点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲

一、课程的教学目的和任务

本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。

二、课程内容及学时分配建议

第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。

1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算）

2.关系、等价关系和映射

3.可数集与不可数集、基数

4.选择公理*

第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。

1. 度量空间

（1）度量空间的定义和例子

（2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

（3）开集的三条基本性质（度量空间的拓扑结构）

2. 拓扑

（1）拓扑空间的定义和例子、邻域及邻域系

（2）聚点、导集、闭包、内部的定义和基本性质

（3）基与子基、相对拓扑与子空间

3. 连续映射

（1）连续映射的定义与刻划

（2）同胚映射

4. 拓扑空间中序列的概念及其收敛性

第三章重要的拓扑性质32学时这一部分内容与分析学的内容有密切的联系，是过去已学知识的系统化并加以推广从而给出更一般，更抽象的形式。良好的分析学基础有助于理解这一部分内容，反之学好这一部分内容不仅可以提高空间的想象能力和逻辑推理能力，而且也为进一步学习其它课程提供必需的基础知识。因此这一部分内容要重点掌握，并且通过重要定理的证明来学习研究拓扑学的方法和证明技巧。但由于课时的限制，可根据学生的具体情况选取最基本的拓扑性质进行讲授。

1. 连通性

（1）连通空间

（2）连通性的某些简单应用

2. 有关可数性公理

（1）第一与第二可数性公理

（2）可分空间

（3）Lindloff空间*

3. 分离性

（1）T0与T1空间、Hausdorff空间

（2）正则空间与正规空间、T3和T4空间

（3）Urysohn引理*、Tietze扩张定理*

4. 紧性*

（1）紧空间的定义与刻划

（2）紧空间的基本性质

（3）紧性与分离性

（4）紧度量空间

三、参考书

[1] 蒲保明等编著.《拓扑学》.高等教育出版社

[2]（美）J.L.Kelly 著.吴从火斤等译《一般拓扑学》.科学出版社

[3] 王戍堂等编著《点集拓扑学原理》.陕西人民出版社

[4] 熊金城《点集拓朴学讲义》.(第二版)高等教育出版社