Q-方程,弹性散射运动学lec16

22.101 应用核物理学（2004年秋）

第16讲 (11/12/04)

中子与物质相互作用：Q方程，弹性散射

参考书目：

R. D. Evan, Atomic Nucleus (McGraw-Hill New York, 1955), Chap. 12.

W. E. Meyerhof, Elements of Nuclear Physics (McGraw-Hill, New York, 1967), Sec. 3.3.

由于中子不带电荷，所以它很容易进入到原子核内部并且发生反应。中子主要与原子中的原子核发生相互作用，在特殊情况下会发生磁散射，磁散射过程所发生的相互作用与中子自旋以及原子磁矩有关。由于本课程不涉及磁散射的内容，所以我们可以忽略中子与电子之间的相互作用，认为原子和原子核与中子的作用是相同的。任何能量的中子都能与原子发生反应，所以我们必须对相互作用截面随能量的变化给予足够的重视。核反应堆产生的中子所带有的能量

3−710 数量级的跨度。从10eV（1 meV）到10eV（10 MeV）不等，这就意味着中子的能量有10

对于一个特定的能量区域，如热能区、超热能区、共振能区、快中子能区，并不是所有可能发生的反应都同等重要。一个反应是否重要取决于靶核的种类以及中子的能量。核反应种类很多，按照理论上从简单到复杂，重要的核反应一般包括：

(n,n)——弹性散射。其中包含两个过程：势散射和共振散射。势散射是中子在原子核表面与其发生的相互作用（并未穿透原子核），类似于两个台球的碰撞。而共振散射与复合核的形成与衰变有关。

(n,γ)——辐射俘获。

(n,n’)——非弹性散射。这种反应涉及到核能级的激发。

(n,p)，(n,α)，……——发射带电粒子。

(n,f)——裂变。

如果我们对裂变反应堆感兴趣，那么反应堆中发生的反应按重要性大小的次序排列是裂变、俘获（在核燃料及其它反应堆材料中）、散射（弹性和非弹性）、裂变产物发生的β衰变，后者与中子发射以及热能的产生过程有关。本章中我们主要学习弹性散射（势散射）。其它与复合核的形成相关的反应，将会在本学期结束前作简要讨论。

Q 方程

考虑如图15.1所示的核反应，一个入射粒子（标记为粒子1）撞击一个靶核（2），从而导致出射粒子（3）的发射以及剩余核（4）的反冲。

图15.1 入射粒子1和处于静止的靶核2发生两体碰撞，产生沿θ角出射的粒子3，

并导致剩余核4 发生反冲。

为便于计算与分析，假设靶核2是静止的，即E 2＝0 。通常这种近似是正确的，这是因为当靶处于室温条件下，其动能E 2 是0.025 eV ，除非入射中子处于热能区，否则其动能E 1的值远大于

E 2的值。

我们将通过系统总能量守恒以及动量守恒，并利用非相对论运动学建立起出射能量E 3与出射角度θ的关系式，

)()()(24423322211c M E c M E c M c M E +++=++ (15.1)

431p p p G G G += (15.2)

动量守恒还可以写成

23124)(p p p G G −=

44312

3212cos 2E M p p p p =−+=θ (15.3)

而反应能为

24321)(c M M M M Q −−+= 143E E E −+= (15.4)

可以得到

θcos 21131314411433E E M M M M M E M M E Q −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+= (15.5)

上式称为Q 方程。注意到能量E i 和角度θ 是实验室坐标系（LCS ）中的物理量，而Q 值却与坐标系无关（因为Q 是以质量为变量的表达式，而质量又是与坐标系无关联的量）。一种典型的情况就是，当入射能量和各粒子的质量全部已知时（因此Q 值也相应得出），人们往往会根据已知的cos θ值利用（15.5）式求解能量E 3的值，或反之。

等式(15.5)实际上并不是决定Q 值的方程，因为人们必须事先知道反应中的四个粒子以及它们的静止质量才可进行求解。在这种情况下，人们可以通过解方程(15.5)来得到哪个量呢？我们可以把Q 方程看作是在任何两体碰撞问题中连接12个自由度（速度分量）的关系式，在这种两体碰撞问题中，两个粒子（作为反应物）发生碰撞产生另外两个粒子（作为反应产物）。当四个粒子的速度（共12个自由度，每个速度有3个自由度）确定下来时，这个问题就完全确定了。并非每一个自由度都是我们所感兴趣的变量，这一点是毫无疑问的。首先，入射粒子的入射方向和能量始终是给定的，因此就可以解除3个自由度。其次，由于人们习惯于将靶核看作是静止的，所以另外3个自由度也被解除。因为在任何碰撞中都遵守能量守恒以及动量守恒（由于动量和能量是相关联的，这相当于3个已知条件），所以在这个问题里就只剩下3个自由度了。如果进一步假设出射粒子（粒子3）的出射方向是方位角对称的（也就是说，出射粒子的速度与方位角φ无关），那么就只剩下2个自由度了。这也就意味着，只需要确定一个自由度，碰撞的结果就会完全确定下来。那么选用哪个作为变量呢？由于我们通常对出射粒子的能量和方向感兴趣，所以选择E 3或者散射角θ作为最后一个变量。换句话说，如果我们知道E 3或者θ的值，那么有关碰撞的其它任何量（能量和方向）都会确定下来。因此，很自然地把（15.5）式转变成E 3与θ之间的关系式。

上面是我们利用非相对论公式对运动学进行的描述。为了将（15.5）式转变成相对论Q 方程，我们只需要用有效质量来代替静止质量，，并且用表达式代替。对于光子，我们取。

22/c T M M i i eff i +=222/2c T MT p +=ME p 22=22/c h M eff ν=考察（15.5）式，它是一个二次方程式，变量为3E x =

。众所周知，形式为的方程有两个根， 0

2=++c bx ax