新课标高中数学精讲精练-人教A版必修⑤

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2020高中数学精讲精练(新人教A版)第01章 集合与简易逻辑

2020高中数学精讲精练(新人教A版)第01章 集合与简易逻辑

2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想.【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}.2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈,{2,}B x x k k Z ==∈,则A B ⋂=∅.3.已知集合{0,1,2}M =,{2,}N x x a a M ==∈,则集合M N ⋂=_______. 4.设全集{1,3,5,7,9}I =,集合{1,5,9}A a =-,{5,7}I C A =,则实数a 的值为____8或2___.【范例解析】例.已知R 为实数集,集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=,{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,求集合B .分析:先化简集合A ,由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系;最后,由数形结合,利用数轴直观地解决问题.解:(1){12}A x x =≤≤,{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=,R A C A R ⋃=, 可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.{0,2}【反馈演练】1.设集合{}2,1=A ,{}3,2,1=B ,{}4,3,2=C ,则()C B A U ⋂=_________. 2.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P +Q 中元素的个数是____8___个.3.设集合2{60}P x x x =--<,{23}Q x a x a =≤≤+.(1)若P Q P ⋃=,求实数a 的取值范围;(2)若P Q ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(3)若{03}P Q x x ⋂=≤<,求实数a 的值.解:(1)由题意知:{23}P x x =-<<,P Q P ⋃=,Q P ∴⊆.①当Q =∅时,得23a a >+,解得3a >.②当Q ≠∅时,得2233a a -<≤+<,解得10a -<<.综上,(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞.(2)①当Q =∅时,得23a a >+,解得3a >;②当Q ≠∅时,得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或,解得3532a a ≤-≤≤或. 综上,3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞. (3)由{03}P Q x x ⋂=≤<,则0a =.第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题,否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系.2. 了解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义;能用“或”,“且”,“非”表述相关的数学内容.3. 理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【基础练习】1.下列语句中:①230x -=;②你是高三的学生吗?③315+=;④536x ->.其中,不是命题的有____①②④_____.2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若q 则p ,否命题可表示为 p q ⌝⌝若则,逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则;原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假.(1) 平行四边形的对边相等;(2) 菱形的对角线互相垂直平分;(3) 设,,,a b c d R ∈,若,a b c d ==,则a c b d +=+.分析:先将原命题改为“若p 则q ”,在写出其它三种命题.解:(1)原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题;逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题;否命题:若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题;逆否命题:若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四边形;真命题.(2)原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题;逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题;否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题;逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真命题.(3)原命题:设,,,a b c d R ∈,若,a b c d ==,则a c b d +=+;真命题;逆命题:设,,,a b c d R ∈,若a c b d +=+,则,a b c d ==;假命题;否命题:设,,,a b c d R ∈,若a b ≠或c d ≠,则a c b d +≠+;假命题;逆否命题:设,,,a b c d R ∈,若a c b d +≠+,则a b ≠或c d ≠;真命题.点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式,找出其条件p 和结论q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的命题,在改写命题时大前提不要动;在写命题p的否定即p⌝时,要注意对p中的关键词的否定,如“且”的否定为“或”,“或”的否定为“且”,“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命题,并判断真假. (1)p:2是4的约数,q:2是6的约数;(2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分;(3)p:方程210-+=的两实根的绝对值相等.x xx x-+=的两实根的符号相同,q:方程210分析:先写出三种形式命题,根据真值表判断真假.解:(1)p或q:2是4的约数或2是6的约数,真命题;p且q:2是4的约数且2是6的约数,真命题;非p:2不是4的约数,假命题.(2)p或q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题;p且q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题;非p:矩形的对角线不相等,假命题.(3)p或q:方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;x xp且q:方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;x x非p:方程210-+=的两实根的符号不同,真命题.x x点评:判断含有逻辑联结词“或”,“且”,“非”的命题的真假,先要把结构弄清楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题p,q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)p:所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(2)p:每一个非负数的平方都是正数;(3)p:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)p:有的四边形没有外接圆;(5)p:某些梯形的对角线互相平分.分析:全称命题“,()∃∈⌝”,特称命题“,()x M p x∃∈”的x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()否定是“,()∀∈⌝” .x M p x解:⌝:存在末位数字是0或5的整数,但它不能被5整除,假命题;(1)p⌝:存在一个非负数的平方不是正数,真命题;(2)p⌝:任意一个三角形,它的内角和都不大于180°,真命题;(3)p(4)p ⌝:所有四边形都有外接圆,假命题;(5)p ⌝:任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:【反馈演练】1.命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题是__________________.2.已知命题p :1sin ,≤∈∀x R x ,则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3.若命题m 的否命题n ,命题n 的逆命题p ,则p 是m 的____逆否命题____.4.命题“若b a >,则122->b a ”的否命题为________________________. 5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.(1)设,a b R ∈,若0ab =,则0a =或0b =;(2)设,a b R ∈,若0,0a b >>,则0ab >.解:(1)逆命题:设,a b R ∈,若0a =或0b =,则0ab =;真命题;否命题:设,a b R ∈,若0ab ≠,则0a ≠且0b ≠;真命题;逆否命题:设,a b R ∈,若0a ≠且0b ≠,则0ab ≠;真命题;(2)逆命题:设,a b R ∈,若0ab >,则0,0a b >>;假命题;否命题:设,a b R ∈,若0a ≤或0b ≤,则0ab ≤;假命题;逆否命题:设,a b R ∈,若0ab ≤,则0a ≤或0b ≤;真命题.若b M ∈,则a M ∉ 若a b ≤,则221a b ≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和充要条件.2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论:若集合P Q ⊆,则P 是Q 的充分条件;若集合P Q ⊇,则P 是Q 的必要条件;若集合P Q =,则P 是Q 的充要条件.3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力.【基础练习】1.若p q ⇒,则p 是q 的充分条件.若q p ⇒,则p 是q 的必要条件.若p q ⇔,则p 是q 的充要条件.2.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件”填空.(1)已知:2p x >,:2q x ≥,那么p 是q 的_____充分不必要___条件.(2)已知:p 两直线平行,:q 内错角相等,那么p 是q 的____充要_____条件.(3)已知:p 四边形的四条边相等,:q 四边形是正方形,那么p 是q 的___必要不充分__条件.3.若x R ∈,则1x >的一个必要不充分条件是0x >.【范例解析】例.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件”填空.(1)2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件;(2)(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件; (3)αβ=是tan tan αβ=的___________________条件;(4)3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析:从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.解:(1)因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩,反之不成立,若12x =,10y =,有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩,但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立,所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.(2)因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-,401x x -≥+的解集为(1,4]-,故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. (3)当2παβ==时,tan ,tan αβ均不存在;当tan tan αβ=时,取4πα=,54πβ=,但αβ≠,所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.(4)原问题等价其逆否形式,即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”,故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评:①判断p 是q 的什么条件,实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则p 为q 的充分不必要条件;若原命题为假,逆命题为真,则p 为q 的必要不充分条件;若原命题为真,逆命题为真,则p 为q 的充要条件;若原命题,逆命题均为假,则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时,则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1.设集合}30|{≤<=x x M ,}20|{≤<=x x N ,则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件.2.已知p :1<x <2,q :x (x -3)<0,则p 是q 的 条件.3.已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤,条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤.若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解::{12}q B x R x =∈≤≤,若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,则A B ⊆.若A =∅,则240a -<,即22a -<<;若A ≠∅,则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-. 综上所述,522a -≤<.充分不必要。

【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5

【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5

例1 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通
项公式. 项公式. 1 1 1 1 (1) , , , ; 2×4 3×5 4×6 5×7 × × × × (2)-3,7,- ,-15,31; - ,- ; (3)2,6,2,6.
【解】 (1)均是分式且分子均为 1,分母均是两 均是分式且分子均为 , 因数的积, 因数的积,第一个因数是项数加上 1,第二个因 , 数比第一个因数大 , 数比第一个因数大 2, 1 . ∴an= )(n+ ) (n+1)( +3) + )(
2,n是奇数 , 是奇数 . an=4+(-1) ·2 或 an= +- , 是偶数 6,n是偶数
n
n
2.公式法 . 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列, 等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列, 所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否 符合等差、等比数列的定义,然后用等差、 符合等差、等比数列的定义,然后用等差、等比 数列的通项公式表示它. 数列的通项公式表示它.
知识方法:在解题时,根据题目所给条件的不同, 知识方法:在解题时,根据题目所给条件的不同, 可以采用不同的方法求数列的通项公式, 可以采用不同的方法求数列的通项公式,常见方 法有如下几种: 法有如下几种: 1.观察归纳法 . 观察归纳法就是观察数列特征, 观察归纳法就是观察数列特征,找出各项共同的 构成规律,横向看各项之间的关系, 构成规律,横向看各项之间的关系,纵向看各项 与项数n的内在联系, 与项数 的内在联系,从而归纳出数列的通项公 的内在联系 式.
例8
设数列{a 为等比数列 为等比数列, 设数列 n}为等比数列,Tn=na1+(n- -
1)a2+…+2an-1+an,且T1=1,T2=4. + , - (1)求数列 n}的首项和公比; 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比; 求数列 (2)求数列 n}的通项公式. 求数列{T 的通项公式 的通项公式. 求数列

均值不等式练习题.

均值不等式练习题.

利用均值不等式求最值的方法一.均值不等式1.(1)若R ba,,则ab ba222(2)若R ba,,则222b aab(当且仅当b a时取“=”)2. (1)若*,R ba ,则ab ba 2(2)若*,R b a ,则ab ba 2(当且仅当b a时取“=”)(3)若*,R ba ,则22ba ab(当且仅当b a时取“=”)3.若0x ,则12xx(当且仅当1x 时取“=”);若0x ,则12xx(当且仅当1x 时取“=”)若0x ,则11122-2x xxx xx即或 (当且仅当b a时取“=”)3.若0ab,则2ab ba(当且仅当b a时取“=”)若0ab ,则22-2a b a b a b bababa即或(当且仅当b a 时取“=”)4.若R ba,,则2)2(222b ab a (当且仅当b a时取“=”)注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.一、配凑1. 凑系数例1. 当04x 时,求y x x ()82的最大值。

解析:由04x知,820x,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。

注意到2828x x ()为定值,故只需将y x x ()82凑上一个系数即可。

y x x x x x x()[()]()821228212282282·当且仅当282x x ,即x =2时取等号。

所以当x =2时,y x x ()82的最大值为8。

评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2. 已知x54,求函数f x xx()42145的最大值。

高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5

高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5

作业 布置 学习 小结 / 教 学 反思
课本 49 页练习 2 的 2,3,4 题
2
2 ,b 3 ,
A 450 ,求角 B .
小结:在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时求角 B 的各种情况: (1).角 A 为锐角: ①若 a b sin A ,则一解. ②若 b sin A a b ,则两解. ③若 a b ,则一解 (2).角 A 为直角 a b ,则一解. (3).角 A 为钝角 a b ,则一解. 例 2 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A 300 , c 2 3, b 2 ,求
1
ABC 的面积.
达标训练: 1.判断下列各题角 B 的解的个数: 1. a 7, b 14, A 300 .
2. a 30, b 25, A 1500 . 3. a 72, b 50, A 1350 .
4. a 30, b 40, A 260 .
§1.1.2 正弦定理
授课 时间 学习 目标 重点 难理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式. 重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 自主学习: 正弦定理:_________________________. 正弦定理的变形公式:_________________________. 问题 1.在 ABC 中,已知 a 20, b 28, A 400 ,求 B (精确到 1 )和 c (保留两个有效数
0 问题 3.在 RtABC 中, C 90 ,则 ABC 的面积 S
学习 过程 与方 法
1 ab .对于任意 ABC ,已知 a, b 及 2

高中数学不等式2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法课后课时精练课件新人教A版必修5

高中数学不等式2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法课后课时精练课件新人教A版必修5

(2)由题意,得14- +a2+ a+b= b=0, 0, 解得ba==--21, . ∴-x2+x-2<0,∴x2-x+2>0, ∴不等式 x2-x+2>0 的解集为 R.
10.已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a- 2a2<0 的解集,且 M 中的一个元素是 0,求实数 a 的取值范 围,并用 a 表示出该不等式的解集.
9.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x -6<0 的解集为 B.
(1)求 A∩B; (2)若不等式 x2+ax+b<0 的解集为 A∩B,求不等式 ax2 +x+b<0 的解集.
解 (1)由 x2-2x-3<0,得-1<x<3, ∴A=(-1,3). 由 x2+x-6<0,得-3<x<2, ∴B=(-3,2),∴A∩B=(-1,2).
4.已知不等式 ax2-5x+b>0 的解集为{x|-3<x<2},则 不等式 bx2-5x+a>0 的解集为( )
A.x-13
1 <x<2
B.xx<-31 或x>21
C.{x|-3<x<2}
D.xx<-21 或x>31
解析 由题意可知,ax2-5x+b=0 的两个根分别为- 3,2,利用根与系数的关系可得,-3+2=5a,-3×2=ba, 解得 a=-5,b=30,则所求不等式可化为 30x2-5x-5>0, 即(2x-1)(3x+1)>0,解得 x<-13或 x>12.故选 B.
04课后课时精练
A 级:基础巩固练 一、选择题 1.函数 y= x2+x-12的定义域是( ) A.{x|x<-4 或 x>3} B.{x|-4<x<3} C.{x|x≤-4 或 x≥3} D.{x|-4≤x≤3}

新课标版数学必修五(A版)作业13高考调研精讲精练

新课标版数学必修五(A版)作业13高考调研精讲精练

课时作业(十三)1.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64答案 A解析 a 8=S 8-S 7=82-72=15.2.等差数列{a n }中,S 15=90,则a 8等于( ) A .3 B .4 C .6 D .12 答案 C解析 ∵S 15=15a 8=90, ∴a 8=6.3.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是( ) A .4或5 B .5或6 C .6或7 D .不存在 答案 B解析 ∵d <0,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6, ∴a 6=0.又d <0,∴S 5或S 6最大.4.等差数列{a n }中,前n 项和S n =an 2+(a -1)·n +(a +2),则a n 等于( ) A .-4n +1 B .2an -1 C .-2an +1 D .-4n -1 答案 D解析 ∵{a n }为等差数列,且S n =an 2+(a -1)·n +(a +2),∴a +2=0,a =-2,∴S n =-2n 2-3n. ∴a n =-4n -1.5.数列{a n }的通项a n =2n +1,则由b n =a 1+a 2+…+a nn(n ∈N *),所确定的数列{b n }的前n 项和是( ) A .n(n +1) B.n (n +1)2C.n (n +5)2D.n (n +7)2答案 C解析 b n =a 1+a 2+…+a n n =a 1+a n 2=3+2n +12=n +2,∴{b n }前n 项和T n =n (3+n +2)2=12n(n +5).6.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 值是( ) A .21 B .20 C .19 D .18答案 B解析 a 1+a 3+a 5=105⇒a 3=35,a 2+a 4+a 6=99⇒a 4=33,则{a n }的公差d =33-35=-2,a 1=a 3-2d =39,S n =-n 2+40n ,因此当S n 取得最大值时,n =20.7.已知等差数列{a n }的公差为1,且a 1+a 2+…+a 98+a 99=99,则a 3+a 6+a 9+…+a 96+a 99=( ) A .99 B .66 C .33 D .0 答案 B解析 由a 1+a 2+…+a 98+a 99=99,得99a 1+99×982=99.∴a 1=-48,∴a 3=a 1+2d =-46.又∵{a 3n }是以a 3为首项,以3为公差的等差数列. ∴a 3+a 6+a 9+…+a 99=33a 3+33×322×3=33(48-46)=66. 8.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ) A .8 B .7 C .6 D .5答案 D解析 ∵S k +2-S k =a k +1+a k +2=a 1+kd +a 1+(k +1)d =2a 1+(2k +1)d =2×1+(2k +1)×2=4k +4=24,∴k =5.9.等差数列{a n }中共有奇数个项,且该数列的奇数项之和为77,偶数项之和为66,若a 1=1,则其中间项为( ) A .7 B .8 C .11 D .16 答案 C10.已知等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,若S 16>0,且S 17<0,则当S n 最大时n 的值为( ) A .16 B .8 C .9 D .10答案 B解析 S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 8>0且d <0,∴S 8最大.11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 据等差数列前n 项和性质可知:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9仍成等差数列,设S 3=k ,则S 6=3k ,S 6-S 3=2k , ∴S 9-S 6=3k ,S 12-S 9=4k ,∴S 9=S 6+3k =6k ,S 12=S 9+4k =10k , ∴S 6S 12=3k 10k =310. 12.(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A .100 B .99 C .98 D .97 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ,因为{a n }为等差数列,且S 9=9a 5=27,所以a 5=3.又a 10=8,解得5d =a 10-a 5=5,所以d =1,所以a 100=a 5+95d =98.选C.13.在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=15,a n +a n -1+a n -2=78,S n =155,则n =______. 答案 10解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=15,a n +a n -1+a n -2=78,可得3(a 1+a n )=93.∴a 1+a n =31.又S n =n (a 1+a n )2, ∴155=31n2, ∴n =10.14.首项为正数的等差数列,前n 项和为S n ,且S 3=S 8,当n =________时,S n 取到最大值. 答案 5或615.(1)(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1.求数列{b n }的通项公式.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ,求a n .解析 (1)由题意知当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5, 当n =1时,a 1=S 1=11, 所以a n =6n +5. 设数列{b n }的公差为d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,得⎩⎪⎨⎪⎧11=2b 1+d ,17=2b 1+3d ,可解得b 1=4,d =3.所以b n =3n +1. (2)①当n =1时,a 1=S 1=3+2=5. ②当n ≥2时,S n -1=3+2n -1,又S n =3+2n ,∴a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1. 又当n =1时,a 1=21-1=1≠5,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧5 (n =1),2n -1 (n ≥2).16.在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10.求S 110. 解析 (基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10(10-1)2d =100,100a 1+100(100-1)2d =10,解得⎩⎨⎧a 1=1 099100,d =-1150. ∴S 110=110a 1+110(110-1)2d =110×1 099100+110×1092×⎝⎛⎭⎫-1150=-110.17.设等差数列的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中哪一个值最大,并说明理由.解析 (1)依题意⎩⎨⎧S12=12a 1+12×112d>0,S13=13a 1+13×122d<0,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+11d>0, ①a 1+6d<0. ② 由a 3=12,得a 1+2d =12. ③将③分别代入①,②,得⎩⎪⎨⎪⎧24+7d>0,3+d<0,解得-247<d<-3.(2)S 6的值最大,理由如下:由d<0可知数列{a n }是递减数列,因此若在1≤n ≤12中,使a n >0且a n +1<0,则S n 最大. 由于S 12=6(a 6+a 7)>0,S 13=13a 7<0,可得a 6>0,a 7<0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( ) A .n B .n 2 C .2n +1 D .2n -1答案 D。

高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)

高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)

2.4等比数列(2)教学目标:1、 能够应用等比数列的定义及通项公式,理解等比中项概念;2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质;3、 提升学生对数学知识的正迁移能力,增强学生的数学素养.教学重点:1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程:一、复习回顾等比数列定义,等比数列通项公式.(板书)二、讲授新课第一环节:类比等差中项,探究等比中项 .问题1:(1)若在2,8中插入一个数A ,使2,A ,8成等差数列,则A = .变式1.若在2,8中插入一个数G ,使2,G ,8成等比数列,则G = .变式2.若在-2, 4中插入一个数M ,能否使-2,M ,4成等比数列呢?归纳小结:1.等差中项:若a ,A ,b 成等差数列⇔A =a +b 2,A 为等差中项. 2.等比中项:(板书)如果在a 、b 中插入一个数G ,使a 、G 、b 成等比数列,则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2(注意两解且同号两项才有等比中项) 练习:完成教材课后练习P预设:学生在推导过程中,部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论,在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.(有利于培养学生的严谨性和批判性)问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列,那么下列说法中正确个数的有( )是 和 的等比中项;若 ,6,则 12;;若是等差数列,则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列;若数列 的每项都是正数,则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问:同学们观察第(3)你发现什么规律了吗?类比等差数列{a n }中,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ,在等比数列{a n }中,若m +n =p +q ,则,m n p q a a a a ,,之间又有怎样的关系呢?并说理.分析:由通项公式可得:a m =a 1q m -1,a n =a 1q n -1,a p =a 1q p -1,a q =a 1·q q -1不难发现:a m ·a n =a 12q m +n -2,a p ·a q =a 12q p +q -2归纳小结:若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q (板书)师问:同学们观察第(4)你发现什么规律了吗?学生发现:在等比数列中,若项数成等差数列,则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结:234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ,,成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列,若 求 ;若 求 ;同学们思考:在等比数列中,已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ,如果给出m a q ,公比,又如何表示通项公式n a ?归纳小结:通项公式的变形:11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅(板书)师问:类比等差数列()11n a a n d =+-,可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数,它的几何意义是该一次函数图像上的点,那么对于等比数列,已知1a q 首相,公比,变量n a 与变量n 是否存在函数关系?若存在属于哪个类型函数?归纳小结:(板书)当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时,型函数;当q=1时,数列}a {n 为常数列;当q<0时,数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等,试比较与的大小.归纳小结:构建两个函数,为借助函数图像解题奠定了基础,体现了函数思想在数列中的运用。

人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)

人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)

2.4等比数列(2)教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中,抽象出等比数列关系,并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法,发挥学生的主体作用,引导学生探究问题的解决方法,经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和思维习惯,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了解社会的意识,更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题,请学生课外进行活动探究,现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一:第3题、第4题详细解答:第3题解答:(1)将数列{a n }的前k 项去掉,剩余的数列为a k+1,a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2,…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以,{b n }是等比数列,即a k+1,a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21,…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项,q 10为公比的等比数列.猜想:在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项,组成一个新数列,这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到,等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列,可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答:(1)设{a n }的公比是q ,则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n >1).由此得出,a n 是a n -1和a n +1的等比中项,同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n >k >0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n >k >0).师 和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多的性质,如果我们想知道的更多,就要对它作进一步的探究.推进新课 [合作探究] 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n },计算a 7+a 10,a 8+a 9和a 10+a 40,a 20+a 30,你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化的推广吗?从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论?师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”,你打算用一个什么样的等差数列来计算?生 用等差数列1,2,3,…师 很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢? 生 在等差数列{a n }中,若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *),则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”,如何做? 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系. [教师精讲]师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{a n }的图象,可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质,有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论?生 猜想对于等比数列{a n },类似的性质为:k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *),则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明:设等比数列{a n }公比为q , 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中,若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *),则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论:(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积;(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗? 生 思考、列式、合作交流,得到:结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形; 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考,得出上述联系,并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2:例题2例题2(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; (2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积; (3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成,充分让学生思考,展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答:(1)在等比数列{a n }中,已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18.解:∵a 1a 18=a 9a 10,∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中,b 4=3,求该数列前七项之积. 解:b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5,∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,求a 8. 解:.∵a 5是a 2与a 8的等比中项,∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解:a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. [合作探究]师 判断一个数列是否成等比数列的方法:1、定义法;2、中项法;3、通项公式法. 例题3:已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论?证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格,我们可以得到什么样的结论?如何证明?生 得到:如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列,那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n +1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ,因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数,所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. [教师精讲]除了上面的证法外,我们还可以考虑如下证明思路: 证法二:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n +1项(n >1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ,因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n >1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识,我们还可以直接对数列的通项公式考察: 证法三:设数列{a n }的公比是p ,{b n }公比是q ,那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容:1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。

高一数学知识点精讲精练

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高一数学知识点精讲精练一、集合与函数在高一数学中,集合与函数是非常基础的概念。

集合是由元素组成的整体,可以用一个大括号表示,如A={1,2,3}。

函数是一种特殊的关系,它将一个元素和另一个元素相对应。

函数可以用图像、方程或者列表来表示。

二、二次函数二次函数是高一数学中的重要内容。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数。

二次函数的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线,通过顶点和对称轴可以确定其特征。

通过求解二次函数的零点,可以得到方程的解。

三、数列与等差数列数列是一系列按照一定规律排列的数。

其中,等差数列是一种特殊的数列,它的相邻两项之间的差值是常数。

等差数列可以用通项公式来表示,通项公式为an=a1+(n-1)d,其中an表示第n项,a1表示首项,d表示公差。

四、三角函数三角函数是与角度相关的函数,包括正弦、余弦和正切等。

它们在几何图形的研究中有广泛的应用。

三角函数可以用来求解三角形的边长和角度,以及解决与周期性变化相关的问题。

五、平面向量平面向量是高一数学的重点内容之一。

平面向量表示了平面上的位移和方向。

它的定义包括模长和方向两个要素。

平面向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算。

通过向量的坐标表示,可以方便地进行向量的计算。

六、概率与统计概率与统计是数学中非常实用的部分。

概率研究随机事件发生的可能性,可以用来解决赌博、抽奖等与随机相关的问题。

统计研究数据的收集、整理和分析,可以帮助我们了解一组数据的特征和趋势。

七、立体几何立体几何是数学中的几何学的一个分支,研究的是三维空间中的图形。

它包括球体、圆锥、圆柱、棱柱、棱锥等。

通过计算体积和表面积,可以解决与立体图形相关的问题。

八、数论数论是研究整数性质的数学分支。

它探究了整数的性质、整数间的关系以及整数运算的规律。

数论在密码学、编码等领域有重要的应用,对于高中数学学习也有一定的启发作用。

以上是高一数学知识点的精讲精练,希望能对你的数学学习有所帮助。

2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 5

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5.7 三角函数的应用(精练)【题组一 圆周运动】1.(2021·全国高一单元测试)如图,为一半径为3m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈,水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y =A sin(ωx +φ)+2,则有( )A .ω=215π,A =3 B .ω=152π,A =3 C .ω=215π,A =5 D .ω=152π,A =5 【答案】A【解析】由题目可知最大值为5,∴ 5=A ×1+2⇒A =3. 60==154T ,则2215T ππω==.故选:A2.(2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点(3,A -出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(,)x y ,其纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭,则下列叙述正确的是( )A .水斗作周期运动的初相为3π-B .在水斗开始旋转的60秒(含)中,其高度不断增加C .在水斗开始旋转的60秒(含)中,其最高点离平衡位置的纵向距离是D .当水斗旋转100秒时,其和初始点A 的距离为6 【答案】AD【解析】对于A ,由(3,A -,知6R ,120T =,所以260T ππω==;当0t =时,点P 在点A 位置,有6sin ϕ-,解得sin ϕ=||2ϕπ<,所以3πϕ=-,故A 正确;对于B ,可知()6sin 603f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭,当(]0,60t ∈,2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦,所以函数()f x 先增后减,故B 错误;对于C ,当(]0,60t ∈,2,60333t ππππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦,sin 603t ππ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,所以点P 到x 轴的距离的最大值为6,故C 错误;对于D ,当100t =时,46033t πππ-=,P 的纵坐标为y =-3x =-,所以||336PA =--=,故D 正确. 故选:AD .3.(2021·全国高一课时练习)(多选)如图,一个水轮的半径为6m ,水轮轴心O 距离水面的高度为3m ,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点0P )开始计时,记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()s t 的函数,则下列结论正确的是( )A .()39f =B .()()17f f =C .若()6f t ≥,则[]()212,512t k k k ∈++∈ND .不论t 为何值,()()()48f t f t f t ++++是定值 【答案】BD【解析】设()()()sin 0,0f t A t b A ωϕω=++>>,则6A =,212π=ω,则6π=ω, 由题意可知()max 69f t b =+=,可得3b =,()06sin 30f ϕ=+=,可得1sin 2ϕ=-,由图可知,函数()f t 在0t =附近单调递增,可得()26k k Z πϕπ=-∈,所以,()6sin 366t f t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A 选项,()36sin 333f π=+=,A 错;对于B 选项,()16sin033f =+=,()76sin 33f π=+=,()()17f f =,B 对; 对于C 选项,由()6sin 3666t f t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭,可得1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,所以,()5226666t k k k N ππππππ+≤-≤+∈,解得()122126k t k k N +≤≤+∈,C 错; 对于D 选项,()()()24486sin 6sin 6sin 966663663t t t f t f t f t ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭26sin 3sin sin 3sin 966666636666t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-----+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9=,D 对.故选:BD.4.(2021·全国高一课时练习)(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点(1,A 出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(),x y ,其纵坐标满足()()sin 0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A .3πϕ=B .当[]0,2t ∈时,函数()y f t =单调递增.C .当[]3,5t ∈时,函数最小值为2-.D .当t =9时,4PA = 【答案】BD【解析】由题,2R ==,26T πω==,3πω∴=,故()2sin 3f t t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又当0t =时,()y f t ==||2ϕπ<,3ϕπ∴=-, 所以()2sin 33f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故A 错误:当[0,2]t ∈时,,3333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以函数()y f t =在[0,2]是单调递增的,故B 正确:当[3,5]t ∈时,24,3333t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以函数()y f t =在[3,5]t ∈是单减的,故最小值为4(5)2sin3f π==故C 错误:当9t =时,8333t πππ-=,P 的横坐标为82cos13π=-,又8(9)2sin 3f π=(P -,PA 为水车直径,故4PA =,故D 正确. 故选:BD5.(2021·全国高一课时练习)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:(1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗? (2)转四圈需要多少时间?(3)你第四次距地面最高需要多少时间? (4)转60分钟时,你距离地面是多少?【答案】(1)是周期现象;(2)48(分钟);(3)42(分钟);(4)0.5(米).【解析】(1)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半径40米,从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象.(2)每转一圈需要12分钟,∴转四圈需要41248⨯=分钟.(3)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面 40.5米,半径40米,∴出发后6分钟时,摩天轮第一次到达最高点, ∴你第四次距地面最高需要:612342+⨯=分钟.(4)由已知可设40.540cos y t ω=-,0t , 由周期为12分钟可知,当6t =时,摩天轮第一次到达最高点,即函数第一次取得最大值,所以6ωπ=,即6π=ω, 40.540cos 6y t π∴=-,0t∴转60分钟时,你距离地面高度为:40.540cos(60)40.540cos100.56y ππ=-⨯=-=(米).【题组二 几何问题】1.(2021·安徽芜湖一中高一月考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15︒的看台的某一列的正前方,在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30,第一排和最后一排的距离为(如图所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上,则旗杆的高度为___________.【答案】15米【解析】如图所示,由题得,45AEC ︒∠=,1806015105ACE ︒︒︒︒=--=∠,30EAC ︒∴∠=,由正弦定理可知sin sin CE ACEAC AEC=∠∠,sin sin CEAC AEC EAC∴=⋅∠=∠∴在Rt ABC 中,sin 15AB AC ACB =⋅∠==米,即旗杆的高度为15米.故答案为:15米.2.(2021·江苏高一期中)如图,在扇形POQ 中,半径2OP =,圆心角3POQ π∠=,B 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.其中CD 在半径OQ 上,记BOC α∠=.(1)当45BOC ∠=︒时,求矩形ABCD 的面积;(2)求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大值.【答案】(1)2(2)当6πα=时,矩形ABCD【解析】(1)在Rt OBC 中,2sin 452BC ==2cos 452OC ==在Rt ADO 中,tan 3AD OD π==,所以OD AD所以CD OC OD =-=,设矩形ABCD 的面积为S ,则2S CD BC =⋅=⎭(2)在Rt OBC 中,2sin BC α=,2cos OC α=.在Rt ADO 中,tan 3AD OD π==, 所以OD AD α===, 所以2cosCD OC OD αα=-=, 设矩形ABCD 的面积为S ,则22cos 2sin 4sin cosS CD BC αααααα⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭, 2sin 2226πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,由03πα<<,得52666πππα<+<,所以当262ππα+=,即6πα=时max S ==因此,当6πα=时,矩形ABCD 3.(2021·江苏高一专题练习)圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL )是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑,1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美,如左图.某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度,他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ,测得建筑物AB 的高度为h ,在它们之间的地面上的点M (B ,M ,D 三点共线)处可以测得楼顶A 和教堂顶C 的仰角分别为α和β,在楼顶A 处可测得塔顶C 的仰角为γ,且AB 与CD 都垂直地面,如右图,那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少?(结果用h ,α,β,γ表示)【答案】高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-.【解析】解:由题可知,在Rt CDM 中,CDM β∠=, 设CD x =, 则sin sin CD xCM ββ==, 在Rt ABM 中,AMB AB h α∠==,, 则sin sin AB hAM αα==. 在ACM △中,CAM CMA αγπαβ∠=+∠=-+,()∴MCA βγ∠=- 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 sin sin CM AMMAC MCA=∠∠,即()()sin sin sin sin x hβααγβγ=+-. ∴()()sin sin sin sin x h βαγαβγ+=-答:索菲亚教堂的高度为()()sin sin sin sin h βαγαβγ+-.【题组三 其他问题】1.(2021·全国高一课时练习)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示:(1)试选用一个形如()sin y A x t ωϕ=++的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y 与日期位置序号x 之间的函数解析式.(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时. 【答案】(1)()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭;(2)这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时..【解析】(1)由表格可知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,19.4 5.472A -∴==, 19.4712.4t ∴=-=,又365T =,2365πω∴=, 当172x =时,23652x ππϕ+=,解得:323730πϕ=-, ()23237sin 12.41365,365730y x x x N ππ⎛⎫∴=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭.(2)由15.9y >得:23231sin 3657302x ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即2323563657306x ππππ<-<, 解得:111.17232.83x <<,∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.2.(2021·广东铁一中学高一月考)“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注,为了使基础设施更加完善,现需对部分区域进行改造.如图,在道路北侧准备修建一段新步道,新步道开始部分的曲线段MAB 是函数2sin(),(0,0),[4,0]y x x ωϕωϕπ=+><<∈-的图象,且图象的最高点为(1,2)A -.中间部分是长为1千米的直线段BC ,且//BC MN .新步道的最后一部分是以原点O 为圆心的一段圆弧CN .(1)试确定,ωϕ的值;(2)若计划在扇形OCN 区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形一边EF 紧靠道路MN ,顶点Q 落在半径OC 上,另一顶点P 落在圆弧CN 上.记PON θ∠=,请问矩形EFPQ 面积最大时θ应取何值,并求出最大面积?【答案】(1)6π=ω,23ϕπ=;(2)当6πθ=2. 【解析】(1)∵1(4)34T =---=,∴212T ωπ==,∴6π=ω. 图象过(1,2)A -,∴2,62k k Z ππϕπ-+=+∈,又0ϕπ<<,∴23ϕπ=.(2)由(1)知22sin 63y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,交y 轴于B ,又1,//BC BC MN =,∴2,3OC CON BCO π=∠=∠=.又PON θ∠=,∴(2cos ,2sin )P θθ,2sin 2sin ,2cos 2costan 60PF EF θθθθθ==-=-︒,∴22sin 2cos 2sin 22sin 2cos2)EFPQ S PF EF θθθθθθθ⎛⎫=⋅===- ⎪⎝⎭12sin 222cos 2226πθθθθθ⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又πθ0,3,∴6πθ=时sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,此时矩形EFPQ 2. 3.(2021·兴仁市凤凰中学高一期末)某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:据上述数据描成的曲线如图所示,该曲线可近似的看成函数sin y A t b ω=+的图象. (1)试根据数据表和曲线,求sin y A t b ω=+的解析式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?【答案】(1)3sin 10(024)6y t t π=+;(2)1:00至5:00或13:00至17:00.【解析】1)根据数据,可得137A b A b +=⎧⎨-+=⎩,3A ∴=,10b =, 15312T =-=,26T ωππ∴==, ∴函数的表达式为3sin 10(024)6y t t π=+;(2)由题意,水深 4.57y +, 即3sin 1011.5(024)6t t π+,1sin62tπ∴, ∴[266t k πππ∈+,52]6k ππ+,0k =,1, [1t ∴∈,5]或[13t ∈,17];所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.4.(2021·北京市第一六一中学)海水受日月的引カ,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位:m)记录表.试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y 与时间[]()0,24t t ∈的函数关系,则这个函数关系式是________.【答案】[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈【解析】设y 与t 之间的函数关系式为()()sin 0,0y A t B A ωϕω=++>>,则由表中数据可得12T =,且7.52.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩,故2126ππω==且55,2B A ==,所以5sin 526y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为当3t =时,7.5y =,所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得2,k k Z ϕπ=∈,故5sin 526y t π=+,其中024t ≤≤.故答案为:[]5sin 5,0,2426y t t π=+∈.5.(2021·全国高一课时练习)埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口,其水深度y (米)时间t (024t ≤≤,单位:时)的函数,记作()y f t =,下面是水深与时间的数据:经长期观察,()y f t =的曲线可近似地看出函数()sin y A x B ωϕ=++(其中0A >,0>ω,[),ϕππ∈-的图象.(1)试根据以上数据,求出函数()y f t =的近似表达式;(2)一般情况下,轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的(船舶停靠时,近似认为海底是平面),停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港,其最大吃水深度(船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度,是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离)需12米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间).【答案】(1)3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭;(2)18小时.【解析】(1)根据表格可得出:3A =, 15B =,12T =.由22T πω==可知6π=ω;当9t =时函数取最大值,即9262k ππϕπ⋅+=+,k Z ∈,可得2k ϕππ=-,又因为[),ϕππ∈-,得到()f t ϕ=,函数()y f t =的近似表达式为3sin 156y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(2)由题意得航行时3sin 15156t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,即sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.因为024t ≤≤,所以[],36t ππππ-∈-.通过正弦函数图象可知,当[][]0,2,36t πππππ-∈⋃,即[][]6,1218,24t ∈⋃时,sin 06t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭.由于停泊时的要求3sin 15126t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭恒成立,“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港, 它至多能在港内停留24618-=小时.6.(2021·全国高一课时练习)某地一天的时间(024x x ,单位:时)随气温()oC y 变化的规隼可近似看成正弦函数()sin y A x B =++ωϕ的图象,如图所示.(1)根据图中数据,试求()sin y A x B =++ωϕ(0,0,0)A ωπϕ>>-<<的表达式.(2)该地居民老张因身体不适在家休养,医生建议其外出进行活动时,室外气温不低于o 23C ,根据(1)中模型,老张该日可在哪一时段外出活动,活动时长最长不超过多长时间? 【答案】(1)36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭;(2)老张可在11:0019:00外出活动,活动时长最长不超过8小时;【解析】(1)依题意可得2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得620A B =⎧⎨=⎩,又1532T =-即224T πω==,解得12πω=,所以6sin 2012y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,又函数过点()3,14,所以6sin 3201412πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭,即sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,解得32,4k k Z πϕπ=-+∈,因为0πϕ-<<,所以34πϕ=-,所以36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)依题意令36sin 2023124x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,即31sin 1242x ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 所以3522,61246k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈ 解得11241924,k x k k Z +≤≤+∈ 因为024x所以1119x ≤≤,又19118-=即老张可在11:0019:00外出活动,活动时长最长不超过8小时;7.(2021·全国)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数()cos y A x b ωϕ=++,()0,0,0,A b ωπϕπ>>>-<<,画出函数图象,并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?1.7【答案】(1)作图见解析,2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭;(2)该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留2个小时. 【解析】(1)由图象可知 6.5 2.522, 4.5,122A b T πω+=====,6π=ω, 则有2cos 4.56y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为3x =时取最大值6.5,可得2πϕ=-,所以2cos 4.562y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)货船需要的安全水深为4 2.2 6.2+=米, 所以当 6.2y ≥时就可以进港.令2cos 4.5 6.262x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,得 1.7cos 622x ππ⎛⎫-≥≈ ⎪⎝⎭得22,6626k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈,即212412k x k +≤≤+,当0k =时,[]2,4x ∈;当1k =时,[]14,16x ∈,所以,该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留2个小时.。

新课标版数学必修五(A版)单元卷1高考调研精讲精练

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第一章 章末测试卷(A)[时间:120分钟 满分:150分]一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中,下列等式不成立的是( ) A .c =a 2+b 2-2abcosC B.a sinA =bsinB C .asinC =csinA D .cosB =a 2+c 2-b 22abc答案 D解析 很明显A ,B ,C 成立;由余弦定理得cosB =a 2+c 2-b 22ac ,所以D 不成立.2.已知锐角△ABC 的面积为33,BC =4,CA =3,则角C 的大小为( ) A .75° B .60° C .45° D .30° 答案 B解析 由S △ABC =33=12×3×4sinC ,得sinC =32,又角C 为锐角,故C =60°.3.已知△ABC 中,c =6,a =4,B =120°,则b 等于( ) A .76 B .219 C .27 D .27 答案 B解析 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB =76,所以b =219. 4.已知△ABC 中,a =4,b =43,A =30°,则B 等于( ) A .30° B .30°或150° C .60° D .60°或120° 答案 D解析 由正弦定理得a sinA =b sinB .所以sinB =b a sinA =434sin30°=32.又a<b ,则A<B ,所以B=60°或120°.5.已知三角形的三边长分别为a ,b ,a 2+ab +b 2,则三角形的最大内角是( ) A .135° B .120° C .60°D .90°解析a 2+ab +b 2>a ,a 2+ab +b 2>b ,则长为a 2+ab +b 2的边所对的角最大.由余弦定理,得cos α=a 2+b 2-(a 2+b 2+ab )2ab =-12,所以三角形的最大内角是120°.6.△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c.设向量p =(a +c ,b),q =(b -a ,c -a),若p ∥q ,则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析 由p ∥q ,得(a +c)(c -a)=b(b -a),则b 2+a 2-c 2=ab.由余弦定理,得cosC =a 2+b 2-c 22ab=12,所以C =π3. 7.在△ABC 中,已知a =2bcosC ,那么△ABC 的内角B ,C 之间的关系是( ) A .B>C B .B =C C .B<C D .关系不确定答案 B8.在△ABC 中,B =60°,b 2=ac ,则这个三角形是( ) A .不等边三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .直角三角形 答案 B9.在△ABC 中,cosAcosB>sinAsinB ,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形 答案 C10.在△ABC 中,已知sinB =1,b =3,则此三角形( ) A .无解 B .只有一解 C .有两解 D .解的个数不确定 答案 D11.在△ABC 中,若A<B<C ,b =10,且a +c =2b ,C =2A ,则a 与c 的值分别为( ) A .8,10 B .10,10 C .8,12D .12,8解析 ∵C =2A ,∴sinC =sin2A =2sinA ·cosA. 由正弦定理,余弦定理可得c =2a·100+c 2-a 22×10c,将a =20-c 代入上式整理,得c 2-22c +120=0,解得c =10(舍去)或c =12,∴a =8. 12.在△ABC 中,已知b 2-bc -2c 2=0,a =6,cosA =78,则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D .6 3答案 A解析 由b 2-bc -2c 2=0,b 2-c 2=c 2+bc , 即b -c =c ,b =2c.cosA =b 2+c 2-a 22bc =4c 2+c 2-64c 2=78,得c 2=4,c =2,b =4.又sinA =158, ∴S =12bcsinA =12×2×4×158=152.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,A =30°,C =105°,b =8,则a =________. 答案 4 2解析 B =180°-30°-105°=45°,由正弦定理,得a =sinA sinB b =sin30°sin45°×8=4 2. 14.在△ABC 中,已知BC =8,AC =5,三角形面积为12,则cos2C =________. 答案725解析 由题意得S △ABC =12·AC ·BC ·sinC =12,即12×8×5×sinC =12,则sinC =35. cos2C =1-2sin 2C =1-2×⎝⎛⎭⎫352=725.15.甲、乙两楼相距20 m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼高为________m ,乙楼高为________m. 答案 2034033解析 如图所示,甲楼高为AB ,乙楼高为CD ,AC =20 m.则在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =20(m),所以AB =ACtan60°=203(m),在△BCD 中,BC =40(m),∠BCD =90°-60°=30°,∠CBD =90°-30°-30°=30°,则∠BDC =180°-30°-30°=120°.由正弦定理,得BC sin ∠BDC =CD sin ∠CBD ,所以CD =sin ∠CBD sin ∠BDC BC =4033.16.在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD =12DC ,∠ADB =120°,AD =2.若△ADC 的面积为3-3,则∠BAC =________. 答案 60°解析 由∠ADB =120°,知∠ADC =60°.又因为AD =2,所以S △ADC =12AD ·DCsin60°=3- 3.所以DC =2(3-1).又因为BD =12DC ,所以BD =3-1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点, 则S △ADC =12DC ·AE =3-3,所以AE = 3.又在直角三角形AED 中,DE =1, 所以BE = 3.在直角三角形ABE 中,BE =AE , 所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC =45°. 在直角三角形AEC 中,EC =23-3, 所以tan ∠ACE =AE EC =323-3=2+ 3.所以∠ACE =75°,所以∠BAC =180°-75°-45°=60°.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为a ,b ,c ,若cosBcosC -sinBsinC =12.(1)求A ;(2)若a =23,b +c =4,求△ABC 的面积. 解析 (1)∵cosBcosC -sinBsinC =12,∴cos(B +C)=12.∵A +B +C =π,∴cos(π-A)=12.∴cosA =-12.又∵0<A<π,∴A =2π3.(2)由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc·cosA. 则(23)2=(b +c)2-2bc -2bc·cos2π3. ∴12=16-2bc -2bc·⎝⎛⎭⎫-12.∴bc =4. ∴S △ABC =12bc ·sinA =12×4×32= 3.18.(12分)在△ABC 中,∠B =45°,AC =10,cosC =255.(1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D ,求中线CD 的长. 解析 (1)由cosC =255,得sinC =55.sinA =sin(180°-45°-C)=22(cosC +sinC)=31010. 由正弦定理,知BC =AC sinB ·sinA =1022×31010=3 2. (2)AB =AC sinB ·sinC =1022×55=2.BD =12AB =1.由余弦定理,知CD =BD 2+BC 2-2BD·BC·cosB =1+18-2×1×32×22=13.19.(12分)在△ABC 中,C -A =π2,sinB =13.(1)求sinA 的值;(2)设AC =6,求△ABC 的面积.解析 (1)由C -A =π2和A +B +C =π,得2A =π2-B ,0<A<π4.故cos2A =sinB ,即1-2sin 2A =13,sinA =33.(2)由(1)得cosA =63. 又由正弦定理,得BC sinA =AC sinB ,BC =sinAsinB ·AC =3 2.所以S △ABC =12AC ·BC ·sinC =12AC ·BC ·cosA =3 2.20.(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c ,0). (1)若c =5,求sinA 的值;(2)若∠A 是钝角,求c 的取值范围. 解析 (1)方法一:∵A(3,4),B(0,0), ∴|AB|=5,sinB =45.当c =5时,|BC|=5,|AC|=(5-3)2+(0-4)2=2 5.根据正弦定理,得|BC|sinA =|AC|sinB ⇒sinA =|BC||AC|·sinB =255. 方法二:∵A(3,4),B(0,0),∴|AB|=5. 当c =5时,|BC|=5,|AC|=(5-3)2+(0-4)2=2 5. 根据余弦定理,得cosA =|AB|2+|AC|2-|BC|22|AB||AC|=55.sinA =1-cos 2A =255.(2)已知△ABC 顶点坐标为A(3,4),B(0,0),C(c ,0), 根据余弦定理,得cosA =|AB|2+|AC|2-|BC|22|AB||AC|.若∠A 是钝角,则cosA<0⇒|AB|2+|AC|2-|BC|2<0,即52+[(c -3)2+42]-c 2=50-6c<0,解得c>253.21.(12分)如图,A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B ,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°,30°,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60 °,AC =0.1 km.试探究图中B ,D 间距离与另外两点间距离哪个相等,然后求B ,D 间的距离(计算结果精确到0.01 km ,2≈1.414,6≈2.449).解析 在△ADC 中,∠DAC =30°,∠ADC =60°-∠DAC =30°, 所以CD =AC =0.1.又∠BCD =180°-60°-60°=60°, 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线,所以BD =BA. 在△ABC 中,AB sin ∠BCA =ACsin ∠ABC,即AB =ACsin60°sin15°=32+620,因此,BD =32+620≈0.33 (km).故B ,D 间的距离约为0.33 km.22.(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边a ,b ,c 满足cosB cosC +b c =2ac .(1)求角C 的大小;(2)若边长c =3,求a +2b 的最大值.解析 (1)因为cosB cosC +b c =2ac,故cosBsinC +sinBcosC =2sinAcosC.也即sinA =2sinAcosC ,又sinA ≠0,所以cosC =12.又C ∈(0,π),故C =π3.(2)a +2b =c sinC (sinA +2sinB)=2[sin(B +C)+2sinB]=2⎣⎡⎦⎤12sinB +32cosB +2sinB =5sinB +3cosB ,令cos φ=528,sin φ=328,则a +2b =28sin(B +φ),当B +φ=π2时,(a +2b)max =28=27.。

2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(一)新人教A版必修5

2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(一)新人教A版必修5

1.1.1正弦定理讲授新课[合作探究]师那么对于任意的三角形,关系式CcB b A a sin sin sin ==是否成立?(由学生讨论、分析)生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如右图,当△ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =,同理,可得B bC c s i ns i n =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.(当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即CcB b A a sin sin sin ==.师是否可以用其他方法证明这一等式? 生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等,来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系. 师很好!这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得=+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+.∴Co s90°Co s(90°-C Co s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =. 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A >90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C .由=+,得j·+j·=j·, 即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°), ∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin = 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin ==(形式1). 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲](1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使A =ksin A ,B =ksin B ,C =ksin C ;(2)C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如B baA sin sin =.此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件.一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形. 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. [例题剖析]【例1】在△ABC 中,已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解:根据三角形内角和定理, C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°; 根据正弦定理,b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中,已知A =20c m ,B =28c m ,A =40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1 c m ).分析:此例题属于B sin A <a <b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解:根据正弦定理,sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9.因为0°<B <180°,所以B ≈64°或B ≈116°.(1)当B ≈64°时,C =180°-(A +B )=180°-(40°+64°)=76°,C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m). (2)当B ≈116°时,C =180°-(A +B )=180°-(40°+116°)=24°,C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一:在△ABC 中,已知A =60,B =50,A =38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解:已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1,∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91. [方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二:在△ABC 中,已知a =28,b =20,A =120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解:∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6, ∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-(A +B )=22°. ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习:1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字), (1)已知C =3,A =45°,B =60°,求B ;(2)已知B =12,A =30°,B =120°,求A .解:(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°,CcB b sin sin =,∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =,∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1): (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°; (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解: (1) ∵B bA a sin sin =.∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1.∴A 1≈65°,A 2≈115°.当A 1≈65°时,C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°,∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22.当A 2≈115°时,C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13.(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b ≈0.505 1,∴B 1≈30°,B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°>180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B <A 知B <A ,故B 应为锐角). ∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38.(3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6.∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B <C ,故B <C ,∴B 2≈139°应舍去. ∴当B =41°时,A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212>1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业(一)课本第10页习题1.1 第1、2题. (二)预习内容:课本P 5~P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿

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20 §3.1 不等关系与不等式 ……………………(39) 21 §3. 2 一元二次不等式及其解法(一)……(41) 22 §3. 2 一元二次不等式及其解法(二)……(43) 23 §3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域…(45) 24 §3.3.2 简单的线性规划问题(一)…………(47) 25 §3.3.2 简单的线性规划问题(二)…………(49) 26 §3.4 基本不等式: ab ≤(a+b)/2(一)……(51) 27 §3.4 基本不等式: ab ≤(a+b)/2(二)……(53) 28 第三章 不等式 复习………………………(55)
解:根据正弦定理, sin C = c sin A = 6 ´ 2 = 3 ,∴ C = 60°或C = 120° .
a
22 2
当 C = 60° 时, B = 180° - ( A + C) = 75° ,
a sin B 2 sin 75o b = sin A = sin 45o
» 2.7(cm) .
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《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲§1.1.2 余弦定理
¤学习目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理的推导过程,理解余弦定理与勾股
定理的关系,并能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. ¤知识要点: 1. 余弦定理(law of cosines):三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
a+b+c
等于( ).
sin A + sin B + sin C
A. 2
B. 1
2
C. 3
D. 3 2
6.(06 年湖北卷.文 11)在 D ABC 中,已知 a = 4 3 ,b=4,A=30°,则 sinB=

高中数学精讲精练讲义-从入门到精通 数列与不等式【数海漫游】

高中数学精讲精练讲义-从入门到精通 数列与不等式【数海漫游】

从入门到精通Chapter1·数列与不等式§1.通项公式➩方法一:构造类等差等比或类某函数进行递推【例1·★☆☆☆☆】已知数列{}n a 满足11a =,()122n n a a n *+=+∈N ,则n a =________.【例2·★★☆☆☆】已知数列{}n a 满足121a a ==,()212n n n a a a n *++=++∈N ,则n a =________.【例3·★★★☆☆】已知数列{}n a 满足11a =,22a =,()()2211n n n a a n a n *++=++∈N ,则n a =________.➫例题解答:【例1·★☆☆☆☆】已知数列{}n a 满足11a =,()122n n a a n *+=+∈N ,则n a =________.解析:()()1112222232322n n n n n n a a a a -++=+==+=⨯⇒=⨯- ,经检验,对1n =也成立.小tip:在求完通项后,带入1,2n =检验通项的正确性,可以提显著提高做题正确率。

【例2·★★☆☆☆】已知数列{}n a 满足121a a ==,()212n n n a a a n *++=++∈N ,则n a =________.解析:首先去掉末尾的2,21222n n n a a a +++=+++,令2n n b a =+,则21n n n b b b ++=+,下面就是很熟悉的斐波那契数列,可以用特征根法,也可以构造等比数列递推:()211111n n n n b b b b λλλ+++⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭,我们希望用等比数列1n n n c b b λ+=-换元,则需要让11512λλλ+=⇒=-(任取一根即可).此时,()()()()()()()12111121111131,nnn n n n n n n b b b b c c c b b λλλλλλλλ+++++-=--⇒=-==-=--=- 则()31nn c λ=-,故()131nn n n c b b λλ+=-=-,这里给到一个累加得小技巧:两边除以1n λ+,得1131nn nn n b b λλλλλ++-⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则()()()1111112113131311111,1211nnn n n n b b λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫-⎪⎡⎤⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+++==-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-则()()()()111113131311312121nn n n n n n b b λλλλλλλλλλλλ---++⎡⎤---⎛⎫⎡⎤=+-⇒=+--⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎢⎥⎣⎦,则1122n n n n a b --=-=--⎝⎭⎝⎭,经检验,对1,2n =也成立.注:亦可以写成3515152522n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛-⎢⎥=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦或其他等价形式.【例3·★★★☆☆】已知数列{}n a 满足11a =,22a =,()()2211n n n a a n a n *++=++∈N ,则n a =________.解析:这题其实更适合用方法四解决,这里先用一个不太自然的方法做出这道题,在方法四中会再次用归纳法解决这道题。

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