反函数、复合函数的求导法则(课堂PPT)
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《复合函数求导》PPT课件_OK
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
5
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
解:
y
4(2 x 3
x
1 x
)3
(2x3
x
1 x
)
4(2 x 3
x
1 x
)3 (6 x 2
1 x2
1)
.
(2) y 5 x
1 x
(3)y=tan3x;
(4) y (2x2 3) 1 x2
解: (1) y f ( x2 ) ( x2 ) 2xf ( x2 );
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
x0 x a2
y0 y b2
(3)过双曲线
1.
x2 a2
y2 b2
1上一点P0(x0,y0)的切线方程是:
x0 x a2
y0 y b2
1.
(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y =p(x+x0).
15
证:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu, Δy.
因为u (x) 在点x处可导,所以u (x) 在点x处连续.
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
) 1 (
x
4
) 5
1
1
4
x5
(1
6
x) 5
.
5 1 x 1 x 5 1 x (1 x)2 5
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
高等数学PPT课件：函数的求导法则
1 x x I x dy
因
y
f 1( x) 连续,
故 lim y
x0
0,
[
f
1
(
x)]
lim y
x0x
lyim01x
1. f ( y)
y
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
9
函数的求导法则
例
求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数.
[ f 1( x)] 1 f ( y)
( x)
1
3 x 2
3
sin
x
3
x cos x,
当x 0时,
0,
当x 0时, 8
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x f ( y)在 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 反函数 y f 1( x)在对应I x内可导 ,
[ f 1( x)]
f
1 (
y)
或
dy dx
因变量对自变量求导,等于因变量对中间
变量求导,乘以中间变量对自变量求导.
12
函数的求导法则
定理3 如果 u g( x)在x可导 , y f (u)在u可导 , 则 y f [g( x)]在 x可导，dy f (u) g( x) dx
证 y f (u)在点u可导 , lim y f (u), u0 u
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
反函数复合函数初等函数课件
三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法
复合函数的求导法则ppt课件
1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA
a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
反函数复合函数初等函数求导.ppt
（ 1
2 x 2）
dx
3
4x 33（1 2 x2）2 .
返回
推广
设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ (x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
返回
例10 y lncos(e x )求 dy。
dx 解 所 给 函 数 可 分 解 为 y ln u,u cosv,v e x . 因
1 x2
返回
例2 求函数 y loga x 的导数. 解 x a y在I y (,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在Ix (0,)内有 :
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
返回
例3 求函数 y arctan x 的导数.
y
( y)
返回
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
dx du dx u
sinxcosx
例6 y e x3 ,求 dy 。
dx
解 y e x3可看做由y eu ,u x3复合而成，因此
dy dy du eu 3x2 3x2e x3 . dx du dx
高数课件-求导的运算法则
（9） (secx) secx tan x ；
（11） (arcsin x) 1 ； 1 x2
（ 13）
(arctanx)
1 1 x2
；
2021-10-3
（2） (x ) x1 ；
（4）(loga
x)
1 x ln
a
，(ln
x
)
1 x
；
（6） (cosx) sin x ；
（8） (cot x) csc2 x ；
注 1.基本初等函數的導數公式和上述求導法則
是初等函數求導運算的基礎，必須熟練掌握
2.複合函數求導的鏈式法則是一元函數微分 學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解 ，熟 練應用——注意不要漏層
3.對於分段函數求導問題：在定義域的各個部 分區間內部，仍按初等函數的求導法則處理， 在分界點處須用導數的定義仔細分析，即分別 求出在各分界點處的左、右導數，然後確定導 數是否存在。
2021-10-3
lim
x0
u x
u(x),
lim
x0
v x
v(x)
，
lim u
x0
lim v
x0
0，
且
u u(x x) u(x), v v(x x) v(x),
u(x x) u(x) u,v(x x) v(x) v.
⑵ ⑴⑶
yxyxyx[u[((x1ux)(xu)v((uxx]))[vu()x)uvx((vuvv(]((xxx)))ux(
例 3.2.9
设
y
shx
ex
ex 2
, 求 dy .
dx
解 dy (ex ) (ex ) ex ex (x) ex ex chx.
高数课件64复合函数求导法则
03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们 有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$， 内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则 的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数 以及含参变量的复合函数的求导方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则 复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且 其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。
《反函数的求导法则》课件
求导过程中的符号问题
符号确定
在求反函数的导数时，需要注意符号的使用，特别是 在复合函数中，内外函数的符号可能会有所不同，需 要根据具体情况进行判断。
符号转换
在求导过程中，需要注意符号的转换，特别是对于负 号和正号的使用，需要根据导数的定义和性质进行转 换。
求导过程中的变量替换问题
变量替换
在求反函数的导数时，需要进行变量替换，将自变量 和因变量进行互换，并注意替换后的符号变化。
稳定性。
THANK YOU
反函数的求导公式
反函数的导数公式
如果函数$y = f(x)$在区间$I$上可导，则其反函数$x = f^{-1}(y)$在相应区间$J$上也 可导，且$f^{-1}(y)' = frac{1}{f'(x)}$。
公式推导
根据链式法则和反函数的定义，我们可以推导出反函数的求导公式。设$(x, y)$是函数 $f(x)$上的点，则$(y, x)$是反函数$f^{-1}(y)$上的点，且$f'(x) = frac{Delta y}{Delta
隐函数的反函数求导
总结词
介绍隐函数反函数求导的方法和注意事项。
详细描述
选取一些常见的隐函数，如 $y^2 = x$ 或 $xy = e^x$ ，演示如何求这些隐函数的反函数的导数。强调在求导 过程中需要注意的细节和技巧，如消去中间变量、处理 等式两边同时对x求导等。
04
反函数求导法则的注 意事项
反函数求导法则在实践中的应用
数学建模
在数学建模中，反函数求导法则可用于解决各种实际问题，如最优控制、供应链优化等 。通过建立数学模型并运用反函数求导法则，可以找到最优解或近似最优解，为实际问
题的解决提供指导。
321导数四则运算324反函数与复合函数的求导规则-PPT文档资料
x6
x4
2 . 设 y cx o ssx i， ny |求 . x 2
解 y (cx o ss ix )n (cx ) o (ssx i)n
sx i n cx os
y | x 2
[six ncox]s 1 x 2
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铃
求导法则 ( u v ) u v ( u v ) u v + u v ( u ) u v u v v v 2
例4 求yx1的导.数 x+1
解
y
(
x x
+
1) 1
(x1)(x+ (1 x )+ 1 ()x 21)x (+1)
[ f 1 ( x ) ] l x 0 y x i l y 0 m 1 x i f 1 ( y m ) y
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
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铃
反函数的求导法则:[ f 1 ( x ) ] f 1 ( y )
[ u ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) >>> v ( x ) v 2 ( x )
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铃
求导法则 ( u v ) u v ( u v ) u v + u v ( u ) u v u v v v 2
用类似方法还可求得
(tan x)sec2x (sec x)sec x tan x
反函数的倒数复合函数的求导法则PPT课件
(
x
2
1)'
1 3
x
1
2
(x
2)' ,
11
1
2
x2
2x 1
3( x
2)
x
x 2
1
1 3( x
2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
s in 1
ex
(sin
1
)
1 s in
ex
cos
1
(1
)
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
第9页/共17页
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常 数与基本初等函数的和、差、积、商.
第10页/共17页
思考题
若 f (u)在u0 不可导，u g( x)在x0 可导，且 u0 g( x0 )，则 f [g( x)]在x0 处（ ）．
（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；
第11页/共17页
思考题解答
正确地选择是（3）
例 f (u) | u | 在 u 0处不可导， 取u g( x) sin x 在 x 0处可导， f [g( x)] | sin x | 在 x 0 处不可导，(1) 取 u g( x) x4 在 x 0处可导， f [g( x)] | x4 | x4 在 x 0处可导，(2)
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
相关主题
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=1。 sin x cos x
8
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 4．y=e x3 ，求 dy 。
dx 解：函数 y = e x3 是由 y=eu ，u=x3 复合而成，
dy = dy du = eu 3x 2 = 3xe x3 。 dx du dx
3
= 4x 。 33 (1 2x 2 ) 2
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12
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。
例 8．y=lncos(e x)，求 dy 。 dx
解： dy = [ln cos(e x )] = 1 [cos(e x )]
9
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复合函数的求
，或
y=yuux
。
例 5． y = sin 2x ，求 dy 。
1 x2
dx
解： y = sin 2x 是由 y=sin u，u = 2x 复合而成，
1 x2
1 x2
dy = dy du = cos u 2(1 x 2 ) (2x)2
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例2．求(arctan x)及(arccot x)。
解：因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以 (arctan x) = 1 = 1 = 1 = 1 。
(tan y) sec2 y 1 tan 2 y 1 x 2 类似地有： (arc cot x) = 1 。
1 x2
4
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基本初等函数的导数公式小结：
(1) (C)=0，
(11)
(2) (xm)=m xm1，
(3) (sin x)=cos x，
(12)
(4) (cos x)=sin x， (13)
6
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内 可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=f[j(x)]
dx
cos(e x )
dx
sin x
= 1 cos x = cot x 。 sin x
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11
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 7． y = 3 1 2x 2 ，求 dy 。 dx
解：
dy
= [(1
1
2x2 )3
]
=
1
(1
2
x
2
)
2 3
(1
2x2 )
dx
，(a>0, a
(ln x)=1 ， x
(arcsin x)= 1 ， 1 x2
(arccos x)= 1 ， 1 x2
1
(arctan
x)= 1
x
2
，
(arctan x) = 1 。 1 x5 2
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二、复合函数的求导法则
如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导， 则复合函数y=f[j(x)]在点x 0可导，且其导数为
2 反函数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数 基本初等函数的导数公式小结
二、复合函数的求导法则 三、求导法则小结
1
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
例1．求(arcsin x)及(arccos x)。
解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以
(arcsin x) = 1 = 1 =
1
=1 。
(sin y) cos y 1 sin 2 y 1 x 2
类似地有：(arccos x) = 1 。
1 x2 3
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一、反函数的导数
dy dx
x= x0
= f (u0)j (x0)。
简要证明：
假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，
此时有
dy = lim Dy = lim Dy Du = lim Dy lim Du dx x=x0 Dx0 Dx Dx0 Du Dx Du0 Du Dx0 Dx
= f (u 0)j (x 0)。
简要证明：
因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。
f (x) = lim Dy = lim 1 = 1 ，
Dx0 Dx Dy0 Dx j ( y)
Dy
即
f (x) = 1 。
j ( y)
2
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一、反函数的导数
如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，
那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 f (x) = 1 。 j ( y)
在区间Ix内可导，且下式成立：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
7
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
例 3．y=lntan x ，求 dy 。 dx
解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，
dy = dy du = 1 sec2 x = cot x sec2 x dx du dx u
dx du dx
(1 x 2 )2
2(1 x 2 )
=
cos
2x
。
(1 x 2 ) 2
1 x2
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10
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复合函数的求导法则：
dy dx
=
dy du
du dx
，或
y=yuux
。
对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出
中间变量。
例 6．lnsin x，求 dy 。 dx
解： dy = (ln sin x) = 1 (sin x)
(5) (tan x)=sec2x，
(6) (cot x)=csc2x，
(14)
(7) (sec x)=sec x tan x，
(8) (csc x)=csc x cot x， (15) (9) (ax)=ax ln a ，
(10) (ex)=ex，
(16)
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1 (log a x)= x ln a