《复变函数》考试大纲
【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲
cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则
c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c
(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为
f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5
复变函数论自学考试大纲
[10019]复变函数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二OO四年十二月指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版一、课程性质与说明复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
共形映射是复变函数几何理论的基本概念。
留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
二、考核目标第一章复数与复变函数复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。
（一）目的和要求1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。
3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。
4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。
（二）主要内容1．复数复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。
2．复平面上的点集平面点集、曲线、区域。
3．复变函数复变函数的概念、极限及连续性。
4．复球面及无穷远点复球面、无穷远点及扩充复平面。
第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。
判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。
复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。
（一）目的和要求1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。
2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。
3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。
n的单值解析分支并能求其函数值。
4．能确定根式函数z（二）主要内容1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件2．初等解析函数指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。
复变函数考试大纲
《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。
在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。
复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。
本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。
通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。
二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换课程考试大纲(一)
（物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学专业，学时）教材：《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，高等教学出版社，年.考试范围：教材第一、二、三、四、五(第节不考)、六、八、九章地全部内容.复习地总体要求：认真阅读教材及各章后面地小结，掌握概念、理解定理并能应用定理解决一些实际问题；有关定理地证明看懂即可；熟练掌握各种形式地复积分、留数、变换和变换地计算；能在指定区域内对复变函数进行展开或展开.文档收集自网络，仅用于个人学习四、复习地具体要求：复数与复变函数熟练掌握复数地各种表示方法及相应地运算，掌握复数地性质,理解辐角地多值性以及复数与平面上点地一一对应关系；了解复数与实数地不同点.文档收集自网络，仅用于个人学习理解和掌握平面点集地有关概念，如邻域、去心邻域、边界点、区域、闭区域、有界集、无界集、曲线地光滑和按段光滑、简单曲线、单连通区域和多连通区域等.了解无穷大与复球面.文档收集自网络，仅用于个人学习理解复变函数及与之相关地概念，如复变函数地极限与连续性、复变函数与映射地关系等. 解析函数正确理解复变函数地导数与解析函数这两个重要概念，并熟练掌握判断复变函数可导与解析地方法，牢固掌握方程及其在函数可导与解析性判别中地应用.能区别复变函数在一点可导与一点解析地异同；能熟练进行导数地各种运算.文档收集自网络，仅用于个人学习理解调和函数与共轭调和函数地概念，会根据解析函数与调和函数地关系求适合初始条件地解析函数.掌握各种初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数、幂函数、反三角函数等地定义及有关运算，了解这些函数地解析区域.对根式函数与对数函数地多值性、主支、单值分支等概念要正确理解.文档收集自网络，仅用于个人学习复变函数地积分理解复变函数积分地定义和性质以及原函数地概念；深刻理解和掌握积分定理和积分公式（包括高阶导数公式），并能熟练地利用它们计算复积分.理解解析函数地平均值公式、最大模原理，了解定理.文档收集自网络，仅用于个人学习解析函数地级数表示理解复数项级数及其收敛地概念，掌握复数项级数收敛地判别法.理解关于幂级数地定理，熟练掌握计算幂级数地收敛半径和收敛域；能熟练地用直接方法和间接方法将解析函数在指定区域内展开成级数.理解级数地概念，掌握定理，并能熟练地将函数在指定地圆环或某点地去心邻域内展开成级数.特别要掌握将同一个函数在不同区域上展开成级数或级数地方法及其意义.文档收集自网络，仅用于个人学习留数及其应用正确理解孤立奇点地定义，熟练掌握对孤立奇点类型地判别方法.掌握函数地零点与极点地关系并能计算它们地阶数.掌握复变函数留数地概念、留数定理，掌握函数在各种奇点处留数地计算，并能利用留数计算几类实变量函数地定积分.文档收集自网络，仅用于个人学习共形映射理解复变函数导数地模和辐角地几何意义，了解保角映射、共形映射地概念.掌握分式线性映射地定义及其性质，如保形性、保对称性和保圆性等，能比较熟练地利用分式线性映射实现标准区域（圆域、半平面或角形区域）之间地共形映射.了解初等函数及其特有地变换功能.文档收集自网络，仅用于个人学习第八章变换理解和掌握周期函数地级数地复指数形式及相关概念，如振幅、离散频谱、离散相位谱、离散振幅谱、振幅谱、相位谱等；掌握积分、变换、逆变换地定义，能熟练地应用定义求函数地积分和变换，了解对函数进行变换所需地条件.掌握单位脉冲函数地定义性质及其变换.熟练掌握变换地性质及其应用；熟练掌握函数卷积地定义、性质及其计算.文档收集自网络，仅用于个人学习变换熟练掌握变换、逆变换及其性质，并能利用定义熟练地求函数地变换；了解像函数、原像函数地定义.掌握卷积定理、反演积分公式，并能进行相应地计算.掌握利用留数计算反演积分，利用变换求解常微分方程（组）地方法.（完）文档收集自网络，仅用于个人学习五、试卷题型. 单项选择题；. 填空题; . 计算题; . 证明题. 其中, 选择题和填空题两类客观题占左右. (完)文档收集自网络，仅用于个人学习大纲制定者：王建平教授大纲审定者：盛宝怀教授年月《复变函数与积分变换》课程考试大纲(二)（物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学专业，学时）教材：《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，高等教学出版社，年.二、考试范围：教材第一、二、三、四、五(第、节不考)、八、九章地全部内容.三、复习地总体要求：认真阅读教材及各章后面地小结，掌握概念、理解定理；有关定理地证明看懂即可；熟练计算各种形式地复积分、留数、变换和变换；能在指定区域内对复变函数进行展开或展开.文档收集自网络，仅用于个人学习四、考试地具体要求：第一章复数与复变函数熟练掌握复数地各种表示方法及相应地运算，掌握复数地性质,理解辐角地多值性以及复数与平面上点地一一对应关系.文档收集自网络，仅用于个人学习理解和掌握平面点集地有关概念，如邻域、去心邻域、边界点、区域、闭区域、有界集、无界集、曲线地光滑和按段光滑、简单曲线、单连通区域和多连通区域等.了解无穷大与复球面.文档收集自网络，仅用于个人学习理解复变函数及与之相关地概念，如复变函数地极限与连续性、复变函数与映射地关系等. 解析函数正确理解复变函数地导数与解析函数这两个重要概念，并熟练握判断复变函数可导与解析地方法，牢固掌握方程及其在函数可导与解析性判别中地应用.能熟练进行导数地各种运算.文档收集自网络，仅用于个人学习理解调和函数与共轭调和函数地概念，会根据解析函数与调和函数地关系求适合初始条件地解析函数.掌握主要几种初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数、幂函数地定义及有关运算，了解这些函数地解析区域.对根式函数与对数函数地多值性和主支等概念有所了解.文档收集自网络，仅用于个人学习复变函数地积分理解复变函数积分地定义和性质；深刻理解和掌握积分定理和积分公式（包括高阶导数公式），并能熟练地利用它们计算复积分.了解解析函数地平均值公式和最大模原理.文档收集自网络，仅用于个人学习解析函数地级数表示理解复数项级数及其收敛地概念，掌握复数项级数收敛地判别法.理解关于幂级数地定理，掌握计算幂级数地收敛半径和收敛域；能熟练地用直接方法和间接方法将解析函数在指定区域内展开成级数.理解级数地概念，掌握定理，并能熟练地将函数在指定地圆环或某点地去心邻域内展开成级数.特别要掌握将同一个函数在不同区域上展开成级数或级数地方法及其意义.文档收集自网络，仅用于个人学习留数及其应用理解孤立奇点地定义及其分类方法.掌握函数地零点与极点地关系并能计算它们地阶数.掌握复变函数留数地概念、留数定理，掌握函数在奇点处留数地计算.文档收集自网络，仅用于个人学习第八章变换理解和掌握周期函数地级数地复指数形式及相关概念，如振幅、离散频谱、离散相位谱、离散振幅谱、振幅谱、相位谱等；掌握积分、变换、逆变换地定义，能熟练地应用定义求函数地积分和变换.掌握单位脉冲函数地定义性质及其变换.熟练掌握变换地性质及其应用；掌握函数卷积地定义、性质及其计算.文档收集自网络，仅用于个人学习变换熟练掌握变换、逆变换及其性质，并能利用定义熟练地计算求函数地变换；了解像函数、原像函数地定义.掌握卷积定理、反演积分公式，并能进行相应地计算.掌握利用留数计算反演积分，利用变换解常微分方程（组）地方法.文档收集自网络，仅用于个人学习五、试卷题型. 单项选择题；. 填空题; . 计算题; . 证明题. 其中, 选择题和填空题两类客观题占左右. (完)文档收集自网络，仅用于个人学习大纲制定者：王建平教授大纲审定者：盛宝怀教授年月。
湖南工商大学学硕加试复变函数考试大纲
湖南工商大学2023年硕士研究生入学考试自命题考试大纲考试科目代码：考试科目名称：复变函数一、试卷结构1) 试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试。
3)试卷内容结构严镇军编著，中国科学技术大学出版社出版的《复变函数》第一章至第六章。
4)题型结构a: 填空题，5小题，每小题6分，共30分；b: 计算题，6小题，每小题15分，共90分；c: 证明题，2小题，每小题15分，共30分。
二、考试内容与考试要求1、复数和平面点集考试内容复数的四则运算、共轭复数的定义、复数的几何表示、模和辐角的定义、复数序列的极限、无穷远点、平面点集的一些基本概念。
考试要求（1）掌握复数的定义，掌握复数四则运算的规律。
（2）理解共轭复数的定义，掌握复数、共轭复数及复数的实部、虚部之间的关系。
（3）理解复数的几何表示，掌握常用的平面曲线的复数表示，熟练掌握复数的模、辐角的计算。
（4）掌握复数序列极限的定义、复数序列收敛的充要条件，理解无穷远点的定义。
（5）理解平面点集的基本概念。
2、复变数函数考试内容复变函数的定义、函数极限、函数的连续性、导数和解析函数的定义、柯西-黎曼方程、初等函数。
考试要求（1）理解复变函数的概念。
（2）掌握函数极限的定义，能够计算复变函数的极限。
（3）掌握函数连续的概念。
（4）理解复变函数导数的概念，掌握函数解析的定义，理解可微与解析的区别，能够利用求导法则计算函数的导数。
（5）理解柯西-黎曼方程的推导过程，掌握函数可微的充要条件。
（6）掌握幂函数、根式函数、指数函数、对数函数、三角函数、一般幂函数、反三角函数的定义，理解支点、支割线的概念。
3、解析函数的积分表示考试内容复变函数的积分、柯西积分定理、原函数、柯西积分公式、解析函数的平均值定理、最大模原理、柯西不等式、刘维尔定理、莫雷拉定理。
考试要求（1）理解复变函数积分的定义，能够利用积分的定义计算一些简单的积分问题，掌握复变函数积分的基本性质。
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲课程名称：复变函数一、考试的总体要求本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。
二、考试的内容及比例1、复数与复变函数（5%～10％）：(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。
(2) 掌握复变函数、极限、连续性。
(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。
2、解析函数（10%～20％）：(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。
(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。
(3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。
(4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。
3、复变函数的积分（15%～25％）：(1) 掌握复积分的概念及基本性质。
(2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。
(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。
(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。
4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）：(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。
(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。
(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。
5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）：(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。
(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。
(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。
6、留数理论及基应用（10%～15％）：(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。
(2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。
(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。
复变函数和积分变换考纲
复变函数和积分变换考纲
1.会求复数的三角表达式，幅角，模以及幅角主值的概念；
2.掌握复数的乘幂以、方根以及常用的复的初等函数；
3.判断函数解析的充要条件（柯西-黎曼定理）
4.会求复变函数的积分（一类是利用参数方程，还有一类是利用柯西-古萨定理，柯西积
分公式以及柯西积分的高阶导公式）.
5.已知调和函数u,如何求共轭调和函数v使其构成解析函数f.
6.求幂级数的收敛半径及和函数，利用间接法求常见函数的泰勒展开。
7.掌握Fourier变换，逆Fourier变换的定义，常见函数的Fourier变换以及利用Fourier变
换的性质求简单的Fourier变换；
8.掌握单位脉冲函数的性质及其Fourier变换
9.掌握Laplace变换，Laplace逆变换的定义，常见函数的Laplace变换以及Laplace变换
的性质.。
复变函数论复习提纲
复变函数论复习提纲复变函数论一、复数与复变函数一、要求（一）明确复数、区域、复平面、扩充复平面，逐段光滑曲线等概念。
（二）明确复变函数概念和几何意义，掌握一些简单函数的变换性质。
（三）掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。
（四）熟练掌握复数的有关计算，会作点集的图形。
二、考试内容（一）复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。
（二）平面点集基本概念，曲线（连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线）、区域（单连通区域、复连通区域）、复平面。
（三）复变函数的概念及其几何意义，复变函数的极限与连续性。
（四）无穷远点，扩充复平面。
二、解析函数一、要求（一）掌握导数、解析函数的概念。
（二）掌握C——R条件，并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。
（三）掌握复基本初等函数的定义和基本性质。
（四）掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质，了解根式函数单值解析分支的取法。
二、考试内容（一）导数、解析函数、C——R条件。
（二）初等函数：正整幂函数与根式函数，指数函数与对数函数，三解函数与反三角函数，双曲函数，一般幂函数和一般指数函数。
三、复变函数的积分一、要求（一）明确复积分的概念及其基本性质。
（二）会证柯西积分定理和柯西积分公式；理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。
（三）熟练地掌握复积分的计算方法。
（四）理解刘维尔定理，会证代数基本定理。
（五）掌握解析函数与调和函数的关系。
二、考试内容（一）复积分的概念、基本性质及其计算方法。
（二）柯西积分定理（在f'（z）连续的条件下，用格林公式证明）。
不定积分，复连通区域上的柯西积分定理。
（三）柯西积分公式，解析函数的无限可微性。
（四）柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。
（五）莫勒拉定理。
（六）解析函数与调和函数的关系。
四、解析函数的幂级数表示法一、要求（一）明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
复变函数唐生强最新版复习提纲
1 1 1 1 z , cos z z 2i z 2 z
2. 形如
P( x) dx 的积分 Q( x)
解法：求出 R( z )
P( z ) 在上半平面的奇点 z1 , z2 , Q( z )
n
, zn
则 3. 形如
R( x)dx =2 i R( z ), zk
ux = v y , u y = vx
若f ( z ) u iv, 则f ( z ) u x ivx
注意：利用 C—R 条件是判断函数的可导性，再根据解析的定义判定函数的解析性 重点例题和习题：P21 例 1 ，P23 例 2， P35----1,2,3,4
（三）解析函数与调和函数 1.调和函数的定义： 若二元函数 x, y 满足 xx yy 0 ，则称其为调和函数 2.解析函数与调和函数的关系 若 f ( z) u iv 在区域 D 内解析，则 u，v 为 D 内的调和函数 重点例题：P52 例 1 三、级数 （一）复数项级数的定义和收敛性的判定 重点例题：P59 例 2 （二）幂级数的收敛半径公式 若 lim
w ei
z z
其中 的像为圆心
2. 把单位圆 z 1 映射成单位圆 w 1 的分式线性映射
w ei
za 1 az
其中 a 的像为圆心
重点例题和习题：P111 例 3，例 5，P129----7（1）8（1） （2） （五）初等函数的映射 1. 幂函数 w z n ：把角形域映射成角形域，辐角扩大 n 倍 2. 指数函数 w e z ：把带形域 0 Im( z) a 映射成角形域 0 arg w a
《复变函数与积分变换》考试大纲
《复变函数与积分变换》课程考试大纲课程性质/学时:自然基础/48 适用专业:电子信息及自动化一、考试的目的和性质本课程是高等学校工科本科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。
通过本课程的学习,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
本课程的考试既是对学生学习成果的认定,也是对教学质量的一项检查.本考试大纲是根据相应教学大纲制定的.二、考试的内容和范围考试内容: 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、富里叶变换、拉普拉斯变换考试范围:第一章复数与复变函数考核知识点:复数的概念，复数的四则运算及共轭运算；复平面、模与辐角的概念，复数的各种表示法。
乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。
区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。
考核要求:熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。
熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。
理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系；了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系。
第二章解析函数考核知识点:复变函数的导数以及解析函数的概念，连续、可导、解析之间的关系及求导方法。
函数可导与解析的判别法，灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数及它们的主要性质。
考核要求:理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。
熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质。
第三章 复积分考核知识点:复积分计算的一般方法；柯西-古萨定理，变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式。
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲
一、考试要求：
1、理解复变函数的基本概念；
2、掌握复变函数的基本定理；
3、掌握柯西定理，柯西公式，级数，留数，保形映射理论
二、考试内容：
主要内容：
1、复数域, 复数及其几何表示
2、柯西-黎曼条件，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等初等函数
3、复变函数的积分，柯西定理，柯西公式
4、幂级数，解析函数的泰勒展示，解析函数的洛朗展示，解析函数的孤立奇
点
5、留数定理，留数的计算
6、分式线性函数，分式线性函数的映射性质
次要内容：
1、复球面及无穷大，区域·曲线,
2、极限与连续性，辐角函数
3、莫勒拉定理
4、解析函数的唯一性，解析函数在无穷远点的性质
5、导数的几何意义，黎曼定理
要求：主要内容不少于70%，次要内容不超过30%.
三、试卷结构：
1、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.
2、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
3、计算题及应用题（共5小题，共50分）.
4、证明题（1题，分值为10分）.
要求：基本题不低于70%，难题不超过30%.
四、参考书目：
1、《复变函数论》．钟玉泉编著．高等教育出版社，1979.8
2、《复变函数》（第二版）．路见可，钟寿国．刘士大学出版社，1993.12
3、《复变函数》．孙清华，夏敏学，编著．湖北科技术出版社，1998.1
4、《复分析》．郑建华编著．清华大学出版社，2000.3
5、《复变函数内容、方法与技巧》．孙清华．孙技大学出版社，2003.7。
复变函数课程考核大纲
复变函数课程考核大纲一、适应对象修读完复变函数课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。
二、考核目的考核学生对复变函数的基本概念、基本计算、基本理论的掌握情况，考核学生运用复变函数理论和方法处理实际问题的能力。
三、考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为闭卷，考试时间为100分钟。
四、课程考核成绩构成期评成绩=平时考查成绩（30%）+ 期末闭卷考试（70%）。
平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B 等以上可评定为满分100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。
五、考核内容与要求第一章复数与复变函数考核内容1.1复数复数域,复数的乘幂与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义,复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点考核要求掌握复数的几何表示及运算性质，了解复平面上的简单拓扑。
掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念。
第二章解析函数考核内容2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程复变函数的导数与微分,解析函数的概念，函数解析的充要条件: 柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般幂函数，一般指数函数。
考核要求重点掌握解析函数的概念及柯西-黎曼条件；熟悉一些初等复变函数的基本特征。
第三章复变函数的积分考核内容3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，Liouville定理，Morera 定理。
复变函数复习提纲(课堂)
复变函数复习提纲第一章1、复数的几何表示，几种表示方法之间的转换。
会计算。
尤其注意复数辐角、辐角主值、反正切函数主值之间的关系。
2、复数的乘幂与方根。
会计算。
一些方程的求解。
3、区域的概念。
会判断，会表示。
规则形状区域，多连域，单连域；规则形状曲线。
4、映射的概念。
会判断，会计算。
5、复变函数极限和连续性的概念。
会计算。
运算规则，有关定理。
第二章1、复变函数导数的概念。
会计算。
2、复变函数解析的概念。
会计算。
解析与可导的关系。
判断解析与可导的充要条件。
相关定理。
3、初等函数的性质（定义、计算、解析性等）。
会计算。
模，辐角，周期，奇点分布等。
一些初等函数方程的求解。
第三章1、柯西-古萨基本定理。
2、复合闭路定理。
3、柯西积分公式。
4、解析函数的高阶导数。
会计算。
定理、公式的应用条件。
闭路变形原理；原函数的概念；积分与路径无关的条件；与路径相关积分的计算。
积分时，首先判断被积函数的解析性，根据积分区域的特性，积分曲线的特性，被积函数的解析性决定计算方法。
第四章1、复数列的极限。
会计算。
复数列收敛的充要条件。
2、复数项级数、复变函数项级数的概念及其收敛性的判断。
会计算。
复数项级数收敛的充要条件。
3、幂级数的概念及其收敛性的判断。
会计算。
阿贝尔定理；收敛圆域、收敛半径的确定；幂级数的性质和计算。
4、泰勒级数。
会计算。
收敛圆域、收敛半径的确定。
5、洛朗级数。
会计算。
收敛域的确定。
泰勒级数与洛朗级数之间的关系。
注意代换运算的条件。
第五章1、孤立奇点的概念及其分类；零点的概念，零点与极点的关系；函数在无穷远点的性态。
会计算。
函数在有限远点和无穷远点孤立奇点的分类方法。
2、留数的概念及其计算方法。
会计算。
函数在有限远点和无穷远点孤立奇点处留数的概念及其计算方法。
函数在有限远点、无穷远点孤立奇点处留数的关系。
留数的应用。
不包括留数在定积分上的应用，对数留数与辐角原理。
《复变函数与积分变换》考试大纲
《复变函数与积分变换》考试大纲适用专业：信息与计算科学电子科学与技术电气自动化学时：48（理论40实验8）考试时长：120分钟一、本课程的地位和作用复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。
它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。
它是本科院校理工科专业的重要专业课。
它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地研究这类具体问题。
积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。
因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。
二、本课程的考试目的、目标（1）考试试卷要求尽可能科学、合理、规范（2）考试尽可能客观地反映学生的学习水平和教师的教学水平（3）促进学生与学生之间、教师与学生之间相互交流，提高学生学习的积极性及教师的教学水平（4）提高学生的实践操作能力，会在电脑上应用数学软件解决一些实际问题。
三、考试试卷涉及内容和基本要求第一章复数与复变函数1．考试涉及内容（1）复数及其四则运算（2）复数的模与辐角，复数的三角表示法及乘除运算（3）复数的乘幂与方根（4）复数在几何中的应用（5）复平面上点集的有关概念。
区域、曲线的有关概念，约当定理（6）复数方程表示曲线以及不等式表示区域（7）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算（8）复变函数与映射（或变换）的概念（9）复变函数的极限的概念及性质（10）复变函数连续性的概念、运算法则及性质2．考试基本要求（1）了解引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的运算（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法（4）了解复平面上点集的一般概念（5）了解引进扩充复平面的思想和方法（6）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念（7）掌握利用MATLAB计算极限第二章解析函数1．考试涉及内容（1）复变函数的导数与微分（2）解析函数的概念与基本性质（3）Cauchy-Riemann方程（4）解析函数的求导公式与求导法则（5）复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数（7）初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数，反双曲函数（8）调和函数的概念（9）解析函数与调和函数的关系2．考试基本要求（1）深刻理解解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微、解析的等价刻画（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式（4）掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）（5）了解初等多值函数（6）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系（7）掌握利用MATLAB计算微分第三章复变函数的积分1．考试涉及内容（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算（2）Cauchy积分定理及其推广（3）Cauchy积分公式，最大模原理（4）解析函数的高阶导数公式（5）Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理2．考试基本要求（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质（2）熟练掌握和运用Cauchy积分定理（3）掌握柯西积分公式和高阶导数分式（4）了解Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理（5）掌握利用MATLAB计算复积分第四章解析函数的级数表示1．考试涉及内容（1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则（2）复变函数项级数的概念（3）幂级数的收敛状况，特别地在收敛圆周上的收敛状况（4）幂级数的收敛圆、收敛半径、和函数的求法（5）解析函数在一点邻域内的泰勒展式（6）常用初等解析函数的泰勒展式（7）双边幂级数的概念（8）解析函数的Laurent展式（9）掌握利用MATLAB求解析函数的泰勒展开式2．考试基本要求（1）理解复函数项级数的概念（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径、和函数（3）理解解析函数的幂级数定义（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用（5）掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理（6）会求解析函数的泰勒展式、Laurent展式第五章留数及其应用1．考试涉及内容（1）解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特征性质（2）解析函数在无穷远点的性质（3）留数的定义。
《复变函数》复习大纲及例题
dz
2 i 2!
sin
z
2 z1
i
sin1
法2（留数定理）
z
1是函数
f
z
sin z
z 13
的三级极点，则
Re s
f
z ,1
1 lim 2! z1
z
13
sin z
z 13
2
1 2
，由留数定理得
C
sin z
z 13
dz
2 i
Re s
f
z ,1
i sin1
.
9. 复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）
0
x2 2
ix
3 0
9 2
3i
.
11. 原函数与不定积分
例 11-1 计算积分： 3i e2zdz . i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd 2z 1 e2z 3i 0
i
2 i
2
i
1
例 11-2 计算积分： z sin zdz . 0
解：
1 z sin zdz
0
1 0
zd
cos
z
z
cos
z
1 0
1 0
cos
zdz
sin
1
cos1
.
12. 函数可导、解析的充要条件
例 12-1 函数 f x x2 iy 何处可导，何处解析.
解：由题得 u x, y x2,v x, y y ，则 u 2x, v 1, u 0, v 0 ，
x
y
y x
故当且仅当 2x 1 时柯西黎曼方程 u v , u v ，解得 x 1 ，
i
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《复变函数》考试大纲
课程名称：复变函数
一、考试的总体要求
本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。
二、考试的内容及比例
1、复数与复变函数（5%～10％）：
(1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。
(2) 掌握复变函数、极限、连续性。
(3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。
2、解析函数（10%～20％）：
(1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。
(2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。
(3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。
(4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。
3、复变函数的积分（15%～25％）：
(1) 掌握复积分的概念及基本性质。
(2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。
(3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。
(4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。
4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）：
(1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。
(2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。
(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。
5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）：
(1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。
(2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。
(3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。
6、留数理论及基应用（10%～15％）：
(1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。
(2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。
(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。
7、共形映射（5%～10％）：
(1) 掌握解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质。
(2) 掌握分式线性变换的映射特性、某些初等函数所构成的共形映射。
三、参考书目
《复变函数论》（第三版）钟玉泉编高等教育出版社2004.6。