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数列的单调性与最值问题

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数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解： 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。

若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。

A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。

第二章 专题突破二数列的单调性和最大(小)项

第二章 专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)． 三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0， 当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0， 即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生． 由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。

数列的单调性

数列的单调性

练习 巩固
n 97 1.若数列{an }满足：an ，n N , 则此数列的 n 98 最大项和最小项分别是 （ ） A.a1 , a30 B.a1 , a9 C.a10 , a30 D.a10 , a9
1 1 2 2.数列{an }满足a1 1, 2 4 ，记数列 {an }前n项和为S n , an an1
类题训练2
设数列{an }的前n项和为S n , 且S n n an , (1)求出数列 {an }的通项公式； (2)设bn a(an 1) (2n 1)(a为常数)，若b3 0, 当且仅当n 3时， | bn | 取到最小值，求 a的取值范围。
课堂 小结
数列中单调性问题的处理方法： 1.比较an+1和an
正解：{an }为递增数列
an 1 an (n 1) 2 (n 1) (n 2 n) 2n 1 0对任意正整数 n恒成立 2n 1对任意正整数 n恒成立
3
典例 呈现
(13· 宁波模拟改编)数列{bn}的前 n 项和为 Tn，满足 b1＝1，Tn＝n2bn，n∈N*. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设 cn＝ 2 n (nbn－λ)，若数列 cn 是单调递减数列，求实 数 λ 的取值范围．
1 为何值时，数列lga 的前 n
n 项和最大？
4-1等差数列{an}满足a7+a8+a9>0, a8+a9<0，则当n为多少 时，Sn最大？ 4-2数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S8是
{Sn}中唯一最小项，则数列{an} 的首项a1的取值范围是
_____
数列中单调 性问题的处 理方法：

数列的单调性与有界性例题和知识点总结

数列的单调性与有界性例题和知识点总结

数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。

理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。

一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。

如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。

二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。

如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。

三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。

解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。

当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。

令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。

所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。

例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。

解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法2.已知函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．【答案】(－2，)【解析】∵函数f(x)＝x3＋3x是奇函数，且在定义域f(x)＝x3＋3x上单调递增，∴由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，令g(m)＝xm＋(x－2)，由题意知g(2)<0，g(－2)<0，令g(m)＝xm＋(x－2)，g(2)<0，g(－2)<0，∴，解得－2<x<.3. [2014·大庆质检]下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1)【答案】A【解析】由题意知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，故选A.4. [2013·吉林调研]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．可能为0B．恒大于0 C．恒小于0D．可正可负【答案】C【解析】由x1x2＜0不妨设x1＜0，x2＞0.∵x1＋x2＜0，∴x1＜－x2＜0.由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x 1)＋f(x 2)＜0.故选C.5. （3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【答案】D【解析】根据零点分段法，我们易将函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论． 解：∵f （x ）=|lg （2﹣x ）|， ∴f （x ）=根据复合函数的单调性我们易得 在区间（﹣∞，1]上单调递减 在区间（1，2）上单调递增 故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6. 定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝D ．y ＝【答案】C【解析】利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数，又y ＝，在(－2,0)上为增函数，故选C. 7. 设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1【答案】A【解析】因为y=3x 在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A8. 若对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣1 B ．|a|≤1 C ．|a|＜1 D ．a≥1【答案】B【解析】当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选B．9.函数y=x2+b x+c（x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0B．b≤0C．b＞0D．b＜0【答案】A【解析】∵函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上为单调函数∴x=﹣≤0，即b≥0．故选A10.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即.所以函数在上递增.所以即成立.故选A.【考点】1.函数的导数.2.函数的单调性.3.函数的构造的思想.11.已知函数在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：当，且时，.【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）利用已知条件得到两个条件：一是切线的斜率等于函数在处的导数值，二是切点在切线上也在函数的图象上，通过切点在切线上求出的值，然后再通过和的值列有关、的二元一次方程组，求出、的值；（2）解法1是利用参数分离法将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立，并构造函数，从而转化为，并利用导数求出函数的最小值，从而求出的取值范围；解法2是构造新函数，将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立问题，等价于利用导数研究函数的单调性，对的取值进行分类讨论，通过在不同取值条件下确定函数的单调性求出，围绕列不等式求解，从而求出的取值范围；（3）在（2）的条件下得到，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到，然后分别令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.试题解析：（1），.直线的斜率为，且过点，，即解得，；（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.令，则.令，则.当时，，函数在上单调递增，故.从而，当时，，即函数在上单调递增，故.因此，当时，恒成立，则.所求的取值范围是；解法2：由（1）得.当时，恒成立，即恒成立.令，则.方程（*）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾；（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意；（ⅲ）当，即时，方程（*）的两根为，，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为.而，由（ⅱ）知，当时，，得，从而.故当时，，符合题意.综上所述，的取值范围是.（3）由（2）得，当时，，可化为，又，从而，.把、、、、分别代入上面不等式，并相加得，.【考点】1.导数的几何意义；2.不等式恒成立；3.参数分离法；4.分类讨论；5.数列不等式的证明12.函数的单调递增区间是．【答案】【解析】当时，，增区间为，当时，，增区间为．填．【考点】分段函数的单调区间．13.已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2. 当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上可得g(a)＝(3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，则h(x2)－h(x1)＝＝(x2－x1)＝(x2－x1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2a－1.当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．当a>0时，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.所以实数a的取值范围为14.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.15.已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x＞0，都有f(f(x)－lnx)＝1＋e，则f(1)＝________．【答案】e【解析】f(x)－lnx必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1＋e，与单调函数矛盾．所以可设f(x)－lnx＝c，则f(x)＝lnx＋c.将c代入，得f(c)＝1＋e，即lnc＋c＝1＋e.∵y＝lnx＋x是单调增函数，当c＝e时，lnc＋c＝1＋e成立，∴f(x)＝lnx＋e.则f(1)＝e16.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．【答案】【解析】f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2<x< .17.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f(x)是周期函数；(2)函数f(x)的图象关于点对称；(3)函数f(x)为R上的偶函数；(4)函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)【答案】(1)(2)(3)【解析】由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点对称，(2)为真命题；又y＝f为奇函数，所以f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．18.能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．Ａ中，，所以的图象不过原点，故不为“和谐函数”； B中，，且，所以为奇函数，所以为“和谐函数”； C中，，且，为奇函数，故为“和谐函数”；Ｄ中，，且为奇函数，故为“和谐函数”；故选Ａ．【考点】奇偶性与单调性的综合．19.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．20.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．21.已知函数，设，若，则的取值范围是 ___ .【答案】[，2)【解析】函数的图像如图所示.因为，若要使成立，有图像可得.且.由于b的变化是递增的，的变化也是递增的所以.即填[，2).本小题主要考查分段函数的问题.【考点】1.分段函数的知识.2.函数的单调性.22.已知是上的奇函数,对都有成立,若,则等于A．B．C．D．【答案】C.【解析】令x=-2，则f(-2+4)=f(-2)+f(2),又因为f(x)在R上是奇函数.，所以f(-2)+f(2)=0，即f(2)=0.所以得到f(x+4)=f(x).所以函数是以4为周期的周期函数.所以f(2014)=f(2)=0.本题的关键是把奇函数与所给的式子结合起来得到周期为四的结果.注这个条件多余.【考点】1.奇函数.2.周期函数.3.递推的思想.23.已知函数⑴判断函数的单调性，并证明；⑵求函数的最大值和最小值．【答案】（1）增函数,证明见解析；（2），【解析】（1）利用函数单调的定义证明，可得函数在[3，5]上为单调增函数；（2）根据函数的单调递增，可得函数的最值为，.试题解析：⑴设且,所以 4分即，在[3，5]上为增函数. 6分⑵在[3，5]上为增函数，则， 10分【考点】1.函数单调的判断；2.利用函数单调性求最值24.函数有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】若在定义域内有最小值，则满足，且恒成立，所以，故选B．【考点】1．复合函数的单调性与最值．25.关于函数，给出下列四个命题：①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点.其中正确的命题序号为______________.【答案】①②③【解析】①，时，，显然只有一个实数根；②时，显然，，所以是奇函数；③设是函数的图象上的一点，点关于点，对称点，因为，所以点也在函数的图象上，故的图象关于点，对称；④，取，可得有三个零点.【考点】函数的基本性质.26.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数在区间上单调递减，所以上，，即，故选A.【考点】导数、函数的单调性与最值27.给出下列四个命题：①函数有最小值是；②函数的图象关于点对称；③若“且”为假命题，则、为假命题；④已知定义在上的可导函数满足：对，都有成立，若当时，，则当时，.其中正确命题的序号是 .【答案】①②④.【解析】对于命题①，，，当且仅当，即当时，上式取等号，即函数有最小值，故命题①正确；对于命题②，由于，故函数的图象关于点对称，故命题②正确；对于命题③，若“且”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数是奇函数，当时，，即函数在区间上单调递增，由奇函数的性质知，函数在上也是单调递增的，即当时，仍有，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④.【考点】1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性28.已知函数是上的单调递增函数，若是其图像上的两点，则不等式的解集是．【答案】．【解析】由已知得．【考点】函数的单调性质．29.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有两个不同的根，则这两根之和为（）A．±8B．±4C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有两个不同的根，所以这两个根必为－6、2或－2、6，所以这两个根之和为－4或4.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.30.已知函数,下列结论中错误的是（）A．R,B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点,则在区间上单调递减D．若是的极值点,则【答案】C【解析】由于，，由于是函数的极小值点，且函数的图象开口向上，故函数存在极大值点，即存在使得，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在不是单调递减的.【考点】函数的单调性与极值、函数的对称性31.已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）.【解析】（1）先对求导，由于的正负与参数有关，故要对分类讨论来研究单调性; （2）先由在其定义域内为增函数转化为在不等式中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数的取值范围;（3）先通过导数研究在的最值，然后根据命题“若，，总有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，从而列出不等式组求出参数的取值范围.试题解析：解：（1）的定义域为，且， 1分①当时，，在上单调递增； 2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. 4分（2），的定义域为5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 8分（3）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上， 10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有 12分所以实数的取值范围是 14分【考点】1、利用导数研究单调性和最值，2、参数的取值范围问题，3、基本不等式.32.对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，试比较g（a）与g（1）的大小；求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，，xn，均有g（ln（x1＋x2＋＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋＋g（lnxn）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①,②先征得，取不同的值得到的式子累加即可得证.【解析】（Ⅰ）先求得，再由＞得，解得；（Ⅱ）①构造函数，证明为上的增函数，再讨论就可得到，②先证得，即得，整理得，同理可得类似的的等式，累加即可得证.试题解析：（Ⅰ）由，可得，因为函数是函数，所以，即，因为，所以，即的取值范围为. （3分）（Ⅱ）①构造函数，则，可得为上的增函数，当时，，即，得；当时，，即，得；当时，，即，得. （6分）②因为，所以，由①可知，所以，整理得，同理可得，，.把上面个不等式同向累加可得[. （12分）【考点】1.恒成立问题；2.导数在求函数单调性、最值的应用；3.不等式.33.已知函数的定义域是，是的导函数，且在内恒成立．求函数的单调区间；若，求的取值范围；(3) 设是的零点，，求证：.【答案】(1);(2) ;(3)详见解析.【解析】（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助；（2）首先对求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为在内恒成立，进而采用构造函数的技巧，，通过求导研究其最大值，从而得到的取值范围；（3）借助第一问结论，得到，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.试题解析：（1），∵在内恒成立∴在内恒成立，∴的单调区间为 4分（2），∵在内恒成立∴在内恒成立，即在内恒成立，设，，，，，故函数在内单调递增，在内单调递减，∴，∴ 8分（3）∵是的零点，∴由（1），在内单调递增，∴当时，，即，∴时，∵，∴，且即∴，∴ 14分【考点】1.函数的单调性；（2）导数的应用；（3）不等式的证明.34.已知函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用g（x）是减函数⇒导数小于0⇒f（x）的导数是减函数⇒f（x）是凸函数即可得到答案。

数列的单调性专题

数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性（一）数列的单调性与函数的单调性的区别【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是 【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是（二）a n =f (n )的单调性【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2-1)c n +c n-1(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11n n na a a +=+(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；（II ）令n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足()112121212121n nn n b b b a -=-++-+++，求数列{b n }的通项公式； （III ）若3nn n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有333212n n a a a S +++=，其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.（I ）求证：2112n n n a S a ++=+；（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）设()1312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.（三）a n+1=f (a n )的单调性【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数.【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********k a k k ++<<+++【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2+x n +c （n *N ∈） （I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0； （II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.二、数列的单调性应用 （一）数列的最值问题【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则a k =a k -1，112k k k ab b --+=；若a k -1+b k -1<0，则111,2k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<1124n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.（二）数列中的恒成立问题【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，12111nm S S S +++≤恒成立，试求实数m 的取值范围.【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.【课时作业】1、设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n，n *N ∈. （I ）设b n =S n -3n，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式； （II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列.（I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式； （II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（n *N ∈）的单调性；（ii ）设()11n n nb a --=，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：229n T <.4、已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =221111nn n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .（I ）若a n =2n -1，求S n ；（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1nn nS a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式； （II ）记3nn n a b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n-<成立.6、数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12+a n+1-1=a n 2（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.7、【变式训练】设a 1=1，11n a +=（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.8、首项为正数的数列a n 满足：a n+1=()2134n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。

2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：数列中的最值问题含解析

2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：数列中的最值问题含解析

数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k kS S -最大。

四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减,结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a 13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故， 112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数.由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数； 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。

数列的单调性

数列的单调性

数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性（一）数列的单调性与函数的单调性的区别【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是 【例题2】【2005年，辽宁高考（理），12】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是（二）a n =f (n )的单调性【例题3】【2010年，重庆高考（理），21】已知{a n }的通项a n =(n 2-1)c n +c n-1(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.【例题4】【2008年，全国II 理，20】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.【变式训练】【2004年，重庆高考（理），22】设数列{a n }满足a 1=2，11n n na a a +=+(n *N ∈).（I ）证明：n a >对一切正整数n 成立； （II ）令n b =(n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足()112121212121n nn nb b b a -=-++-+++，求数列{b n }的通项公式； （III ）若3nn n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有333212n n a a a S +++=，其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.（I ）求证：2112n n n a S a ++=+；（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）设()1312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.（三）a n+1=f (a n )的单调性【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减.特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数. 【例题6】【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【变式训练】【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++【变式训练】【2012年，安徽高考（理），21】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2+x n +c （n *N ∈） （I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0； （II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.二、数列的单调性应用 （一）数列的最值问题【例题7】【2015年，杭州市第二次高考科目教学质量测试】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则a k =a k -1，112k k k a b b --+=；若a k -1+b k -1<0，则111,2k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.【变式训练】【2015年，嘉兴市教学质量测试（一）】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，…(I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<1124n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.（二）数列中的恒成立问题【例题8】【2015年，嘉兴市教学质量测试（二）】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，12111nm S S S +++≤恒成立，试求实数m 的取值范围.【变式训练】【2015高考上海，理22】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.【课时作业】1、【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.2、【2015年，湖州市高三第二次质量检测】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n ，n *N ∈.（I ）设b n =S n -3n ，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式； （II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.3、【2015年，台州市高三年级调研考试】设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列. （I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式；（II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（n *N ∈）的单调性；（ii ）设()11n n nb a --=，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：229n T <.4、【2015年，杭州市学军中学高考模拟考试】已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =221111nn n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .（I ）若a n =2n -1，求S n ；（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.5、【2015年，金华十校高三联考】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1nn nS a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式； （II ）记3nn na b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n-<成立.6、【2008年，浙江高考（理），22】数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12+a n+1-1=a n 2（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.7、【变式训练】【2014年，重庆高考（理），21】设a 1=1，11n a +=（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.8、【2009年，安徽高考（理），21】首项为正数的数列a n 满足：a n+1=()2134n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一：利用单调性①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二：先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可.这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1已知函数x x x f 63)(2+-=，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和.试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a .当n >1时，1--=n n n S S a ,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===--①所以,21)(23()21)(3()21)(1(2132nn n T -++-+-+= ②,)21)(23(21)(3()21)(1(21(211432+-++-+-+=n n n T ③②－③得132)21)(23()21)(2(21)(2(21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T 112)21)(23(211]21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ④利用差值比较法由④式得121)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12(21)(32[(21)(12(21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n .又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T .所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得021)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111n n n n n n T T n n n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1.所以 >>>>>>+1321n n T T T T T /所以T n 存在最大值211=T .利用放缩法由①式得0)21)(21(21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n项和，所以n n n n T c T T <+<++11.所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在.下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法①分析法因为121)(12(-+=nn n T ，所以只要证明21121)(12(<-+nn .即只要证明2321)(12(<+nn .只需要证明2423+>∙n n.即只要证明02423>--∙n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--∙n n成立.所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T .方法②利用数学归纳法（i）当n =2时，因为121)(12(-+=nn n T ，所以1222141121)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <.则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立.所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列{}n a 的通项公式9(1)(10nn a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤，又∵n N +∈，∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n nn a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。

数列中的最值问题

数列中的最值问题

问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点． 【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆． （Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大． 【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大． 【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为． 【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为． 【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值； 若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。

专题5等差数列的单调性和前n项和的最值问题微点1等差数列的单调性

专题5等差数列的单调性和前n项和的最值问题微点1等差数列的单调性

专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性【微点综述】当0d >时，数列{}n a 是递增数列；当0d <时，数列{}n a 是递减数列；当0d =时，{}n a 是常数列．【典例刨析】例1．1．已知点()1,5，()2,3是等差数列{}n a 图象上的两点，则数列{}n a 为（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定例2．（2023浙江绍兴一模）2．已知等差数列{}n a 单调递增且满足186a a +=，则6a 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．()3,6C ．()3+∞，D ．()6,+∞例3．3．在数列{}n a 中，2n a n kn =+，对任意的正整数n ，都有1n n a a +>恒成立，求实数k 的取值范围.【点睛】本题考查数列的增减性，考查数列的函数特性，考查数学转换思想例4．（2022年高考北京卷第6题）4．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例5．（2023·北京海淀·校考三模）5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 满足()*1n n a b n ⋅=∈N ，则“0d >”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例6．（2022春·北京房山·高二统考期末）6．已知无穷等差数列{}n a 为递增数列，n S 为数列前n 项和，则以下结论正确的是（ ）A ．1n nS S +>B ．数列{}n S 有最大项C ．数列{}n na 为递增数列D ．存在正整数0N ，当0N n >时，0n a >例7．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）7．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2023202220230,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046例8．（2022·上海华师大二附中月考）8．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【反思】本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征．例9．（2022·福建福安市第一中学高二月考）9．已知等差数列{}n a 中，390a a +=，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7例10．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100，><a d ，则不正确的（ ）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值参考答案：14．(1){}n a 、{}n c (2)证明见解析(3)1n a n =-或()11n a n d=+-【分析】（1）根据“H 数列”的定义可得出结论；（2）验证0d =成立，利用①②推导出Z d ∈，假设0d <，可得出等差数列{}n a 是递减数列，结合①得出101a ≤≤，结合1a ∈Z 可得出10a =或1，1d ≤-，再结合不等式的基本性质以及数列{}n a 的单调性推出矛盾，从而说明0d <不成立，即可证得结论成立；（3）由（2）知，1d ≥，可得知数列{}n a 是递增数列，推导出10a <不成立，可得出1a ∈N ，分10a =、10a ≠两种情况讨论，验证1n a n =-、()11n a a n d +-=满足①②，即可得出结果.【详解】（1）解：由“H 数列”的定义可知，数列{}n a 、{}n c 为“H 数列”.（2）证明：若0d =，则由①可知211a a =，所以10a =∈Z 或11a =∈Z ，且公差0d =∈N ，以下设0d ≠.由①，k ∃、l N *∈，12k a a a =，13l a a a =，两式作差得()()1321l k l k d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以1a l k =-∈Z .由①，m ∃、N n *∈，23m a a a =，24n a a a =，两式作差得()()2432n m n m d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以2a n m =-∈Z ，因此，21d a a =-∈Z .若0d <，则等差数列{}n a 是递减数列，由①21a 为{}n a 中的项，因此，211a a ≤，解得101a ≤≤，由1a ∈Z 且公差d ∈Z ，所以10a =或1，1d ≤-，()4131312a a d =+≤+⨯-=-，由①，24a 为{}n a 中的项，且()224124a a ≥-=>，这与等差数列{}n a 递减矛盾，因此，0d <不成立.综上，1a ∈Z 且公差d ∈N .（3）解：因为公差*d ∈N ，所以1d ≥，即{}n a 是递增数列.若10a <，因为1a ∈Z ，所以*113,2a a --∈N ，则()()131111222a a a a d a a -=+-≥+-=，且113112aa a a a -<≤，由①113a a a -为{}n a 中的项，这与等差数列{}n a 是递增数列矛盾.因此，10a ≥，又由（2）1a ∈Z ，故1a ∈N .由1a ∈N ，*d ∈N 知，*,0n n a ∀∈N ≥且{}n a 中存在一项为正整数，取最小的正整数项k a .则由②，*,i j ∃∈N ，使得i j k a a a =且1i k a a ≥≥，1j k a a ≥≥.因此2k i j k a a a a =≥，解得1k a ≤，又*k a ∈N ，故1k a =.因为{}n a 是递增数列，（i ）若10a =，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-.因为*,i j ∀∈N ，()()111i j a a i j ij i j =--=--+，令2k ij i j =--+，有*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令2i =，j k =有21i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.（ii ）若10a ≠，则11k a a ==，()11n a n d =+-.因为*,i j ∀∈N ，()()1111i j a a a i d a j d =+-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2211211a i j da i j d =++-+--()()()1211a i j i j d d=++-+--⎡⎤⎣⎦.令()()()2111k i j i j d =+-+--+，则*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令1i =，j k =，有11i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.综上，1n a n =-或()11n a n d =+-.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“H 数列”，在第二问的证明中，可采取反证法证明0d <不成立，结合数列的单调性可证出结论；在第三问的求解，要注意对1a 是否为零30．（1）答案见解析，答案不唯一；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题设给定的数列性质写出一个满足题设的M数列{an}即可.（2）分别从必要性、充分性两个方面证明：由已知条件结合M数列{an}为递增数列证a2017=2018；由已知条件结合a2017=2018证M数列{an}为递增数列，即可证结论.【详解】（1）满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的一个M数列{an}为0，1，2，1，2，1，0．（2）证必要性：∵M数列{an}为递增数列，a1=2，n=2017，又|ak+1-ak|=1(k=1,2,3,…,n-1)，∴ak+1-ak=1(k=1，2，3，…，2016)，则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，∴a2017=2+(2017-1)=2018．证充分性：∵M数列{an}满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)，∴a2017-a2016≤1，a2016-a2015≤1，a2015-a2014≤1，……，a2-a1≤1，以上各式累加可得：a2017-a1≤2016，即a2017≤2016+a1=2018，又a2017=2018，∴a2017=2016+a1=2018．∴以上各式应该都取等号，即ak+1-ak=1>0(k=1，2，3，…，2016)，即M数列{an}为递增数列．故M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018．答案第15页，共15页。

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一 ：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二： 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6n n n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解 （Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132n n n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n n n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+n n . 即只要证明23)21)(12(<+n n . 只需要证明2423+>•n n . 即只要证明02423>--•n n 由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n 成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立. 所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+. 这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤， 又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。

数学函数的单调性与最值试题答案及解析

数学函数的单调性与最值试题答案及解析

数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A．B．C．．D．【答案】C【解析】是奇函数，故A错；是偶函数，但是在不具有单调性，故B错；是偶函数，但是的图像在(0,+∞)上是单调递增的，故选择C.【考点】本题考察函数单调性、奇偶性等基础知识，意在考察学生运用数形结合思想的能力.2.定义在上的函数是它的导数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】构造函数，则．由已知可得在上为增函数，，故选D．【考点】本题考查函数与导数等知识，意在考查应用导数研究函数的单调性，进而比较数式的大小的能力.3.下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由二次函数的图象和余弦函数的图象知，和在无单调性，故A，B错；在单调递增，但无奇偶性，故D错；由的图象知，C正确．【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力．4.新课标理）若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.5.辽宁理）（已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则A．B．C．D．【答案】B【解析】由得整理得：解得：，可得，又，又图象可知==，-=A-B=-16，故选B【考点】本题考查数形结合的思想，二次函数的性质。

6.湖南理）已知，函数。

（1）记求的表达式；（2）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）（2）存在，a的取值范围是【解析】（1）分类讨论脱掉绝对值以后，利用导数法确定的解析式；（2）利用导数的几何意义以及不等式的性质将问题转化为集合与集合的交集非空即可.（1）当时，；当时，.因此，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；①若，则在上单调递减，；②若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而；当时，；当时，，综上所诉，；（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求；当时，在上单调递减，在上单调递增. 若存在，使曲线在、两点处的切线相互垂直，则，且，即，亦即*；由得，故*成立等价于集合与集合的交集非空；因为，所以当且仅当，即时，，综上所诉a的取值范围是【考点】本题考查分段函数、导数与函数的单调性、导数的结合意义、函数与方程思想，考查学生的转化与化归能力以及逻辑推理能力.7.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.8.设函数，则函数的零点个数为个．【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点.9.设函数.（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意、，有，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）当，，时，，，在区间内存在零点，又当时，，在区间是单调递增的，在区间内存在唯一的零点；（2）当时，，对任意、都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（i）当时，即时，，与题设矛盾！（ii）当，即时，恒成立；（iii）当，即时，.综上所述，.10.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【答案】（1）（2）当时，在,单调递减，在,单调递增；当时,在单调递减当时，在单调递减，在单调递增；【解析】（1）当时，，此时， 2分，又，所以切线方程为：，整理得：；分（2）， 6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； 8分当时，，当即时在恒成立，所以在单调递减； 10分当时，，此时在,单调递减，在单调递增； 12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. 13分11.已知a＞0，b R，函数．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。

重难点06两种数列最值求法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点06两种数列最值求法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）题型一：单调性法求数列最值一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （ ）A ．有最大项，无最小项B ．有最小项，无最大项C ．既无最大项，又无最小项D ．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ ,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+ 当5,n n N ≥∈时, {}n b 单调递减,故5671b b b >>>>,且52b =当15,n n N ≤<∈时, {}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==， 故{}n b 有最大值为2,最小值为12 故选:D2．（2022·北京·二模）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为－3，且31a =，448a b =，则数列{}n n a b （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式,n n a b ，得出n n a b ，确定数列{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数能力拓展项都是正数，然后设n n n c a b =，用作差法得出{}n c 的单调性，从而可得数列{}n n a b 的最值． 【详解】13a =-，31a =，则1(3)22d --==，32(1)25n a n n =-+-=-， 4438a b ==，438b =，34118b q b ==-，12q =-，111(1)33()22n n n n b ---⋅=-⨯-=，1(1)3(25)2n n n n n a b --⋅-=，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数， 设13(25)2n n n n n c a b --==，则113(23)3(25)3(72)222n n n n nn n n c c +-----=-=， 3.5n <，即3n ≤时，10n n c c +->，1n n c c +>，4n ≥时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即数列{}n c ，从1c 到4c 递增，从4c 往后递减，由于{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数项都是正数， 所以{}n n a b 中，44a b 最大， 又334c =，5153164c =>，所以55a b 是最小项． 故选：A ．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列{}n a 的首项11a =，且4329a a =+，正项等比数列{}n b 的首项112b =，且24332b b =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n n b S 的最大项的值为（ ） A ．89B ．1C ．98D ．2【答案】C【分析】先求出n a ，的得到n S ，再求出n b ，从而得出n n b S ，然后分析出数列{}n n b S 的单调性，得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公比为d ，由4329a a =+，则()112932a a d d =+++ 即()211329d d ++=+，故2d =，则()1121n a a n d n =+-=- 则()2112n n n n S na d -=+⨯=设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由24332b b =，则()2321132b q b q =所以232113222q q ⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得12q =，则1112n n n b b q -==22n n n b S n =，设22=n n n c ，则()221122n n n n c n c n++==当02n <≤时，11n nc c +>，即123c c c << 当3n ≥时，11n nc c +<，即345c c c >>>所以233333928c b S ===最大.故选：C4．（2022·广东·一模）已知正项数列{}n a 满足1*()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】先令1x y x =，两边取对数，再分析ln ()xf x x=的最值即可求解. 【详解】令1xy x =，两边取对数，有1ln ln ln xxy x x==， 令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当()0f x '>时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >. 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减. 所以e x =时，()f x 取到最大值，从而y 有最大值，因此，对于1*()nn a n n =∈N ，当2n =时，1222a =；当3n =时，1333a =.而113232>，因此，当n a 最大时，3n =. 故选：B 二、多选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为2020 【答案】ACD【分析】A 选项，对n a =B 选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C 选项，{}n a 是单调递减数列，故132n a a ≤=；D 选项，在B 选项的基础上进行求解即可..【详解】()211n n n a n n +++，故A 正确； 因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以2111111211223111n n n S n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为()()()1111112n n n n +>++++，所以1n n a a +>，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确； 因为11101n a n n =+->+，所以n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 正确． 故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 各项均为正数，120a =，43220a a a +-=，数列{}n a 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．数列{}n a 单调递增 B ．数列{}n a 单调递减 C ．当5n =时，n T 最大 D ．当5n =时，n T 最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列{}n a 的公比，由0n a >可得数列{}n a 的增减性，然后由1+n nT T 判断数列{}n T 的单调性，从而得到n T 的最值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，43220a a a +-=，222220a q a q a ∴+-=，等比数列{}n a 各项均为正数，20a ∴>，2210q q ∴+-=，12q ∴=， 120a =，1202nn a ⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 单调递减；121n n n T a a a a -=，11211n n n n T a a a a a +-+∴=，111202nn n n T a T ++⎛⎫∴==⨯ ⎪⎝⎭，当14n ≤≤时，1112012n n n n T a T ++⎛⎫==⨯> ⎪⎝⎭；当5n ≥时，1112012nn n n T a T ++⎛⎫==⨯< ⎪⎝⎭；∴数列{}n T 中，从1T 到5T 递增，从5T 开始递减，5n ∴=时，数列{}n T 中5T 最大.故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知d ，n S 分别是等差数列{}n a 的公差及前n 项和，798S S S >>，设12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ）A ．满足0n S >的最小n 值为17B ．89a a <C ．78910a a a a ⋅>⋅D ．8n =时，n T 取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得80a <，90a >，890a a +<，公差0d >，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可判断A ；由890a a +<可判断B ；作差结合890a a +<可判断C ；由n T 的单调性以及n b 的符号即可求出n T 的最小值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由题意知：8870a S S =-<，9980S a S =->，97890S S a a -=+<， 选项A 中：()()89116161616022a a a a S ++==<，()117179171702a a S a +==>，所以满足0n S >的最小n 值为17，故选项A 正确；选项B 中：89890a a a a -=-->，即89a a >，故选项B 错误； 选项C 中：由80a <，90a >可知公差0d >，则91078a a a a -=()()()88882a d a d a a d ++--()2882422d da d d a =+=+()8920d a a =+<所以78910a a a a ⋅>⋅，故选项C 正确；选项D 中：当8n ≤时，0n a <，当9n ≥时，0n a >，所以当6n ≤时，0n b <，1n n T T +<；77890b a a a >=，889100b a a a =<，当9n ≥时，0n b >， 所以76T T >，78T T >；当8n ≥时，1n n T T +>，()()867878989108971089890T T b b a a a a a a a a a a a a a a -=+=+=+=+>，所以86T T >，所以当6n =时，n T 取得最小值，故选项D 不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n nA B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断. 9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2nn a =-∈，∴10n nnb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2nn a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>，∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值． 三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当[)1,2x ∈，[)2,3x ∈，[),,1x n n ∈+时，()f x 的解析式，进而求出21nn a =-，然后，得到存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，进而求出max 272n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即可求解. 【详解】当[)0,1x ∈时，()3f x x =，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，()()312121f x f x x +=+=+，令11t x =+，则11x t =-，所以，当[)11,2t ∈时，有311()2(1)1f t t =-+，所以，当[)1,2x ∈时，3()2(1)1f x x =-+，()()31214(1)3f x f x x +=+=-+，令21t x =+，则21x t =-，[)22,3t ∈，有322()4(2)3f t t =-+，所以，当[)2,3x ∈时，3()4(2)3f x x =-+，同理可得，[)3,4x ∈时，3()8(3)7f x x =-+，根据规律，明显可见当[),1x n n ∈+，()2()21n n n f x x n =-+-，且此时的()f x 必为增函数，又因为n a 为()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值，所以，1231,3,7,21n n a a a a ===⋯=-，所以，若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，根据该函数的特性，明显可见，当5n =时，有max 273232n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，此时有332λ<故答案为：3(,)32-∞ 11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为___________.（用数字作答） 【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前n 和公式，可判定数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0d >， 且()()111n a a n d nd a d =+-=+-， 所以数列{}n a 是递增数列，又()12n n a a n S +⋅=，所以()1111222n n n n S a a a na a nd a d +==+⎡⎤+-⎣⎦， 即nnSna 是递减数列，所以当1n =时，得到数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1111a a =⨯， 故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则an +1=an +a 1，an +1－an =a 1=1，所以数列{an }为等差数列，首项为1，公差为1，所以an =n ，所以λan ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n， 又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增， 当3n =或4n =时，min 12()7n n+= 所以7λ≤ 故答案为：713．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ . 【答案】6或7【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项. 【详解】()71()08nn a n =+>，令()()1172()27817181()8n n n n n a n a n n ++++==⨯≥++，解得6n ≤， 即6n ≤时，1n n a a +≥，当6n >时，1n n a a +<， 所以6a 或7a 最大， 所以6n =或7. 故答案为：6或7.14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝32，an ＋2an ＋1＝0，则Sn －1n S 的最大值与最小值的积为________. 【答案】－3572【分析】先计算出公比，求出Sn ，分奇偶性讨论得出Sn －1nS 的最大值与最小值，即可求解. 【详解】因为an ＋2an ＋1＝0，所以112n n a a +=-， 所以等比数列{an }的公比为12-，因为a 1＝32，所以Sn ＝31122111212nn ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.①当n 为奇数时，Sn ＝112n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而减小，则1＜Sn ≤S 1＝32，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故0＜Sn －1n S ≤56； ②当n 为偶数时，Sn ＝112n⎛⎫- ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤Sn ＜1，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故712-≤Sn －1n S ＜0.综上，Sn －1n S 的最大值与最小值分别为56，712-.故Sn －1n S 的最大值与最小值的积为567351272⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：－3572. 15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{}()*n a n N ∈满足11,2,n n n n a n α-+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则21n n n a a a ++的最大值为________．【答案】43【分析】令21n n n n a b a a ++=，n 分为奇偶性，分别求出21n n n a a a ++，通过判断{}n b 的单调性可求出其最大值【详解】令21n n n n a b a a ++=， 当n 为奇数时，21112222n n n a nn n a n n b a a n n ++++++===⋅⋅， 因为32214(4)(2)2124(2)2n n n n n b n n n n b n n ++++++⋅==<++⋅，所以2n n b b +<， 所以当n 为奇数时，数列{}n b 为递减数列， 所以当n 为奇数时，1b 最大，134b =， 当n 为偶数时，11122112242(1)2(1)1n n a n n n a n n n a b a a n n n +-+++++====⋅+++，当n 增大时，n b 在减小， 所以n 为偶数时，2b 最大，243b =， 因为4334>， 所以数列{}n b 的最大值为43，故答案为：4316．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列4021n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项为1，公差为1，则2n n S S -的最大值为__________. 【答案】656【分析】由题意求出n n a S 和，再求出2n S ，令2n n n M S S =-，求出n M 的单调性即可求出n M 的最大值. 【详解】由题意知4021n n a =+，则2012n a n =-，则111201232n nS n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111201232n S n n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 令2111201222n n n nM S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭，则111111112020232221222n n n n M M n n n n n n +⎡+⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+++--+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()111111120120202122122122221222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭. 由*n ∈N ，易得当2n ≤时，12010562n n M M +-≥->⨯， 所以321M M M >>；当3n ≥时，12010782n n M M +-≤-<⨯， 所以345M M M >>>…，故n M 的最大值为31113652045626M ⎛⎫=⨯++-= ⎪⎝⎭，即当3n =时，2n n S S -取得最大值，为656. 故答案为 :656. 四、解答题17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈． (1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和{}n a 的通项公式；(2)求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值． 【答案】(1)()*nn a n n N b =∈，1n n a n =+(2)56 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥即项与和的关系方法求得nna b ，再利用1(2)n n n b a b n -=≥求得n a ； （2）再由定义求得n b ，并利用作差法得出()f n 是递减的，从而易得最大值．(1)∵212122n n a a a n n b b b +++⋅⋅⋅+=①，∴()()21121211212n n n n a a an b b b --+-++⋅⋅⋅+=≥-②， 由①②可得()2n n a n n b =≥，由①111ab =也满足上式，∴()*n n a n n N b =∈③， ∴()1112n n a n n b --=-≥④，由③④可得()1121n n n n a b n n b a n --=≥-， 即()1121n nn a n -=≥-，∴()112n n a n n --=≥，∴1n n a n =+． (2)由（1）可知1n na n =+，则121212311n n n b a a a n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，记()121111221n n n f n b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++， ∴()11112323f n n n n +=++⋅⋅⋅++++， ∴()()1111110222312322f n f n n n n n n +-=+-=-<+++++， ∴()()1f n f n +<，即()f n 单调递减， ∴()f n 的最大值为()121151236f b b =+=+=． 18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()n n n n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320， 即 13n n a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==， 当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141， 设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ，n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319，整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增所以，易知n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭2727132329在*N n ∈上为递增数列，∴ 当n 为偶数时，λ⎛⎫<-⋅ ⎪⎝=⎭2272713232956，当n 为奇数时, λ-<-⨯=272713232934， 解得34λ>-，所以λ的取值范围为⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.19．（2022·天津·高三专题练习）设数列{}n a 的前n 项和2n n S a n =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若22log 13nn b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求n b 的前n 项和n T 取最小值时n 的值； (3)证明：1214.9ni i a =<∑【答案】(1)21nn a =-(2)5或6(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，两式相减得121n n a a -=+，再用构造法得：1121n n a a -+=+，即可求出{}n a 的通项公式； （2）先求出{}n b 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对21141i i a =-进行放缩得：()111111111()14144134444i i i i i ----=<=⨯--⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求111()34i -⨯的前n 项和即可证明此题.()1因为2n n S a n =-，①1n =时，1121S a =-，11;a =2n ≥时，()1121n n S a n --=--②①-②得121n n a a -=+，所以1121n n a a -+=+，112a +=， 所以数列{}1n a +是2为首项，2为公比的等比数列，故1221;n nn n a a +=∴=-(2)2222226log 13log 2113log 23322n nn n b n n a n ⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()62n n n b -=，于是当15n <<时，0n b <；60b =；当6n >时，0n b >.所以当5n =或6时，n T 取最小值. (3)()12111112211111111111111441434()()()1121414413434994914444n nni n i i i i i i i i i i a a ----==-⎛⎫- ⎪⎝⎭===<=⨯<⨯==-<---⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑，．故1214.9ni i a =<∑20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项10a =，()134N n n a a n n *+=+∈. (1)证明：数列{}21n a n ++是等比数列； (2)求数列{}100n a -的前n 项和n S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)304-【分析】（1）由已知等式变形得出()()1211321n n a n a n ++++=++，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）分析数列{}n b 的单调性，确定{}n b 的符号，由此可求得n S 的最小值.(1)解：因为()134N n n a a n n *+=+∈，则()()1211321n n a n a n ++++=++，且133a +=，所以，数列{}21n a n ++是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)解：由（1）知，121333n n n a n -++=⋅=，则321n n a n =--.所以，10032101nn n b a n =-=--，所以，113322320n n nn n b b ++-=--=⋅->，故数列{}n b 为递增数列，1100b =-，296b =-，380b =-，428b =-，5132b =，，故当14n ≤≤时，0n b <；当5n ≥时，0n b >. 所以，n S 的最小值为4304S =-.21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用,n n a S 关系可得1(2)(1)1n n n a n a --=--，即有1(1)1n n n a na +-=-，将两式相减并整理有112n n n a a a +-+=，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得143n b n =-，令21n n n c T T +=-、1231n n n c T T +++-=，应用作差法比较它们的大小，即可确定21}{n n T T +-的单调性并求其最大值，结合恒成立求m 的取值范围． (1)由题设，(1)2n n n a S +=，则11(1)(1)2n n n a S ---+=(2)n ≥， 所以111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=，整理得1(2)(1)1n n n a n a --=--，则1(1)1n n n a na +-=-，所以11(1)(2)1(1)1n n n n n a n a na n a +----=---+，即11(1)()2(1)n n n n a a n a +--+=-，10n -≠， 所以112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 为等差数列，得证.(2)由1121S a =+，可得11a =，又25a =，结合（1）结论知：公差214d a a =-=， 所以43n a n =-，故1143n n b a n ==-，则21111 (414581)n n n n n T n c T +-=++++++=， 所以123111111...4549818589n n n n n c T T n n n +++-=+++++++=+++，且*N n ∈， 所以111140310858941(41)(85)(89)n n c c n n n n n n n +++-=-<++++++-=，即1n n c c +<， 所以，在[1,)n ∈+∞且*N n ∈上21n n T T +-递减，则max 32111114)594(5n n T T T T +-=-=+=，要使()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，即2514(7)(2)0m m m m --=-+≥，所以(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞. 题型二：不等法求数列最值 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线为l ，数列{}n a 的首项为1，点()()1,n n a a n N *+∈为切线l 上一点，则数列6nna ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为（ ）A ．623-B ．523-C ．613-D ．613 【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则13n n a a +=，从而求出{}n a 的通项公式，再构造不等式组求出数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项；【详解】因为()23e x y x x =+，所以()()()22321e 3e 3e 31x x xx x x x y x =+++++'=，所以曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线的斜率03x k y ='==.所以切线l 的方程为3y x =. 所以13n n a a +=.所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以1663n n n na ---=. 所以由11265336733n nn n n nn n-----⎧≤⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩，解得131522n ≤≤.因为n *∈N ，所以7n =.所以数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为6667133-=-.故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足14a =，*1144(2,N )n n n a a n n a ---=≥∈，若124(6)na n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m 的取值范围是（ ） A．⎣⎦ B．1⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据题意，令12n n c a =-，进而证明数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，故可得22n n a n+=，242n nn b -=，在结合题意将问题转化为()2max 460n b m m +-≥，再求数列{}n b 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【详解】()*11442,n n n a a n n a ---=∈N ，()()*11412,n n n a a a n n --∴=-∈N ． 令12n nc a =-， 111111122422n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ------∴-=-=----+ ()11142241n n n n n a a a a a ----==--+-()*1112,222n n n n a a n n a a ---=-≥∈-N ，又111122c a ==--， ∴数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，11(1)222n n c n ∴=---=-，即122n n a =--， 22n n a n +∴=，()1224462na n n nn b na --∴=⋅-= ∵存在*n ∈N ，使得2460n b m m +-≥成立，()2max 460n b m m ∴+-．令11,,n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩得112426,222422,22n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩则34n ≤≤，*n ∈N ，3n ∴=或4n =．()34max 14n b b b ∴===， 2160m m ∴+-≥，即2610m m --≤，解得1132m -≤≤，∴实数m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．3．（2021·浙江·高三期中）已知数列{}n a 满足11a =，)*1n a n N +=∈，则（ ） A ．2021512a << B ．20211219a << C ．20211926a << D ．20212633a <<【答案】B【分析】由题意化简可得1n n a a +>，根据3311n n a a +->，利用累加法可得n a 2211n n na a a +-=，利用累加法计算化简可得13132n an +<n a <2021n =计算即可.【详解】解：显然，对任意*n N ∈，0n a >．1n a +=化简可得22110n n na a a +-=>，所以1n n a a +>，则()3322111nn n n n a a a a a ++->-=， 累加可得3311n a a n->-，所以n a又2211n n n a a a +-=，所以()1221311122n n n n n na a a a a a n ++-=<<+，则()()()111121n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-()()2222223333331111131112221311332n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥<+++=++++⎢⎥⎢⎥--⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 注意到()()()()11332211233333111311k k k k k k kk k --<=--+-+-，所以()1133222333311113311222231331n n n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+++<+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⨯⎢⎥⎣⎦，则13132n a n +<， 所以13132n n a a n +<<n a <当2021n =n a <<1219n a <<. 故选：B4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（ ）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项【答案】B【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项， 故选：B ． 二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，an ＝(n ＋1)7()8n ，则数列{an }中的最大项可以是（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】AB【分析】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解不等式组，可求出n 的范围，从而可得答案【详解】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩即177(1)()(2)()88n n n n +++≥且177(1)()()88n n n n -+≥，所以7(1)(2)()87(1)()8n n n n⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选：AB6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（ ）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列 B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项 C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列 D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项 【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；按k 的范围分类，可判断D ；【详解】当12k =时，1212a a ==，知A 错误；当45k =时，1415n n a n a n ++=⋅，当4n <，11n n a a +>，4n >，11n n a a +<， 所以可判断{}n a 一定有最大项，B 正确； 当102k <<时，11112n n a n n k a n n +++=<≤，所以数列{}n a 为递减数列，C 正确； 当1k k -为正整数时，112k >≥，当12k =时，1234a a a a =>>>，当112k >>时，令*1k m N k =∈-， 解得1mk m =+，则()()111n n m n a a m m ++=+，当n m =时，1n n a a +=， 结合B ，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故D 正确； 故选：BCD.7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nn S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（ ） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项.【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列， 因此n a n =，故A 正确； ()12n n n S +=，故B 正确； 由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-， 令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤， ②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 三、填空题8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列{}n a 满足14a =，()1222nn n a a n -=+≥，若不等式()2231n n n a λ--<-对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是___________.【答案】5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，由参变量分离法可得出2312n n λ-->，利用数列的单调性求得数列232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项的值，可得出关于实数λ的不等式，进而可求得实数λ的取值范围.【详解】当2n ≥时，在等式122nn n a a -=+两边同时除以2n 可得11122n n n n a a ---=且122a =， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，以1为公差的等差数列，则2112n n a n n =+-=+，()12nna n ∴=+⋅， 因为()()()2123231n a n n n n λ->--=-+对任意*n ∈N 恒成立，即2312nn λ-->， 令232n n n b -=，则()()1111212232123522222n nn n n n n n n n nb b ++++-------=-==. 当12n ≤≤时，1n n b b +>，即123b b b <<； 当3n ≥时， 1n n b b +<，即345>>>b b b .故数列{}n b 中的最大项为333328b ==，318λ∴->，解得58λ<. 故答案为：5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项119a =-，其前n 项和为n S ，且满足()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=，则当n S 取得最小值时，n =___________.【答案】5【分析】首先根据()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=得到11111111n n a n a n ++=++，令111n n b a n=+得到2n b =，从而得到211n na n =-，再求当n S 取得最小值时n 的值即可.【详解】由题意，()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=可得111111111(1)1n n a a n n n n +-==-++，11111111n n a n a n++=++. 令111n n b a n=+，则1n n b b +=，即{}n b 是常数列， 所以111111112n n b b a n a =+==+=，故211n n a n =-. 当05n <≤时，0n a <；当6n ≥时，0n a >. 故当5n =时，n S 取得最小值. 故答案为：5 四、解答题10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()11,221,1n nn a n n n b n n ⎧-⋅+≥⎪=⎨⨯⎪=⎩，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()32n S n λ≥-+恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)(),211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩(2)23λ≥ 【分析】（1）当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-，两式作商求得,21n na n n =≥-，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到12n nn b +=，结合乘公比错位相减法求得111322nn n n S -+=--，进而求得()322n n n λ+≥+⋅，再根据()()322n n g n n +=+⋅的单调性，即可求解.(1)解：数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅，当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-， 两式作商，可得,21n na n n =≥-，又由11a =，得,211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩. (2)解：当2n ≥时，()()111122n n nnn n n n b n -⋅++-==⋅，当1n =时，111212b a ===，所以对任意的*n N ∈，均有12nn n b +=， 则12231222n nn S +=++⋅⋅⋅+， 可得2312312222n n S n ++=++⋅⋅⋅+②， 两式相减可得123111111421111131111122222222212n n n n n n n n n S n -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+-=---，求得111322n n n n S -+=--，由()32nS n λ≥-+，可得()322n n n λ+≥+⋅， 令()()322n n g n n +=+⋅，则()()()()()()()124132********n n n g n n n n n g n n n ++++⋅++==<+++⋅， 因为()0g n >，所以()()1g n g n +<，即随着n 增大，()g n 减小， 所以()()max 213g n g λ≥==． 11．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+． 【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证. (1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-； (3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明： (i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121kk T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+， 则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++.。

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.2.已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或因此.【考点】分段函数单调性，数列单调性3.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 .【答案】【解析】由于函数可知函数在R上递增，又函数在（0,1）上递减.并且两个函数在x=1x时的函数值相等.根据函数的图像的走向要满足不等式，首先要确定在x>1时函数值的等于的对应x的值.即.所以.故填.【考点】1.函数的单调性.2.函数的最值问题.3.函数的数形结合思想.4.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.5.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.6.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】A: ，所以不是奇函数，故A不正确。

数列的单调性

数列的单调性

数列的单调性数列的单调性一【问题背景】数列是函数概念的继续和延伸，它是定义在自然数集或它的子集上的函数，其图象是坐标系内一群孤立的点．单调性是研究函数的重要抓手，同样的，通过研究数列的单调性也是我们解决数列问题的重要工具，其作用主要体现在求数列最值、恒成立等问题上．二、【数列的单调性】数列是一种离散型的函数，它的单调性定义与函数的单调性定义既有联系又有区别．在数列{}na 中，若对任意的n *∈N ，都有1n naa +>，则数列{}na 为单调递增数列；若对任意的n *∈N ，都有1n naa +<，则数列{}na 为单调递减数列．特别的，若等差数列{}na 为递增数列，则公差0d >；若等差数列{}na 为递减数列，则公差0d <．若正项等比数列{}na 为递增数列，则公比1q >；若正项等比数列{}na 为递减数列，则公比01q <<． 三、【范例】例1 数列{}na 的通项公式na =nnλ+2*∈N n ，若数列{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是 ．解：数列为递增数列()*+∈<⇔N n a a n n1恒成立， 即())1(122+++<+n n n n λλ 化简得12-->n λ恒成立， 即max12）（-->n λ，因为{}12--n 为单调递减数列，当1=n 时，取得最大值-3所以3->λ．变式 通项公式为2n a an n =+的数列{}na ，若满足12345a a a a a <<<<，且1nn aa +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解：221(1)(1)()(21)1n n aa a n n an n n a +-=+++-+=++，12345a a a a a <<<<⇔当14n ≤≤时，1+<n na a恒成立，所以当14n ≤≤时，恒有(21)10n a ++>，121a n ∴>-+，max 11()219a n ∴>-=-+．又当8≥n 时，1+>n na a恒成立，121a n ∴<-+，min 11()2117a n ∴<-=-+．所以11917a -<<-． 例 2 设等比数列{}na 的前n 项和为nS ，且12n n a -=，数列{}nb 的通项公式为2(1)n b n n =+．设()()1n n n c S nb λ=+-，若数列{}nc 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解：1(12)2112n n n S ⨯-==--，所以22()1n ncn λ=-+，要使数列{}nc 是单调递减数列， 则1422()021nn n cc n n λ+-=--<++对n *∈N 恒成立，即4221n n λ>-++恒成立，所以max42()21n n λ>-++， 令 4221nd n n -=++，则12(1)(1)(2)(3)n n n dd n n n +--=+++，所以1234dd d d =>>>，因此当1=n 或2时，,31)1224(max =+-+n n所以13λ>．例 3 已知}{na ，}{nb ，}{nc 都是各项不为零的数列，且满足11ac d k===（k 为常数，k *∈N ），1122n n n na b a b a b c S +++=（n *∈N ），其中nS 是数列}{na 的前n 项和， }{nc 是公差为(0)d d ≠的等差数列．若n n k b c +=(2,)n n *∈N ≥，求证：对任意的2,n n *∈N ≥，数列{}n nba单调递减．解：因为1122n n n na b a b a b c S +++=，当2n ≥时，11112211n n n n Sca b a b a b ----=+++，两式相减得11n n n n n nS c S c a b ---=，即111()n n n n n n nS a c S c a b ---+-=，11()n n n n n n nS c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-，因为nn kbc +=，所以nn bc kd=+，即nn bc kd-=，所以1n n S d a kd-=⋅，即1n nSka -=， 所以1(1)nn n nS S a k a -=+=+，当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，即11nn k a a k-+=，故从第二项起数列}{na 是等比数列，所以当2n ≥时，221()n nk aa k-+=，221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-+=+-+=+， 另外由已知条件得1221122()a a ca b a b +=+，又22ck=，1b k=，2(2)bk k =+，所以21a=，因而21()n nk ak-+=，令nd=n nb a ，则111n n n nn n d b a da b +++=(1)()(1)n k kn k k ++=++，因为(1)()(1)0n k k n k k n ++-++=-<，所以11n nd d+<，所以对任意的2,n n *∈N ≥，数列{}n nba单调递减． 例 4 已知数列{}n a 的通项公式12,21,23,2n n n n k a k N n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩，前n 项和为nS ，是否存在正整数m，使得221mm S S -恰好为数列{}na 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．解： 对于k N *∈，有22(121)2(13)13213k kkk k Sk +--=+=-+-，21212122132313k k k k k k S S a k k ---=-=-+-⋅=-+，假设存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}na 中的一项，又由（1）知数列{}na 中的每一项都为正整数，故可设221()mm S l l N S *-=∈，则2211313mm m lm --+=-+,变形得12(3)3(1)(1)m l l m --=--，∵11,1,30m m l -≥≥>，∴3l ≤，又l N *∈，故l 可能取1,2,3，当1l =时，12(3)30,(1)(1)0m l l m -->--=，∴12(3)3(1)(1)m l l m --=--不成立，当2l =时，12(32)3(21)(1)m m --=--，即1231m m -=-，若1m =，1231m m -≠-，令2113m m m T --=，(,2)m N m *∈≥，则222211172()(1)11223223333m m m m m mm m m m m T T +--+++---++-=-==222222303-⋅+⋅+≤<，因此231TT =>>，故只有21T=，此时2m =，22l a ==；当3l =时，12(33)3(31)(1)m m --=--，∴1m =，33l a ==．综上，存在正整数1，使得21S S恰好为数列{}na 中的第三项；存在正整数2，使得43S S恰好为数列{}na 中的第二项．四、【练习】1．已知数列}{na 的通项公式为1nan=， 若对于一切1>n 的自然数，不等式32)1(log 121...221+->+++++a a a a a n n n 恒成立,则实数a 的取值范围为________．解：122111122n n na a an n n++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++令122nn n nb a aa ++=++⋅⋅⋅+，∴12322n n n n ba a a ++++=++⋅⋅⋅+∴1222111111222112(21)(1)n nn n n b b aa a n n n n n ++++-=+-=+-=+++++∴1,n n N ∀>∈，10n nb b +->恒成立； ∴数列{}nb 对2n ≥，n N ∈上单调递增．∴min 234117()3412n b b a a ==+=+=；∴由题意可知min 12log (1)()123a n ab -+<∴log (1)1aa -<-又1a >；∴101a a<-<； ∴151a +<< 2．已知数列{}n d 的 通项公式为：6(3)(12),14(2)3,2n n t t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩，设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}nd 中不存在这样的项kd , 使得“1kk dd -<与1kk dd +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数k 的取值范围． 解：当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以 ① 若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得59759774t ---+≤≤<； ② 若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}nd 是递增数列,,故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}nd 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}nd 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=综上所述取值范围是597597t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥ 3．数列{}n a 满足,2,021==a a ,,3,2,1,2sin 4)2cos 1(222 =++=+n n a n a n n ππ设1231-+++=k ka a a S，kka a a T242+++= ，)(22+∈+=N k T S Wkkk，求使1>kW的所有k 的值，并说明理由解：当)(12*N k k n ∈-=时，4212sin 4)212cos 1(12212212+=-+-+=--+k k k a k a k a ππ，∴{}12-k a 是以0为首项，4为公差的等差数列，则)1(412-=-k ak ，当)(2*N k k n ∈=时，k k k a ka k a222222222sin 4)22cos 1(=++=+ππ，∴{}ka 2是以2为首项，2为公比的等比数列，则kk a 22=，∴{}na 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-=-=)(2,2)(12),1(2*2*N k k n N k k n n a nn ． 所以)1(2)1(4401231-=-+++=+++=-k k k a a a S k k，2222212242-=+++=+++=+k k k k a a a T ，∴112)1(2)1(422-+-=-=+=k k k k kk k k k T S W，于是1615,45,23,23,1,0654321======W W W W W W．下面证明：当6≥k 时，1<kW ．事实上，当6≥k 时，-+=-+k k k k k W W 2)1(102)3(2)1(1<-=--kk k k k k ，即kk W W<+1，又16<W，∴当6≥k 时，1<kW．故满足1>kW的k 的值为5,4,3．。

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*
（ 1）求数列 an 的通项公式； （ 2）设 bn 4 (1)
n n1
， 2a ( 为非零整数， n N* ）
n
试确定 的值，使得对任意 n N ，都有 bn1 bn 成立．
*
例 6. 设公比大于零的等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且
1 （ 2）若对任意的 n N ， ( S n ) k bn 恒成立， 2 求实数 k 的取值范围．
*
例 5.已知数列 an 中， a1 2 ， a2 3 ，其前 n 项和 Sn 满 足 Sn1 Sn1 2Sn 1（ n 2 ， n N ） ．
)
例 3． 已知数列{an}满足前 n 项和 Sn＝n2＋1， 数列{bn} 2 满足 bn＝ ，且前 n 项和为 Tn，设 cn＝T2n＋1－Tn. an＋1 (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性．
例 4.数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ， an1 2Sn 1 ， 等差数列 bn 满足 b3 3, b5 9 ， （ 1）求 an ， bn ；
3、已知向量 a, b, c 满足 a b 2, c 1 ， (a c) (b c) 0 ，则 a b 的取值范围为
( b c ) 0, a c 4. 已 知 向 量 a b 0且( a c )
的最大值为（ A. ） B. 2 C.
2 5 5
5
D. 2 5
6. 已 知 ABC 的 三 个 顶 点 A, B, C 的 坐 标 分 别 为 0,1 , 2, 0 , 0, 2 ， O 为坐标原点，动点 P 满足 CP 1 ，则 OA OB OP 的最小值是（ ） ．
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
an＋t 练习 3.设数列{an}，a1＝1，an＋1＝ ，则 ( an＋1 A．当 t∈(0,1)时，{an}为递减数列 B．当 t∈(0,1)时，{an}为递增数列 C．当 t∈(1，＋∞)时，{an}为递减数列 D．当 t∈(1，＋∞)时，{an}为递增数列
数列的单调性与最值问题Fra bibliotek 2n＝1， 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 Sn＝ (1)求 an； 2ann≥2.
Sn＋1 (2)设 bn＝ ，求{bn}的前 n 项和 Tn. Sn＋log2SnSn＋1＋log2Sn＋1
2.设 S n 是数列 an 的前 n 项和， 且 a1 1 , an 1 S n S n 1 ， 则 S n _____．
1. 非零向量 a, b 夹角为 60 ，且 a b 1，则 a b 的取值范围
为 ．
1 2．向量 a，b，c，d 满足：|a|＝1，|b|＝ 2，b 在 a 方向上的投影为 ， 2 (a－c)· (b－c)＝0，|d－c|＝1，则|d|的最大值是____．








3, b c 1


则 a c 的最大值为______, a c 的最大值为______

5． 已知 AB BC 0 ， AB 1 ， BC 2 ，AD DC 0 ， 则 BD
a1 1 ， S 4 5S 2 ，数列 bn b1 1 ， Tn n 2bn ， n N ．
的前 n 项和为 Tn ，满足
（Ⅰ）求数列 an 、 bn 的通项公式； （Ⅱ）设 Cn (Sn 1)(nbn ) ，若数列 C n 是单调递减 数列，求实数 的取值范围．


A． 4 2 3
B． 3 1
C． 3 1
D． 3
7.若 ABC 满足 (2CA CB) (CA 2CB) 0 ，且 AB 2 ，则
CA CB =
.
3.已知 S n 是正数数列 {an } 的前 n 项和， 且 4S n an 2an 3 ． 求 数列 {an } 的通项公式
2
4 若数列{an}满足 a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 则 an＝________.
2
n－1
n＋1 an＝ (n∈N＋)， 3
【例 2】
已知数列{an}．
(1)若 an＝n2－5n＋4. ①数列中有多少项是负数？ ②n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (2)若 an＝n2＋kn＋4 且对于 n∈N*， 都有 an＋1＞an 成立． 求 实数 k 的取值范围．
练习 1.设等差数列{an}的公差为 d， 若数列{2a1an}为递减数列， 则( ) A．d<0 C．a1d<0 B．d>0 D．a1d>0
练习 2. (2014· 浙江金丽衢十二校联考)已知函数 y＝f(x)，数列{an} 的通项公式是 an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上 单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 )
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