共面向量定理

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3.1共面向量定理

作业： P74练习4
§3.1.2 共面向量定理
• 学习目标： 1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理; 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的问题。 • 自学指导： 1.什么叫做共面向量？ 2.空间向量中的共面向量定理与平面基本定理在形式和本质上有区别吗？ 3.共面向量定理的作用是什么？ 4.是否可以用几何方法解决例1? 5.学习平面向量时有类似于例2的结论吗? •自学检测：P74练习1
如图在长方体A1B1C1D1 ABCD中, A1B1 AB A1D1 AD, 而 AB, AD, AC在同一平面内, 此时我们称 A1B1 , A1D1 , AC是同面向量一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量
F N A M B C
E
D
例2 设空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若点P满足向量关系 OP xOA yOB zOC (其中x y z 1) 试问:P,A,B,C四点是否共面
• 分层训练： • 必做题：P74练习2，3 • 思考题：对于空间四边形，试证明它的一对对边的中点的连线与另一对对边平行于同一平面。
反过来,空间三个向量p, b, 其中a, a, b不共线,如果存在有序实数(x,y)组,使得 p xa yb 那么,向量p与a, b共面吗 ?
实际上, 如果存在有序实数(x,y)组, 使得, p xa yb,那么,在空间任取一点M , 作 MA a, MB b,MA xa, 过点A作 AP yb, 则 MP MA AP xa yb p 所以点P在平面MAB内, 从而MP, MA, MB共面, 即向量 p与向量a, b共面.

共面向量定理怎么证

共面向量定理怎么证共面向量定理怎么证引言：共面向量定理是线性代数中一个重要的结论，它描述了三维空间中向量的共面性质。

在本文中，我们将探讨共面向量定理的证明过程，并深入理解这一定理的几何本质。

通过本文的阅读，读者将能够对共面向量定理有一个全面、深刻和灵活的理解。

正文：一、共面向量的定义在开始证明共面向量定理之前，我们首先要理解何为共面向量。

在三维空间中，若存在三个非零向量a、b和c，且它们满足线性相关的关系a = kb + mc，其中k和m为实数，则这三个向量是共面的。

二、证明共面向量定理为了证明共面向量定理，我们需要使用线性代数中的向量运算和性质。

下面是证明共面向量定理的步骤：1. 取一个任意的非零向量a，让我们称之为基准向量。

2. 假设我们有另外两个向量b和c，我们要证明的是这两个向量与基准向量a共面。

3. 由于a是非零向量，所以它们存在一个非零分量，不妨设为a1。

4. 根据共面向量的定义，我们可以得到两个线性方程：b1 = ka1 和c1 = ma1，其中k和m为实数。

5. 将这两个线性方程分别代入a = kb + mc的形式中，得到a =k(b1/a1)a + m(c1/a1)a。

6. 可以看出，a可以表示为两个倍数与a的乘积之和。

7. 由于向量的加法和数量乘法满足结合律和交换律，我们可以将上式重写为a = (kb1/a1 + mc1/a1)a。

8. 通过上一步的重写，我们得到了a = (k*b1 + m*c1)/a1。

9. 由于k和m是任意实数，所以(k*b1 + m*c1)是一个任意实数。

10. 根据向量的乘法性质，我们可以将(a = (k*b1 + m*c1)/a1)重写为a = d*a，其中d是一个任意实数。

11. 我们可以得出结论，向量b和c与基准向量a共面。

三、几何解释共面向量定理的证明过程清晰地展示了共面向量的几何本质。

我们可以将基准向量a看作三维空间中的一个点，向量b和c则可以看作是由此点向外延伸的线段。

第3章 3.1.2 共面向量定理

→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一向量共面的判定例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三空间四点共面的条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.

1.2空间向量基本定理

(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个_两_两__垂__直__的向量，叫做把空间向量
进行正交分解．
6
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{ O→A ， O→B ， O→C }不能构成空间的一个基底，则O，A，B，
C四点共面．
()
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．
()
(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
()
7
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
[答案] D
8
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个基底．
12
基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
2 [如图，A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋12B→C1＝A→B＋12(B→C＋B→B1)＝A→B＋ 12A→D＋12A→A1.

空间共面向量基本定理推论乐乐课堂

空间共面向量基本定理推论乐乐课堂
【最新版】
目录
1.空间共面向量定理的概念及背景
2.空间共面向量定理的推论
3.空间共面向量定理的应用举例
4.空间共面向量定理在乐乐课堂中的讲解
正文
一、空间共面向量定理的概念及背景
空间共面向量定理是空间向量理论中的一个基本定理，它描述了三个向量共面的充要条件。

该定理的表述如下：如果三个向量中的两个向量共线，那么这三个向量一定共面。

二、空间共面向量定理的推论
根据空间共面向量定理，我们可以得到以下几个推论：
1.如果三个向量共线，那么它们一定共面。

2.如果两个向量不共线，那么它们与另一个向量一定共面。

3.如果三个向量不共线，那么它们一定不共面。

三、空间共面向量定理的应用举例
空间共面向量定理在实际问题中有广泛的应用，例如在三维图形学中，判断三个点是否共线，以及在物理学中，判断三个力是否共点等。

四、空间共面向量定理在乐乐课堂中的讲解
在乐乐课堂中，我们会通过生动的实例和练习，帮助学生理解和掌握空间共面向量定理及其推论。

我们会让学生了解空间共面向量定理的背景
和应用，并通过例题讲解和练习，帮助学生熟练掌握空间共面向量定理的运用。

共面向量定理怎么证

共面向量定理怎么证摘要：1.共面向量定理的定义与基本概念2.共面向量定理的证明方法3.共面向量定理的应用举例4.结论正文：一、共面向量定理的定义与基本概念共面向量定理是平面向量基本定理的一个重要推论。

它指的是：如果两个向量不共线，则这两个向量与另一个向量共面的充要条件是存在一对实数x，y，使得这两个向量与另一个向量的数量积之和等于零。

即对于向量a，b，c，如果a，b 不共线，则存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c =y(a·c)。

二、共面向量定理的证明方法为了证明共面向量定理，我们可以先引入一个重要的概念：共线向量定理。

共线向量定理指的是：如果两个向量共线，则它们与任意一个向量都共线。

证明过程如下：设a，b，c 是三个不共面的向量，我们要证明存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c = y(a·c)。

由于a，b 不共线，根据平面向量基本定理，存在一个向量d 使得a = xd 且b = yd。

将这两个等式代入a·c = x(b·c) 和b·c = y(a·c) 中，得到：x(d·c) = y(d·c) 且y(d·c) = x(d·c)这说明d·c 与a，b 共线，由于a，b，c 不共面，所以d 与c 不共线，因此存在实数z 使得d = zc。

将这个等式代入前面的等式，得到：x(z·c) = y(z·c) 且y(z·c) = x(z·c)这说明z·c 与a，b 共线，因此存在实数m，n 使得z·c = m·a = n·b。

由于a，b 不共线，所以m，n 唯一确定，因此存在实数x，y 使得a·c = x(b·c) 且b·c = y(a·c)。

高中数学共面向量基本定理

2、空间直线的向量参数方程
OP OA tAB (1 t)OA tOB
3、空间共面向量定理
p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB
作业P162之友
B
PA
OP (1 t)OA tOB
P、A、B 三点共线
O
P B
A
O
OP xOA yOB
O、P、A、B 四点共面
②平面AC//平面EG。
证明：② EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得：
D
A
H
C
B
G
面EG // 面AC
E
F
四、课堂练习 1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
例3 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴ AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC k面
OP 1 (OA OB) 2
（中点公式）
例1：若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O，
试用 OA,OB表示OP
B P A
O
练习：已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0)，点O为空间任一点，则
A.
OP m OA n OB
mn mn
B.
OP n OA m OB
C A
B
O
1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使

共面向量定理

共面向量定理共面定理的定义为能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。

共面向量定理是数学学科的基本定理之一。

属于高中数学立体几何的教学范畴。

主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂定理。

内容如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使p=x a+y b定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量推论推论1设OABC是不共面的四点则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面（但PABC 四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）证明：1）唯一性：设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0∵OA、OB、OC不共面∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'故实数x,y,z是唯一的2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立推论2空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量}或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}。

共面向量定理

共面向量定理教学目标1、了解向量共面的含义，理解共面向量定理。

2、能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。

教学重点运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学难点共面向量定理的理解及其运用。

教学过程一、课前导学1、空间向量的基本概念2、空间向量的线性运算及其运算律3、共线向量定理二、质疑讨论1、共面向量的定义2、共面向量定理3、共面向量定理的应用三、反馈矫正例1、已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交与AD ，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且AE AN BD BM 31,31==，求证：MN ∥平面CDE 。

例2、设空间任意一点O 和不共线三点A,B,C,若点P 满足向量关系)1(,=++++=z y x C zO B yO A xO P O试问：P,A,B,C 四点是否共面。

例3、已知四边形ABCD 是平行四边形，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA,PB,PC,PD.设点E,F,G ,H 分别为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA 的重心。

（1）试用向量的方法证明E,F,G ,H 四点共面。

（2）试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量的方法证明你的判断。

四、巩固迁移1、下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的是____________。

（1）C O B O A O M O --=；（2）C O B O A O M O 213151++=；（3）0 =++C M B M A M ；（4）0 =+++C O B O A O M O 。

2、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ,M 为空间任意两点，如果有1111467D A A A A B B P M P +++=，那么M 点一定在平面________内。

3、已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，),,(R z y x C zO B yO A xO P O ∈++= ，则有点P 与点A,B,C 共面，可得x ，y ，z 满足___________。

3.1.2(2)共面向量定理

b
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
C 在平面内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面上是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
∵ OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
7
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
3
共面向量定理的剖析
如果两个向量
a，b 不共线,
存在唯一的一对实数x， y，使 c＝xa＋yb
★ 向量c与向量a，b共面
★ c ＝xa ＋yb
(性质) 向量c与向量a，b共面
(判定)
4
思考 1:如图,平面为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
9
例2 (课本例)已知
ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴AC AB AD （﹡）
D
O
EG OG OE kOC kOA
C 在平面内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面上是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③

高中数学共面向量基本定理

共面向量的定义
若两个向量可以表示成同一个平面上的两个不共线向量的线性组合，则称这两个向量共面。
共面向量与向量空间的关系
在三维向量空间中，任意三个向量共面的充分必要条件是它们线性相关。共面向量可以视为向量空间中的一个子空间。
向量空间的维数与基
向量空间的维数
向量空间的维数是指该空间中线性无关向量的最大个数。例如，二维平面上的向量空间维数为2，三维空间中的向量空间维数为3。
在几何上，共面向量可以通过平移使得它们的起点和终点位于同一直线或平面上。
基本定理的几何意义
共面向量基本定理表明，如果两个向量共面，则它们可以通过线性组合来表示第三个向量，该向
量也位于同一平面内。
几何上，这意味着共面的向量可以通过缩放和平移来合成或分解，从而方便进行向量的运算和处
理。
共面向量基本定理是向量空间理论的基础之一，对于理解向量的
解决向量线性表示问题
已知两向量求第三向量的线性表示
若已知向量a、b，且c=ma+nb，则可以通过解方程组求出m、n的值，从而得到向量c的线性表示。
判断向量组是否线性相关
若向量组a1，a2，…，an中存在不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得 k1a1+k2a2+…+knan=0，则称该向量组线性相关。通过判断向量组是否满足上述条件，可以解决向量组的线性相关问题。
在学习共面向量基本定理时，应认真掌握其推导过程，理解定理的适用条件和结论。
多做练习题
拓展相关知识
通过大量的练习题，加深对共面向量基本定理的理解和应用能力，提高解题速度和准确性。
在学习共面向量基本定理的基础上，可以进一步学习向量空间、线性变换等相关知识，拓展数学视野和应用能力。

共面向量定理证明

共面向量定理证明摘要：一、共面向量定理的概念及意义二、共面向量定理的证明方法1.向量共线定理的证明2.向量共面定理的证明3.存在唯一的证明三、共面向量定理的应用举例四、总结与拓展正文：一、共面向量定理的概念及意义共面向量定理是向量空间中的一个重要定理，它描述了向量空间的一些基本性质。

共面向量定理指出，如果三个非零向量共面，那么它们就共面。

这个定理在向量空间的许多应用中都起着关键作用，如向量运算、线性方程组求解等。

二、共面向量定理的证明方法共面向量定理的证明主要分为三个部分：向量共线定理的证明、向量共面定理的证明和存在唯一的证明。

1.向量共线定理的证明向量共线定理是指，如果两个向量共线，那么它们就共面。

这个定理的证明主要通过向量的数乘运算来完成。

假设有两个共线的向量a 和b，那么可以找到一个实数k，使得a=k*b。

由此可知，向量a 与向量b 共面。

2.向量共面定理的证明向量共面定理是指，如果三个向量共面，那么它们就共面。

这个定理的证明主要通过向量的线性组合来完成。

假设有三个共面的向量a、b 和c，那么可以找到一组实数x、y 和z，使得a=x*b+y*c。

由此可知，向量a 与向量b、c 共面。

3.存在唯一的证明存在唯一的证明是指，对于任意三个非零向量，它们一定共面，且共面的向量只有一个。

这个证明主要采用反证法来完成。

假设存在三个非零向量a、b 和c，它们不共面。

那么，根据向量共面定理，我们可以找到一个实数k，使得a=k*b+c。

但这与假设矛盾，因为假设中a、b 和c 不共面，而根据向量共面定理，它们共面。

所以，假设不成立，原命题成立。

三、共面向量定理的应用举例共面向量定理在向量空间的应用非常广泛，如求解线性方程组、判断向量是否共面等。

例如，给定四个向量a、b、c 和d，如果a 与b 共线，b 与c 共线，c 与d 共线，那么根据共面向量定理，a、b、c 和d 四个向量共面。

四、总结与拓展共面向量定理是向量空间中的一个基本定理，它描述了向量空间的一些基本性质。

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

共面向量定理的证明

共面向量定理的证明共面向量定理是线性代数中的重要定理之一，用于判断三个向量是否共面。

本文将对共面向量定理进行证明。

我们先来了解一下什么是共面向量。

在三维空间中，如果存在三个非零向量，它们的起点都在同一个平面上，那么这三个向量就被称为共面向量。

换句话说，如果可以找到一组实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0，其中a、b、c分别表示三个向量，那么这三个向量就是共面的。

接下来，我们来证明共面向量定理。

假设a、b、c是三个非零向量，我们要证明的是，如果存在实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0成立，那么a、b、c就是共面的。

我们假设k1、k2、k3不全为零。

因为a、b、c都是非零向量，所以至少存在一个k值不为零。

假设k1不为零，那么我们可以将上述等式两边同时除以k1，得到k2b/k1 + k3c/k1 = -a。

现在，我们将等式两边乘以一个实数k4，得到k4(k2b/k1 + k3c/k1) = -k4a。

将等式进行展开，得到k4k2b/k1 + k4k3c/k1 = -k4a。

再进一步整理，得到(k4k2b + k4k3c)/k1 = -k4a。

由于等式左边是实数倍的向量b和向量c的和，右边是实数倍的向量a，所以我们可以将等式重新表示为：k5b + k6c = -a，其中k5 = k4k2/k1，k6 = k4k3/k1。

现在我们得到了一个新的等式k5b + k6c = -a。

由于k1、k2、k3不全为零，所以至少存在一个k值不为零，即k5和k6至少有一个不为零。

假设k5不为零，那么我们可以将上述等式两边同时除以k5，得到b + (k6/k5)c = -a/k5。

同样地，我们可以将等式两边乘以一个实数k7，得到k7(b + (k6/k5)c) = -k7a/k5。

将等式进行展开，得到k7b + (k7k6/k5)c = -k7a/k5。

再进一步整理，得到(k7b + k7k6c/k5)/k5 = -k7a/k5。

共面向量定理及推论

能平移到同一平面内的向量，或者说平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

定理
如果两个向量 a 、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=x a +y b 。

（ a , b ≠ 0 ）
推论1
向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个不全为零的实数λ、μ、ν，使λ a+ μ b+ ν c = 0 。

推论2
无二者共线的向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个全不为零的实数λ、μ、ν，使λ a +μ b +ν c = 0 。

推论3
如果 a 、 b 、 c 是三个不共面的向量，且存在实数λ、μ、ν，使得λ a +μ b +ν c = 0 ，那么λ=μ=ν=0。

推论4
设O、A、B三点不共线，则点C在平面OAB上的充要条件是存在唯一一对有序实数(x，y)，使
向量 OC =x向量 OA +y向量 OB 。

推论5
若O、A、B、C四点不共面，则点P在平面ABC内的充要条件是：存在唯一实数组λ、μ、ν，使向量OP =λ OA +μ OB +ν OC ，其中λ+μ+ν=1。

推论6
对于空间任意四个向量 a 、 b 、 c 、 d ，必存在四个不全为零的实数λ、μ、ν、υ，使得λ a +μ b +ν c+ υ d = 0 。

2共面向量定理

a
在空间直角
3．空间向量的坐标运算法则．
b ＝(b1，b2，b3 )，（1）若 a＝(a1，a2，a3 )，
则
a＋b ＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 )，
a＝(a1，a2，a3 )( ∈R)，
a－b ＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3 )，
共面向量定理
共线向量: 1.共线向量的定义：记作a // b 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。注：零向量与任一向量共线. 2.共线向量定理：对于空间任意两个向量 a, b (a ¹ ,0)
a b Û
存在实数 l ,使得 b = l a

说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量。
三.空间向量基本定理：
如果三个向量e1、 e2、 e3 不共面，那么空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p xe1 ye2 ze3 . 推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
y
x 与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， j， k
a
，
根据空向量基本定理，存在惟一的有序实数组
（x,y,z ），使 a ＝xi＋y j＋zk.
有序实数组（x,y,z ）叫做向量
＝( x，y，z ) 坐标系O-xyz中的坐标，记作： a 对于空间任意一点A（x，y，z ），向量 OA坐标为 OA ＝( x，y，z )．