二次函数与线段和差问题
中考数学专题复习--二次函数与几何图形综合问题(线段类问题)
中考数学专题复习——二次函数与几何图形综合问题（线段类问题）二次函数与几何图形综合类问题一直是中考的热点和重点，也是难点，常常以压轴题的形式出现，把二次函数和几何图形放在一起，可以“创造”出很多综合性强、解法灵活的题型，这类问题集代数、几何知识于一体，灵活多变，通常需要借助“数形结合”思想加以解决。
★常见的两条线段的和差最值问题：问题大致图形方法数学原理1 如图，点P是定点，点Q为直线m上一动点，求PQ的最小值。
过P作PQ⊥m于Q，则PQ最小垂线段最短2 如图，点P是⊙O外一定点，点Q在⊙O上运动，求PQ的最大（小）值。
过P，O的直线与⊙O交于Q1，Q2，则PQ1最小，PQ2最大点圆距离3 如图，已知两定点A，B，动点P在直线m上，求PA+PB的最小值。
（或△ABP周长的最小值）作点A关于直线m对称点A’，当A’，P，B三点共线时，PA+PB最小两边之和大于第三边4 如图，已知A，B是两个定点，动点P在直线m上，求PAPB-的最大值。
作A关于直线m的对称点A’，当P，A’，B三点共线时，PAPB-最大两边之和大于第三边5 如图，已知点A，B位于直线m，n的内侧，在直线n，m上分别求点D，E，使所围成的四边形ADEB周长最小。
作点A关于直线n的对称点A’，点B关于直线m的对称点B’，当A’，D，E，B’四点共线时，四边形ADEB周长最小两点之间，线段最短6 如图，已知定点A，在直线m，n上分别求点P，Q，使△APQ周长最小，（或PA+PQ+QA最小）。
作两次对称点，当A’，Q，P，A’’四点共线时，△APQ周长最小两点之间，线段最短7 如图，已知A，B是两个定点，线段PQ在直线m上运动，且PQ=a（a为定值），求PA+PQ+QB（或四边形ABQP周长）的最小值。
将点A沿PQ方向平移a个单位得点A’，作A’关于直线m的对称点A’’，当A’’，Q，B三点共线时，PA+PQ+QB最小①平行四边形对边相等②两边之和大于第三边8直线 m ∥ n ，在 m ，n 上分别求点 M ，N ，使 MN ⊥m ，求 AM+MN+BN 的 最小值．将点 A 向下平移 MN 的长度单位到A ＇，连 A ＇B ，交 n 于点 N ，过 N 作 NM ⊥ m 于M ，则AM+MN+BN 最小两点之间，线段最短 9A ，B 分别为m ，n 上的两个定点，在n ，m 上分别取P ，Q 两点，求AP+PQ+QB 的最小值。
中考压轴题(二次函数)之【因动点产生的线段和差问题】精品解析
中考压轴题（二次函数）之【因动点产生的线段和差问题】精品解析【例1】（天津市中考第25题）在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B 作y 轴的垂线l ，作点E ′关于直线l 的对称点E ′′， 所以A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋BE ′′．当A ′、B 、E ′′三点共线时，A ′B ＋BE ′′取得最小值，最小值为线段A ′E ′′．在Rt △A ′O ′E ′′中，A ′O ′＝2，O ′E ′′＝7，所以A ′E ′′ 当A ′、B 、E ′′三点共线时，''''''A O A O BO E O =．所以247m =． 解得87m =．此时8'(,1)7E ．【例2】（滨州市中考第24题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案（1）212y x x =-+。
中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x 轴交于A,B（1,0 ），与y 轴交于点C,直线经过点A,C. 抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1））求抛物线解析式。
（2））求顶点 D 的坐标与对称轴l.点E的坐标。
（3））设点E 为x 轴上一点，且AE=CE求,（4））设点G是y 轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5））在直线l 上是否存在一点F，使得△ BCF的周长最小，若存在，求出点 F的坐标及△ BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6））在y 轴上是否存在一点S, 使得SD-SB的值最大，若存在，求出S 点坐标，若不存在，说明理由。
（7））若点H 是抛物线上位于AC上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h, 线段HK=d①求 d 关于h 的函数关系式②求d 的最大值及此时H点的坐标（8））设点P 是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1. 如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8) ，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8) ，抛物线经过、、三点。
（1））求此抛物线的解析式。
（2））求AD的长。
（3））点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标。
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2点O关于点 A 对称。
（1））填空：点 B 的坐标是。
1与轴相交于点A，点B与4（2））过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。
（3））在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3. 如图, 抛物线与x 轴交于A,B 两点, 与y 轴交于点C,点O为坐标原点, 点D为抛物线的顶点, 点E 在抛物线上, 点F 在x 轴上, 四边形OCEF为矩形, 且OF=2,EF=3,.(1) 写出抛物线对应的函数解析式: △AOD的面积是(2) 连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ ACR的周长.(3) 设G(4,-5) 在该抛物线上,P 是y 轴上一动点, 过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+H是G否有最小值?如果有, 求点P 的坐标; 如果没有, 请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA 3 ，OB 4 ，D 为边OB的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF 2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点 E 、F 的坐标．yB CDO A x5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y 轴相交于点M，且M 是BC的中点，A、B、D 三点的坐标分别是A（ 1 ，0 ），B（ 1 ，2 ），D（3，0）．连接DM，并把线段DM 沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2 bx c 经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有| QE-QC| 最大？并求出最大值．6. 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a (a0) 图象的顶点为H，与x 轴交于A、B 两点（B 在A 点右侧），点H、B 关于直线l : y3x33 对称．（1）求A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK∥AH 交直线l 于K 点，M、N 分别为直线AH 和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK 和的最小值．ylHKA O Bx7.如图，已知点A(- 4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2 上．（1）求a 的值及点 B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y = ax 2 ，记平移后点 A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，点C(- 2，0)和点D(- 4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yA 8642 BD - 4 C- 2 O- 22 4 x- 4。
二次函数-因动点产生的线段和差问题经典例题.doc
二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间 线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才 加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才 仔=16+(2— 〃 在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点 所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。
(精品课)初三数学学案：二次函数中求线段和差最值问题
将军饮马问题的应用之二次函数中求线段和差最值问题 姓名____ 班级__ 一：学习目标1、熟练掌握基本事实——两点之间线段最短及三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；能根据题意熟练的应用基本事实用尺规作图。
2、在具体的实例中体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本质：利用对称思想把复杂的问题简单化，它与抛物线（轴对称图形）相结合，在初中几何求最值问题中展现了特殊的魅力，在中考中体现了重要的地位。
二：教学过程（一）复习回顾1、若抛物线 过点（0,1）、(1,0)，则此抛物线的解析式为_____________2、如图1，在l 上求作一点M ，使得AM ＋BM 最小；3、如图2，在l 上求作一点M ，使得｜AM －BM ｜最大。
图1 图2（二）例题讲练例1、如图，已知抛物线的方程C 1:()()1y x 2(x m)m 0m=-+->与x 轴相交于点B 、C ， 与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值。
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标。
l 212y x bx c =++练习1、如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值。
练习2：如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .(1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.B A O y x例2：如图，已知抛物线的方程C 1:()()1y x 2(x m)m 0m=-+->与x 轴相交于点B 、C ， 与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值。
专项10 二次函数和线段和差最值问题(原卷版)
专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
“两点定点一定长”模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。
作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求作的点。
结论：PA+PB值最小模型二：作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论：AP+PB’值最小模型三：PA-最大。
当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为 AB。
结论：PBPA-最大。
当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使PB作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为AB′结论：PB模型四：PA-最小。
当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：连接 AB，作AB的垂直平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。
PA-的最小值为 0结论：PB【考点1 线段最值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【考点2 线段和最小】【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得P A+PC的值最小，并求出P的坐标；【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D 作x轴的垂线，垂足为点C．（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【考点3 周长最值问题】【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使P A+PC取得最小值，求点P的坐标；4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△P AD周长的最小值．5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．。
初三数学 二次函数与线段和差问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与线段和差的点存在性问题，主要考查了学生是否能够在图形中寻找到线段和最小或差最大及线段长度的最值的能力。
二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。
中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲:如图抛物线与x轴交于A，B（1,0）,与y 轴交于点C，直线经过点A,C。
抛物线的顶点为D，对称轴为直线l，（1）求抛物线解析式.（2）求顶点D的坐标与对称轴l。
（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标.（4）设点G是y轴上的一点,是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小,若存在,求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标,若不存在，说明理由。
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标,并求出最大距离是多少?1.如图,矩形的边OA 在轴上，边OC 在轴上，点的坐标为(10，8),沿直线OD 折叠矩形，使点正好落在上的处，E 点坐标为（6,8），抛物线经过、、三点。
（1)求此抛物线的解析式。
(2)求AD 的长.(3）点P 是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标.2。
如图,在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。
(1）填空：点B 的坐标是 。
（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC,求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由.（3）在(2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3.如图，抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点O 为坐标原点,点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上,四边形OCEF 为矩形,且OF=2，EF=3，.(1）写出抛物线对应的函数解析式： △AOD 的面积是(2)连结CB 交EF 于M ，再连结AM 交OC 于R ，求△ACR 的周长。
(完整版)中考数学中的二次函数的线段和差以和最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线y=ax2+bb+b(b≠0与x轴交于A,B（1,0），与yb−2经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l, 轴交于点C,直线y=12（1）求抛物线解析式。
（2）求顶点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。
（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）求AD的长。
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。
（1）填空：点B 的坐标是 。
（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。
（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA =PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大？并求出最大值．6.已知，如图，二次函数223y ax ax a=+-(0)a≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:3l y x=+（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．7.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2y ax上．=（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线2y ax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，=点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1BCE （D 1）A P E 1B C E D D 1Aword文档整理分享参考资料。
中考数学全面突破(含详细答案)题型6 二次函数综合题
题型6 二次函数综合题题型解读1.考查类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；2.考查内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关；3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，作出适当的辅助线，联系相应的判定或性质求解．类型一二次函数与线段和差问题1.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．2.如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|x 1－x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|y 1－y 2|求出．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称．(1)填空，点B 的坐标是________；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b(其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC.求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．4.已知二次函数y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k(k ＞0)． (1)当k ＝12时，求这个二次函数的顶点坐标；(2)求证：关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0(k ＞0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP ＝1，直线AP 交BC 于点Q. 求证：1OA 2＋1AB 2＝1AQ2.类型二 二次函数与图形面积问题5.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．7.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)直接写出抛物线的函数解析式；(2)以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E.若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；(3)将抛物线向上平移32个单位长度(如图②)，若动点P(x ，y)在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．类型三二次函数与特殊三角形判定问题10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－13x ＋1与y 轴交于点D.(1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，3)，已知对称轴x ＝1. (1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．图①图②13.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接．．写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q. (1)求点A ，点B ，点C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形； (4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD. (1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； (2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．备用图16.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式．(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝1010，求点Q的坐标．(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．18.如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a(x ＋1)2－3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，－83)，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P 、Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．(1)求a 的值及点A 、B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l 的函数表达式；(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．类型五二次函数与三角形相似、全等问题20.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；(2) 求证：△ABC是直角三角形；(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．类型一 二次函数与线段和差问题1. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，B(10，8)， ∴A(10，0)，∵E(6，8)，O(0，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＋c ＝062a ＋6b ＋c ＝8c ＝0，解得⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝103，∴抛物线的解析式y ＝－13x 2＋103x.(2)由题意可知：AD ＝ED ，BE ＝|10－6|＝4，AB ＝8，设AD 为x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD ＝8－x ， 在Rt △BDE 中， ED 2＝EB 2＋BD 2， 即x 2＝42＋(8－x)2， 解得x ＝5，即AD ＝5.(3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)，∴△PAD 的周长l ＝PA ＋PD ＋AD ＝PA ＋PD ＋5，∵抛物线的对称轴是线段OA 的垂直平分线，点P 是抛物线对称轴上的一动点， ∴PO ＝PA ，因此，l ＝PA ＋PD ＋5＝PO ＋PD ＋5， ∴当PO ＋PD 最小时l 最小，∴当点P 移动到直线OD 与抛物线对称轴的交点处时PO ＋PD 最小， 设直线OD 的解析式为y ＝kx ，将D 点的坐标(10，5)代入得： 5＝10 k ，求得k ＝12，∴直线OD 的解析式为y ＝12x ，当x ＝5时，y ＝52，∴P 点的坐标是(5，52)．2. 解：(1)∵直线y ＝5x ＋5与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， ∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c 过点A(－1，0)，C(0，5)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a －4＋c ＝0， 解得c ＝5，a ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5.第2题解图①(2)如解图①，∵抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点， ∴解－x 2＋4x ＋5＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝5. ∵点B 在x 轴正半轴， ∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0b ＝5， 解得k ＝－1，b ＝5，∴直线BC 表达式为y ＝－x ＋5. ∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥y 轴．∵点N 在BC 上，点D 在抛物线上，设N(x ，y 1)，D(x ，y 2)， ∴N(x ，－x ＋5)，D(x ，－x 2＋4x ＋5)． ∴DN ＝－x 2＋4x ＋5－(－x ＋5)＝－x 2＋5x ＝－(x －52)2＋254.当x ＝52时，DN 有最大值254；(3)如解图②，作点H 关于y 轴的对称点H′，点M 关于x 轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x 轴，y轴于点F 、E ，则四边形HEFM 的最小周长为HM ＋HE ＋EF ＋FM ＝HM ＋H′M′.∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9， ∴H(2，9)，第2题解图②∴H ′(－2，9)， 当x ＝4时，y ＝5， ∴M(4，5)， ∴M ′(4，－5)．设直线H′M′的解析式为y ＝k′x ＋b′，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k′＋b′＝94k ′＋b′＝－5， 解得⎩⎨⎧k′＝－73b′＝133，∴直线H′M′的解析式为 y ＝－73x ＋133.当y ＝0时，x ＝137，13当x ＝0时，y ＝133， ∴E(0，133)．3. 解：(1)由y ＝x 2＋14得：A(0，14)∵B 、O 关于A 对称， ∴B(0，12)(2)如解图①，∵直线BC 过点B(0，12)，第3题解图①∴直线BC 解析式为 y ＝kx ＋12.∴C(－12k ，0)，又∵P 是直线l 上一点， ∴可设P(－12k，a)．过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接PB ，则在Rt △PNB 中，由勾股定理得： PB 2＝PN 2＋NB 2， ∵PB ＝PC ＝a ， ∴a 2＝(－12k )2＋(a －12)2，解得a ＝14k 2＋14，∴P 点坐标为(－12k ，14k 2＋14)，当x ＝－12k 时，y ＝14k 2＋14，第3题解图②(3)如解图②，由C′在y 轴上，可知∠CBP ＝∠C′BP ， ∵PB ＝PC ，∴∠CBP ＝∠PCB ， ∵PC ∥C ′B ，∴∠PCB ＝∠ABC ，∴∠C ′BP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝60°， ∴△PBC 为等边三角形， ∵OB ＝12，∴BC ＝1，OC ＝32， ∴PC ＝1， ∴P(32，1)． 4. (1)解：当k ＝12时，y ＝x 2－2x ＋34，∵⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－－22×1＝14ac －b 24a ＝4×1×34－（－2）24×1＝－14， ∴顶点坐标为(1，－14)，(2)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k) ＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4k ＝1， ∵1＞0，∴原方程一定有两个不相等的实根．(3)证明：由题意得，A(k ，0)，B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)， 设PA 的解析式为：y ＝mx ＋n ，代入P(0，－1)，A(k ，0)， 解得m ＝1k ，n ＝－1，于是y ＝1kx －1，设BC 的解析式为：y ＝sx ＋t ，代入B(k ＋1，0)，C(0，k 2＋k)，解得s ＝－k ，t ＝k 2＋k ，于是y ＝－kx ＋k 2＋k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1k x －1y ＝－kx ＋k 2＋k ，解得Q 点坐标为(k ＋k 2k 2＋1，kk 2＋1)，运用勾股定理得AQ 2＝(k ＋k 2k 2＋1－k)2＋(k k 2＋1)2＝k 2k 2＋1，∵OA 2＝k 2，AB 2＝(k ＋1－k)2＝1 ∴1OA 2＋1AB 2＝k 2＋1k 2＝1AQ 2， ∴1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2. 类型二 二次函数与图形面积问题∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3. (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，设点C(x ，－12x 2＋3x)，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.第5题解图①6. 解：(1)令x ＝0，得y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即k ＋2＋k 2＋4k ＋162＋k ＋2－k 2＋4k ＋162＝0，解得k ＝－2，∴⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－23 ， ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝23，(3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3y ＝kx ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝k ＋2＋k 2＋4k ＋162y 1＝k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝k ＋2－k 2＋4k ＋162y 2＝k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162， 则A(k ＋2－k 2＋4k ＋162，k 2＋2k －k k 2＋4k ＋162)，B(k ＋2＋k 2＋4k ＋162，k 2＋2k ＋k k 2＋4k ＋162)，∴S △ABC ＝12OC(x B －x A )＝3102，∴3×k 2＋4k ＋16＝310，∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0，∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，故不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.7. 解：(1)y ＝23x 2＋43x －2.【解法提示】∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b －2＝0a ＋b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝23b ＝43，∴抛物线的函数解析式为y ＝23x 2＋43x －2，(2)由抛物线解析式知：C(0，－2)，∴E(0，2)，∵AB ＝4，M 为AB 中点， ∴OM ＝1，∴MC ＝OC 2＋OM 2＝5，∵∠EDC ＝∠MOC, ∠DCE ＝∠OCM ， ∴△CMO ∽△CED, ∴CD CO ＝CE CM ， ∴CD 2＝45，∴CD ＝855.(3)y ＝23x 2＋43x －2＝23(x ＋1)2－83，∵抛物线向上平移32个单位长度，∴平移后抛物线解析式为y ＝23(x ＋1)2－83＋32，即y ＝23(x ＋1)2－76，第7题解图如解图，过点D 作DH ⊥y 轴，过点P 作PG ⊥y 轴，连接PD ，PE ，设点P 的横坐标为x. ∵△CMO ∽△CDH, ∴CM CD ＝OM HD ＝CO CH ， 即5855＝1DH ＝2CH ， ∴DH ＝85，CH ＝165，∴OH ＝CH －CO ＝165－2＝65，∴EH ＝OE －OH ＝2－65＝45，∴S △PDE ＝S 梯形DPGH ＋S △DHE －S △PEG＝12(85－x)[65－23(x ＋1)2＋76] ＋12×85×45－12(－x)[2－23(x ＋1)2＋76] ＝－45[23(x ＋1)2－76]＋25x ＋85＝－815x 2－23x ＋2＝－815(x ＋58)2＋5324∵点P 位于平移后的抛物线上且位于第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧23（x ＋1）2－76＜0x ＜0，解得x 的取值范围为－1－72＜x ＜0. 即：S ＝－815(x ＋58)2＋5324(－1－72＜x ＜0)，∴当x ＝－58时，△PDE 的面积最大为5324.8. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3， 解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x.第8题解图①(2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上， ∴PB ＝QB ＝2 ，设P(a ，a)，则Q(a ＋2，a ＋2)，则P 1(a ，a 2－2a)，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a)，所以四边形PQQ 1P 1的面积为： S ＝2×（a －a 2＋2a ）＋（a ＋2－a 2－2a ）2＝－2a 2＋2a ＋2 ＝－2(a －12)2＋52，当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1.∴a 的取值范围为0＜a ＜1.∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52.(3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，∵点M 为抛物线顶点， ∴M(1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可，如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易求四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O′，过O′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ＝OA 2＋OM 2＝25，∴AO ′＝5，则△AO′E 1∽△AOM ， ∴AO′AO ＝AE 1AM ＝AO －OE 1AM ， ∴532＝32－OE 125，第8题解图②解得OE 1＝423，∵点E 1在y ＝x 上， ∴E 1(43，43)，同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62， ∴OE 2＝62－423＝1423，∴ E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、E 2(143，143)．9. 解：(1)把A(－3，0)，B(9，0)，C(0，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝081a ＋9b ＋c ＝0c ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－427b ＝89c ＝4，∴二次函数的表达式为y ＝－427x 2＋89x ＋4，由题意得－427x 2＋89x ＋4＝4，解得x 1＝0，x 2＝6，∴点D 的坐标为(6，4)．(2)∵－b2a ＝－89－827＝3，4ac －b 24a ＝－6427－6481－1627＝163，∴顶点F 的坐标为(3，163)，如解图①易知FO 1＝OC ＝4，A 1O 1＝AO ＝3，FH ＝163－4＝43.第9题解图①∵GH ∥AE ，∴GH ∥A 1O 1， ∴GH A 1O 1＝FHFO 1， 即GH 3＝434， ∴GH ＝1，∴S 四边形A 1O 1HG ＝S △FA 1O 1－S △FGH ＝12×3×4－12×1×43＝163.(3)如解图②，当0＜t ≤3时，OO 2＝t ，△OO 2G ∽△OED ， ∴GO 2DE ＝OO 2OE ， ∴GO 24＝t6， ∴GO 2＝23t ，∴S ＝12×t ×23t ＝13t 2(0＜t ≤3)；第9题解图②第9题解图③如解图③，当3＜t ≤6时，设A 2C 2与OD 交于点M ，作MG ⊥CD ，延长GM 交x 轴于点H ，则GH ⊥x轴．易知△C 2MD ∽△A 2MO ，△DMG ∽△OMH ，△ODE ∽△ONO 2，C 2D ＝6－t ，OA 2＝t －3，O 2O ＝t ，GH ＝4，O 2E ＝6－t ，∴GM MH ＝DM OM ＝C 2D OA 2，NO 2DE ＝OO 2OE ， ∴4－MH MH ＝6－t t －3，NO 24＝t6， ∴MH ＝4（t －3）3，NO 2＝23t ，∴S 四边形A 2O 2NM ＝S △ODE －S △OA 2M －S 梯形NO 2ED ＝12－12(t －3)×4（t －3）3－（2t3＋4）（6－t ）2＝12－23t 2＋4t －6－2t ＋t 23－12＋2t＝－13t 2＋4t －6(3＜t ≤6)．综上所述，S 与t 之间的函数表达式为S ＝⎩⎨⎧13t 2（0＜t ≤3）－13t 2＋4t －6（3＜t ≤6）.类型三 二次函数与特殊三角形判定问题10. 解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，第10题解图∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过 A(1，0)，∴B(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得，⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接AM ， ∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC.∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴点M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10. ①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2， 即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2， 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18.解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．11. (1)解：当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C(0，－3)，即OC ＝3， ∵OB ＝OC ＝3OA ， ∴OB ＝3，OA ＝1， ∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)证明：由y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4可得E(1，－4)， 当x ＝0时，由直线y ＝－13x ＋1得y ＝1，∴D(0，1)，即OD ＝1， ∴BD ＝OD 2＋OB 2＝10， ∴CE ＝2，BE ＝25，BC ＝32， ∴在△ODB 和△CEB 中， 有DB EB ＝DO EC ＝BO BC ＝22， ∴△DBO ∽△EBC.(3)解：存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．【解法提示】如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，设P(1，a)， 则PG ＝1，GC ＝a ＋3，PM ＝a ，∴PC 2＝1＋(a ＋3)2，PB 2＝4＋a 2，CB 2＝3(2)2＝18， 当P 是等腰三角形顶点时，PC 2＝PB 2， 即1＋(a ＋3)2＝4＋a 2， 解得a ＝－1， ∴P 1(1，－1)；当C 是等腰三角形顶点时，PC 2＝CB 2， 即1＋(a ＋3)2＝18，第11题解图解得a 1＝－3＋17，a 2＝－3－17 ∴P 2(1，－3＋17)， P 3(1，－3－17)；当B 是等腰三角形顶点时，PB 2＝CB 2， 即4＋a 2＝18，解得a 1＝14，a 2＝－14， ∴P 4(1，14)，P 5(1，－14)．∴存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．12. 解：(1)解法一：把C(0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3， 把B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3， 得9a ＋3b ＋3＝0，又∵－b2a ＝1，∴a ＝－1，b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3.解法二：设所求抛物线L 的解析式为：y ＝m(x －1)2＋n ，把B(3，0)，C(0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)第12题解图①解法一：由y ＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ， 则EF OC ＝BFBO，∴EF ＝2， ∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4.(3)能，设P(x ，－x 2＋2x ＋3)，如解图②，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，第12题解图②垂足分别是点M ，N ， ∵∠PMB ＝∠PNQ ＝90°， ∵∠QPB ＝90°，∠BPM ＝∠QPN ，PB ＝PQ ， ∴△PMB ≌△PNQ(AAS )，∴PM ＝PN.①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋3)，即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±（－3）2－4×1×（－6）2＝3±332，∴P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，∴满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．13. 解：(1)把B(3，0)，C(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n(m ≠0)， 将点B(3，0)，C(0，3)分别代入得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 设M(a ，a 2－4a ＋3)，则N(a ，－a ＋3)， MN ＝－a ＋3－(a 2－4a ＋3) ＝－a ＋3－a 2＋4a －3 ＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94.对于y ＝x 2－4x ＋3，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵M 是抛物线在x 轴下方的动点， ∴1＜a ＜3， 又∵1＜32＜3，∴当a ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，点P 的坐标分别为：P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)、P 4(2，－142)、P 5(2，12)．【解法提示】当线段MN 最长时，N(32，32)，设此时直线MN 与x 轴交于点D ，又点B(3，0)， 则BN 2＝DN 2＋DB 2＝(32)2＋(3－32)2＝92.(i )当BN 为腰长时，又分两种情形： ①当点N 为等腰三角形顶角的顶点时，以点N 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴有两个交点P 1，P 2，如解图． 由抛物线y ＝x 2－4x ＋3知，其对称轴为直线x ＝2， ∴P 1E 2＋NE 2＝P 1N 2＝BN 2，即(2－32)2＋NE 2＝92，解得NE ＝172.∴此时P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)；第13题解图②当点B 为等腰三角形顶角的顶点时，以点B 为圆心，BN 的长为半径画圆，与抛物线的对称轴也有两个交点P 3、P 4， 同理可得P 3(2，142)，P 4(2，－142)； (ii )当BN 为底边时，作线段BN 的中垂线与对称轴交于一点P 5，如解图． 由点N(32，32)，B(3，0)，得线段BN 的中点F(94，34)，设过点F ，且与BC 垂直的直线P 5F 的解析式为y ＝x ＋q ， 则94＋q ＝34，解得q ＝－32， ∴直线P 5F 的解析式为y ＝x －32，当x ＝2时，y ＝2－32＝12，∴点P 5(2，12)．综上所述，存在满足题意的点P 共有五个，即P 1(2，32＋172)，P 2(2，32－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)． 14. 解：(1)当y ＝0时，－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，则A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝2，则C(0，2)．(2)依题意知点D 坐标为 (0，－2)，设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将D(0，－2)和B (4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24k ＋b ＝0 ，解得k ＝12，b ＝－2，∴直线BD 的解析式为y ＝12x －2.(3)易知CD ∥QM ，若CD ＝QM ，则四边形CQMD 为平行四边形． ∵P(m ，0)，∴y Q ＝－12m 2＋32m ＋2，y M ＝12m －2，则QM ＝(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)，∵CD ＝4，∴(－12m 2＋32m ＋2)－(12m －2)＝4，解得m ＝2或m ＝0(舍去)，故当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形． (4)存在，设点Q 的坐标为(m ，－12m 2＋32m ＋2)，则BQ 2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2，DQ 2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2, BD 2＝42＋22＝20.①当以点B 为直角三角形的直角顶点时，则有DQ 2＝BQ 2＋BD 2， ∴m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＝(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＋20，解得m 1＝3, m 2＝4.∴点Q 的坐标为(3，2)，(4，0)(舍去)；②当以点D 为直角三角形的直角顶点时，则有BQ 2＝DQ 2＋BD 2. ∴(4－m)2＋(－12m 2＋32m ＋2)2＝m 2＋[(－12m 2＋32m ＋2)＋2]2＋20，解得m 3＝－1, m 4＝8.∴点Q 的坐标为(－1，0)，(8，－18)，综上所述，所求点Q 的坐标为(3，2)，(－1，0)，(8，－18)． 类型四 二次函数与特殊四边形判定问题15. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，第15题解图①∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3， ∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)如解图①，连接PC ，PE.对称轴x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点D 的坐标为(1，4)，设直线BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，将B(3，0)、D(1，4)分别代入表达式，⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝6，则直线BD 的解析式为y ＝－2x＋6，设P 的坐标为(x 0，－2x 0＋6)，∴由勾股定理可得PC 2＝x 20＋[3－(－2x 0＋6)]2，PE 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， ∵PC ＝PE ，∴x 20＋(3＋2x 0－6)2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋6)2， 解得x 0＝2，y 0＝－2×2＋6＝2， ∴P 的坐标为(2，2)．(也可证△DCB ，△DEB 为直角三角形，则P 为斜边BD 的中点，或先求CE 的垂直平分线的函数关系式，则点P 是CE 的垂直平分线与BD 的交点)(3)依题意设M 的坐标为(a ，0)，则G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．第15题解图②如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ， ∴|2－a|＝|－a 2＋2a ＋3|， ① 2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)， 解得a ＝1±212，② 2－a ＝－a 2＋2a ＋3， 解得a ＝3±132，∴M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)，(3－132，0)，(3＋132，0)．16. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x 轴上， 设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋5)(x －3)． ∵抛物线过点(0，5)， ∴a ＝－13.∴抛物线的解析式为y ＝－13(x ＋5)(x －3)＝－13x 2－23x ＋5.(2)如解图，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，∵OA ＝5，OC ＝5， ∴∠CAO ＝45°.设AF 的长为m ，则DF ＝22m ，ME ＝AE ＝m ＋1. ∴sin ∠AMF ＝DFMF， ∴MF ＝DFsin ∠AMF＝10×22m 10＝5m. 在Rt △MEF 中，FM 2＝ME 2＋EF 2，∴(5m)2＝(m ＋1)2＋12，第16题解图解得m 1＝1，m 2＝－12(不符合题意，舍去)．∴AF ＝1，∴点Q 的横坐标为－4. 又∵点Q 在抛物线 y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(－4，73)．(3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋n(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋n ＝0n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝5，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋5.由题知，点Q ，N ，F 及点P ，M ，E 的横坐标分别相同． 设F(t ，0)，E(t ＋1，0)，点M ，N 均在直线y ＝x ＋5上， ∴N(t ，t ＋5)，M(t ＋1，t ＋6)，∵点P ，Q 在抛物线y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q(t ，－13t 2－23t ＋5)，P(t ＋1，－13t 2－43t ＋4)，在矩形平移过程中，以P 、Q 、N 、M 为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q 、P 在直线AC 的同侧时，QN ＝PM. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(－13t 2－43t ＋4)－(t ＋6)，解得t ＝－3. ∴M(－2，3)．②点Q ，P 在直线AC 的异侧时，QN ＝MP. ∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(t ＋6)－(－13t 2－43t ＋4)，解得t 1＝－3＋6，t 2＝－3－6，∴M(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)．∴符合条件的点M 是(－2，3)，(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)． 17. 解：(1)∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是(0，4)，∴点A′的坐标为(4，0)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将点A(0，4)， C(－1，0)，A ′(4，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0c ＝416a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3c ＝4，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.第17题解图①(2)如解图①，连接AA′，设直线AA′的解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，4)，A ′(4，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝44k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝4，∴直线AA′的解析式为y ＝－x ＋4，过M 作ME ⊥x 轴，交直线AA′于点E ，则E(x ，－x ＋4)， 设点M 的坐标为：(x ，－x 2＋3x ＋4)，则S △AMA ′＝S △AME ＋S △A ′ME ＝12ME·OA′＝12×4×[－x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，∴当x ＝2时，△AMA ′的面积最大，最大值S △AMA ′＝8，∴M 的坐标为(2，6)．(3)设点P 的坐标为(x ，－x 2＋3x ＋4)，当P ，N ，B ，Q 构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC 中，点A 、C 的坐标分别是(0，4)、(－1，0)， ∴点B 的坐标为(1，4)，∵点Q 坐标为(1，0)，P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，如解图②，第17题解图②①当BQ 为边时，PN ∥BQ ，PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4，当－x 2＋3x ＋4＝4时，解得 x 1＝0，x 2＝3，∴P 1(0，4)，P 2(3，4)当－x 2＋3x ＋4＝－4时，解得 x 3＝3＋412，x 4＝3－412，∴P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)；②当PQ 为对角线时，BP ∥QN 即BP ∥x 轴，BP ＝QN ，此时P 与P 1，P 2重合． 当这个平行四边形为矩形时，即P 1(0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N 2(3，0)． 综上可得：点P 的坐标为：P 1(0，4)，P 2(3，4)，P 3(3＋412，－4)，P 4(3－412，－4)．当这个平行四边形为矩形时，点N 的坐标为(0，0)或(3，0)．18. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，将点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2c ＝－52， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，如解图，则P 点即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝－52，解得⎩⎨⎧k ＝12b1＝－52，第18题解图∴直线BC 的解析式为 y ＝12x －52. ∵抛物线y ＝12x 2－2x －52的对称轴是x ＝2，∴当x ＝2时，y ＝12x －52＝12×2－52＝－32，∴点P 的坐标是(2，－32)．(3)存在．(i )当存在的点N 在x 轴的下方时，如解图所示， ∵四边形ACNM 是平行四边形， ∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称， ∵C 点的坐标为(0，－52)，∴点N 的坐标为(4，－52)；(ii )当存在的点N′在x 轴上方时，如解图所示，作N′H ⊥x 轴于点H ， ∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC ＝M′N′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∠AOC ＝∠M′HN′， ∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H(AAS )， ∴N ′H ＝OC.∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N ′H ＝52，即N′点的纵坐标为52，∴12x 2－2x －52＝52， 解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，52)或(2＋14，52)．综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为 (4，－52)，(2＋14，52)，(2－14，52)．19. 解：(1)把点C(0，－83)代入y ＝a(x ＋1)2－3，得－83＝a －3，解得a ＝13，∴y ＝13(x ＋1)2－3，当y ＝0时，有13(x ＋1)2－3＝0，∴x 1＝2，x 2＝－4，第19题解图①∴A(－4，0)，B(2，0)． (2)如解图①，连接CH ， ∵A(－4，0)，B(2，0)， C(0，－83)，D(－1，－3)， H(－1，0)，∴S 四边形ABCD ＝S △AHD ＋S △HCD ＋S △BHC ＝12×3×3＋12×3×1＋12×3×83＝10，根据条件分析，直线l 只能与边AD 或边BC 相交，有以下两种情况： (i )如解图①，当直线l 与边AD 相交于点M 1时，则S △AHM 1＝310×10＝3，∴12×3×(－yM 1)＝3， ∴yM 1＝－2，∵A(－4，0)，D(－1，－3)，∴直线AD 的解析式为y ＝－x －4， ∴M 1(－2，－2)，过点H(－1，0)和M 1(－2，－2)的直线l 的解析式为y ＝2x ＋2；第19题解图②(ii )如解图②，当直线l 与边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2(12，－2)，过点H(－1，0)和M 2(12，－2)的直线l 的解析式为y ＝－43x －43.综上所述：直线l 的函数表达式为y ＝2x ＋2或y ＝－43x －43.(3)以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形．设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)且过点H(－1，0)的直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∴－k ＋b ＝0， ∴b ＝k ， ∴y ＝kx ＋k. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k y ＝13x 2＋23x －83， 得13x 2＋(23－k)x －k －83＝0， ∴x 1＋x 2＝－2＋3k ，y 1＋y 2＝kx 1＋k ＋kx 2＋k ＝3k 2， ∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式得点M(32k －1，32k 2)．第19题解图③假设存在这样的N 点如解图③，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y ＝kx ＋k －3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －3y ＝13x 2＋23x －83， 解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝3k －1， ∴N(3k －1，3k 2－3)， ∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN ＝DM ， ∴DN 2＝DM 2，即 (3k)2＋(3k 2)2 ＝(3k 2)2＋(32k 2＋3)2，整理得：3k 4－k 2－4＝0，即(k 2＋1)(3k 2－4)＝0， ∵k 2＋1＞0， ∴3k 2－4＝0， 解得k ＝±233，∵k ＜0， ∴k ＝－233，∴N(－23－1，1)，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为(－23－1，1)． 类型五 二次函数与三角形相似、全等问题20. (1)【思路分析】已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O ，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C 的坐标．解：由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋1(a ≠0)， ∵抛物线经过原点O(0，0)，∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1， 解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x. ∵直线y ＝x －2与抛物线交于B 、C 两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y ＝－x 2＋2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3).(2)【思路分析】要证明△ABC 是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，第20题解图①如解图①，由两点距离公式，则AF ＝2，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝3，BE ＝1，AE ＝1， 在Rt △ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝2， 在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝32， 在Rt △ACF 中，AC ＝AF 2＋CF 2＝25， 在△ABC 中，AB 2＋BC 2＝(2)2＋(32)2＝20， AC 2＝(25)2＝20，第20题解图②∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形.(3)【思路分析】要求是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，由题知，N 点在x 轴上，M 点在抛物线上，可设出N 点坐标，得到由未知数x 表示的M 点坐标，由(2)知△ABC 的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N 点坐标．由于N 点的位置不定，需进行分类讨论．解：存在．设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， 由(2)知，AB ＝2，BC ＝32， 分两种情况讨论：①若点N 在点B 右侧，即x ＞2，x 与－x 2＋2x 异号，如解图③，△ONM 与△ABC 相似，则M 1N 1ON 1＝AB BC 或M 2N 2ON 2＝BC AB， 即x 2－2x x ＝232 或x 2－2x x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝73，x 2＝5，x 3＝0(舍去)．∴N 的坐标为(73，0)或(5，0)；第20题解图③第20题解图④②若点N 在点B 左侧，即x ＜2，x 与－x 2＋2x 同号，如解图④，△ONM 与△ABC 相似，则M 3N 3ON 3＝AB BC 或 M 4N 4ON 4＝BC AB， 即－x 2＋2x x ＝232 或 x 2－2x －x ＝322，解两方程可得x 的值为x 1＝53，x 2＝－1，x 3＝0(舍去)，∴N 的坐标为(53，0)或(－1，0)．综上所述，存在满足条件的点N 的坐标为(73，0)或(5，0)或(53，0)或(－1，0)．21. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A 、D 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8.∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)，设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D(6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x. ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4， 即点E 的坐标为(3，－4)．(2)抛物线上存在点F ，使△FOE ≌△FCE.点F 的坐标为(3－17，－4)，(3＋17，－4)．【解法提示】假设存在，由全等的性质得FO ＝FC ，∴点F 的纵坐标y F ＝12y c ， 令抛物线的解析式y ＝12x 2－3x －8中x ＝0，则y ＝－8， ∴C(0，－8)，即y C ＝－8，∴y F ＝－4，将y F ＝－4代入抛物线解析式得12x 2－3x －8＝－4， 解得x 1＝3＋17，x 2＝3－17，∴F 坐标为(3＋17，－4)，(3－17，－4)，∴抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE.(3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，第21题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋（－4）2＝5，如解图①，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ， 则OM OP ＝OE OQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，将点E(3，－4)代入得3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5， 令y ＝0，得13x －5＝0， 解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又OP OM ＝OB OH ， ∴－m 5＝815， ∴m ＝－83；第21题解图②②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，延长CE ，交x 轴于点N ，如解图②，当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，又∵OE ＝32＋42＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB ，。
2018-2019年年九年级数学第8讲二次函数探究_二次函数与线段和差问题教案讲义
2灵活运用技知识讲解探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。
当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解。
例题精析例1已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、O M，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例2已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．例4如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．A。
初中数学 专题讲座 二次函数与线段的和差积商
专题讲座 二次函数与线段的和差积商方法技巧设点的坐标，直线的解析式，利用根与系数的关系，通过整体代入或消元求出定值。
题型一 等长线段例1 如图1，抛物线C 1: y=18x 2+c 交轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若OB=2OC (1)求c 的值(2)如图2，若抛物线C 2: y=14x 2+c ，过点C 的直线l 分别交第一象限的抛物线C 1，C 2于M ，N 两点，求证:CN=MN题型二 线段之和例2 如用，直线y=－32x+6分交x 轴，y 轴于A ，B 两点，抛物y=－18x 2+c 与轴交于点D （0，8)，点P 是地物线在第一象限部分上的一动点。
(1)求点A 的坐标及抛物线的解析式 (2)若PC ⊥x 轴于点C ，求PB+PC 的值题型三 线段之差例3 抛物线y=－12x 2+2x 交x 轴的正半轴于点A ，对称轴交x 轴于点M 、点P 为第三象限抛物上的一动点，直线PA ，PO 分别交抛物线的对称轴于点B ，点C ，求MC －MB 的值。
题型四 线段之积例4 如图，抛物线y=－12x 2+x+2与y 轴交于点C ，点Q （2，t)为抛物线上一点，过点A(O ，4)的直线与x轴左侧的抛物线交于点D ，E 两点，OD ，OE 分别交y 轴于点C ，求OG ・CH 的值题型五 线段之比例5 如图，抛物线过定点A(1，0)，它的顶点M 是y 轴正半轴上一动点，点M 关于x 轴的对称点为点N ，过点N 作x 轴的平行线交抛物线于B ，C 两点，直线AB 交y 轴于点P ，直线AC 交y 轴于点Q ，求OPOQ 的值。
针对练习1.如图，地物线y=一x2+4与ェ轴交于A，B两点，点C是第一象限内抛物线上一动点，连接AC交y轴于点E，连接BC并延长交y轴于点F，求OE+OF的值2.已知直线y=kx+2与抛物线y=ax2 (a>0)交于A，B两点。
若AM⊥y轴于点M，BN⊥y轴于点N，求OM·ON的值3.已知抛物线y=a(x2-cx-2c2)(a>0)交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，点C在y轴负半轴，直线BC交抛物的值线于点D，直线AC交抛物线于点E，EF⊥y轴于点F，若BD=CD，求EFAB4.如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方，已知直线的值・PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P运动时，求OE+OFOC。
中考数学专题突破：二次函数与线段和差问题
中考数学专题突破：二次函数和线段和差问题技巧一：求线段、周长、面积等各种最大值：常将这些量表示成自变量的一元二次方程，然后对该方程配方，即可在顶点处取得最大值。
技巧二：求线段、周长、面积等各种最小值：常通过已知定点找到动点所在直线的对称点，如果定点有两个动点也有两个常交换对称轴做对称点，然后根据两点间直线最短进行等量代换。
（注：在表述时对已知量等量代换后一定要说当那几点（直线上有几个就说几个）共线时距离最短）【2016广东贺州】如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c 经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【2016贵阳】如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标． 温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|x 1﹣x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|y 1﹣y 2|求出．【2016辽宁大连】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．【2016•盐城】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【2016株洲】已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．中考数学专题突破：二次函数和线段和差问题【2016广东贺州】如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c 经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．【2016贵阳】如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标． 温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|x 1﹣x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|y 1﹣y 2|求出．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，C 两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B 点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND 长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，可得点H 1的坐标，作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，可得点M 1的坐标连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，可得H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，再根据待定系数法可求直线H 1M 1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F 、E 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，∴A （﹣1，0），C （0，5），∵二次函数y=ax 2+4x+c 的图象过A ，C 两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5；（2）如图1，∵点B 是二次函数的图象与x 轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5得，点B 的坐标B （5，0），设直线BC 解析式为y=kx+b ，∵直线BC 过点B （5，0），C （0，5），∴，解得，∴直线BC 解析式为y=﹣x+5，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），则d=|﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）|，由题意可知：﹣n 2+4n+5＞﹣n+5，∴d=﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n 2+5n=﹣（n ﹣）2+，∴当n=时，线段ND 长度的最大值是； （3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，则点H 1的坐标为H 1（﹣2，9），作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，则点M 1的坐标为M 1（4，﹣5），连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，所以H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F 、E 即为所求，设直线H 1M 1解析式为y=k 1x+b 1，直线H 1M 1过点M 1（4，﹣5），H 1（﹣2，9），根据题意得方程组，解得，∴y=﹣x+，∴点F ，E 的坐标分别为（，0）（0，）．【2016辽宁大连】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是（0，）；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB 的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A，∴A（0，），∵点B与点O关于点A对称，∴BA=OA=，∴OB=，即B点坐标为（0，），故答案为：（0，）；（2）∵B点坐标为（0，），∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+，∴P点坐标为（﹣， +），当x=﹣时，代入抛物线解析式可得y=+，∴点P在抛物线上；（3）如图2，连接CC′，∵l∥y轴，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，在Rt△OBC中，OB=，则BC=1∴OC=，即P点的横坐标为，代入抛物线解析式可得y=（）2+=1，∴P点坐标为（，1）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【2016•盐城】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴解得，∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE=2ED，∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y=﹣x+，由解得或，∴点M坐标（﹣，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，3），在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，∴QC==2，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵==，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴点P坐标（﹣，）．∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【2016株洲】已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．【解答】解：（1）将k=代入二次函数可求得，y=x2+2x+=（x+1）2﹣，故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣）；（2）∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，=﹣kx+k2+k，yBC当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q 坐标为运用距离公式得：AQ 2=（）2+（）2=， 则OA 2=k 2，AB 2=1，故+=+1==，则．。
二次函数中求线段和差最短
1 二次函数压轴题专项练习（一） 由运动产生的线段和差问题一、线段的和最短问题例1、如图，已知抛物线的方程C 1:()()1y x 2(x m)m 0m=-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交 于点E ，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． 对应练习：1、如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．变一：已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．1、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P的坐标为13⎛- ⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y轴于点(0C ，．、（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ．判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．223x x -++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
1、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．二、线段的差最短问题例2、如图，抛物线2124y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；2 (2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ；(3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标1B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，2A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两，0)。
二次函数下的线段和差问题
类型一、二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短。
解题思路：利用函数自身的对称性找到某点关于直线的对称点，实现“折”转“直”，再结合函数的相关知识解题。
例题1、如图，抛物线y=x2﹣2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（）A．（﹣l，0）B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有．【分析】把直线y=3代入抛物线解析式得到A，B点的坐标，根据两点之间线段最短，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，则与x轴的交点即为点P的坐标．【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P．当y=3时代入到抛物线解析式得：x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1．则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3），∴B′（3，﹣3）．设直线AB′的解析式为：y=kx+b．代入A，B′求得：y=，则该直线与x轴的交点为：当y=0时，x=1．∴点P（1，0）．故选C．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线段最短，难度中等．例题2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=﹣=1，故P（1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．【点评】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．例题3、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；H8：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【专题】31 ：数形结合．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x 轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，令y=0，则7x﹣3=0，解得x=，所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．例题4、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD 的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．例题5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．类型二、二次函数与线段差最大问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边。
中考数学压轴题：二次函数中两线段的和最小问题(及差最大问题)
抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．1，（2012湖北恩施8分）【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。
（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小。
（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。
（4）如图，过点P 作PQ ⊥x轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2+x+2。
由图示以及三角形的面积公式知APCAPQ CPQ S S +S ∆∆∆=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩， 解得b=2c=3⎧⎨⎩。
∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。
设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，∵AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩，解得k=1n=1⎧⎨⎩。
∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。
（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。