态231452tg 4522ftg c φφσσ⎛⎫⎛⎫=︒--⋅︒- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭στO φcσ1σ3fσ3σ3土体的极限平衡条件有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）谢 谢Thank you。
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证明:
弹塑性理论1
土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是 一致的, 即在一个确定的荷载条件下, 寻找一个应 力场σij 和位移场ui, 以及相应的应变场εij。
静力平衡：
弹塑性理论2
变形协调 虚功原理 本构关系
式(6)通常采用摩尔—库仑准则, 即
一般不容许出现拉应力的限制条件, 即
在边坡稳定分析领域, 式(19)～ (25)中的土压力P 为零, 因 而简化为
下限解 —— 垂直条分法7
在土压力领域, 式(19)和(20)中包含的F 为已知量, 其值为 1 。可以通过式(19)直接求解P , 再代入式(20)得到一个只 包括一个未知量λ的方程式:
下限解 —— 垂直条分法8
下限解 —— 垂直条分法4
x , y 方向的静力平衡方程, 可得： 其中
对条底中点建立力矩平衡方程, 可得
式中ht 为水平地震力作用点与条底的距离；y t 为G作用点的y 坐标值。
下限解 —— 垂直条分法5
根据边界条件，可获得边坡稳定垂直条分法的力 和力矩平衡方程式的积分形式，分别为
下限解 —— 垂直条分法6
高等土力学
主讲人: 张 升
e-mail: zhsh1230@
知识体系
土的弹塑性理论基础 塑性力学的上、下限定理 下限解 — 垂直条分法 —— 陈祖煜 上限解 — 斜条分法 —— 陈祖煜 流固耦合方法（PFEM） —— 盛岱超 剑桥模型的阐述—— 张锋
Soil mechanic is not an experiential technology Soil mechanic is a kind of science
自由指标(free index)
其中出现二次以上的指标 j 称为哑标
(dummy index) ，表示求和:
求和 式中某一项，若同一指标出现
规定
二次以上，规定对此指标进行 求和运算，并省略求和符号Σ
单位张量(Kronecker )
张量中一旦出现哑标，则哑标的符号 jj 可由其它任意哑标替换而不改变该张量 的性质。另外，一旦出现哑标，则张量 的阶数将下降二阶，称之为缩并。
斜条分法将滑动土体分成若干具有倾斜侧面的土条，假定 沿条块底面和侧面土体，均达到了极限平衡。
每一条块本身视为一个刚体，在某一外力增量的作用下， 每个条块将产生一个塑性变形增量 ，式(32)可简化为
分别用上标s 和j 表达底面和界面的内能耗散。
上限解 —— 斜条分法4
土条被划分为n 个土条, 包括n -1 个侧面。 由于速度V 与滑动界面的夹角必须为φe ，知道第一个条
由于引入假定的函数f 0(x)来自f(x)可以是多种多样的， 则安全系数F 的解答也就不可能是唯一的。
垂直条分法理论体系要求，所有的这些解答都要接受 以下的合理性条件的限制：
式中E′和 X 分别为作用于侧面的有效作用力和切向力，φav′ 和cav′为侧面上的平均有效抗剪强度指标，h为土条高度，N 为作用于条块底部的法向作用力。
在滑裂面固定时, 传统的极限平衡方法所获得的是一个静 力许可的解答，其解答应视为满足下限定理的框架, 相应 的是小于真实解的、留有余地的安全系数。
如果严格遵循加荷的途径来分析结构的安全度, 那么临界 破坏模式相应的目标函数应为最大, 而不是最小, 这和下限 定理是一致的。
尽管对这个问题在理论上还有不同的认识, 对于工程师来 说至关重要的是, 了解他们经常使用的“ Bishop” 、 “Morgenstern-Price”法等总在提供一个偏安全的解。
因此，极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构中寻 找一个使虚拟荷载最小的临界滑动机构。
式中 是外荷载增量引起的塑性位移增量，这个位移率 通常称为塑性速度，W 是塑性区的体积力。
式(32)的左边两项分别是产生于破坏体塑性内和沿滑裂 面的内部耗散能。
上限解 —— 斜条分法3
如果材料遵守摩尔—库仑破坏准则和相关联的流动法则， 则可确认速度V 与滑面夹角为φe。因此单位面积内能耗散 可用下式表示:
块的速度V1 后，即可求得第二个条块的速度V2 和第一个 条块相对于第二个条块的速度Vj1 。 依此类推, 任意一条块的V 和Vj 可表达成第一个条块的速 度V1 的线性函数。 这样V 不再是未知数, 我们将通过式(34)求解一个F 值。
下限解 —— 垂直条分法1
垂直条分法假定边坡内存在一潜在的滑裂面。 在这一滑裂面上，处处达到了极限平衡状态。 将这一滑动土体分成具有垂直边界的条块，通过静力平衡
得到相互关系。
下限解 —— 垂直条分法2
存在着4个未知量，即作用于土条底面的法向力， 作用于土条侧面的总作用力、倾角及其作于侧面 上的位置
上限解 —— 斜条分法1
理论框架
对于一个处于极限状态的边坡，假定在土体里存在一个塑 性区，塑性区里各点均达到屈服，在这一塑性区和边界上 如果由于某一外荷载增量导致一个塑性应变。
上限解 —— 斜条分法2
通过虚功原理，求解相应这一塑性变形模式的外荷载：
上限定理指出，相应真实塑性区的外荷 一定比虚拟荷载 小或相等。
引言
边坡稳定、土压力、地基承载力 — 强度问题— 极限平衡分析
塑性理论的上、下限定理和条分法 Terzaghi，Perk，Sloan，黄文熙，陈祖煜，etc. 理论方法、数值模拟、试验方法 小变形理论 、连续介质力学— 重大缺陷
张量 tensor
将任意一个矢量u转变成另一个矢量v的线性变换T称为张量
塑性力学的上、下限定理1
仅关心土体失稳时的极限承载能力, 不需要了解此 时的具体变形，回避最难以准确确定的Cijkl 。
塑性力学的上、下限定理2
方案1 如果边坡表面作用有荷载 , 可以将这个荷载增加到 直至破坏：
方案2 极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的；
方案3 定义安全系数，假定材料的抗剪强度指标降低至边 坡处于极限状态：
二个静力平衡方程和一个力矩平衡方程，缺少一 个方程
对土条侧面作用力的倾角作以下假定
在实际应用中, 经常两种假定, 第一种假定取 f0 (x)=0 , f(x)=1 , 即Spencer 法。第二种假 定取f(x)为一正弦曲线。引入假定函数后, 解 得安全系数F(或土压力P)和λ这两个未知量。
下限解 —— 垂直条分法3