分段函数及函数的性质知识梳理

分段函数及函数的性质

分段函数

概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．

定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后

再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．

注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过

这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221,

0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩

（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．

1.设函数 ()221,

20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩

（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．

2．设函数()41,

20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩

（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．

3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,

0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩

⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5

函数的性质 1 单调性

概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．

1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数

()f x

叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．

2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．

3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．

例 判断函数42y x =-的单调性

1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。 （Ⅰ）求实数 a 的值；

（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数。

2．如果函数()x f =x 2+2(a -1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 值范围是（ ）。

A ．a ≥－3 B. a ≤－3 C. a ≤5 D. a ≥3

3.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ）

A 3-≤a

B 3-≥a

C 5≤a

D 5≥a

4. 若()x f =－x 2+2a x 与g ()x =1

+x a 在区间 [1，2]上是减函数，则a 的取值范围是__________

5.函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为_______________________

6函数2(62)12x x y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________

2 奇偶性

设函数()y f x =的定义域为数集D ，对任意的x D ∈，都有x D -∈（即定义域关于坐标原点对称），且

（1）()()f x f x -=⇔函数()y f x =的图像关于y 轴对称，此时称函数()y f x =为偶函数；

（2）()()f x f x -=- ⇔函数()y f x =的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数()y f x =为奇函数．

如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．

判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：

（1）求出函数的定义域；

（2）判断对任意的x D ∈是否都有x D -∈．若存在某个0x D ∈但x D -∉，则函

数肯定是非奇非偶函数；

（3）分别计算出()f x 与()f x -．若()()f x f x =-，则函数为偶函数；若()()f x f x =--，则函数为奇函数；若()()f x f x ≠-且()()f x f x ≠--，则函数为非奇非偶函数．

例 判断下列函数的奇偶性：

（1）()3f x x =； （2）()221f x x =+；

（3）()f x =； （4）()1f x x =-．

1 .判断下列函数的奇偶性：

（1）()f x x =； （2）()2

1f x x =； （3）()31f x x =-+； （4）()232f x x =-+

1、)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）

A 、1

B 、2

C 、 3

D 、 4

1.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________.

2．已知()x f 是偶函数，且()54=f ，那么()()44-+f f 的值为（ ）。

（A ） 5 (B) 10 (C ) 8 (D) 不确定 3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )

A.－3

B.－1

C.1

D.3

4 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

5. 已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0

A. 32)(2-+-=x x x f

B. 32)(2---=x x x f

C. 32)(2+-=x x x f

D. 32)(2+--=x x x f

6.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7-- 上是（ ）

A 、增函数且最小值是5-

B 、增函数且最大值是5-

C 、减函数且最大值是5-

D 、减函数且最小值是5-

3.周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. 1若函数)(x f 是周期为4的函数，且(2)5,(2)f f =-=则 2 .已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)

等于

( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98