第17章平面图与图的着色
图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
2010-17平面图
定理17.16 图G是平面图当且仅当G中没有可以收缩到库 拉托夫斯基图的子图。
第十七章： 第十七章：平面图
第一节： 第一节：平面图的基本概念 第二节：欧拉公式 第二节： 第三节： 第三节：平面图的判断 第四节： 第四节：平面图的对偶图
25
只有平面图才有对偶图。 设Ｇ为平面图，则Ｇ的对偶图为G*，且G*也为平面图。 求图Ｇ的对偶图的方法如下： (1)将图G所有的面Fi（包括无限面）对应于G*的结点fi； (2)对二个相邻的面Fi ,Fj ，即Fi ,Fj之间有公共边e，则在边 fi ,fj之间作一条连线（即形成一条边（ fi ,fj ））并与e相 交； (3)若e为G中的桥，且在面Fi的边界上，fi 恰存在一条自回 路与e相交。
35
定理 用５种颜色可以给任何简单连通平面图正常着色。 《定理》：对于有n个结点的完全图Kn，有x(Kn)=n。 证明： ∵在完全图中，每一个结点与其他结点相邻接 ∴n个结点的着色数不能小于n 又∵n个结点的着色数最少为n ∴有x(Kn)=n成立 （注意：当时n≤4， Kn为平面图，n≥5，则为Kn非平面图）
21
定义 k3,3和k5称为库拉托夫斯基图。
给定两个图,我们做以下的工作： 给定两个图 我们做以下的工作： 我们做以下的工作 观察次数为2的结点： 观察次数为 的结点： 的结点 (１) 在左边图的中间联线上插入一个次数为 的结 １ 在左边图的中间联线上插入一个次数为2的结 则把一条边分成了二条边； 点，则把一条边分成了二条边； (２) 在右边图中去掉一个次数为 的结点，则把二 ２ 在右边图中去掉一个次数为2的结点 的结点， 条边变成一条边。 条边变成一条边。 此二项工作不会改变平面图的性质。 此二项工作不会改变平面图的性质。
第17章桥隧涵工程图
根 长
数
共
长
一
柱全
桥
总
质
量
1号
Ⅱ －Ⅱ
Ⅱ
净
6
Ⅱ
2号
－
1:60
焊
接
说
明
：
1.本
图
尺
寸
除
钢
筋
直
径
以
毫
米
(
焊
接
(cm)为
单
位
。
将构件化整为零，分别对各个构件独立进行配筋， 平
均
2.主
筋
N5和
N1、
N2接
头
均
采
用
对
素砼段
3.图
中
加
强
钢
筋
N4、
N5在
钢
筋
笼
施工时，再采用集零为整，将所有构件的钢筋配置好后， 焊
％
土木工程制图—桥隧涵工程图 制作：姚晓琴、林国华
（2）桩基一般构造图
防震挡块
H外
半立面 半平面
5×5
支座支承线
桥墩混凝土数量表 (单位:m )
盖梁（棱柱体） 方向 墩号 墩帽
柱
系梁
桩
H内
九峰
至
富岭
墩桥 中 身（圆柱体）
富岭 至
心
九峰
线
全桥合计
系梁（H1 长方体）
桩身（圆柱体）
说明： 1.盖梁构造见另图。 2.图中尺寸除注明外余均以厘米(cm)为单位。 3.图中比例 1:100。
说明： 1.本图尺寸均以厘米(cm)为单位，标高以米(m)为单位。 2. 本桥位于平曲线的主曲线内，R=1300m。 3. 钻孔灌注桩单桩容许承载力桥墩应大于 2840kN， 桥台应大于 1920kN。 4. 图中比例 1:300。
17平面图及图的着色
17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。
画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。
无平面嵌入的图称为非平面图。
K1(平凡图)，K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。
K5－e (K5删除任意一条边)也是平面图，它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。
图17.1中(1)，(2)，(3)分别为K4, K5－e, K2,3的标准画法。
请观看演示动画：(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图，有时是指平面嵌入，有时则不是，这要看是研究平面图什么性质而定，请读者根据上下文加以区分。
当然有时也特别指出平面嵌入。
现在就应该指出，在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。
还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。
定理17.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。
由定理17.1立刻可知，K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。
定理17.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。
推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。
n本推论由K5，K3,3不是平面图及定理17.2得证。
还有一个明显的事实也用定理给出。
定理17.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。
本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。
二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入)，由G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域都称为G的一个面。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
平面图
17.4 平面图的对偶图
实线边图为平面图，虚线边图为其对偶图。
17.4 平面图的对偶图
从定义不难看出G的对偶图G*有以下性质： G*是平面图，而且是平面嵌入。 G*是连通图。 若边 e 为 G中的环，则 G*与 e对应的边 e* 为桥，若 e 为桥， 则G*中与e对应的边e*为环。 在多数情况下，G*为多重图（含平行边的图）。
i 1 i 1 k k
(17.1)
由于每个Gi 有一个外部面，而G只有一个外部面，所以G的面数 k r ri k 1
i 1
于是，对(17.1)的两边同时求和得
2k (ni mi ri ) ni mi ri n m r k 1
17.3 平面图的判断
例17.1 证明彼得松图不是平面图。
证 明
将彼得松图顶点标顺序，见图 (1)所示。 在图中将边(a,f), (b,g), (c,h), (d,i), (e,j)收缩，
所得图为图 (2)所示，它是K5，
由定理17.1彼得松图，令 G'=G-{(j,g),(c,d)} G‘如图 (3)所示，易知它与K3,3同胚， 由定理17.15可知，G为非平面图。
17.4 平面图的对偶图
一、对偶图的定义 定义17.6 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图 G*如下： 在G的面Ri中放置G*的顶点vi* 。
设e为G的任意一条边，
若 e 在 G 的面 Ri 与 Rj 的公共边界上，做 G* 的边 e* 与 e 相交， 且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点vi*与vj*，即e*=(vi*,vj*) ，e*不与其它任何边相交。 若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*的顶点 vi*为端点的环，即e*=(vi*,vi*)。
第十七章 平面图及图的着色
注意观察K5与K3,3的特点！
K5 的特点每三个点构成一个面！ 而K3,3每四个点构成一个面
4．库拉托斯基定理判别法
定义
如果两个图G1和G2是同构的，或者通过反复插入或删
除度为2的结点，它们能变成同构的图，则称G1 和G2 在度为2的结
点内同构（同胚）。
K3,3与K5称为库拉托夫斯基（Kuratowski）图, 它们有
例5
利用定理判别图G是否非平面图。
解法一与 K3,3同胚
图G 去掉图G中边:{a，c}，{a，d}，{d，e}，{b，e}，与 K3,3同胚
可以去边吗？
边少时非平面图，边多时更不是平面图
解法二 去掉图中边{d，f}和{e，g}，为K5
练习
1．用简单、直观判别法判断下图所给出的两个图a,b是否平面图。
3. 欧拉公式判断法
定义设G是一个连通平面图，G的边将G所在的平面划分成若干个区
面积有限的区域称为有限面。包围每个面的所有边构成的回路称为 面的边界。它的长度称为面的度（次数）（degree）。
域，每一个区域称为G的一个面。其中面积无限的区域称为无限面。
例3
定理 一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍. 证明：因为任何一条边，或者是二个面的公共边，或者在 一个面中作为边界被重复计算两次，故面的次数之和等于 其边数的两倍。 如右图中，
若v1 和v3 同属于一个G（RY）的连通分支，那么从v1到v3 必有一 条通路，其各顶点被红、黄两色相间着色。这条通路连同v0便构 成回路： C：v0, v1,…, v3, v0,
C把BW分成两部分，一部分在回路C之外，一部分在C之内。 于是，BW生成的G的子图也被分成了两个互不连通的部分，一 部分在C外，一部分在C内，这就使v2，v4 处于BW生成的G的子 图的两个不同连通分支，同上将v2所在分支作颜色对换，以便给 v0着上白色，完成对G的5-着色。
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
平面图与图的着色
2020/4/12
3
4.1 平面图
e6 F4
v 1 F1 e4 v4
e1
e5 F3
F2
e3
v2 e2 v3 (b)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v1 e1 v2 e2 v3 e5 v1 边界为：{e1 , e2 , e5 }
F2= v1 e5 v3 e3 v4 e4 v1 边界为：{e5 , e3 , e4 }
2020/4/12
不是极大平面图
15
4.2 极大平面图
v1
v2
v5
v3
v4
2020/4/12
16
4.2 极大平面图
设有n个结点和m条边的极大平面图G具有以下性质： 性质1. G是连通的。 性质2. G不存在割边。 性质3. G的每个域的边界数都是3（极大平面图也称为
平面三角剖分）。 性质4. 3d=2m。
e3
i3 i4
dj
i5
e4
e1 e2 i2 i1
e3 i3i4
dj
i5
e4
2020/4/12
19
4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：这时，在域dj之外不可能存在边(i2, i4 ) 。 亦即i2和 i4 不相邻，但在域dj内加入边(i2, i4 )并 不影响G的平面性，得到矛盾。
F4= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
2020/4/12
4
4.1 平面图
v1
e1e6FF13ve4F42e3e5 F4
v2
e2
F17平面图及图的着色
插入或消去 2 度顶点不影响图的可 平面性: 同胚的图有相同的可平面性.
u
插 入
u
† 就可平面性而言, 2 度顶点是“多余的”
w 消
点.
v去v
同胚: 同构或者反复插入或消去 2 度顶点后同构.
插入/insertion,消去/elimination, 同胚的/homeomorphic
081离散数学(60). W&M.
该面次数为6 悬挂边算两次
边界/boundary, 次数/degree
081离散数学(60). W&M. §17.1平面图的基本概念
定理 平面图中面的次数之和是边数的2倍: deg(R) = 2|E|. 证 每条边对次数的贡献都是 2: 割边,非割边.
R0 R1
R3 R2
面 次数
R0
§17.1平面图的基本概念
K5
第十七章 平面图及图的着色
§17.1平面图的基本概念 §17.2 欧拉公式 §17.3平面图的判断 §17.4平面图的对偶图 §17.5图中顶点的着色 §17.6地图的着色与平面图的点着色 §17.7边着色
081离散数学(60学时). W&M.
欧拉多面体公式 对任何一个凸多面体有
点的最小度为 . 由握手定理和定理17.12知,
整理得
n d(v) = 2m 2(3n – 6).
6 – 12/n 5. QED
†事实上, n 阶 (n 4) 简单平面图至少有 4 个顶点的 度不大于 5.
081离散数学(60). W&M.
§17.2 欧拉公式
maximal planar graph.
平面图及着色
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
e1
f5
3
1
e10
2
e7 f3 e6
f2 e8
f1 e4
f4 e5
4
e2 e3
5
e9
6
7
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
R是E(G)-E(H)上的等价关系。R确定E(G)-E(H) 上的一个划分设为S={ S1、S2、…Sm}由Si导出的 G-E(H)的子图
B1、B2、…Bm 称为G的H片。
定义2.若H1和H2都是图G的子图，称V（H1） V（H2）为H1 和H2在G中的接触点集。记作VG(H1,H2).
定在义 G的3平设面H是表可示平G~面,图使GH的~子 图G~，H称~是H~H的是平G容面许表的示。，若存
证明:只要对极大平面图G来证明定理即可(简单平面图是 极大平面图的子图).当v=3时,G是三角形,定理显然成立. 假设定理对所有阶数小于v的极大平面图成立,并设G是 三角剖分图.选取xV(G)使x不是外部剖面边界上的点.取 边{x,y}.则边{x,y}仅是某两个内部三角形的公共边.不妨 设这两个三角形分别为z1xy和z2xy.如图(b)所示.收缩边 {x,y},且结点x和y收缩为P,得图G’(图c).显然G’是平面图, 且有E(G’)= E(G)-3=3(V(G)-1)-6= 3V(G)-9 = 3V(G’)-6,即G’是v-1阶极大平面图,由归纳假设,G’
着色匹配平面图
证明:对图G 的点数υ用归纳法。 当υ＝1 时。 =1，Δ≥0，满足 ≤Δ+1。 对υ≥2 的图G , 取 u∈V(G), 设 G’＝G-u 。由归纳假设 χ (G’)≤Δ(G’)+1，从而存在 G’ 的 (Δ(G’)+1)-着色φ 。因 Δ(G’)≤Δ(G), 所以 φ 也是 G’ 的(Δ(G) +1 ) - 着色。 设 dG(u) = k, G 中与 u 相邻的点为 v1,v2,…,vk。因 | {φ(v1), …, φ(vk)} | ≤k ≤ Δ(G)+1, 所以存在 j ∈ {1,2,…,Δ(G)+1} 满足 j ≠φ(v1), …, φ(vk), 令φ(u)= j, 则 φ 被扩充为 G 的一个(Δ(G)+1)-着色，所以
对 M2，点v1是的饱和点，点v2是非饱和点。
例中的M1 和M2既不是最大匹配，也不是完美匹配， 而M3是最大匹配，也是完美匹配。
着色、匹配、平面图
关系：完美匹配必是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹 配。一个图的最大匹配必存在，但完美匹配不一定存在。易 知，图G存在完美匹配的一个必要条件是 G 的点数为偶。
着色、匹配、平面图 Welsh-Powell算法
该算法较前述算法优。该算法要求顶点序列v1, v2,…, vn满足: d(v1)≥d(v2)≥…≥d(vn) 其余步骤同算法1。
用最大度数优先算法对上例中的图着色，结果 如下图所示。V3 V1 V6
V5
V2
V4
着色、匹配、平面图 偶图
定义：若图 G = (V, E) 的点集能划分为两个互不相 交的非空子集 V1 与 V2（V1∪V2 = V），使任意的 e∈E，e 的两端点分属于 V1 与 V2，则称 G为偶图 （或二部图、二分图），记为G = (V1, V2, E)。
离散数学中的图的平面图与图的染色
在离散数学中，图是一种用于描述对象之间关系的数学模型。
它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
图的理论在许多领域中都得到了广泛的应用，如计算机科学、物理学、社会学等。
本文将重点讨论图的平面图和图的染色。
首先，我们来了解一下图的平面图。
一个平面图是指可以画在二维平面上，使得边不相交的图。
换句话说，平面图可以在纸上用线条表示，且不会发生交叉。
简单来说，平面图就是可以被画在一个平面上而不会出现边交叉的图。
平面图的研究起源于欧拉在1736年所提出的著名的“柯尼斯堡七桥问题”。
欧拉通过研究柯尼斯堡的七座桥的布局问题，引入了欧拉定理，该定理指出：一个无向图是平面图，当且仅当它没有割边（割边是指当移除一个边时，图会被分为两个独立的部分）。
欧拉定理揭示了平面图的基本特性，为后来的研究提供了理论基础。
与平面图相关的是图的染色问题。
图的染色问题是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻顶点具有不同的颜色。
这个问题源于地图染色问题，即如何将地图上的区域用不同颜色进行染色，使得任意两个相邻区域颜色不同。
图的染色问题在实际应用中具有重要意义，如频道分配、时间表设计、DNA测序等。
对于一般的图，图的染色是一个NP-完全问题，很难找到有效的算法。
但是对于平面图，有一个非常重要的定理——四色定理。
四色定理指出：任何平面图都可以用四种颜色对顶点进行染色，使得任意两个相邻顶点具有不同的颜色。
四色定理是图论中的一个重要突破，它的证明历经了200多年的努力，在1976年由Kenneth Appel和Wolfgang Haken首次给出了一个检查过程，使用了计算机的辅助。
以“四色定理”为基础，图的染色问题在实际中也有许多应用。
例如，在地图着色中，四色定理告诉我们任何地图只需要用四种颜色就可以在每两个相邻区域之间使用不同的颜色进行染色。
这在地理信息系统中有着广泛的应用。
另一个例子是频道分配，可以使用图的染色算法来确保无线电频段之间没有干扰。
离散数学平面图及图的着色解析
二、平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系。 结论 设G*是连通平面图G的对偶图，n*、m*、r*和n、 m
、r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 （1）n*= r （2）m*=m （3）r*=n （4）设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(vi *)=deg(Ri)
定理17.7 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图 当且仅当G的每个面的次数均为3。
四、极小非平面图 定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G为平面
图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。
r ri k 1
i 1
于是，对(17.1)的两边同时求和得
k
k
k
k
2k (ni mi ri ) ni mi ri n m r k 1
i 1
i 1
i 1
i 1
经整理得 n-m+r = k+1。
2、 与欧拉公式有关的定理
定理17.10 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为 l(l<=3)，则 G的边数与顶点数有如下关系：
第17章平面图及图的着第17章平面图及图的着江苏科技大学本科生必修课程计算机系本章的主要内容平面图的基本概念欧拉公式平面图的判断平面图的对偶图顶点着色及点色数地图的着色与平面图的点着色特别说明
江苏科技大学本科生必修课程
离散数学
第17章 平面图及图的着 色
计算机系 周塔
本章说明
G4平面图与图的着色
Lu Chaojun, SJTU
7
极大平面图的性质
• • • • • 性质1: G是连通的. 性质2: G没有割边. 性质3: G的域的边界数都是3. 性质4: 3d 2m. 定理:极大平面图G中,有 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G满足 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G中存在度小于6的结点.
Lu Chaojun, SJTU
11
例:对偶图
对偶图的性质
• 性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
– 可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图.
• 性质2: G*是连通图.
– 即使G不连通.
• 性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. • 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n* • 性质5:设C是平面图G的初级回路,S*是G*中与C 的各边ei对应的e*i的集合,则S*是G*的割集.
Lu Chaojun, SJTU
8
非平面图
• 如果图G不能嵌入平面并满足任意两边只 能在结点处相交,那么G就称为非平面图. • 按平面性质进行划分,图分为两类:可平面 图和非平面图. • 定理: K5是非平面图.
– 记作K(1),是结点数最少的非平面图.
• 定理: K3,3是非平面图.
– 记作K(2),是n6时边数最少的非平面图.
– 有且只有一个无界域:即平面图G外的区域. – 其他的域都叫做内部域.
• 如果两个域至少有一条共同的边界，就 说它们是相邻的,否则是不相邻的.
平面图的着色优秀PPT文档
定理2（五色定理）连通简单平面图G的色数为不超过5.
证明:对图的顶点数n作归纳. n5时,结论显然.若n-1个顶点时结论成立.下证
有n个顶点时结论也成立.由于G是平面图,则(G) 5.故在G中至少存在一个顶点v0,其度数d(v0) 5. 在图中删去顶点v0得图G’,由归纳假设知G’的色素 为5.然后将v0又加回去,有两种情况: (1)d(v0)<5或d(v0)=5但和v0邻接的5个结点的颜色数 小于5.则v0极易着色,只要选择与四周顶点不同的 颜色着色即可.
红v1
白v2
黄v3
v0
(a)
蓝v3 黑v4
ห้องสมุดไป่ตู้
(b)
(ii)v1和v3属于红黄集导出子图的同一块中,则v1和 v3之间必有一条属于红黄集的路P,P加上结点v0可 构成圈C:v0v1pv3v0,如下图©所示.由于C的存在, 将黑白集分成两个子集,一个在C内,一个在C外.
于是问题转化为(i)的类型,对黑白集按(i)型的
是把G中结点u与v重合成一个新结点，且G中分别与u
定义2 图的着色是对该图的每个顶点都指定一种颜色，使没有两个相邻的顶点指定为相同的颜色。 x(G) k1=x(G•e)
与证顶此的v明关一点时:联记个ux与(的ekG=染v+边{染eu色)都,不v可与}k同,=得该（x的(到新1G颜）)G结.色•设现e点的,x假则关(一G设G联)个的=顶。k染k,点着并色u色考和.故也虑v的是G(的染GG•+K色ee着)的相色kk同=着.x假 ,(色则G设).G. 为证当故又 四若假定又四为又则又蓝与四中证如定然y明x在在色n设义在色y在v在vv色u明果理后,,-03关 和(则 则1G:GG问 顶 2G问 G极 G问 :这 1将记对个联v)在在中的 的的的题点题易题(些设v图e图顶u的0GG至kkkk=黑,3:u是着:顶u着v染染 染 染的{连连的点••时与边和不少eevu盖色点上的的色 色色色着4,通通顶时,都vvv相G存思选红染,是}kk中 中中中色只简简点结的,与邻11在（里自色不图着着,,,,是要单单数论特或 或或或该)一1,于于G,同即色色）对即选平平n成征者 者者者新个中作一1的可中中设该的择面面立至uuuu结8顶两归与与 与 与个5颜得,,x图图与图图.今把把点2点个(纳vvvv有年色G到的G四的的尚分分染 染染染关v不.)的,提k=G0每则周色色未配配为 为为为联种k,相的其正出,个G顶素素清给给并不 不不不。颜邻一度的常,顶后点不不楚yy考同 同同同色的个的的数k着点经不超超,虑的 着的的的的在顶k颜颜d色都众同过过1G(颜 色颜颜颜集下点v着色色.的指多的440色 也色色色合一,..)色分分则K定数颜是,,,,，节或 或或或着.配配一色5G而,者 者者者将色.给给+种着不为为为为e给.GG的颜色管相 相相相出k色即k着同 同同同G种，可的色的 的的的颜使.色.颜 颜颜颜色没素色 色色色是有x,,,,故 故故故否(两Gmmmm都)个的iiii用nnnn相一{{{{到邻个，((((的GGGG上这++++顶界{{{{样uuuu点.,,,,vvvv的指}}}}))))着,,,,定色为((((称GGGG相••••为{{{{同uuuuk,,,,的vvvv着}}}}颜))))色}}}} 色。xxxx。((((GGGG)))).... 又在G的k染色中,或者u与v染为不同的颜色,或者为相 定理2（五色定理）连通简单平面图G的色数为不超过5.
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g1
g2 (1)
g3
集合与图论
1.18
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李东 副教授
用g1,g2,g3分别表示数学组，物 理组和化学组，则第2种情况(a是数学
组成员，b,c,d是物理组成员，b,c,d,e是 化学组成员)对应的二部图为：
a b c d e
g1
g2
g3
(2)
集合与图论
1.19
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集合与图论
1.6
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二部图
又因为二部图中任何一条边 的两个顶点分属于两个不相交的顶 点集，所以二部图中若存在简单回 路，此回路必是初级回路。
若二部图G中不存在回路，则结论成立。
即一个无向图G=<V,E>是二部图 时，图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.7 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
下面要证明充分性： 即已知G=<V,E>中不存在长度为奇数的 初级回路，要证明G为二部图。
集合与图论
1.9
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若G为零图，则结论成立. 若G =<V,E>为连通图，则假设 v0∈V.令： V1={v|v∈V∧d(v0,v)为偶数}， V2={v|v∈V∧d(v0,v)为奇数}。
a4
集合与图论
1.2
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二部图
定义
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V分 成两个互不相交的子集V1和V2，使得G中 的任何一条边的两个端点一个属于V1，另 一个属于V2，则称G为二部图（或偶图）
称V1和V2为互补顶点子集。
二部图常记为G=<V1,V2,E>.
集合与图论
集合与图论
1.15
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二部图的应用
某中学有3个课外活动小组：数学组，物理 组和化学组。现有a,b,c,d,e五名学生。已知： 1.a,b是数学组成员，a,c,d是物理组成员， c,d,e是化学组成员。
2.a是数学组成员，b,c,d是物理组成员， b,c,d,e是化学组成员。
g2 d
g3
e
g1
g2
g3
(1) a b c
(2)
g1
g2 (3)
g3
可见只有(3)选不 出不兼职的组长。
集合与图论
1.21
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第十七章 平面图
17.1 平面图的基本概念 17.2 欧拉公式
集合与图论
1.22
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17. 1
平面图的基本概念
定义17.1
一个图G如果能以这样的方式画 在曲面S上，即除顶点处外没有边相 交，则称G可嵌入曲面S. 若G可嵌入平面，则称G是可平 面图或平面图。
画出的无边相交的图被称为G 的平面嵌入.
集合与图论 1.23 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
平面图
定义
一个图G如果能以这样的方式画 在平面上：除顶点处外没有边交叉出 现，则称G为平面图。 画出没有边交叉出现的图称为 G的一个平面嵌入或平面表示。
定理17.8 的证明：
对边数m作归纳法。 当m=0时，由于G是连通图，所以G必 是孤立点，因而，n=1,r=1(G只有一个面 ：外部面) 。
则：n-m+r=1-0+1=2。
设m=k-1(k>0)时,定理成立。 下面要证明m=k(k>0)时,定理也成立。
集合与图论 1.35 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
一种特殊的图
二部图
集合与图论
1.1
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二部图
引子
在实际生活中，常常要描述两组不同 对象之间的关系。例如，将一组任务分配 给一组工人，一个乒乓球队的队员将分别 参加不同的国际比赛，等等。
描述这种情况的图通常是这样的：
b1 a1 a2 a3
b2 b3
b4 b5 b6
定义17.3
设G是一个简单平面图，如果G中的 任意不相邻的顶点间再增加一条边，所得 图为非平面图，则称G是极大平面图。
集合与图论
1.31
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17. 1
平面图的基本概念
极大平面图具有以下性质： 定理17.5 极大平面图是连通的。 定理17.6 设G为n (n≥3)阶极大平面图， 则G中不可能存在割点和桥。
1.3
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二部图
定义
对于二部图G=<V1,V2,E>，若V1 中任一顶点与V2中任一顶点有且仅有 一条边相连，则称其为完全二部图。
设|V1|=m,|V2|=n,则完全二部图记为Km,n. 在完全二部图Km,n中，总的顶点数为 m+n,总的边数为m*n.
集合与图论
1.4
定理17.7 设G为n (n≥3)阶简单连通的平 面图，G为极大平面图当且仅当G的每 个面的次数都是3。
集合与图论
1.32
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17. 1
平面图的基本概念
定义17.4
设G是一个非平面图，如果在G中 的任意删除一条边后，所得图为平面图 ，则称G是极小非平面图。
K5和K3,3是极小非平面图。
集合与图论
1.11
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同理可证： V2中的顶点不相邻。 所以， G为二部图。
集合与图论
1.12
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二部图
例，判断下列各
(3)
(4)
集合与图论
(5)
1.13 哈尔滨工业大学软件学院
(6)
李东 副教授
二部图。
Kn(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是 平面图。
集合与图论
1.26
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17. 1
平面图的基本概念
定理17.2
若图G是非平面图，则G的任何 母图都是非平面图.
推论：
Kn(n≥5)和K3,n(n≥3) 都是非平面图。
集合与图论
1.27
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二部图。
(1) (2) (3)
二部图。
二部图。
(4)
集合与图论
(5)
1.14
(6)
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
在二部图中，常将V1和V2看成不同 性质的两组事物。例如V1可以看成是 人的集合，而V2可以看成是任务的集 合，则由V1和V2组成的某个二部图就 表示“人员---任务”的分配方案图。
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K3,3
K2,3
请画出K4,3,K3,4.
集合与图论
1.5
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二部图
定理
一个无向图G=<V,E>是二部图当
且仅当G中无奇数长度的回路。
证明： 先证必要性。
因为二部图中任何两个顶点之间至 多只有一条边，所以二部图中若存在回 路，此回路必是简单回路。
集合与图论
1.39
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17. 2
欧拉公式
定理17. 10
设G=<V,E>为任意的连通的平面图，且 每个面的次数至少为L(L≥3),则：
l m (n 2) l 2
其中|V|=n,|E|=m.
集合与图论
1.40
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定理17.10的推论 5阶完全无向图K5和完全二部图K3,3 都不是平面图。
若二部图G中存在初级回路C， 则C必为：
C=v11v21….v2kv11, k≥2.
假设v1i∈V1,v2i∈V2, V1∩V2=Φ.
又因为C的端点都是v11. 所以C是长度为偶数的回路. 即一个无向图G=<V,E>是二部图 时，图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.8 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
1.41
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证明： K5的顶点数n=5,边数m=10.若K5是平面 图，则由由欧拉公式n-m+r=2可知，它有 7个面， 再由欧拉公式(定理17.8)可知，它的每 个面的次数至少是3。 由定理17.10可知：
3 10 (5 2) 9 3 2
这是个矛盾，所以K5不是平面图。
集合与图论
1.33
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17. 2
欧拉公式
定理17.8
设G=<V,E>为任意的连通的平面图， 则： n-m+r=2 其中 |V| = n, |E| = m, r 为 G 的面数。
这就是著名的欧拉公式
集合与图论
1.34
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17. 2
欧拉公式
17. 1
平面图的基本概念
定理17.3
设图G是平面图，则在G中加平 行边或环后所得到的图还是平面图.
这说明：
一个图是否是平面图，与其是否有环或 平行边无关。
集合与图论
1.28
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17. 1
定义17.2
平面图的基本概念
设G是一个平面图，G的边将所在平面划分 成若干个区域，每个区域称为G的一个面R。 其中面积无限的区域称为无限面或外部 面，面积有限的区域称为内部面或有限面。 外部面常记作R0.内部面记为R1,R2,…. 包围每个面的所有边构成的回路称为该 面的边界。边界的长度称为该面的次数， 记作deg(R)。