初中数学平行线及其判定

初中数学平行线及其判定2019年4月9日（考试总分：172 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）1、（4分）如图，点在延长线上，下列条件中不能判定BD∥AC的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠CD．∠C+∠BDC=180°2、（4分）下列结论正确的是( )A．不相交的两条直线叫做平行线B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．平行于同一条直线的两条直线互相平行3、（4分）如图，直线a、b都与直线c相交，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠8=180°；③∠4=∠5；④∠6+∠7=180°．其中，能够判断a∥b的是（）A．B．C．D．4、（4分）下列命题中，是公理的是( )A．等角的补角相等B．内错角相等，两直线平行C．两点之间线段最短D．三角形的内角和等于180º5、（4分）下面给出的结论中，说法正确的有（）①最大的负整数是﹣1；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；③当a≤0时，|a|=﹣a；④若a2=9，则a一定等于3；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥同旁内角相等，两直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个6、（4分）如图，要得到DG∥BC，则需要条件（）A． CD⊥AB，EF⊥AB B．∠1=∠2C．∠1=∠2，∠4+∠5=180°D． CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠27、（4分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（）A．B．C．D．8、（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行B．相等的角是对顶角C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行9、（4分）下列命题中，真命题是（）A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行B．平分弦的直径垂直弦C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等D．八边形的内角和是外角和的3倍10、（4分）在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．相等11、（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．垂直于同一直线的两直线平行C．相等的角是对顶角D．平行于同一直线的两直线平行12、（4分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1+∠3=180°B．∠2=∠3 C．∠4=∠5D．∠4=∠6二、填空题（本题共计 7 小题，共计 28 分）13、（4分）下列四个命题：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；④实数a是实数a2的算术平方根．其中正确命题的序号为_____．14、（4分）如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC．你所添加的条件是_____（不允许添加任何辅助线）．15、（4分）如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．16、（4分）两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是_____．17、（4分）如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有______．18、（4分）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．19、（4分）如图是一块四边形木板和一把曲尺（直角尺），把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是_________.三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）20、（12分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，求证：CD∥AB．21、（12分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长．22、（12分）在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为边AC的中点，（1）如图1，过点E作EH⊥BC,垂足为点H，求线段CH的长；（2）作线段BE的垂直平分线分别交边BC、BE、AB于点D、O、F.①如图2，当∠BAC=90°时，求BD的长；②如图3，设tan∠ACB=x，BD=y，求y与x之间的函数表达式和tan∠ACB的最大值.23、（12分）如图，已知：AB=DE且AB∥DE，BE=CF．求证（1）：∠A=∠D；（2）AC∥DF．24、（12分）已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．25、（12分）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于点D，以D为圆心DC为半径作⊙D交AD于点G，过点G作⊙D的切线交AB于点F，且F恰好为AB中点.（1）求tan∠ACD的值.（2）连结CG并延长交AB于点H，若AH=2，求AC的长.26、（12分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：（1）∠EDC的度数；（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数.(用含n的式子表示）27、（12分）如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）1、（4分）【答案】B【解析】解：∠1与∠2互为内错角，内错角相等可得BD∥AC；∠5和∠C互为同位角，同位角相等可得BD∥AC；∠C和∠BDC互为同旁内角，同旁内角互补可得BD∥AC；∠3=∠4只能得到AB∥CD，而不能得到BD∥AC，故选择B.2、（4分）【答案】D【解析】A、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，故A不符合题意；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故B不符合题意；C、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C不符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D符合题意；故选D．3、（4分）【答案】D【解析】①∵∠1=∠2，∴a∥b，故本小题正确；②∵∠3+∠8=180°，∠3+∠7=180°，∠4+∠8=180°，∴∠4+∠7=180°，∴a∥b，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴a∥b，故本小题正确；④∵∠6+∠7=180°，∠6+∠2=180°，∴∠7=∠2，∴a∥b，故本小题正确．故选D．4、（4分）【答案】C【解析】等角的补角相等是由公理推导得来的，是定理，内错角相等，两直线平行是推导得来的，两点之间线段最短是公理，三角形的内角和等于180º是推导得来的，故选C.5、（4分）【答案】C【解析】①最大的负整数是﹣1，正确；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，正确；③当a≤0时，|a|=﹣a，正确；④若a2=9，则a=±3，错误；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，正确；⑥同旁内角互补，两直线平行，错误．故选C．6、（4分）【答案】D【解析】A．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠BEF=∠BDC=90°，∴EF∥DC，故条件不充分，错误；B．∠1与∠2不是DG与BC形成的内错角，故推不出DG∥BC，故错误；C．∠1与∠2不是DG与BC形成的内错角，∠4与∠5不是DG与BC形成的同旁内角，故推不出DG∥BC，故错误；D．当DG∥BC时，则∠1=∠3，当EF∥DC时，∠2=∠3，要使EF∥DC，则需CD⊥AB，EF⊥AB，所以要使DG∥BC，则需要CD⊥AB，EF⊥AB，同时∠1=∠2．故选D．7、（4分）【答案】B【解析】A、可根据内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意；B、根据内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，此选项符合题意；C、根据同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意；D、根据同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，此选项不合题意；故选：B．8、（4分）【答案】A【解析】根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确.故选：A.9、（4分）【答案】D【解析】A. ∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故不正确；B. ∵平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故不正确；C. ∵有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故不正确；D. ∵八边形的内角是1080°，外角和是360°，∴八边形的内角和是外角和的3倍，故正确；故选D.10、（4分）【答案】B【解析】解：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．故选B．11、（4分）【答案】D【解析】A、前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误；B、垂直于同一直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误；C、相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误；D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题．故选D．12、（4分）【答案】C【解析】A．由∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，可得∠2=∠3，故能判断直线a∥b；B．由∠2=∠3，能直接判断直线a∥b；C．由∠4=∠5，不能直接判断直线a∥b；D．由∠4=∠6，能直接判断直线a∥b．故选C．二、填空题（本题共计 7 小题，共计 28 分）13、（4分）【答案】①③．【解析】①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直, 正确;②经过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行,错误;③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的, 正确;④实数a是实数a2的算术平方根, a是负数时,错误;故答案为: ①③.14、（4分）【答案】∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°【解析】可以添加的条件是∠EAD=∠B，依据同位角相等，两直线平行；或∠DAC=∠C，依据内错角相等，两直线平行；或∠DAB+∠B=180°，依据同旁内角互补，两直线平行．故答案为：∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°．15、（4分）【答案】AB∥CD【解析】∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，故答案为AB∥CD.16、（4分）【答案】内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）【解析】∵∠C=∠F=90°,DF∥AC故答案为：内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）17、（4分）【答案】EF、HG、DC【解析】与AB平行的线段是：DC、EF；与CD平行的线段是：HG，所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．故答案为：EF、HG、DC．18、（4分）【答案】120【解析】如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，∴∠1=30°，∠2=90°，∴∠ABC=∠1+∠2=120°．故答案为：120．19、（4分）【答案】内错角相等，两条直线平行【解析】∵∠ABM=90°，∠BAQ=90°，∴∠MBA=∠QAB，∴MN∥PQ（内错角相等，两条直线平行），故答案为：内错角相等，两条直线平行．三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）20、（12分）【答案】见解析.【解析】，，，在和中，，（），，.21、（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接OC，∵DE与⊙O切于点C，∴OC⊥DE.∵AD⊥DE，∴OC∥AD．∴∠2=∠3．∵OA=OC，∴∠1=∠3．∴∠1=∠2，即AC平分∠DAB．（2）解：∵AB=4，B是OE的中点，∴OB=BE=2，OC=2．∵CF ⊥OE ，∴∠CFO= 90º，∵∠COF= ∠EOC ，∠OCE= ∠CFO ，∴△OCE ∽△OFC ， ∴，∴OF=1．∴CF=．22、（12分）【答案】（1）3（2）5（3）①21922y x =+【解析】（1）点A 作AG ⊥BC 交BC 于点G.∵AB AC =， ∴162BG CG BC ===， ∵E 为AC 中点，EH ∥AG ，∴H 为CG 的中点，∴CH=3，⑵①过点E 作EH BC ⊥于点H ，∵△ABC 是等腰直角三角形，则CH=EH=3，设BD x =，则DE x =， 9DH x =-，Rt △EDH 中， ()22239x x +-=，解之得， 5x =，即BD=5，②∵3,CH = tan ACB x ∠=，∴3EH x =， 9DH y =-，在Rt EDH ∆中，()()22239x y y +-=， ∴21922y x =+， 方法一：由21922y x =+得， 229y x -=， 当y 有最大值时，x 有最大值.即tan ∠ACB 有最大值.∴当y=12时， 215x =， x =（负的舍去），∴tan ∠ACB或方法二：当点D 与点C 重合时，tan ∠ACB 最大，12CB CE ==，24AC =.BC 边的高为此时tan ∠23、（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵AB ∥DE ，BE=CF ，∴∠B=∠DEF ，BC=EF ，又AB=DE ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A=∠D ；（2）由（1）知△ABC ≌△DEF ，∴∠ACB=∠F ，∴AC ∥DF ．24、（12分）【答案】证明见解析.【解析】证明：∵∠D=∠B+∠E （已知），∠BFD=∠B+∠E （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠D=∠BFD （等式的性质）．∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．25、（12分）【答案】（1）2；（2）【解析】（1）∵FG 与⊙D 相切 ∴∠DGF=90°∵AD ⊥BC∴FG ∥CB ∵F 为AB 中点∴∴AD=2GD=2CD ∴tan ∠ACD=2 （2）∵AD ⊥BC ∴∠ADB=90° ∵∠B=45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴∠DAB=45° ∵GD=CD ，∠GDC=90°∴△CGD 是等腰直角三角形∴∠GCD=45°∴∠AHC=90° ∴△AGH 是等腰直角三角形∵AH=2,∴HG=2,∴GD=∴CG=4∴HC=6∴AC ==26、（12分）【答案】（1）∠EDC =40°；（2）∠BED=(40+n)°.【解析】解：∵AB ∥CD ，∴∠ADC=∠BAD=80°∵DE 平分∠ABC ，∴∠EDB=21∠ADC=40° 过E 作EF ∥AB∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∠DEF=∠EDC=40°∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠BCD=n°∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=n°∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠1=21n°∴∠BED=(40+n)°27、（12分）【答案】（1）EF和AB的关系为平行关系；（2）∠ACB=40°．【解析】解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB=70°，∴∠DCB=∠ABC=70°，∵∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°，∵∠EFB=130°，∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF=70°，∴∠ECD=110°，∵∠DCB=70°，∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB=40°．。