相对论的速度变换

P =mv
E = mc
2
2
c v= P E
m0c
2 2
2
E = mc =
v 1− 2 c
=
m0c
2 4
1 c 2 1− 2 2 P c E
2 c 2 2 2 4 E 1 − 2 P = m0 c E
28
解得：
2 4 E 2＝ P 2 c 2 + m 0 c
或：
E = ( Pc) + E0
●按相对论，粒子间相互作用时，满足能量守 恒关系：
∑ E = ∑ (m c ) = const
2 i i i i
∑ m = const
i i
说明物质间相互作用时质量守恒。 如原子核反应中质量守恒：
∑m + ∑m = ∑m '+ ∑m
0 k 0
k
'
反应前后静质量和动质量可以相互转化。
23
例：氢弹核聚变反应引起的质能变化
1
2
1 v2 ≈ 1+ 2 2c
m0 2 2 ∴ EK = m0c + v − m0c 2
2
1 2 = m0v 2
●根据 EK = mc − m0 c
2 2
牛顿力学动能公式
=
m0 v 1− 2 c
2
c − m0c
2
2
17
得到粒子速率由动能表示的关系：
−2 E 2 2 v = c 1 − 1 + K 2 m0c
v v dt − dx 1 − u x dx − vdt u x − v c = c dt dx′ = dt dt ′ = = 2 2 1− β 2 1− β 2 1− β 1− β
应用洛伦兹坐标变换得：
dy′ = dy
dz ′ = dz
1
正变换
整理得： 逆变换
ux − v u′ x = v 1 − 2 ux c
9
m=
m0 v 1− 2 c
2
m/ m0
m0
m0 : 静止质量
u/ c
m:
相对论质量（总质量）
v ∼ c, m >> m0; v << c, m m0 . （经典质量概念）
10
例： 宏观物体一般 v =104 m/s，此时：
m − m0 1 1 2 = − 1 ≈ β ≈ 5.6 × 10 − 10 2 m0 1− β 2
●当外力做功使粒子的动能增大时，速率也增 大。但速率的极限是c 。 四、相对论的质、能关系
E K = mc − m 0 c
2
2
18
mc = EK + m0c
2
2
或： 总能
E = EK + E0
动能 静止能
E K = E − E 0 动能为总能和静能之差。
相对论的质、能关系：
E = mc
2
19
讨论
2 2
15
EK = ∫ dEK = ∫
m m0
2 2 = mc − m c c dm 0
2
即相对论动能公式
E K = m c − m0c
2
2
讨论
●当v <<c 时:
v 2 2 则： EK = mc − m0 c = m0 1 + 2 c − m0 c 16 2c
2
2 2
1v = 1+ 2 + 2c v2 1− 2 c
7
曾在美国斯坦福直线加速器中加速电子，加速器 全长2英里，每米加以七百万伏电压。
7 × 106V
7 × 106V
7 × 106V
7 × 106V
依经典理论，电子速度应达到：
v = 8.6 × 10 m/s >> c
10
而实测值为：
v = 0.999,999,9997c < c
牛顿力学须加以修正。
8
m0 1− β 2
v
由牛顿对作用力的定义形式：
dP d F= = (mv ) dt dt
12
d (mv ) dv dm F= =m +v dt dt dt
m = m(v )
dv ◆合外力 F 与加速度 不在同一方向上，相互 dt
也不成正比。
dm 当: v << c, m = m0 , =0 dt dv F = m0 = m0 a 经典力学形式 dt
以上仅一个氘核的反应！ 若2克氘核反应，结果可产生相当于60吨煤燃烧的 能量。
25
例：两个静止质量均为m0的粒子A、B 。以等大反 向的速度相向运动并发生完全非弹性碰撞。相撞后 合在一起成为一个静止质量为M0的粒子。求M0 解：设合成粒子质量为M，速率为V。 根据动量守恒
mB vB + mAv A = MV
●相对论的总能量等于静止能与动能之 和。
●静止能包含了物体所有的总内能，即： 分子的内能、势能、原子的电磁能、质子中子 的结合能等。静止能数量相当可观。 例：一公斤的物体的静止能量：
E0 = m0c 2 = 1× (3 ×108 )2 = 9 ×1016 J
相当于20吨汽油燃烧的能量。 原子弹的爆炸成功正是将静止能量开发出来的 结果。
6
§20-5 狭义相对论动力学基础
（Foundation of Relativistic Dynamic）
一、经典力学的问题： 牛顿力学：质量与速度无关；可以超光速。 设F为恒力，则
a = F /m
v = at
则v → ∞
F
m
t →∞
牛顿力学将导致速度无极限。 而这一结果已被直接的实验事实所否定：
= 0.9c + 0.8c = 1.7c
5
例：S′ 系沿S系X轴以速度v 匀速运动。S′ 系中的光 源发出一光子(光速c)，求S系中测得的该光子的光 速。 c
v
X′
X
解:
∵ u′ = c u′ + v c+v c+v ∴u = = = =c v v c+v 1 + 2 u′ 1 + 2 c c c c
四、狭义相对论的速度变换 在S和S′系中分别测质点P的速度：
ˆ ˆ + uy ˆ u = u xi j + uz k
ˆ′ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′ + + u′ = u′ i u j u k x y z
dx dy dz dx′ dy′ dz′ ux = , u y = , uz = u′ , u′ , u′ x = y = z = dt dt dt dt ′ dt ′ dt ′
二、相对论的质、能关系 ★在相对论中，动量守恒定律仍是一条基本的守 恒定律。且各种物理规律在不同的惯性系中具有 相同的形式。 动量的定义及形式仍然为：
P = mv
为使动量守恒定律的形式在洛仑兹变换下保持不 变，要求质量必须随速度变化。 通过推导，（例如研究粒子的碰撞、分裂等情况 下的动量守恒。）可得出相对论的质、速度关 系：
m ≈ m0
微观粒子速率接近光速，如中子v =0.98c时
m = 5 . 03 m 0
牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似.
11
相对论的质、速关系早在1905就由年考夫曼从放射 性镭放出的高速电子的实验中发现。相对论问世以 后又由多人从实验证实。 相对论动量：
P = mv =
三、相对论动力学方程
13
三、相对论动能 仍用力对粒子作功计算粒子动能的增量，则动能 增量dEK 为
dEK = F ⋅ dr
d (mv ) = ⋅ dr = v ⋅ d ( mv ) dt
v ⋅ d (mv ) = mv ⋅ dv + v ⋅ vdm
= mvdv + v 2 dm
（设粒子初速度为零，所以 v 与 dv 同方向。）
v = 0.8c
u′ x = 0.9c
u′ 0.9c + 0.8c x +v = = 0.99c ux = v 0.8c 1 + 2 u′ 1 + 2 0.9c x c c
4
∴ u x = 0.99c < c
说明在相对论的变换下，物体的运动速度不可能 超过光速c。 而如果按经理论:
u物地 = u物船 + u船地
20
●质量与能量不可分：
∆ E = (∆ m )c
2
(E = mc2 )
★当物体吸收或放出能量时，必定伴随着质量的增 加或减少。 例：核反应中 能量守恒： 得：
m01c 2 + EK 1 = m02c 2 + EK 2
EK 2 − EK1 = (m01 − m02 )c
总动能增量
2
总静止质量减少
21
m '0 = 4.0026u + 1.00867u = 5.01127u
24
∆m0 = 5.02960u − 5.01127u = 0.01823u
∴∆m0 = 3.043 × 10
2
−29
kg
× (3.00 × 10 )
8 2
∆E = ∆mc = 3.043 × 10
−29
= 2.74 × 10−12 J = 1.71× 107 eV
核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损.
定义动质量：mK 则总质量：
= m − m0
m = mK + m0
相对论总质量由静质量和动质量两部分组成. 如光子，其静质量为零， 但具有动质量，所以同样 受到引力的作用。如天文 上观察到的从星体发出的 光因受太阳引力作用发生 偏转而偏离直线传播。
Sun
22
uy 1− β u′ y = v 1 − 2 ux c
uz 1 − β u′ z = v 1 − 2 ux c
2
u′ x +v ux = v 1 + 2 u′ x c
2 ′ uy 1− β uy = v 1 + 2 u′ x c
2
2 ′ uz 1 − β uz = v 1 + 2 u′ x c
2
讨论： ●即使仅在某一个方向上有相对运动，但三个 方向的速度分量都要变换。 ●当：v << c ，过渡到伽利略变换：
∵ mA0 = mB 0
v A = vB
∴ mA = mB
∵ v A = − vB
∴V = 0
M = M0
26
根据能量守恒： 即：
Mc = mAc + mB c = M 0c
2 2 2
2
可见
M0 ＝mA + mB =
2m0 v2 1− 2 c
M
0
M
0
≠ 2m
0
> 2m
0
27
五、相对论的能量动量关系
2 1 3 1 H (氘 ) +1 H (氚 ) = 4 H ( 氦 ) + e 2 0 n (中子)
2.0136u 3.01600u
4.00260u 1.00867u
−27
1u = 1.660 × 10
解：反应前总静止质量
kg
m0 = 2.0136u + 3.01600u = 5.02960u
反应后总静止质量
2 2
2
相对论的动量能量关系式 三者构成直角 三角形。 讨论： 动能为EK的粒子：
Pc
E
E0
EK = E − E0
29
代入前式得： E + 2 Ek m0 c = P c
2 k 2
2 2
∵ EK = (m − m0 )c 2
∴ v << c ⇒ Ek << m0c , 略去 Ek2
2
Ek = P / 2m0
u′ x = ux − v u′ y = uy u′ = u z z
u x = u′ x +v u y = u′ y u = u′ z z
3
例： 一飞船A以0.8c 的速度在地球上空飞行，如果 这时沿飞船的速度方向抛出一物体B，其相对于飞 船的速度为0.9c，问从地球上测得该物体的速度为 多大？ 解：以地球为 S 系，飞船 A为S′ 系，沿正 x方向飞 行。则：
2
回到了牛顿力学。
பைடு நூலகம்
30
14
m=
m0 v 1− 2 c
2 2
2
2 v 2 2 m 1 − 2 = m0 c
m c −m v = m c
2 2
2 2 0
将上式两边求微分:
2 mc dm − 2 mv dm − 2 m vdv = 0
2 2 2
c d m = v d m + m vd v = d E K