近代数学 小波 简答题+答案

1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？）

答：设)()(2R L t ∈ϕ,且其Fourier 变换)(ωϕ

满足可允许性（admissibility ）条件

+∞<⎰∞

+∞-ωωϕd w |||)(|2

，则称)(t ϕ为小波函数。

2 Fourier 变换的不足？

Fourier 分析的不足，主要表现在以下两点：

1） Fourier 分析不能刻画时域信号的局部特性；（只知道信号所含有的频率信息，但不能知道各种不同频率信息在什么时候/位置出现） 2） Fourier 分析对非平稳信号的处理效果不好。（如音乐、语言、地震、电脉冲等）

3 什么是加窗Fourier 变换？

用一个时间函数g(t)做窗口函数，该时间函数在有限区间外恒等于零，或很快趋近与零。

用g(t –τ)与待分析函数f(t)相乘，然后对乘积进行Fourier 变换，乘积作用相当与在 t =τ处开了个“窗口”。即

),(τωf G =

dt e t g t f R

t i ⎰

--ωτ)()(

其反演公式为：

ττωτωπωd G t g e d t f f R R

t

i ),()(21)(-=

⎰⎰

),(τωf G ),(+∞<<-∞+∞<<-∞τω确实包含了f(t)的全部信息。

4.什么是分数傅里叶变换？

分数傅里叶变换是傅里叶变换的广义化，傅里叶变换通常指变换整数次，而分数傅里叶变换的变换次数不一定是整数，而是分数，其定义式为 ，当a=1时，分数傅里叶变换就变成了傅里叶变换。

一、写出离散小波、二进小波的表达式 答：（1）离散小波：)2(2

2

,k t j j

k j -=--ψψ

（2）二进小波：))2(2(2)(2

,2τψψτj

j j t t j -=--

三、二进小波满足什么样的条件时，它的小波变换及其逆变换是存在的？ 设小波函数)(2R L t ∈）（ψ,若存在两个常数A,B,满足0<+∞<≤B A ,使得

B A j Z

≤∑≤∈2

j )

2(ωψ

成立，则称)(,2t j τψ小波是)(2R L 上的二进小波，称上式为二进小波的稳定条件，

当A=B 时称为最稳定条件。 答：当二进小波满足B A j

Z

≤∑≤∈2

j )

2(ωψ的条件构成2

()R L 的一个小波框架，它

的小波变换和逆变换是存在的。

四：二尺度方程的用途：获取正交小波的方法 一、写出尺度函数的定义

答：设

2

()()t R L ϕ∈，记()()k t t k ϕϕ=-为其整数位移，若()k t ϕ满足,(),()k k k k t t ϕϕδ

''= ,k k Z '∈则称()t ϕ为尺度函数。

二、写出二尺度方程，并说明其意义

答：

0,0

1,()()()

j j k

k

t k t h ϕ

ϕ

-=∑

1,0

1,()()()

j j k

k

t k t h φ

ϕ

-=∑它们描述了任意两个相邻尺度空间j V 空间与1

j V

-空间之间

基函数的相互关系，也描述了1

j V -空间与j W 空间的基函数的相互关系。

分形定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形

三、分形的特点

(1) 具有无限精细的结构 (2) 局部与整体的相似性

(3) 具有非拓扑维数，并且它大于对应的拓扑维数 (4) 具有随机性

(5) 在大多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生。 自相似性：分形体系的局部与整体是相似的。实际上，分形体系内任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。

无限细分：任何一个分形，都很有无穷多个分形元。对整体的无限细分，所形成的无数分形元，构成了分形图形的整体。 分数维数：分维数非整数维数

1. 什么叫混沌？

混沌是一种确定系统中出现的类似随机的过程。 2. 什么叫初值敏感性？

初值敏感性是混沌现象中的一个重要特征，即对初始条件具有极大的依赖性。初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。 3. 什么一维迭代Logistic 方程？

1(1)

(0104n n n x rx x x r +=-≤≤≤≤；）其中r 是重要的决定系统迭代过程性质的参数

4. 混沌与分形的关系？

不同：混沌动力学和分形理论是非线性科学中的两个重要组成部分。混沌主要在于研究过程的分形特征，分形更注重于吸引子本身结构的研究。

相同：（1）都是非线性方程所描述的非平衡过程及其结果；

（2）混沌运动的随机性与初始状态的涨落密切相关，分形结构的具体形状也与初始状态的涨落有关；

（3）混沌运动的奇怪吸引子和分形结构都具有自相似性。

一、写出常用小波母函数的函数表达式，并画出它们和它们的频谱图形。 1、Morlet 小波

其表达式：t i t e e t ωϕ2

2)(-=，取其实部则有)cos()(2

2t e

t t ωϕ-=，其Fourier 变换

2

/)

(2

2)(ωωπωϕ--=e

，如图a ，b 分别是时域与频域的图形。

2.Mexican hat 小波 其表达式：2

2

2)1(32)(t e

t t --=

π

ϕ，其Fourier 变换2

/2423

22)(ωωπωϕ-=e

用Matlab 绘图，如图c ，d 分别是时域与频域的图形。

3、Shannon 小波

其表达式：)2/3cos(2/)2/sin()(t t t t πππϕ=

，其Fourier 变换⎪⎩

⎪

⎨⎧<<=其他

2||1

)(π

ωπωϕ ,

)

(t ϕt

)

(a )

(ωϕ

ωω

)

(b c

d