函数的对称性

函数的对称性
新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念：
①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a
b x 2-=。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，
2
ππ+=k x 是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)
0,2(ππ+k 是它的对称中心。

（11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2
(
πk 是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。

（12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。

（13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

（14）绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。

二、函数的对称性猜测：
1、具体函数特殊的对称性猜测
①一个函数一般是不会关于x 轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x 不会对应两个y 的值。

但一个曲线是可能关于x 轴对称的。

例1、判断曲线x y 42=的对称性。

②函数关于y 轴对称
例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。

③函数关于原点对称
例3、判断函数x x y sin 3⋅=的对称性。

④函数关于y=x 对称
例4、判断函数x
y 1=的对称性。

⑤函数关于y=-x 对称
例5、判断函数x
y 4-=的对称性。

总结为：设（x,y ）为原曲线图像上任一点，
如果（x,-y ）也在图像上，则该曲线关于x 轴对称；
如果（-x,y ）也在图像上，则该曲线关于y 轴对称；
如果（-x,-y ）也在图像上，则该曲线关于原点对称；
如果（y,x ）也在图像上，则该曲线关于y=x 对称；
如果（-y,-x ）也在图像上，则该曲线关于y=-x 轴对称。

2、抽象函数的对称性猜测
①轴对称
例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。

（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称） 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。

（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）
例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。

（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k 是它所有的对称轴，k∈Z）
②中心对称
例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。

（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）
例10、如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。

（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称） 例11、如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。

（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n 为对称轴，（2k ，0）为对称中心，其中k∈Z）
总结为：
①当括号里面x 前面的符号一正一负时就是对称性,其中的对称轴为多少可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆。

②而当x 前面的符号相同时就是周期性。

例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

③当x 前面的符号相同，同时告诉奇偶性时也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。

3、两个抽象函数之间的对称性猜测
例12、求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。

（当第一个函数的x 取0时，值为f(2),这时第二个函数的x 必须取-1才也对应那么多，他们的正中间为-1.5，因而猜测对称轴为x=-1.5）
总结为：
①当括号里面x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少仍然可以用特殊值代入来猜测,仍然不主张记结论，因为很容易与前面的结论相混淆。

②而当x 前面的符号相同时告诉的是图像平移。

例如y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位得到。

三、对称性的证明
如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的，我们要辅以完整的证明才行。

1、一个函数的对称性证明
例13、证明若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数关于直线2
b a x +=对称。

证明：在y=f(x)上任取点（m ，n ），则n=f(m)，而点（m ，n ）关于2
b a x +=的对称点为（a+b-m ，n ）,又因为f （a+b-m ）=f （a+（b-m ））=f （b-（b-m ））=f
（m ）=n,这正表明（a+b-m ，n ）也在原函数图像上，从而原函数关于直线2
b a x +=对称。

总结为：核心是相关点法，即在函数上任取一点，对称点如果仍在函数图像上，就可以下结论该函数关于它对称。

2、两个函数之间的对称性的证明
例14、证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线2
a b x -=对称。

（注意不是2
b a x -=,证明的方法类似于上例方法） 总结为：仍是相关点法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点如果在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，才可以下结论该函数关于它对称。

取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。

3、特别地关于y=x 对称性的证明
例15、证明2
312-+=x x y 关于y=x 对称。

（只需求出它的反函数是自己即可） 总结为：
①一个函数自身关于y=x 对称不需要用上面的相关点法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。

②两个函数关于y=x 对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个就可以了。

③反过来这句话也成立，如果需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x 对称即可。

四、对称性的运用
1、求值
例16、已知1
44)(+=x x
x f ,f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。

（只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值，验证果然。

而这里显然隐含的是函数的对称性）
总结为：“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

2、“对称性+对称性”可以推导出周期性
例17、如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的最小正周期。

（因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4）
总结为：两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。

3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性
这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性
例18、如果函数)4
2sin(3πθ++=x y （其中0<θ<π）是奇函数，求θ的值。

(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以θ+π/4=kπ，在要求的范围上只有θ=3π/4) 总结为：几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y 轴是其中的一条（或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个）。

5、关于y=x 对称的应用
例19、求函数1)(+=x e x f 与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。

（因为f(x)=e^x 与g(x)=lnx 互为反函数，关于y=x 对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x 向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx 向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1）
6、对称性的本义
例20、如果y=asinx+bcosx 关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。

（既然关于x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)代入求出a 和b 的关系即可）
总结为：对称性的本义就是关于对称中心（或对称轴）对称的两个自变量的函数值的紧密关系。