n次独立重复试验与二项分布
第63讲 │ n次独立重复试验与二项分布
第63讲 │ 要点探究
P＝P(DE F )＋P(D E F)＋P( D EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋ 0.6×0.5×0.5 ＝0.55. (2)由题意知X可能的取值为0,1,2,3. 又由(1)知 D E F、 D E F 、D E F 是两两互斥事件，且各 盘比赛的结果相互独立． 因此P(X＝0)＝P( D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
[答案] (1)对
(2)对
(3)对
(4)对
[解析] 根据事件独立性的概念可知(1)(2)(3)(4)均正确．
第63讲 │ 问题思考
► 问题3 关于n次独立重复试验和二项分布
(1)n次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立 的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成 功”的概率为p，“失败”的概率为1－p；③各次试验是相互独 立的；(
第63讲 │ 要点探究
变式题 (1)一个箱中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，从
中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的 概率是________． (2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概 率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使 用到四年的概率是________．
X P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15
第63讲 │ 要点探究
因此E(X)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6
[点评]
概率计算的核心环节就是把一个随机事件利
用事件的互斥和相互独立进行合理分拆，这样就能把复杂 事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算．
高三一轮n次独立重复试验与二项分布
(2)求甲投球两次，至少命中1次的概率；
解析：(2)方法一：由题设和(1)知，P(A)＝12，P( A )＝12。 故甲投球两次至少命中1次的概率为1－P( A ·A )＝34。 方法二：由题设和(1)知， P(A)＝12，P( A )＝12。 故甲投球两次至少命中1次的概率为 C12P(A)P( A )＋P(A)P(A)＝34。
(1)求乙投球的命中率p；
解析：(1)方法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B。 由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116， 解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34。 方法二：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B。由题意得： P( B )P( B )＝116， 于是P( B )＝14或P( B )＝－14(舍去)， 故p＝1－P( B )＝34。 所以乙投球的命中率为34。
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列。
解析：(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B4，21
则P(ξ＝k)＝Ck421k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)。故变量ξ的分布列为：
ξ0 123 4
P
1 16
1 4
3 8
1 4
1 16
►名师点拨 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)已知二项分布，求二项分布列。可判断离散型随机变量是否服从二项分布， 再由二项分布列公式求概率，列出分布列。 (2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下概率。依据题设及互斥事件弄清 该情况下所含的所有事项，再结合二项分布公式即可求解。
111 1 A.2 B.4 C.6 D.8
大家有疑问的，可以询问和交流
n次独立重复试验与二项分布
二项分布及其应用1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P (B |A )＝__________.在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ).(2)条件概率具有的性质： ①____________；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________________________________. 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称_______________________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝____________.(3)若A 与B 相互独立，则________，________，________也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则________________． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为________________________(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为____________，记为____________． 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．条件概率条件概率通常是指在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．放在总体情况下看：先求P (A )，P (AB )再求P (B |A )＝P (AB )P (A ).关键是求P (A )和P (AB )．1．已知P (AB )＝320，P (A )＝35，则P (B |A )＝________.2．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是 相互独立的，则灯泡甲亮的概率为.3．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．5．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.12 B.35 C.23 D.34题型一 条件概率例1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 题型二 相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求：(1)两人都击中目标的概率；(2)两人中恰有1人击中目标的概率； (3)在一次射击中，目标被击中的概率； (4)两人中，至多有1人击中目标的概率． 题型三 独立重复试验与二项分布例3 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．探究提高 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．方法与技巧1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立． 3．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，其中p是一次试验中该事件发生的概率．实际上，C k n p k(1－p )n －k正好是二项式[(1－p )＋p ]n的展开式中的第k ＋1项．失误与防范1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件． 2．二项分布要注意确定成功概率．专项基础训练题组 一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.382．(2010·辽宁)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ( )A.12B.512C.14D.163.(2011·湖北)如图，用K 、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且 A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常 工作．已知K 、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720D ．0.576二、填空题4.(2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子 随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子 落在正方形EFGH 内”，B 表示事件 “豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则(1)P(A)=；(2)P(B|A)=.5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 三、解答题7．(2011·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．8．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立． (1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． B 组 专项能力提升题组 一、选择题1.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为 6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ( ) A.164 B.5564 C.18 D.1162．(2010·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＞p 2D ．以上三种情况都有可能3．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( ) A.16625B.96625C.624625D.4625二、填空题4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将 3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为.6．(2010·安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 三、解答题7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．8．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．。
独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布前提 在n 次独立重复试验中字母的含义X 事件A 发生的次数 p每次试验中事件A 发生的概率分布列 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 结论 随机变量X 服从二项分布 记法记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A 发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．( ) (2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．( ) (3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( ) (4)两点分布是二项分布的特殊情形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.80243答案：D任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A.34 B.38 C.13 D.14答案：B设随机变量X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________．答案：13探究点1 独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【解】 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02(1－23)2＝19，P (B 4)＝C 22(34)2＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116.独立重复试验概率求法的三个步骤1.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A －发生k 次的概率为( ) A ．C k n p k(1－p )n －kB ．(1－p )k pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k pn －k解析：选D.由于P (A )＝p ，P (A )＝1－p ，所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C kn (1－p )k pn －k.故选D.2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解：(1)记“预报一次准确”为事件A ， 则P (A )＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×0.25＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P ＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 探究点2 二项分布抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆x 2＋y 2＝16内的次数X 的分布列．【解】 由题意可知，点P 的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x 2＋y 2＝16内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，则点P 在圆x 2＋y 2＝16内的概率为836＝29.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，29， 所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫290×⎝ ⎛⎭⎪⎫793＝343729，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫291×⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝98243，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫292×⎝ ⎛⎭⎪⎫791＝28243，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫293×⎝ ⎛⎭⎪⎫790＝8729.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P34372998243282438729解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．1.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.事件A ＝“正面向上”，发生的次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，由题设得C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C k ＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫125，所以k ＋k ＋1＝5，所以k ＝2.2．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：选 B.质点P 由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P 的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以所求的概率为P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.究点3 二项分布的综合应用袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．【解】 (1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X 可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15，则 P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125(2)则P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715，P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.所以Y 的分布列为Y 0 1 2 P715715115二项分布实际应用问题的解题策略(1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n (试验的次数)和p (事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立． 所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. 且X ～B (4，12)．所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k ＝C k 4(12)4(k ＝0，1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1161438141161．某人投篮一次投进的概率为23，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23的二项分布，记为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，计算P (ξ＝2)＝( ) A.20243 B.8243 C.4729D.427解析：选A.根据二项分布概率的计算公式可得，P (ξ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝20243，故选A.2．一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为8081，则此射手一次射击命中的概率为( )A.13B.23C.14D.25解析：选B.设此射手射击四次命中次数为ξ，一次射击命中的概率为p ，所以ξ～B (4，p )． 依题意可知，P (ξ≥1)＝8081，所以1－P (ξ＝0)＝1－C 04(1－p )4＝8081， 所以(1－p )4＝181，所以p ＝23.3．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A ，则P (A )＝13，恰有2人申请甲片区的概率为P ＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.答案：8274．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A ，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B 1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件， 则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23×(23)2×13×C 03×(12)3＋C 33×(23)3×C 13×(12)3＝16，所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16.知识结构深化拓展1.独立重复试验的基本特征 (1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义[A 基础达标]1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.427D.227解析：选A.记“恰有1次获得通过”为事件A ， 则P (A )＝C 13(13)·(1－13)2＝49.故选A.2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，12)，则P (ξ≤3)等于( )A.1132B.732C.2132D.764 解析：选C.P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06×(12)6＋C 16·(12)6＋C 26·(12)6＋C 36·(12)6＝2132.故选C.3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89解析：选A.当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49×13×23＝827，故选A. 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选C.由1－C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0.9，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<0.1，所以n ≥4. 5． 袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 27×(23)2×(13)5C ．C 57×(13)2×(13)5D ．C 27×(13)2×(23)2解析：选B.由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5，故选 B.6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．解析：对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0，1，2，…，n )的概率P (ξ＝k )＝C k n×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －k，符合二项分布的定义，即有ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n ，P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1，2，3，…，n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫n ，M N . 答案：①③7．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________．解析：X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球． 则P (X ＝5)＝C 24(13)2×(23)2×13＝881.答案：8818．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－(1－13)4＝6581.答案：65819．下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ (1)掷5枚相同的正方体骰子，X 为出现“1点”的骰子数． (2)1 000个新生婴儿，X 为男婴的个数．(3)某产品的次品率为p ，X 为n 个产品中的次品数．(4)女性患色盲的概率为0.25%，X 为任取10个女人中患色盲的人数． 解：(1)X 服从参数为5，16的二项分布，简记为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，16. (2)X 服从参数为1 000，12的二项分布，简记为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000，12.(3)X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．(4)X 服从参数为10，0.25%的二项分布，简记为X ～B (10，0.25%)．10．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且每人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C 表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P (C )． 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为(2)甲队得2由上表可知，甲队得2分，其概率为P (ξ＝2)＝49，乙队得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式得P (C )＝49×518＝1081.[B 能力提升]11．近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族，否则称为非低碳族．数据如下表(计算过程把频率当成概率)：(1)如果甲、乙来自A 2人是低碳族的概率； (2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，试写出X 满足的分布． 解：(1)设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”，P (C )＝C 22·0.52·C 22·0.22＋C 12·0.5×0.5×C 12·0.2×0.8＋C 22·0.52·C 22·0.82＝0.01＋0.16＋0.16＝0.33. 即甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33.(2)设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率P 1＝a ×0.5×（1－20%）2a＝0.32.故低碳族的概率P 2＝1－0.32＝0.68.随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即X ～B (25，0.68)． 12．为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来自沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设． (1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1，2，3.由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立． 则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13， P (C i )＝1060＝16(i ＝1，2，3)．(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P ＝30＋1060＝23.由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－k(k ＝0，1，2，3)． 所以X 的分布列为13.(选做题)如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推，一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12.记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P (n ，m )．(1)求P (4，1)，P (4，2)的值，并猜想P (n ，m )的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3<x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列．解：(1)P (4，1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (4，2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38. 猜想P (n ，m )＝C m －1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)ξ＝3，2，1，P (ξ＝3)＝P (6，1)＋P (6，6)＝116， P (ξ＝2)＝P (6，2)＋P (6，5)＝516， P (ξ＝1)＝P (6，3)＋P (6，4)＝58.故ξ的分布列为ξ 3 2 1 P11651658离散型随机变量及其分布列、 二项分布及其应用(强化练)一、选择题1．下列随机变量X 不服从二项分布的是( )A ．投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两位选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D ．某星期内，每次下载某网站的数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B.选项A ，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数6在每一次试验中概率都为16，每一次试验都是相互独立的，故随机变量X 服从二项分布．选项B ，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布．选项C ，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X 服从二项分布．选项D ，由二项分布的定义，知被感染次数X ～B (n ，0.3)．2．设随机变量X 的分布列如下，则下列各项中正确的是( )A.P (X ＝1.5)＝0 1 C ．P (X <3)＝0.5D ．P (X <0)＝0解析：选A.由分布列知X ＝1.5不能取到，故P (X ＝1.5)＝0，正确；而P (X >－1)＝0.9，P (X <3)＝0.6，P (X <0)＝0.1.故A 正确．3．设随机变量X 的概率分布列如表所示，则P (|X －2|＝1)等于( )A.712B.2C.512D.16解析：选C.由分布列的性质知16＋14＋13＋m ＝1，故m ＝14.又由|X －2|＝1，知X ＝3或X ＝1.所以P (|X －2|＝1)＝P (X ＝3)＋P (X ＝1)＝14＋16＝512.选C.4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16解析：选B.设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品， 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512. 5．盒中有10只螺丝钉，其中3只是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两只，那么在第一只抽取为好的条件下，第二只是坏的概率为( ) A.112 B.13 C.8384 D.184解析：选B.设事件A 为“第一只抽取为好的”，事件B 为“第二只是坏的”，则P (A )＝C 17C 19A 210，P (AB )＝C 17C 13A 210，所以P (B |A )＝13，选 B.6．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为( ) A.119 B.1718 C.419D.217解析：选D.设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P (A |B )．P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220，由公式P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝C 25C 25＋C 15C 115＝1010＋75＝217.故选D.7．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为( ) A.89 B.23 C.13D.19解析：选A.因为师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为P ＝1－C 22(23)2C 22(12)2＝89.故选A.8.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( ) A.13 B.29 C.49D.827解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13. 9．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，13，Y ～B ⎝⎛⎭⎪⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，使P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为( )A ．10B ．20C ．21D ．0解析：选C.根据二项分布的特点，知(x k ，y k )分别为(0，20)，(1，19)，(2，18)，…，(20，0)，共21个，故选C.10．已知随机变量X ～B (20，13)，若使P (X ＝k )的值最大，则k 等于( )A ．5或6B ．6或7C ．7D ．7或8解析：选B.令P （X ＝k ＋1）P （X ＝k ）＝C k ＋120pk ＋1q 20－k －1C k 20p k q 20－k＝20－k 2k ＋2>1， 得k <6，即当k <6时，P (X ＝k ＋1)>P (X ＝k )； 当k ＝6时，P (X ＝7)＝P (X ＝6)； 当k >6时，P (X ＝k ＋1)<P (X ＝k )． 所以P (X ＝6)和P (X ＝7)的值最大，故选B. 二、填空题11．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P (ξ＝6)＝________，P (ξ＝9)＝________． 解析：ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的， 所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，所以P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.答案：715 71512．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为________．解析：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝1127.答案：112713．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮四级以上的风，那么P (B |A )＝________．解析：由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝38.答案：3814．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0) 解析：记事件A 为“种一粒种子，发芽”，则P (A )＝0.8，P (A )＝1－0.8＝0.2.因为每穴种n 粒相当于做了n 次独立重复试验，记事件B 为“每穴至少有一粒种子发芽”，则P (B )＝C 0n 0.80(1－0.8)n ＝0.2n， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－0.2n. 根据题意，得P (B )>98%，即0.2n <0.02. 两边同时取以10为底的对数，得n lg 0.2<lg 0.02，即n (lg 2－1)<lg 2－2，所以n >lg 2－2lg 2－1＝1.699 00.699 0≈2.43.因为n ∈N *，所以n 的最小正整数值为3. 答案：3 三、解答题15．已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为23和34，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．(1)若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；(2)若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解：(1)若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有命中目标的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝112，故至少有一人命中目标的概率为1－112＝1112. (2)若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232·C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫343·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18.16．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(1)从这18(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2.因为P (ξ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (ξ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (ξ＝2)＝C 24C 218＝6153，所以ξ的分布列如下：17.甲、5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3) ＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59.P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29.P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081. P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为18.一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 解：(1)由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P (ξ＝0)＝(1－34)(1－23)(1－12)＝124，P (ξ＝1)＝34(1－23)(1－12)＋(1－34)×23×(1－12)＋(1－34)(1－23)×12＝14， P (ξ＝2)＝34×23×(1－12)＋34×(1－23)×12＋(1－34)×23×12＝1124， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，所以随机变量ξ的分布列为(2)B ， 则P (A )＝14×C 33×(23)3＋1124×C 23×(23)2×(1－23)＋14×C 13×23×(1－23)2＝13.P (AB )＝14×C 13×23×(1－23)2＝118，21P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.。
知识讲解独立重复试验与二项分布
知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。
在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。
要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。
总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n kn n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）． 令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的．．．．．概率为．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=-令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。
要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
n次独立重复试验和二项分布
1．条件概率及其性质
[归纳·知识整合]
条件概率的定义
条件概率的性质
设A、B为两个事件，且
(1)0≤P(B|A)≤1
P(A)>0，称P(B|A)＝
PAB PA
(2)如果B和C是两个互
为在事件A发生条件下，事 斥事件，则P(B∪C|A)
件B发生的条件概率
＝ P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性 (1)定义：设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)， 则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B) ，P(A|B)＝ P(A)，P(AB)＝ P(A)P(B) ． ②如果事件A与B相互独立，那么 A与 B ， A 与B ， A 与 B 也相互独立．
P2＝P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋P( A ·B·C)＋P(A·B·C)
＝110×110×25＋110×190×35＋190×110×35＋110×110×35＝55090.
—————
————————————
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
∴X的分布列为：
X4
3
2
1
0
P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
—————
————————————
二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 n(Ω)＝A25＝20； 根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12； 于是P(A)＝nnΩA＝2102＝35.
第八节 n次独立重复试验与二项分布-高考状元之路
第八节 n 次独立重复试验与二项分布预习设计 基础备考知识梳理1．条件概率及其性质2．事件的相互独立性(1)设A 、B 为两个事件，如果P(AB)= 则称事件A 与事件B 相互独立．(2)如果事件A 与B 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．3．独立重复试验 在 条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验4．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为==)(k X P ).,,2,1,0(n k =此时称随机变量X 服从二项分布，记作 并称 为成功概率，典题热身1．一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为,8180则此射手的命中率为( ) 31.A 32.B 41.c 52.D 答案：B2．小王通过英语听力测试的概率是,31他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是 ( ) 94.A 92.B 274.c 272.D 答案：A3．设10件产品中有4件不合格，从中任意取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是 ( )2.0.A3.0.B4.0.C5.0.D答案：A4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为,8165则事件A 在1次试验中出现的概率为 答案：315．有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是,21乙能解决的概率为,31两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为 ，问题得到解决的概率为 答案：31 32 课堂设计 方法备考题型一 条件概率问题【例1】1号箱中有两个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从l 号箱中取出一球放入2号箱, 然后从2号箱随机取出一球，问：从2号箱取出红球的概率是多少？题型二 事件的相互独立性【例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球两次均未命中的概率为⋅161 (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球两次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球两次，求两人共命中两次的概率，题型三 独立重复试验【例3】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是32和⋅43假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率．(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标两次且乙恰好击中目标3次的概率．(3)假设某人连续两次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？题型四 二项分布及其应用【例4】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是⋅31(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；(2)设y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y 的分布列；（3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．技法巧点(1)古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为,)()()()()|(A n AB n A P AB p A B p ==其中，在实际应用中=)|(A B P )()(A n AB n 是一种重要的求条件概率的方法． (2)运用公式)()()(B p A p AB p =时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．(3)在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n P P C k X P --==)1()(,,,2,1,0,n k =其中p 是一次试验中该事件发生的概率．实际上，k n k k n P P C --)1(正好是二项式nP P ])1[(+-的展开式中的第1+k 项．失误防范1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件．2．二项分布要注意确定成功概率．随堂反馈1．某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问它能活到25岁的概率为 ( )41.A 21.B 43.c 31.D 答案：B2．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为,32则甲以3:1的比分获胜的概率为 ( ) 278.A 8164.B 94.c 98.D 答案：A3．甲、乙两人同时报考一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则至少有一人被录取的概率为 ( )12.0.A 42.0.B 46.0.c 88.0.D答案：D4．(2010．重庆高考)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为,681691701、、 且各道工序互不响，则加工出来的零件的次品率为 答案：7035．设随机变量),,4(~),,2(~P B Y P B X 若,95)1(=≥X P 则)2(≥y p 的值为 答案：2711 高效作业 技能备考一、选择题1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,54那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 ( ) 12512.A 12516.B 12548.c 12596.D 答案：C2．(2011．辽宁高考)从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则=)|(A B P ( )81.A 41.B 52.c 21.D 答案：B3．（2007．山东）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是,21质点P 移动五次后位于点(2，3)的概率是 ( ) 5)21(⋅A 525)21(.C B 33)21(.s c c 5152)21(.C C D s 答案：B4．（2011．湖北高考）已知随机变量ξ服从正态分布,2(N ),2δ且,8.0)4(=<ξP 则=<<)20(ξP ( )6.0.A 4.0.B 3.0.C 2.0.D答案：C5．(2011.山东济宁模拟)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列=n n a a :}{⎩⎨⎧-),(,1,(,1次摸取白球第次摸取红球）第n n 如果n s 为数列}{n a 的前n 项和，那么37=s 的概率为( )5257)32()31(.⋅c A 5227)31()32(.⋅C B 5257)31()31(.⋅C c 2237)32()31(.⋅C D 答案：B6．从甲袋内摸出1个红球的概率是,31从乙袋内摸出1个红球的概率是,21从两袋内各摸出1个球，则32 是 ( )A ．两个球不都是红球的概率B ．两个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．两个球中恰好有1个红球的概率答案：C二、填空题7．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为,103在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为,21事件A 发生的概率为 答案：538．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为答案：0.729．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 (精确到0. Ol)答案：0.94三、解答题10.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,111,101,91且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X 的分布列．11．（2011．南昌模拟）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记e 为3人中参加过培训的人数，求e 的分布列．12．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是,21构造数列},{n a 使⎩⎨⎧-=,1.(1）（当第ｎ次出现反面时，当第ｎ次出现正面时）n a 记+=1a s n *)(2N n a a n ∈++(1)求28=s 时的概率；(2)求02=/S 且28=s 时的概率．。
独立重复试验与二项分布(1)
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
数学运用
填写下列表格：
姚明投中 次数X 相应的 概率P
0
1
2
3
4
与二项式定 理有联系吗?
n k
随机变量X的分布列:
P( X k ) C p (1 p)
k n k
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
记为X
B （n,p)
例题讲解：
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和A1 A2 A3 彼此互斥，由概率加法公式 得
P(B1 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) q2 p q2 p q2 p 3q2 p
探究
投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次 针尖向上的概率是多少？
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用 Ai (i 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件，用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件，则 B ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ).
P(B1 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 3q2 p,
P(B2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 3qp2 ,
P(B3 ) P( A1 A2 A3 ) p3.
例1：在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的 投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁 的概率为0.6，试问3个投保人中： （1）全部活到65岁的概率； （2）有2个活到65岁的概率； （3）有1个活到65岁的概率。
n次独立重复试验与二项分布
(3)相互独立事件就是互斥事件．
()
(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－ p)n－k，k＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复
试验中事件 A 发生的次数的概率分布．
()
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
返回
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第
A∩B 也可以记成 AB)
个互斥事件，则 P(B
类似地，当 P(A)>0 时，A 发生时 B 发生的条件 ∪C|A)＝ P(B|A)＋
PAB
P(C|A)
概率为 P(B|A)＝ PA
返回
2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事
件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B) ，P(A|B)＝P(A)，
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝120＝14. 5
法二：(基本事件法)取到的 2 个数之和为偶数基本事件数 n(A) ＝C23＋C22＝4，在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事
件数 n(AB)＝1，则 P(B|A)＝nnAAB＝14. 答案：B
返回 2．某盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不放回地
依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也
取到新球的概率为
()
3
5
1
2
A.5
B.9
C.10
D.5
解析：第一次摸出新球记为事件 A，则 P(A)＝35，
第二次取到新球记为事件 B，则 P(AB)＝CC21260＝1
n 次独立重复试验及二项分布
《第八讲n次独立重复试验与二项分布》教学设计（初稿）C ．15D ．120做题方法： 条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )．这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A )．考点二 相互独立事件——多维探究 角度1 相互独立事件同时发生的概率例2 (1)(2022·石家庄质检)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0．8，乙解决这个问题的概率是0．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0．48B ．0．52C ．0．8D ．0．92(2)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是___．(3)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．①求P(X＝2)；②求事件“X＝4且甲获胜”的概率．角度2与相互独立事件相关的数学期望例3(2022·内蒙古包头调研)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲、乙、丙需要调整的概率分别为0．1,0．3,0．4，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件甲、乙中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．做题方法：求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点三独立重复试验的概率与二项分布——师生共研例4(1)(2022·“四省八校”联考)已知随机变量ξ服从二项分布B(n，p)，若E(ξ)＝12，D(ξ)＝3，则n＝____．(2)(2021·山东枣庄期末)2020年是不平凡的一年，世界经济都不同程度地受到疫情的影响．某公司为了促进产品销售，计划从2020年11月起到2021年2月底，利用四个月的时间，开展产品宣传促销活动，为了激励员工，拟制定如下激励措施：从2020年11月1日开始，全部销售员工的销售业绩等级定为0级，每月考核一次，若员工A ．4B ．5C ．6D ．73．(2022·甘肃嘉峪关一中模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A ．25B ．35C ．18125D ．541254．(2022·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．165．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝⎛⎭⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×496．(2022·江苏镇江八校期中联考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以31的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481C ．49D ．897．(2022·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )A ．313B ．413C ．14D ．158．(2021·河南新乡市二模)某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为( )各局比赛结果相互独立，则甲队以32获胜的概率是 .三、解答题14．(2022·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是12，乙、丙两人同时投进的概率是320，甲、丙两人同时投不进的概率是15，且三人各自能否投进相互独立．(1)求乙、丙两人各自投进的概率；(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．15．(2022·陕西汉中质检)清华大学自主招生考试题中要求考生从A ，B ，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A ，B ，C 三题答卷如下表：题 A B C 答卷数180300120(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B ，C 题作答的答卷中各抽出的多少份？(2)测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望E (X )．B 组能力提升（选做题）1．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率均为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为 .2．(2020·天津和平区期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16，现有3名同学独立地从中任取一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为( )A ．136B ．112C ．16D ．133．(2021·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )。
n次独立重复试验及二项分布
n次独立重复试验及二项分布一基础知识1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)(P(A)＞0).(2)条件概率的性质①非负性：0≤P(B|A)≤1；②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).2.相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.(2)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).(5)一般地，如果事件A1，A2，…，A n(n＞2，n∈N*)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)·…·P(A n).互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.考点一条件概率[典例精析](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝_______.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.[解析](1)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.(2)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.[答案] (1)6091 12 (2)14[题组训练]1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25.答案：252.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A 2535＝12.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.答案：12考点二 相互独立事件的概率[典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.[解析] (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128. [答案] (1)0.31 (2)0.128 [变式发散]1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________. 解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08. 答案：0.046 082.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.解析：依题意，设答对的事件为A ，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104. 答案：0.104[题组训练]1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A ，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B ，且A ，B 相互独立.依题意，P (A )＝1－13＝23，P (B )＝1－14＝34，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12.又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P (AB )＝1－12＝12.答案：122.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝)211(-×)311(-×)411(-＝14，P (X ＝1)＝12×)311(-×)411(-)411(-＋)211(-×13×)411(-＋)211(-×)311(-×14＝1124，P (X ＝2)＝)211(-×13×14＋12×)311(-×14＋12×13×)411(-＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.考点三 独立重复试验与二项分布[典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)， 所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝)53(4＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×)53(3＝216625，P (X ＝2)＝C 24×)52(2×)53(2＝216625，P (X ＝3)＝C 34×)52(3×35＝96625，P (X ＝4)＝)52(4＝16625. 所以X 的分布列为[题组训练]1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6 解析：选D 甲命中一次的概率为C 12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C 12×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.057 6.2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×)21(1×)211(-2＝38，P (X ＝20)＝C 23×)21(2×)211(-1＝38， P (X ＝100)＝)21(3＝18，P (X ＝－200)＝)211(-3＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－)81(3＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512.[课时跟踪检测]A 级 1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A.23B.12C.34D.14解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×)21(2×12＋C 33×)21(3＝3×18＋18＝12.2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：30天以上的概率为( )A.1316B.2764C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23)43(2×14＋)43(3＝2732. 3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝24108＝29. 4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( )A.14，59B.14，49C.15，59D.15，49 解析：选A 由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59.5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－2)62(＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532. 6.设由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则P (A |B )＝________.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P (B )＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率P (AB )＝12×12＝14，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1412＝12.答案：127.事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝______，P (A B )＝______.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (B )＝16， ①P (B )·P (C )＝18， ②P (A )·P (B )·P (C )＝18， ③由③÷①得P (C )＝34，所以P (C )＝1－P (C )＝1－34＝14.将P (C )＝14代入②得P (B )＝12，所以P (B )＝1－P (B )＝12，由①可得P (A )＝13，所以P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝13. 答案：12 138.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B )41,5(，即有P (ξ＝k )＝C k 5k )41(×)43(5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45)41(4×)43(1＝151 024. 答案：151 0249.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.解：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275. (2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)3－k ，k ＝0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？ 解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”.由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)＝C 44)32(4＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581. 所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×)32(2×)321(-2＝827，P (B 2)＝C 34)43(3×)431(-1＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18. 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)， 则A 3＝D 5D 4D 3(D 2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D 2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×)41411(⨯-＝451 024. 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.B 级1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45 B.)95(3×49 C.35×14 D.C 14×)95(3×49 解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为)95(3×49.2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：选D 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79. 3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 解析：由题意得该产品能销售的概率为)611(-)1011(-＝34.易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B )43,4(，所以P (ξ＝k )＝C k 4)43(k )41(4－k， 所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝C 24)43(2)41(2＝27128，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝C 34)43(3)41(1＝2764， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝C 44)43(4)41(0＝81256， 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.答案：2432564.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率； (2)假设该市高一学生的体重X 服从正态分布N (57，σ2).①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg 之间的人数为Y ，利用(1)的结论，求Y 的分布列.解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg 的频率为(0.04＋0.01)×5＝14，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg 的概率为14.(2)①∵X ～N (57，σ2)，由(1)知P (X ＞60)＝14，∴P (X ＜54)＝14，∴P (54＜X ＜60)＝1－2×14＝12，∴P (54＜X ＜57)＝12×12＝14，即高一某个学生体重介于54～57 kg 之间的概率为14.②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验， 其中体重介于54～57 kg 之间的人数Y ～B )41,3(，其中P (Y ＝i )＝C i 3)41(i )43(3－i ，i ＝0,1,2,3.∴Y 的分布列为5.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 04C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 06C 410＝1210， 故ξ的分布列为(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足X ～B )52,10(，可知P (X ＝k )＝C k 10)52(k ·)53(10－k (k ＝0,1,2,3，…，10). 由⎩⎨⎧ C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫25k ＋1⎝⎛⎭⎫359－k ，C k 10⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫3510－k ≥C k －110⎝⎛⎭⎫25k －1⎝⎛⎭⎫3511－k ，解得175≤k ≤225.又k ∈N *，所以当k ＝4时概率最大，故k ＝4.。
高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目(附答案)
高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目（附答案）(1)n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．一、n次独立重复试验1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.∴所求概率为1－0.006 72＝0.993 28≈0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴所求概率为C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.故5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.注：(1)运用n次独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．(2)解决实际问题时往往需要把所求概率的事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验．2．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C 23×0.72×(1－0.7)≈0.44. (2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C 23×0.72×(1－0.7)]×[C 23×0.62×(1－0.6)]≈0.19.答案：(1)0.44 (2)0.193．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582 B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582 解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P (ξ＝12)＝C 911·⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 4．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.4625 C.624625 D.96625解析：选D 依题意得获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸出的两个球中有标号为4的球时，两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两个球的标号为2,6)，因此所求概率为C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝96625.故选D.5．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )A ．C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25 B ．C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355C ．C 45×⎝⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355D ．1－C 35×⎝⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫252解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道题”两种情形．故所求概率为C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355. 6．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2，3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625. 答案：625二、二项分布1．加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为910，89，78，且各道工序互不影响，(1)加工一个零件是否是独立重复事件？求该零件的合格率；(2)从该种零件中任取3件，恰好取到X 件合格品，X 是否服从二项分布？ (3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率．解：(1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此不是独立重复试验．由事件的独立性知，该种零件的合格率P ＝910×89×78＝710.(2)从该种零件中任取3件，相当于3次独立重复试验，恰好取到X 件合格品，即随机变量X 的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X 服从二项分布．(3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率P (X ＝1)＝C 13×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＝0.189. 注:利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.所以P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率． 解: (1)第三个路口首次遇到红灯，表示前2个路口是绿灯，第3个路口是红灯．(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2次红灯．(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481. 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89. 注：(1)二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．4．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，求发生险情时，下列事件的概率．(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警．解：令X为发生险情时3台报警器报警的台数，那么X～B(3,0.9)，则X的分布列为P(X＝k)＝C k30.9k(1－0.9)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)3台都未报警的概率P(X＝0)＝C03×0.90×0.13＝0.001；(2)恰有1台报警的概率P(X＝1)＝C13×0.91×0.12＝0.027；(3)恰有2台报警的概率P(X＝2)＝C23×0.92×0.1＝0.243；(4)3台都报警的概率P(X＝3)＝C33×0.93×0.10＝0.729；(5)至少有2台报警的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972；(6)至少有1台报警的概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.5．下列随机变量X不服从二项分布的是()A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X ～B (n,0.3)．6．将一枚硬币连掷7次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由题意，知C k 7⎝⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k ＝C k ＋17⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k －1，∴C k 7＝C k ＋17，∴k ＋(k ＋1)＝7，∴k ＝3.7．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．解：由题意ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125. 所以随机变量ξ的分布列为8．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)解析：选A 由题意，知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，所以0.4≤p <1，故选A.9．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B 因为随机变量ξ～B (2，p ) ，所以P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133·⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝1127.故选B. 10.如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一名儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a ，b )(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列．解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A ，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13. ∴某个家庭获奖的概率为13.(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13.∴P (X ＝0)＝C 05×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243， P (X ＝1)＝C 15×⎝⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243， P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243，P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243，P (X ＝4)＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243，P (X ＝5)＝C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫135×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1243.∴X 的分布列为1．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p )n ，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，则X ＝3的概率为( )A.6581B.2527C.827D.79解析：选C 已知a 1＝1，要使X ＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P (X ＝3)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.3．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为728729，则该班的男生人数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6解析：选A 设每个小组抽一名同学为男生的概率为p ，则由已知得1－(1－p )6＝728729，即(1－p )6＝1729，解得p ＝23，所以每个小组有6×23＝4名男生，该班共有4×6＝24名男生．4．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59解析：选B 取球次数X 是一个随机变量，X ＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A 表示“取出的1个球是白球”，则P (A )＝C 14C 19＝49，P (A －)＝1－49＝59，故P (X ＝4)＝P (A －A －A －A )＝[P (A －)]3·P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.5．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49. 答案：496．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，13，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，下面关于P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为________．解析：根据二项分布的特点可知，(x k ，y k )分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．答案：217．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1101⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝7291 000，所以随机变量ξ的概率分布列为8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A ，B相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34.(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，则P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581. (2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫343·14＝18. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝16243.。
独立重复试验与二项分布
解析
(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件
是一等品分别为事件 A，B，C， 则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至 少有一件一等品的概率为 P1＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意 地抽取一件检验，它是一等品的概率为 2×0.7＋0.6＋0.8 P2＝ ＝0.7. 4
1.独立重复试验的判断 (1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验 是相互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2.二项分布的判断 (1)在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一． (2)事件A在每次试验中，发生的概率相同． (3)试验重复地进行了n次(n≥2)，且每次试验结果互不 影响．
3.二项分布问题 (1)随机变量 X 服从二项分布，则 X 的分布列为： X P 0
0 n C0 np q
1
1 n －1 C1 p n q
„ „
k
k n－k Ck p n q
„ „
n
0
n
n 0 Cn np q
(2)由于 Cnp q
k k n－k
k k n－k
恰好是二项展开式(p＋q) ＝Cnp q ＋Cnp q ＋„
由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 8 P(ξ＝0)＝P(A2)＝ ， 27 40 P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝81， 17 P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝ .
题型一
高考数学一轮总复习课件：n次独立重复试验与二项分布
【解析】 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地
译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝
1 3
，P(B)
＝14.
(1)“2 个人都译出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝13×14＝112.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝1－131－14＝12..3
B.7 C.3 D.4
【解析】
由题意知，P(A)＝
C32＋C42 C72
＝
3 7
，P(AB)＝
C42 C72
＝
2 7
，
2 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝73＝23.故选C.
7
题型二 相互独立事件的概率
例2 甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码 的概率分别为13和14，求：
作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学
生做对第二问的概率为( A )
A．0.9
B．0.8
C．0.72
D．0.576
【解析】 P＝7820＝0.9，选A.
(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不
放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后， 4
第二次再次取到不合格品的概率为___9_9____． 【解析】 方法一：设A＝{第一次取到不合格品}， B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝CC150202， 5×4 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝100× 5 99＝949. 100
(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出
密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：
7 第7讲 n次独立重复试验与二项分布
第7讲 n 次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 2．独立重复试验与二项分布独立重复试验 二项分布定 义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率 计 算 公 式用A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n ) ＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n )[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )答案：(1)× (2)× (3)× [教材衍化]1．(选修2-3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为AB ＋AB ，所以P (AB ＋AB )＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.382．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12[易错纠偏](1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误； (2)独立重复试验公式应用错误．1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45，23，在操作考试中“合格”的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为45×12＝25，乙获得“合格证书”的概率是23×56＝59，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是25×⎝⎛⎭⎫1－59＋⎝⎛⎭⎫1－25×59＝2345. 答案：23452．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－123＝516.答案：516相互独立事件的概率(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P14112414124(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.独立重复试验与二项分布(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． ②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】 (1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C 26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625.故填96625.(2)①X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为 X 10 20 100 －200 P38381818i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56 B.45 C.3132D.12解析：选C.因为函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4.因为X 服从X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132. 2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲每次投进的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B (6，23)，P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P1729424320243160729802436424364729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[基础题组练]1．(2020·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭⎫P ≥1516，则n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.由题意得P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n≥1516，则⎝⎛⎭⎫12n≤116，所以n ≥4，故n 的最小值为4. 2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.3．(2020·绍兴调研)设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127. 4．(2020·杭州七校联考)如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法． 因为P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410， 经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)， 故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是( )A.13B.23C.887900D.899900解析：选D.设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2；B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45，则至少有1棵大树成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)＝1－⎝⎛⎭⎫162×⎝⎛⎭⎫152＝899900.6.如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开和关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． 解析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AC B －，且A ，B －，C 之间彼此独立，P (A )＝P (B －)＝P (C )＝12.所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.答案：187．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数1040805020在30天以上的概率为____________．解析：由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732.答案：27328．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用X 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243. 答案：102439．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. X 的分布列为10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13.某小组为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状与上次用药无关．(1)若出现A 症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．解：(1)法一：记试验持续i 天为事件A i ，i ＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B ，易知P (A 1)＝13，P (A 2)＝23×13，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13，P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫233×13，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝6581.法二：记试验至多持续一个周期为事件B ，则B －为试验持续超过一个周期，易知P (B －)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，所以P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)随机变量η的所有可能取值为1，2， P (η＝1)＝C 34⎝⎛⎭⎫133·23＋⎝⎛⎭⎫134＝19，P (η＝2)＝1－19＝89，所以η的分布列为1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．(1)求恰有2人选修物理的概率； (2)求学生选修科目个数ξ的分布列．解：(1)这是等可能性事件的概率计算问题． 法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式C 24·22种， 从而恰有2人选修物理的概率为C 24·2234＝827.法二：设每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“选修物理”为事件A ，则P (A )＝13，从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为P ＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1，2，3，P (ξ＝1)＝334＝127；P (ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427；P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49； 综上知，ξ的分布列为趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ·⎝⎛⎭⎫234－i. (1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时，P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时， P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896. 所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．。
独立重复试验与二项分布
C180 0.88 1 0.8 108 C190 0.89 1 0.8 109
C10 10
0.810
1 0.8
1010
0.68
(3) 设至少投篮n次保证命中的概率大于0.99
P命 中 1 P X 0 1 (1 0.8)n 1 0.2n 0.99
n 2.86 故至 少 投篮 3次.
【思维总结】 解答此类题目，首先分析随机变 量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用 P(X=k)＝Cknpk·(1－p)n－k 计算即可．
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. (2)重复性,即试验独立重复地进行了n次. (3)随机变量是事件发生的次数.
P(X
k
)
C
k n
p
k
(1
p)nk ,k
0,1, 2, ..., n.
展开式中的第 k 1 项.
此时称随机变量X服从参数为n,p二项分布，记作X~B(n,p)
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P(B) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 1 P(X 0) P( X 4) P( X 5)
＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024
＝0.92224．
2.3独立重复试验与二项分布(二)
2、二项分布： 、二项分布：
一般地， 次独立重复试验中， 一般地，在n次独立重复试验中，设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p， 次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为 ，那么 次独立重复试验中， 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生
k n C M C N−−kM P (ξ = k ) = ( k = 0,1, 2,L , m ) (其中 m = min( M , n) 其中 n CN
服从超几何分布. 则 ξ 服从超几何分布
解:(1)x∽B(5,1/3),x的分布列为 :(1)x∽B(5,1/3),x的分布列为
1 k 2 5−k P(x=k)= P(x= )= C ( ) ( ), k=0,1,2,3,4,5. 3 3
k 5
(2)所求的概率 所求的概率:P(x≥1)=1-P(x=0)=1-32/243 所求的概率 =211/243.
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 ξ ∼ Β(1, p) ．
2．一个袋中放有 M 个红球，( N − M )个白球，从袋中取 n ．一个袋中放 个红球， 个白球， 个白球 从袋中取 个球， 个球，记下红球的个数 ξ . M 如果是有放回地取， ⑴如果是有放回地取，则 ξ ∼ B( n, ) N 如果是从袋中任 从袋中任取 个球, ⑵如果是从袋中任取 n个球
例1（05，北京）甲乙两人各进行 次射击，甲每次击中目 次射击， ，北京）甲乙两人各进行3次射击
次的概率； （1）甲恰好击中目标 次的概率； ）甲恰好击中目标2次的概率 次的概率； （2）乙至少击中目标 次的概率； ）乙至少击中目标2次的概率 次的概率； （3）甲恰好比乙多击中目标 次的概率； ）甲恰好比乙多击中目标2次的概率 （4）甲、乙两人共击中 次的概率。 乙两人共击中5次的概率 次的概率。 ） 分析：（ ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件 次为事件A， 分析：（3）设甲恰比乙多击中目标 次为事件 ， ：（ 甲恰击中目标2次且乙恰击中目标 次为事件B 次且乙恰击中目标0次为事件 甲恰击中目标 次且乙恰击中目标 次为事件 1， 次为事件B 甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件 2， 次且乙恰击中目标 次为事件 为互斥事件． 则A＝B1＋B2， B1，B2为互斥事件． ＝
第七节 n次独立重复试验与二项分布
一年内出险次数 0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%
的概率.
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解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则
事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=
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1-1 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨 天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件 下,乙市也为雨天的概率为 ( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66 答案 A 将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B,
0.55.
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事
件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)
=P(B),故P(B|A)= P(AB)= P(B)= 0.15= 3 .因此所求概率为 3 .
P(A) P( A) 0.55 11
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3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立 的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发 生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事
件A发生的概率为p,则P(X=k)= Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) ,此时称随
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二项分布及其应用1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P (B |A )＝__________.在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质： ①____________；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________________________________. 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称_______________________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝____________.(3)若A 与B 相互独立，则________，________，________也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则________________． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为________________________(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为____________，记为____________． 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．条件概率条件概率通常是指在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．放在总体情况下看：先求P (A )，P (AB )再求P (B |A )＝P (AB )P (A ).关键是求P (A )和P (AB )．1．已知P (AB )＝320，P (A )＝35，则P (B |A )＝________.2．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关， 每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 .3．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．4．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．5．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12B.35C.23D.34题型一 条件概率例1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 题型二 相互独立事件的概率例2甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)两人中恰有1人击中目标的概率； (3)在一次射击中，目标被击中的概率； (4)两人中，至多有1人击中目标的概率． 题型三 独立重复试验与二项分布例3某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．探究提高 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．方法与技巧1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A)，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，其中p 是一次试验中该事件发生的概率．实际上，C k n p k(1－p)n－k正好是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．失误与防范1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．2．二项分布要注意确定成功概率．专项基础训练题组 一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.382．(2010·辽宁)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.163.(2011·湖北)如图，用K 、A1、A2三类不同 的元件连接成一个系统．当K 正常工作且 A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常 工作．已知K 、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720D ．0.576二、填空题4.(2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心， 半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子 随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子 落在正方形EFGH 内”，B 表示事件 “豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则(1)P(A)= ；(2)P(B|A)= .5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 三、解答题7．(2011·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种 保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．8．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立． (1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． B 组 专项能力提升题组一、选择题1.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为 6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独 立的，则灯亮的概率是 ( ) A.164 B.5564 C.18 D.1162．(2010·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＞p 2D ．以上三种情况都有可能3．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( ) A.16625B.96625C.624625D.4625二、填空题4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________． 5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的 入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将 3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为 .6．(2010·安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 三、解答题7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．8．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．。