人教版数学高二理科选修2-1第一章命题

1．1.1命题
[教材研读]
预习教材P2～3，回答以下问题
1．命题是如何定义的？可将命题分为哪几类？2．命题的构成形式是怎样的？
[知识梳理]
命题及相关概念
命
题
[反思诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．()
2．“x2－3x＋2＝0”是命题．()
3．“若a>b，则a＋c>b＋c”是真命题．()
4．“一条直线有且只有一条垂线”是假命题．()
[答案] 1.√ 2.× 3.√ 4.√
题型一命题的判断
思考1：陈述句是否都是命题？
提示：“3x2－2x>1”是陈述句，但不能判断真假，故不是命题．思考2：是否可以判断真假的语句都是命题？
提示：命题是可以判断真假的陈述句．
判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)π3是有理数；
(2)3x 2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x 2－x ＋7>0.
[思路引导] 凡是命题都可以写成“若p ，则q ”的形式．
[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命
题．
(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x 2
－x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋274>0，所以“x 2－x ＋7>0”是真的，故是命题．
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
[跟踪训练]
下列语句不是命题的个数为()
①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0B．1C．2D．3
[解析]①②③④都可以写成陈述句，但②x<1无法判断真假，所以②不是命题．
[答案]B
题型二命题的构成形式
思考：命题“两直线平行，同位角相等”，条件是什么？结论是什么？
提示：条件：“两条平行直线被第三条直线所截”．结论：“所成的同位角相等．”
(链接课本P3例3)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)负数的立方是负数；
(3)对顶角相等；
(4)平行四边形的对角线互相平分．
[思路导引]对命题改写时一定要注意条件和结论的完整性．
[解](1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．
(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
(4)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．
把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
[跟踪训练]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
[解](1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
题型三判断命题的真假
思考：判断“若a2>b2，则a>b”的真假．
提示：若a＝－2，b＝1时，a2>b2，但是a<b，所以上述为假命题，即只举一个反例就可以否定命题的正确性．
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[思路导引]明确命题中的条件和结论，看是否有因果关系．
[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[跟踪训练]
给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C.
[答案]C
1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件
与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.
1．下列命题为真命题的是()
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若a2＝b2，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
[解析]A项，若两角都为45°，互余且相等；B项，等腰三角形的两底角相等，但不是同位角；D项，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，所以A、B、D均为假命题．
[答案]C
2．下列命题中真命题有()
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C ．3个
D ．4个
[解析] ①中当m ＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a <0时，抛物线与x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
[答案] A
3．下列命题是真命题的是( )
A ．若a 2＝4，则a ＝2
B ．若a ＝b ，则a ＝b
C ．若1a ＝1b ，则a ＝b
D ．若a <b ，则a 2<b 2
[解析] 选项A 、B 、D 都可以举反例，如令a <0.
[答案] C
4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p 为__________，结论q 为__________．
[解析] 把命题写成“若p ，则q “的形式，若一个数是正整数，则这个数不是合数就是素数．
[答案] 一个正整数 不是合数就是素数
5．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)任何集合都是它自己的子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x >3.
[解](1)是陈述句，能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，能判断真假，是命题．
(3)不是陈述句，不是命题．
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题．。