第17章平面图与图的着色

集合与图论
1.33
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
17. 2
欧拉公式
定理17.8
设G=<V,E>为任意的连通的平面图， 则： n-m+r=2 其中 |V| = n, |E| = m, r 为 G 的面数。
这就是著名的欧拉公式
集合与图论
1.34
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17. 2
欧拉公式
定理17.7 设G为n (n≥3)阶简单连通的平 面图，G为极大平面图当且仅当G的每 个面的次数都是3。
集合与图论
1.32
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17. 1
平面图的基本概念
定义17.4
设G是一个非平面图，如果在G中 的任意删除一条边后，所得图为平面图 ，则称G是极小非平面图。
K5和K3,3是极小非平面图。
下面要证明充分性： 即已知G=<V,E>中不存在长度为奇数的 初级回路，要证明G为二部图。
集合与图论
1.9
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李东 副教授
若G为零图，则结论成立. 若G =<V,E>为连通图，则假设 v0∈V.令： V1={v|v∈V∧d(v0,v)为偶数}， V2={v|v∈V∧d(v0,v)为奇数}。
李东 副教授
用g1,g2,g3分别表示数学组， 物理组和化学组，则第3种情况(a 是数学组和物理组成员，b,c,d,e是 化学组成员)对应的二部图为：
a b c d e
g1
g2 (3)
g3
集合与图论
1.20
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即3种情况对应的二部图如下：
a b
c
d
e
a b
c
d
e
g1
a4
集合与图论
1.2
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二部图
定义
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V分 成两个互不相交的子集V1和V2，使得G中 的任何一条边的两个端点一个属于V1，另 一个属于V2，则称G为二部图（或偶图）
称V1和V2为互补顶点子集。
二部图常记为G=<V1,V2,E>.
集合与图论
g2 d
g3
e
g1
g2
g3
(1) a b c
(2)
g1
g2 (3)
g3
可见只有(3)选不 出不兼职的组长。
集合与图论
1.21
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第十七章 平面图
17.1 平面图的基本概念 17.2 欧拉公式
集合与图论
1.22
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17. 1
平面图的基本概念
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K3,3
K2,3
请画出K4,3,K3,4.
集合与图论
1.5
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二部图
定理
一个无向图G=<V,E>是二部图当
且仅当G中无奇数长度的回路。
证明： 先证必要性。
因为二部图中任何两个顶点之间至 多只有一条边，所以二部图中若存在回 路，此回路必是简单回路。
集合与图论 1.37 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
17. 2
欧拉公式
即：n-m+r=2。 定理成立。
综上所述，定理成立。
集合与图论
1.38
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17. 2
定理17. 9
欧拉公式
对于具有 k ( k ≥ 2 )个连通分支的平面 图G，有： n–m+r=k+1 其中n, m, r分别为G的顶点数，边数和面数.
Kn(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是 平面图。
集合与图论
1.26
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17. 1
平面图的基本概念
定理17.2
若图G是非平面图，则G的任何 母图都是非平面图.
推论：
Kn(n≥5)和K3,n(n≥3) 都是非平面图。
集合与图论
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1.27
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二部图。
(1) (2) (3)
二部图。
二部图。
(4)
集合与图论
(5)
1.14
(6)
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
在二部图中，常将V1和V2看成不同 性质的两组事物。例如V1可以看成是 人的集合，而V2可以看成是任务的集 合，则由V1和V2组成的某个二部图就 表示“人员---任务”的分配方案图。
集合与图论 1.42 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
证明： K3,3的顶点数n=6,边数m=9.若K3,3是 平面图，则由欧拉公式n-m+r=2可知， 它有5个面， 再由欧拉公式可知，它的每个面的次 数至少是4。 由定理17.10可知：
4 9 (6 2) 8 42
集合与图论
1.41
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证明： K5的顶点数n=5,边数m=10.若K5是平面 图，则由由欧拉公式n-m+r=2可知，它有 7个面， 再由欧拉公式(定理17.8)可知，它的每 个面的次数至少是3。 由定理17.10可知：
3 10 (5 2) 9 3 2
这是个矛盾，所以K5不是平面图。
集合与图论
1.11
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同理可证： V2中的顶点不相邻。 所以， G为二部图。
集合与图论
1.12
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二部图
例，判断下列各图是否是 二部图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(5)
1.13 哈尔滨工业大学软件学院
(6)
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二部图。
则：V1∩V2=Φ。
集合与图论
1.10
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下面用反证法证明V1(或V2)中的 顶点不相邻。
假设V1中的存在顶点相邻，即存 在vi,vj∈V1,同时e(vi,vj)∈E。 记v0到vi和vj的短程线分别为Γ1和Γ2， 则从V1定义可知Γ1和Γ2的长度都是偶数. 但是这样将导致Γ1∪e (vi,vj) ∪Γ2构成 长度为奇数的回路 ，与已知矛盾。 所以， 假设不成立。V1中的顶点不相邻。
集合与图论
1.39
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17. 2
欧拉公式
定理17. 10
设G=<V,E>为任意的连通的平面图，且 每个面的次数至少为L(L≥3),则：
l m (n 2) l 2
其中|V|=n,|E|=m.
集合与图论
1.40
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定理17.10的推论 5阶完全无向图K5和完全二部图K3,3 都不是平面图。
集合与图论
1.15
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二部图的应用
某中学有3个课外活动小组：数学组，物理 组和化学组。现有a,b,c,d,e五名学生。已知： 1.a,b是数学组成员，a,c,d是物理组成员， c,d,e是化学组成员。
2.a是数学组成员，b,c,d是物理组成员， b,c,d,e是化学组成员。
3.a是数学组和物理组成员，b,c,d,e是化学组成员。
集合与图论
1.16
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李东 副教授
问在以上三种不同情况下，能否选 出3名不兼职的组长？
集合与图论
1.17
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李东 副教授
用g1,g2,g3分别表示数学组，物 理组和化学组，则第1种情况(a,b是数
学组成员，a,c,d是物理组成员，c,d,e是 化学组成员)对应的二部图为：
集合与图论 1.36
定理成立。
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
17. 2
欧拉公式
若G不是一棵树，则G中必存在圈。 设C为一个圈，其边为e。现将边e删除 ，得到G’=G-e。 由于G’仍是连通平面图，且其边数等于 k-1. 按归纳假设，G’应满足定理，则： n’-m’+r’=2。
因为在G’中, 顶点数没变,n’=n,但m’=m-1,r’=r-1 所以，n-(m-1)+(r-1)=2。
17. 1
平面图的基本概念
定理17.3
设图G是平面图，则在G中加平 行边或环后所得到的图还是平面图.
这说明：
一个图是否是平面图，与其是否有环或 平行边无关。
集合与图论
1.28
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李东 副教授
17. 1
定义17.2
平面图的基本概念
设G是一个平面图，G的边将所在平面划分 成若干个区域，每个区域称为G的一个面R。 其中面积无限的区域称为无限面或外部 面，面积有限的区域称为内部面或有限面。 外部面常记作R0.内部面记为R1,R2,…. 包围每个面的所有边构成的回路称为该 面的边界。边界的长度称为该面的次数， 记作deg(R)。
定理17.8 的证明：
对边数m作归纳法。 当m=0时，由于G是连通图，所以G必 是孤立点，因而，n=1,r=1(G只有一个面 ：外部面) 。
则：n-m+r=1-0+1=2。
设m=k-1(k>0)时,定理成立。 下面要证明m=k(k>0)时,定理也成立。
集合与图论 1.35 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
1.6
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二部图
又因为二部图中任何一条边 的两个顶点分属于两个不相交的顶 点集，所以二部图中若存在简单回 路，此回路必是初级回路。
若二部图G中不存在回路，则结论成立。
即一个无向图G=<V,E>是二部图 时，图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.7 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
若二部图G中存在初级回路C， 则C必为：
C=v11v21….v2kv11, k≥2.
假设v1i∈V1,v2i∈V2, V1∩V2=Φ.
又因为C的端点都是v11. 所以C是长度为偶数的回路. 即一个无向图G=<V,E>是二部图 时，图G中必无奇数长度的回路。
集合与图论 1.8 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
定义17.3
设G是一个简单平面图，如果G中的 任意不相邻的顶点间再增加一条边，所得 图为非平面图，则称G是极大平面图。
集合与图论
1.31
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
17. 1
平面图的基本概念
极大平面图具有以下性质： 定理17.5 极大平面图是连通的。 定理17.6 设G为n (n≥3)阶极大平面图， 则G中不可能存在割点和桥。
定义17.1
一个图G如果能以这样的方式画 在曲面S上，即除顶点处外没有边相 交，则称G可嵌入曲面S. 若G可嵌入平面，则称G是可平 面图或平面图。
画出的无边相交的图被称为G 的平面嵌入.
集合与图论 1.23 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
平面图
定义
一个图G如果能以这样的方式画 在平面上：除顶点处外没有边交叉出 现，则称G为平面图。 画出没有边交叉出现的图称为 G的一个平面嵌入或平面表示。
a b c d e
g1
g2 (1)
g3
集合与图论
1.18
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李东 副教授
用g1,g2,g3分别表示数学组，物 理组和化学组，则第2种情况(a是数学
组成员，b,c,d是物理组成员，b,c,d,e是 化学组成员)对应的二部图为：
a b c d e
g1
g2
g3
(2)
集合与图论
1.19
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集合与图论 1.29 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
17. 1
平面图的基本概念
定理17.4
在一个平面图G中，所有面的次数之和 等于边数的2倍。即：
i 1
deg( R ) 2m
r
其中r为G的面数，m为边数。
集合与图论
1.30
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
17. 1
平面图的基本概念
无平面嵌入的图被称为非平面图.
集合与图论 1.24 哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
Kn ( n = 1, 2, 3, 4)和 K1,n(n≥1), K2,n(n≥2)都是平面图。
集合与图论
1.25
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
17. 1
平面图的基本概念
定理17.1
若图G是平面图，则G的任何子 图都是平面图.
1.3
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李东 副教授
二部图
定义
对于二部图G=<V1,V2,E>，若V1 中任一顶点与V2中任一顶点有且仅有 一条边相连，则称其为完全二部图。
设|V1|=m,|V2|=n,则完全二部图记为Km,n. 在完全二部图Km,n中，总的顶点数为 m+n,总的边数为m*n.
集合与图论
1.4
17. 2
欧拉公式
若G是一棵树，则任取一片树叶v并将其 删除，得到G’=G-v仍是连通平面图，且其 边数等于k-1. 由归纳假设，G’应满足定理，则：
n’-m’+r’=2。 因为在G’中，n’=n-1,m’=m-1,r’=r(面数没变) 所以，(n-1)-(m-1)+r=2。 即：n-m+r=2。
一种特殊的图
二部图
集合与图论
1.1
哈尔滨工业大学软件学院
李东 副教授
二部图
引子
在实际生活中，常常要描述两组不同 对象之间的关系。例如，将一组任务分配 给一组工人，一个乒乓球队的队员将分别 参加不同的国际比赛，等等。
描述这种情况的图通常是这样的：
b1 a1 a2 a3
b2 b3
b4 b5 b6