南京师范大学_高等数学_期末试卷20套
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2023届江苏省南京师大附中高一数学第一学期期末统考试题含解析
扇形的周长：2+2+8＝12
故选：A
8、A
【解析】根据并集 定义求解即可.
【详解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根据并集的定义可知：
A∪B＝{1，2，3，4}，选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
9、A
【解析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选：A
A. B.
C. D.
7．已知扇形 的圆心角为 ，面积为8，则该扇形的周长为（）
A.12B.10
C. D.
8．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）
A.{1，2，3，4}B.{1，2，3}
C.{2，3，4}D.{1，3，4}
9．已知直线 和直线 ，则 与 之间的距离是（）
A. B.
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 （元）与每枚纪念章的销售价格 的函数关系式；
（2）当每枚纪念章销售价格 为多少元时，该特许专营店一年内利润 （元）最大，并求出这个最大值；
18．函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义证明 在 上是增函数.
19．设函数 （ω＞0），且 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
（2） 或
【解析】（1）先求集合B的补集，再与集合A取交集；
（2）把“ ”是“ ”的充分条件转化为集合A与B之间的关系再求解 的取值范围
【小问1详解】
时， ，
又
故
【小问2详解】
由题意知：“ ”是“ ”的充分条件，即
当 时， ， ，满足题意；
当 时， ，欲满足
则必须 解之得
江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析
江苏省南京市南京师大附中2025届数学高三第一学期期末学业质量监测试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．82．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 3．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．3(0,]4 C ．3[,1]4 D ．[1,)+∞4．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．85．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ） A．5 B．7 C- D．9-6．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64 8．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 9．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37 D ．92811．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京师范大学附属实验学校-第一学期高二数学期末考试试卷
S ←1While S <10S ←S +3M ←2S +3End while Print M学校 班级 考号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆南京师范大学附属实验学校2007-2008-1高二年级期末考试数学试卷（模拟）一、填空题（每题5分，共70分）1.函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内极值点的个数为2. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M 为3.某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为4．某徒工加工外形完全一样的甲、乙两种零件. 他加工的5个甲种零件中有2个次品，2 个乙种零件中有1个次品，现从这7个零件中随机抽取2个，则能查到甲种零件的次品 的概率为 （结果用分数表示）. 5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= . 6. 数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为7如果执行下面的程序框图，那么输出的S =1y x cos x,x [,]222ππ=-∈-的最8. 函数大值为 若a b ≥，则c >d ，命题Q ：若e f ≤，9. ．已知命题P ：则a b <。
若P 为真且Q 的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤的”10. 过抛物线2y ax (a 0)=<焦点为F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，则11AF BF+= 11. 物体的运动方程是S =10t －t 2 (S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 12. 直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为 ． 13. 若方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，则k 的取值范围是 14. 如下图，已知椭圆221/4y x +=，弦AB 所在直线方程为：022=-+y x ，现随机向椭圆内丢一粒豆子，则豆子落在图中阴影范围内的概率为_________。
江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2025届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2025届高三数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．202．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -5．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()277．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 9．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =，则AC 边上的高为（ ） A 5 B ．2C 5D ．15210．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高等数学_期末试卷20套
南京师范大学《高等数学》(下册)期末考试试卷1(6学时)学号 姓名 班级 成绩 一、填空题（4'⨯8=32'）：1、,,,a b c →→→为单位向量，且满足0a b c →→→++=则a b b c c a →→→→→→++= .2、曲线20y x z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转所得的曲面方程为 ．3、设函数22,z x xy y =++，则2zx y∂∂∂= ．4、球面2229x y z ++=在点(1,2,2)处的切平面方程为 ．5、设二次积分100(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I= ．6、闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数()(),,,P x y Q x y 在D 上有一阶连续偏导数，则有（格林公式）： .7、微分方程22x y y y e '''+-=的特解可设为 ．8、微分方程31dyx dx-=的通解为 ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、设积分区域D 由坐标面和平面236x y z ++=围成，则三重积D dv =⎰⎰⎰）． （A ）6； （B ）12； （C ）18；（D ）36．2、微分方程34"'(")30y y y y x ++-=的阶数是 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．3、设有平面:210x y z π-+-=和直线116:112x y z L -+-==-,则π与L 的夹．（A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π．4、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处满足关系 （ （A ）可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）⇔连续； （B ）可微⇒可导⇒连续；（C ）可微⇒可导，且可微⇒连续，但可导不一定连续； （D ）可导⇒连续，但可导不一定可微． 5、设无穷级数()311npn n∞-=-∑绝对收敛，则（A ）1p >； （B ）3p <； （C ）2p >； （D ）2p <． 三、计算题（6'5⨯=30'）：1、设函数(,,)u f x y z =可微，22z x y =-，求ux∂∂，u y ∂∂； 2、已知方程22243x y y z +-+=确定函数(,)z z x y =,求z zx y∂∂∂∂和； 3、求幂级数2112n n n x ∞-=∑的收敛域；4、将函数1()ln1xf x x+=-展开为x 的幂级数； 5、求微分方程2(21)0x dy xy x dx +-+=的通解； 四、（8'）求函数22(,)4()2f x y x y x y =---的极值．五、（7'）计算2()Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由直线,y x =2y x =2y =及所围成的闭区域．六、（8'）求旋转抛物面226z x y =--和锥面z =围成的立体的体积．期末考试试卷2(6学时)一、填空题（4'⨯7=28'）：1、已知直线过点(3,2,4)P -,(6,3,2)Q ,则直线方程为 ． 2、函数22(,)f x y =的定义域是 ．3、设函数2223x y z e +=,则全微分dz = ．4、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++ 的和函数为 ．5、幂级数1(1)2n nn x n ∞=-⋅∑的收敛半径R = ． 6、设C 是在第一象限内的圆：cos x t =，sin y t =（02t π≤≤），则Cxyds =⎰．7、微分方程"8'160y y y -+=的通解为 ． 二、选择题（'36⨯＝18'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是（A ）22149x y -+=；（B ）22223x y z +=；（C ）22z x y =-； （D ）22224x y z -+=．2、设'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，则在点00(,)x y 处函数(,)f x y （ ）． （A ）连续； （B ）一定取得极值； （C ）可能取得极值；（D ）全微分为零．3、下列无穷级数中，绝对收敛的是（A ）213sin 2n n n ∞=∑； （B）11n n -∞=； （C ）11(1)n n n -∞=-∑； （D ）2211n n n ∞=+∑． 4、设积分区域22:3D x y +≤，则二重积分(3)Ddxdy -⎰⎰（A ）9π-； （B ）3π-； （C ）3π；（D ）9π．5、微分方程2"2'35x y y y e -+=的一个特解为 （A ）259x e ； （B ）253x e ； （C ）22x e ； （D ）252x e ． 6、D 是点()()()0,0,1,0,1,1为顶点的三角形区域，(),f x y 在D 上连续，则二重积分(),Df x y σ=⎰⎰（A ）()1100,;dx f x y dy ⎰⎰ （B ）()110,;x dx f x y dy ⎰⎰ （C ）()100,;x dx f x y dy ⎰⎰ （D ）()100,.ydy f x y dx ⎰⎰ 三、计算题（6'4⨯=24'）：1、已知(1)x y z xy +=+，求函数z 在点(1,1)P 处的偏导数z zx y∂∂∂∂和； 2、设22()z f x y =+，f 具有二阶导数，求2zx y∂∂∂；3、判断级数21(1)1nn n ∞=-+∑的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；4、将函数2()ln(1)f x x =+展开为x 的幂级数； 四、（7'）求微分方程()230x y dx xdy -+=的通解．五、（8'）某厂要用铁板作成一个体积为32m 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？ 六、计算下列积分：1、（7'）计算(2)Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =和直线2y x =+所围成的闭区域．2、（8'）设积分区域Ω由上半球面z =及平面0z =所围成，求三重积分zdxdydz Ω⎰⎰⎰．期末考试试卷3(6学时)一、填空题（4'⨯8='32）：1、设(2,2,1)a = ，(4,5,3)b = ，则与a 、b 同时垂直的单位向量为____________．2、yoz 面上的抛物线22z y =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 ．3、若(,)f x y 在区域22:14D x y ≤+≤上恒等于1，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ ．4、设22(,)4()f x y x y x y =---，则其驻点为 ．5、级数13n n q ∞=∑收敛，则q 的取值为 ．6、设sin ,z uv t =+而,cos .t u e v t ==则全导数dzdt= . 7、微分方程'sin 0y y e x -=的通解为 ． 8、设函数(1)x z y =+，则(1,1)|dz = ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、过点（2，-8，3）且垂直于平面2320x y z +--=的直线方程是 （A ）(2)2(8)3(3)0x y z -++--=； （B ）283123x y z -+-==--； （C ）283123x y z +-+==-； （D ）283x y z==-．2、若函数(,)y y x z =由方程x y xyz e +=所确定，则yx∂=∂ （A ）(1)(1)y x x y --； （B ）(1)y x y -； （C ）1yzy-； （D ）(1)(1)y xz x y --． 3、二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数 '00(,)x f x y 和'00(,)y f x y 存在是函数在该点全微分存在的 （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件．4、积分⎰⎰y ydx )y ,x (f dy 10更换积分次序后为（（A ）⎰⎰1010),(dy y x f dx ； （B ）⎰⎰xx dy y x f dx ),(10； （C ）⎰⎰2),(10x x dy y x f dx ；（D ）⎰⎰xx dy y x f dx 2),(10．5、设12n n S a a a =++ （0,1,i a i n >= ），而无穷级数1n n a ∞=∑收敛，则下列说法不正确的是（A ）lim0n n a →∞=； （B ）lim n n S →∞存在； （C ）lim 0n n S →∞=； （D ）{}n S 为单调数列． 三、计算题（6'⨯3='18）：1、曲面224z x y =--上哪一点的切平面平行于平面2210x y z ++-=，并写出切平面方程；2、讨论级数11121(1)2n n n n ∞--=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 3、将函数21()22f x x x =-+展开为(1)x -的幂级四、（7'）求微分方程2"'2x y y y e +-=的通解．五、（7'）在所有对角线为求最大体积的长方体． 六、（7'）计算22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域．七、（7'）计算arctan Dyd xσ⎰⎰，其中D 是由圆22221,4x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限部分。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
南京师大附中2022-2023学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知 R,{13},2U A xx B x x ∣∣，则U A Bð（）A.,12, B. ,12, C.3, D.3, 【答案】C 【解析】【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵R,{13},2U A xx B x x ∣∣∴),3(A B ，则,()[)3U A B ð，故选：C.2.已知22log 3,log 5a b ，则18log 15 （）A.21a ba B.12a b aC.1a bD.1a b 【答案】B 【解析】【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．【详解】2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba ，故选：B ．3.设a b c d ,,,为实数，且c d ，则“a b ”是“”a c b d 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由a b 不能推出a c b d ，如2a ，3b ，0c =，1d ，满足a b ，但是a c b d ，故充分性不成立；当a c b d 时，又c d ，可得a c c b d d ，即a b ，故必要性成立；所以“a b ”是“”a c b d 的必要不充分条件.故选：B.4.函数 3ln f x x x的零点所在的大致区间为（）A.0,1 B.1,2 C.2,e D.e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知 f x 在 0, 递增，且 e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断 f x 在 0, 递增， 3e lne 0,3ln310ef f .由零点存在性定理知，函数 3ln f x x x的零点所在的大致区间为 e,3.故选:D.5.已知π1sin 63x ，则25πsin()2cos ()6π3x x 的值是（）A.59B.19C.59D.1423【答案】C 【解析】【分析】令π6t x ，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.【详解】令π6t x ，则π6 x t ，1sin 3t ，则2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t .故选：C.6.将函数 π2sin 43f x x 的图象向右平移π3个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 g x 的图象，则函数g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线3x对称B.图象关于点π,06成中心对称C. g x 的一个单调递增区间为5ππ,44D.曲线 g x 与直线y π6【答案】D 【解析】【分析】先利用题意得到 π2sin 23g x x ，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可【详解】函数 f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333y x x x ，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 π2sin 23g x x ，对于A ，因为ππsin 2sinπ01,33所以直线3x不是 g x 的对称轴，故A 错误；对于B ，ππ2π3sin 2sin0,6332所以图象不关于点π,06成中心对称，故B 错误；对于C ，当5ππ,44x ，则π13π5π2,366x ，因为正弦函数sin y x 在13π5π,66不单调，故5ππ,44 不是 g x 的一个单调递增区间，故C 错误；对于D ，当 g x sin 232x 则ππ22π33 x k 或2π2π,Z 3k k ，则πx k 或Z π6, k k ，则相邻交点距离最小值为π6，故D 正确故选：D.7.函数 22cos 1x xf x x的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性及 f x 在π0,2上的函数值正负逐个选项判断即可．【详解】因为 22cos 1x xf x x ，定义域为R ，所以 222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x，所以 f x 为奇函数，又因为π0,2x时 0f x ，所以由图象知D 选项正确，故选D ．8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ，用 x 表示不超过x 的最大整数，则 y x 称为高斯函数.例如：3.64,3.63 .已知函数 1e 21exx f x ，则函数 y f x f x 的值域是（）A.1,0 B.0 C.0,1 D.1,0,1 【答案】A 【解析】【分析】依题意可得 1121e xf x，再根据指数函数的性质讨论0x ，0x 和0x 时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为 1e 11e 11111121e21e 21e 21e x x xx x x f x ，定义域为R ，因为1e x y 在定义域上单调递增，则11exy 在定义域上单调递减，所以 1121exf x在定义域R 上单调递减，0x 时， 111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x， 00f 0x 时， 111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x；则0x 时， 101,f x f x0x 时， 011f x f x ，0x 时， 000f x f x .故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究 f x 的性质来研究 y f x f x的值域，突破难点.二､多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若,a b n 为正整数，则n n a bB.若0,0b a m ，则a m ab m bC.22222a ba b D.若0 ，则0sin 1 【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ，则n n a b ，故A 错误；对于B ，0,0b a m 时，a m aab bm ab am b a b m b，故B 正确；对于C ，由20,20a b ，则22222a b ab ，当且仅当a b 时取等号，故C 正确；对于D ，当π2时，πsin 12 ，故D 错误；故选：BC ．10.设m 为实数，已知关于x 的方程 2310mx m x ，则下列说法正确的是（）A.当3m 时，方程的两个实数根之和为0B.方程无实数根的一个必要条件是1mC.方程有两个不相等的正根的充要条件是01mD.方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m 【答案】BCD 【解析】【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误.【详解】对于A 选项，3m 时2310x 无实根，A 错误；对于B 选项，当0m 时方程有实根，当0m 时，方程无实根则2(3)40m m ，解得19m ，一个必要条件是1m ，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ，0 ，30m m ，10m ，解得01m ；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ，10m，解得0m ，D 正确；故选：BCD.11.设0,0a b ，已知22,a b M N ab a b，则下列说法正确的是（）A.M 有最小值B.M 没有最大值C.N 有最大值为2D.N 有最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】由均值不等式分别求出,M N 的最值，即可得出答案.【详解】,0a b 时 10,,2,AB b b a t M t a a b t，正确，0,0a b 时2a b ，则2C 2a b错误，D 正确；故选：ABD.12.设 为正实数，a 为实数，已知函数 4sin f x x a ，则下列结论正确的是（）A.若函数 f x 的最大值为2，则2a B.若对于任意的x R ，都有 πf x f x 成立，则2 C.当π3时，若 f x 在区间ππ,62上单调递增，则 的取值范围是10,3D.当a R ，函数 f x 在区间π0,2上至少有两个零点，则的取值范围是4, 【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以x 为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以x 为整体，结合正弦函数的性质分析判断.【详解】A 选项，由题意42a ，则2a ，A 正确；B 选项，若 πf x f x ，则 f x 的周期为π，设 f x 的最小正周期为T ，则()*2π=πkT k k ωN =Î，解得()*2ωk k N =Î，B 错误；C 选项，当π3时，∵ππ,62x，则πππππ,36323x ，若 f x 在区间ππ,62上单调递增，则0πππ632πππ232，解得10,3，C 正确；D 选项，由题意可得 2sin 2x，对 R ，在π0,2 上至少两个零点，∵π0,2x，则π,2x，若对 R ，在π0,2上至少两个零点，则π2π2，解得4 ，D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.命题“21,20x x ”的否定是__________.【答案】21,20x x 【解析】【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，则其否定为21,20x x .故答案为：21,20x x .14.已知2212sin cos 2sin cos，则tan __________.【解析】【分析】将已知式中分子221sin cos ，再分子分母同时除以2cos ，解方程即可得出答案.【详解】由题意222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1，即tan 12tan 1，则tan 3 .故答案为：3.15.设函数21,0()3,0xx x f x x ，则满足3()(32f x f x 的x 的取值范围是__________.【答案】 1, 【解析】【分析】结合函数解析式，对x 分三种情况讨论，分别计算可得.【详解】当0x 时， 33212141122f x f x x x x，则 332f x f x在0x 时无解；当302x时， 3332132222x x f x f x x x，在R 单调递增，1x 时132123 ，则 332f x f x的解集为31,2；当32x 时， 33022*******x x f x f x，则332f x f x在32x 时恒成立；综上， 332f x f x的解集为 1, .故答案为： 1, ．16.已知函数 f x 是定义在R 上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x 都有1()(1)x f x xf x 成立，则7(())2f f __________.【解析】【分析】根据解析式求出102f，进而得到若 10f x ，则 0f x ，从而求出7(())02f f .【详解】由 1()(1)x f x xf x ，令0x 可得 00f ，今12x可得11112222f f，由 f x 是偶函数可得1122f f，则102f，0,1x 时，若 10f x ，则 0f x ，则135702222f f f f，则7(())(0)02f f f .故答案为：0.三､解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17.设m R ，已知集合2321,2201x A xB x x m x m x∣∣.（1）当1m 时，求A B ；（2）若“x B ”是“x A ”的必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）3,12（2） 3, 【解析】【分析】（1）求出集合,A B ，由并集的定义即可得出答案.（2）由“x B ”是“x A ”的必要条件可得A B ，则322m，解不等式即可得出答案.【小问1详解】由3211x x 可得2301x x ，即 1230x x ，则3,12A， {210},1B x x m x m ∣时，13,1,,122B A B.【小问2详解】由“x B ”是“x A ”的必要条件可得A B ，则322m，则3m ，实数m 的取值范围是 3, .18.设tan 2 ，计算下列各式的值：（1）2sin cos 3sin cos；（2）22sin sin cos.【答案】（1）1（2）5【解析】【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以cos ，代入求解即可；（2）将分子2看成222sin cos ，所求表达式分子分母同时除以2cos ，代入求解即可；【小问1详解】原式2tan 122113tan 1321；【小问2详解】原式22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22.19.设函数 f x 和 g x 的定义域为 1,1 ，若 f x 是偶函数， g x 是奇函数，且()2lg(1)f x g x x .（1）求函数 f x 和 g x 的解析式；（2）判断 f x 在 0,1上的单调性，并给出证明.【答案】（1） lg(1)lg(1)f x x x ， lg 1lg 1g x x x （2）单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于 f x 和 g x 得方程组，进而求出它们的解析式；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】由 ()2lg(1)f x g x x ，可得 ()2lg(1)f x g x x ，由 f x 为偶函数， g x 为奇函数，可得 ()2lg(1)f x g x x ，则 lg(1)lg(1)f x x x ， lg 1lg 1g x x x ；【小问2详解】由（1）得 2lg(1)f x x f x 在 0,1单调递减，证明如下：取任意1212,(0,1),x x x x Î<，22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x 由1201x x <<<，可得2212110x x ，则2122111x x ，则 2112221lg 01x f x f x x ，则 12f x f x ，则 f x 在 0,1单调递减.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条长为m l 的栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且OAB .点H 在线段AB 上，且OH AB .线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）当养殖观赏鱼的面积最小时，求l 的长度；（2）若游客可以在河岸OA 与栈道AH 上投喂金鱼，在栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂1 ，求 的取值范围.【答案】（1）；（2）ππ,42.【解析】【分析】（1）过D 作,DM DN 垂直于,OA OB，求得,tan AM BN，从而得出养殖观赏鱼的面积113tan 2tan OAB S OA OB，利用基本不等式可求得OAB S 最小时 的值，进而求得l 的长度；（2）由π2AOB OHA，可得BOH ，则,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH，由题意1BHOA AH，则tan 111sin tan，化切为弦可得1cos π0,2即可求得结果.【小问1详解】过D 作,DM DN 垂直于,OA OB ，垂足分别为,M N，则DM ON DN OM,tan tan tan DMAM BN DN，养殖观赏鱼的面积1113tan 22tan tan OAB S OA OB，由π0,2可得tan 0，则13tan tan ，当且仅当3tan 3 即π6 时取等号，则OAB S 最小时，π6，此时l的长度为1sin cos 22DM DNl；【小问2详解】由π2AOB OHA ，可得BOH ，则,,tan sin tan OHOH OA AH BH OH，由题意1BHOA AH，则tan 111sin tan，而22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin，则1cos ，由π0,2可得cos 0，则cos 2 ，则ππ,42 .21.设a 为实数，已知函数 122xxf x， ln ln 2g x x x a .（1）若函数 f x 和 g x 的定义域为1, ，记 f x 的最小值为1M ， g x 的最小值为2M .当21M M 时，求a 的取值范围；（2）设x 为正实数，当 0g x 恒成立时，关于x 的方程0f g x a 是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】（1）5,2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出 f x 和 g x 的最小值12,M M ，然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得 g x 的最小值为1a ，由题意可得1a ，当 0g x时,()21g x ，()112g x ，可得 0f g x a ，即可得出结论.【小问1详解】当1x 时，函数2x y 和12x y 均单调递增，所以函数 122xx f x 单调递增，故当1x 时， f x 取最小值32，则132M ；当1x 时，ln 0x ， 2ln 11g x x a ，则当ln 10x ，即e x 时， g x 取最小值1a ，即21M a ，由题意得312a ，则52a ，即a 的取值范围是5,2；【小问2详解】当0x 时，ln R x ， 2ln 11g x x a ，则当ln 10x ，即e x 时， g x 取最小值为1a ，则 0g x 恒成立时，有10a ，即1a ，当 0g x 时，()21g x ，()112g x ，则()()1202g x g x f g x，则 0f g x a ，故关于x 的方程0f g x a 不存在实数解.22.设a R ，函数 2πsin cos ,,π2f x x x a x.（1）讨论函数 f x 的零点个数；（2）若函数 f x 有两个零点12,x x ，求证：123π2x x .【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数 f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123π2x x .【小问1详解】2cos cos 1f x x x a ，令 0f x ，即2cos cos 1x x a ，π,π2x时， 21cos 1,0,,0,04t x t t f x 即21t t a ，10a 或114a 即 5,1,4a时，21t t a 无解；114a 即54a 时，21t t a 仅有一解12t ，此时x 仅有一解2π3；1104a即514a 时，21t t a 有两解12t ，1cos 2x f x 有两个零点；综上， 5,1,4a时， f x 无零点，54a 时， f x 有一个零点，5,14a时， f x 有两个零点；【小问2详解】f x 有两个零点时，令1122cos ,cos t x t x ，则12,t t 为21t t a 两解，则121t t ，则12cos cos 1x x ，则221122cos 2cos cos cos 1x x x x ，由12π,,π2x x可得12cos 0,cos 0x x ，则122cos cos 0x x ，则2212cos cos 1x x ，则2221223πcos sin cos 2x x x，由2π,π2x可得223ππ3π,π,cos 0222x x，则123πcos cos 2x x ，由cos y x 在π,π2递减，可得123π2x x，则123π2x x .【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
南京师范大学_高等数学_期末试卷20套
南京师范大学《高等数学》(下册)期末考试试卷1(6学时)学号 姓名 班级 成绩 一、填空题（4'⨯8=32'）：1、,,,a b c →→→为单位向量，且满足0a b c →→→++=则a b b c c a →→→→→→++= .2、曲线20y x z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转所得的曲面方程为 ．3、设函数22,z x xy y =++，则2zx y∂∂∂= ．4、球面2229x y z ++=在点(1,2,2)处的切平面方程为 ．5、设二次积分100(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I= ．6、闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数()(),,,P x y Q x y 在D 上有一阶连续偏导数，则有（格林公式）： .7、微分方程22x y y y e '''+-=的特解可设为 ．8、微分方程31dyx dx-=的通解为 ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、设积分区域D 由坐标面和平面236x y z ++=围成，则三重积分D dv =⎰⎰⎰（ ）．（A ）6； （B ）12； （C ）18；（D ）36．2、微分方程34"'(")30y y y y x ++-=的阶数是 （ ）．（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4． 3、设有平面:210x y z π-+-=和直线116:112x y z L -+-==-,则π与L 的夹角 （A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π．4、二元函数(,f x y 在点00(,)x y 处满足关系（ ）．（A ）可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）⇔连续； （B ）可微⇒可导⇒连续；（C ）可微⇒可导，且可微⇒连续，但可导不一定连续； （D ）可导⇒连续，但可导不一定可微． 5、设无穷级数()311npn n ∞-=-∑绝对收敛，则（ ）．（A ）1p >； （B ）3p <； （C ）2p >； （D ）2p <． 三、计算题（6'5⨯=30'）：1、设函数(,,)u f x y z =可微，22z x y =-，求u x ∂∂，uy∂∂； 2、已知方程22243x y y z +-+=确定函数(,)z z x y =,求z zx y∂∂∂∂和；3、求幂级数2112n n n x ∞-=∑的收敛域；4、将函数1()ln1xf x x+=-展开为x 的幂级数； 5、求微分方程2(21)0x dy xy x dx +-+=的通解； 四、（8'）求函数22(,)4()2f x y x y x y =---的极值．五、（7'）计算2()Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由直线,y x =2y x =2y =及所围成的闭区域．六、（8'）求旋转抛物面226z x y =--和锥面z =围成的立体的体积．期末考试试卷2(6学时)一、填空题（4'⨯7=28'）：1、已知直线过点(3,2,4)P -,(6,3,2)Q ,则直线方程为 ．2、函数22(,)f x y =的定义域是 ．3、设函数2223x y z e +=,则全微分dz = ．4、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++的和函数为 ．5、幂级数1(1)2n nn x n ∞=-⋅∑的收敛半径R = ． 6、设C 是在第一象限内的圆：cos x t =，sin y t =（02t π≤≤），则Cxyds =⎰．7、微分方程"8'160y y y -+=的通解为 ． 二、选择题（'36⨯＝18'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是（ ）．（A ）22149x y -+=；（B ）22223x y z +=；（C ）22z x y =-； （D ）22224x y z -+=．2、设'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，则在点00(,)x y 处函数(,)f x y （ ）． （A ）连续； （B ）一定取得极值； （C ）可能取得极值；（D ）全微分为零．3、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （ ）.（A ）213sin 2n n n ∞=∑； （B）1n n -∞=； （C ）11(1)n n n -∞=-∑； （D ）2211n n n∞=+∑． 4、设积分区域22:3D x y +≤，则二重积分(3)Ddxdy -⎰⎰（ ）． （A ）9π-； （B ）3π-； （C ）3π；（D ）9π．5、微分方程2"2'35x y y y e -+=的一个特解为 （ ）．（A ）259x e ； （B ）253x e ； （C ）22x e ； （D ）252x e ． 6、D 是点()()()0,0,1,0,1,1为顶点的三角形区域，(),f x y 在D 上连续，则二重积分(),Df x y σ=⎰⎰（ ）.（A ）()1100,;dx f x y dy ⎰⎰ （B ）()110,;x dx f x y dy ⎰⎰ （C ）()100,;xdx f x y dy ⎰⎰ （D ）()100,.ydy f x y dx ⎰⎰ 三、计算题（6'4⨯=24'）：1、已知(1)x y z xy +=+，求函数z 在点(1,1)P 处的偏导数z zx y∂∂∂∂和；2、设22()z f x y =+，f 具有二阶导数，求2zx y∂∂∂；3、判断级数21(1)1nn n ∞=-+∑的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；4、将函数2()ln(1)f x x =+展开为x 的幂级数；四、（7'）求微分方程()230x y dx xdy -+=的通解．五、（8'）某厂要用铁板作成一个体积为32m 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？六、计算下列积分：1、（7'）计算(2)Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =和直线2y x =+所围成的闭区域．2、（8'）设积分区域Ω由上半球面z =0z =所围成，求三重积分zdxdydz Ω⎰⎰⎰．期末考试试卷3(6学时)一、填空题（4'⨯8='32）：1、设(2,2,1)a =，(4,5,3)b =，则与a 、b 同时垂直的单位向量为____________．2、yoz 面上的抛物线22z y =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 ．3、若(,)f x y 在区域22:14D x y ≤+≤上恒等于1，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ ．4、设22(,)4()f x y x y x y =---，则其驻点为 ．5、级数13n n q ∞=∑收敛，则q 的取值为 ．6、设sin ,z uv t =+而,cos .t u e v t ==则全导数dzdt= . 7、微分方程'sin 0y y e x -=的通解为 ．8、设函数(1)x z y =+，则(1,1)|dz = ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、过点（2，-8，3）且垂直于平面2320x y z +--=的直线方程是（ ）．（A ）(2)2(8)3(3)0x y z -++--=； （B ）283123x y z -+-==--； （C ）283123x y z +-+==-； （D ）283x y z==-．2、若函数(,)y y x z =由方程x y xyz e +=所确定，则yx∂=∂ （ ）． （A ）(1)(1)y x x y --； （B ）(1)y x y -； （C ）1yzy-； （D ）(1)(1)y xz x y --． 3、二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数 '00(,)x f x y 和'00(,)y f x y 存在是函数在该点全微分存在的 （ ）．（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件．4、积分⎰⎰y ydx )y ,x (f dy 10更换积分次序后为（ ）． （A ）⎰⎰1010),(dy y x f dx ； （B ）⎰⎰xx dy y x f dx ),(10； （C ）⎰⎰2),(10x x dy y x f dx ；（D ）⎰⎰xx dy y x f dx 2),(10．5、设12n n S a a a =++（0,1,i a i n >=），而无穷级数1n n a ∞=∑收敛，则下列说法不正确的是（ ）．（A ）lim 0n n a →∞=； （B ）lim n n S →∞存在； （C ）lim 0n n S →∞=； （D ）{}n S 为单调数列．三、计算题（6'⨯3='18）：1、曲面224z x y =--上哪一点的切平面平行于平面2210x y z ++-=，并写出切平面方程；2、讨论级数11121(1)2n n n n ∞--=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.3、将函数21()22f x x x =-+展开为(1)x -的幂级数；四、（7'）求微分方程2"'2x y y y e +-=的通解．五、（7'）在所有对角线为六、（7'）计算22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域．七、（7'）计算arctan Dyd xσ⎰⎰，其中D 是由圆22221,4x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限部分。
2019-2020学年江苏省南京师大附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南京师大附中高二第二学期期末数学试卷一、单选题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则（）A．A∩B＝{x|0＜x＜1}B．A∩B＝{x|0＜x＜3}C．A∪B＝{x|1＜x＜2}D．A∪B＝{x|0＜x＜3}2．若复数z满足（3﹣i）z＝2+6i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．3D．43．函数f（x）＝的定义域为（）A．[0，4）B．（4，+∞）C．[0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）4．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，则P（X＞4）＝（）A．0.16B．0.32C．0.66D．0.685．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012P x4x5x 由此可以得到期望E（X）与方差D（X）分别为（）A．E（X）＝1.4，D（X）＝0.2B．E（X）＝0.44，D（X）＝1.4C．E（X）＝1.4，D（X）＝0.44D．E（X）＝0.44，D（X）＝0.26．已知函数f（x）＝e|x|+|x|，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．B．C．D．7．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村8．对于∀x1∈（1，2），∃x2∈（1，2），使得＝，则实数m的取值范围（）A．[0，2]B．（﹣∞，2]C．（0，2）D．（﹣∞，2）二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A．目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4B．目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4C．目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4D．目标被命中的概率为1﹣0.5×0.610．已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（）A．f（x）图象关于原点对称B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立11．若a＞0，b＞0，则下面几个结论正确的有（）A．若a≠1，b≠1，则log a b+log b a≥2B．C．若+＝2，则a+b≥D．若ab+b2＝2，则a+3b≥412．已知函数f（x）满足：当﹣3≤x＜0时，f（x）＝e x（x+1），下列命题正确的是（）A．若f（x）是偶函数，则当0＜x≤3时，f（x）＝e x（x+1）B．若f（﹣3﹣x）＝f（x﹣3），则g（x）＝f（x）+在x∈（﹣6，0）上有3个零点C．若f（x）是奇函数，则∀x1，x2∈[﹣3，3]，|f（x1）﹣f（x2）|＜2D．若f（x+3）＝f（x），方程[f（x）]2﹣kf（x）＝0在x∈[﹣3，3]上有6个不同的根，则k的范围为﹣三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+＝6，则z的实部为，虚部为．14．设函数f（x）＝则f（f（0））＝，若f（m）＞1，则实数m 的取值范围是．15．某校在高二年级开设校本课程选修课，有5名同学要求改选中国文化史，现中国文化史开有三个班（A班、B班、C班），若A班至少接收2名同学，其余两班每班至少接收1名同学，则不同的接收方案共有种．16．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣k|x+1|有三个零点，则实数k的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m ＜2）成立．（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．18．已知（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R．（1）若n＝8，a7＝1024．求λ的值；（2）若λ＝﹣2，n＝2020，求a0+a2+a4+…+a2020的值．19．近年来，国家对西部发展出台了很多优惠政策，为了更有效促进发展，需要对一种旧能源材料进行技术革新，为了了解此种材料年产量x（吨）对价格y（万元/吨）和年利润：（万元）的影响，有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表，若＝5.5．x12345y8764c （1）求表格中c的值；（2）求y关于x的线性回归方程＝x+；（3）若每吨该产品的成本为2万元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取得最大值？参考公式：＝，＝﹣．20．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取100名观众进行调查，将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“，数据统计如表：体育迷（人）非体育迷（人）男2025女1045（1）是否有99%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）该体育类节目为了提升收视率，规定“体育迷”每天奖励积分2分，“非体育迷”每天奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的物品．用表中的样本频率作为概率的估计值．某日3名观众来领取积分，记此3人当日的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82821．已知函数f（x）＝，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f′（x）+lnx﹣mx2﹣1，若存在x∈[，1]，使得不等式g（x）＜﹣2成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x﹣y﹣2＝0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在k∈Z，对任意x＞0，使得2f（x+1）﹣kx＞0成立，若存在，求k的最大值；若不存在，说明理由．（参考数据：e2＝7.39，e3＝20.1）参考答案一、单选题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则（）A．A∩B＝{x|0＜x＜1}B．A∩B＝{x|0＜x＜3}C．A∪B＝{x|1＜x＜2}D．A∪B＝{x|0＜x＜3}【分析】进行交集和并集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}，A∪B＝{x|0＜x＜3}．故选：D．2．若复数z满足（3﹣i）z＝2+6i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知等式变形，再由商的膜等于模的商求解．解：∵（3﹣i）z＝2+6i，∴z＝，则|z|＝||＝，故选：B．3．函数f（x）＝的定义域为（）A．[0，4）B．（4，+∞）C．[0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：函数f（x）＝中，令，解得x≥0且x≠4；所以f（x）的定义域为[0，4）∪（4，+∞）．故选：C．4．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，则P（X＞4）＝（）A．0.16B．0.32C．0.66D．0.68【分析】根据正态分布密度函数的特点，结合μ＝2，可知P（X≥0）＝0.84＝P（X≤4），则P（X＞4）即可求出．解：由已知得μ＝2，故P（X≥0）＝P（X≤4）＝0.84，所以P（X＞4）＝1﹣P（X≤4）＝1﹣0.84＝0.16．故选：A．5．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012P x4x5x 由此可以得到期望E（X）与方差D（X）分别为（）A．E（X）＝1.4，D（X）＝0.2B．E（X）＝0.44，D（X）＝1.4C．E（X）＝1.4，D（X）＝0.44D．E（X）＝0.44，D（X）＝0.2【分析】由概率的性质得x+4x+5x＝1，解得x＝0.1，再根据期望与方差的公式可得．解：由概率的性质得x+4x+5x＝1，解得x＝0.1，E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.5＝1.4，D（X）＝（0﹣1.4）2×0.1+（1﹣1.4）2×0.4+（2﹣1.4）2×0.5＝0.44，故选：C．6．已知函数f（x）＝e|x|+|x|，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先利用函数奇偶性的定义证明f（x）是偶函数，于是原不等式可等价为f（|2x ﹣1|）＜f（），再结合基本初等函数的单调性，可知当x＞0时，f（x）单调递增，所以|2x﹣1|＜，解之即可．解：函数的定义域为R，且f（﹣x）＝e|﹣x|+|﹣x|＝e|x|+|x|＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，于是原不等式可等价为f（|2x﹣1|）＜f（），∵当x＞0时，f（x）＝e x+x在区间[0，+∞）上单调递增，∴|2x﹣1|＜，解得，故选：A．7．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，计算对应的概率值即可得出结论．解：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，所以，计算，，，，所以，即有1个或2个深度贫困村的概率为．故选：B．8．对于∀x1∈（1，2），∃x2∈（1，2），使得＝，则实数m的取值范围（）A．[0，2]B．（﹣∞，2]C．（0，2）D．（﹣∞，2）【分析】设f（x1）＝，g（x2）＝，则f（x1）＝＝4（x1﹣1）+，由对勾函数的性质可得f（x1）的值域为M＝[4，+∞）；g（x2）＝＝m+在x2∈（1，2）上单调递减，由反比例函数的性质可得g（x2）的值域为N＝（m+2，+∞）．由题可知，M⊆N，所以4＞m+2，解之即可．解：设f（x1）＝，g（x2）＝，因为x1∈（1，2），所以x1﹣1∈（0，1），f（x1）＝＝＝4（x1﹣1）+≥2＝4，当且仅当4（x1﹣1）＝，即时，等号成立，所以f（x1）的值域为M＝[4，+∞）．g（x2）＝＝m+在x2∈（1，2）上单调递减，所以g（x2）的值域为N＝（m+2，+∞）．由题可知，M⊆N，所以4＞m+2，解得m＜2．所以实数m的取值范围为（﹣∞，2）．故选：D．二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）9．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A．目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4B．目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4C．目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4D．目标被命中的概率为1﹣0.5×0.6【分析】利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，对于A，目标恰好被命中一次的概率为0.5×0.6+0.5×0.4，故A错误；对于B，利用相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为0.5×0.4，故B正确；对于C，目标被命中的概率为0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.4，故C错误；对于D，由对立事件概率计算公式得：目标被命中的概率为1﹣0.5×0.6，故D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（）A．f（x）图象关于原点对称B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立【分析】根据指数幂的运算法则和指数函数的性质，分别判断函数的奇偶性，单调性和值域即可．解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．C．f（x）＝＝＝1﹣，∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，0＜＜2，﹣2＜﹣＜0，﹣1＜1﹣＜1，即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，D．f（x）＝＝＝1﹣，∵y＝1+2x为增函数，y＝为减函数，y＝﹣为增函数，∴y＝1﹣为增函数，则∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＞0恒成立，故D错误，故正确的是AC，故选：AC．11．若a＞0，b＞0，则下面几个结论正确的有（）A．若a≠1，b≠1，则log a b+log b a≥2B．C．若+＝2，则a+b≥D．若ab+b2＝2，则a+3b≥4【分析】A，举反例，如a＝2，b＝；B，由a2+b2≥2ab，得2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，两边同时除以（a+b）2，整理后即可得证；C，根据“乘1法”和基本不等式的性质即可得证；D，由题知，a＝，故a+3b＝+3b＝2（b+），再利用基本不等式的性质即可得证．解：对于选项A，若a＝2，b＝，则log a b+log b a＝+＝﹣2＜0，所以A 错误；对于选项B，在a＞0，b＞0的条件下，因为a2+b2≥2ab，所以2（a2+b2）≥a2+b2+2ab ＝（a+b）2，所以，即，所以B正确；对于选项C，a+b＝（a+b）•（+）＝（1+++4）≥•（5+2）＝，当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立，所以C正确；对于选项D，因为ab+b2＝2，所以a＝，所以a+3b＝+3b＝＝2（b+）≥2×＝4，当且仅当b＝，即b＝1时，等号成立，所以D正确．故选：BCD．12．已知函数f（x）满足：当﹣3≤x＜0时，f（x）＝e x（x+1），下列命题正确的是（）A．若f（x）是偶函数，则当0＜x≤3时，f（x）＝e x（x+1）B．若f（﹣3﹣x）＝f（x﹣3），则g（x）＝f（x）+在x∈（﹣6，0）上有3个零点C．若f（x）是奇函数，则∀x1，x2∈[﹣3，3]，|f（x1）﹣f（x2）|＜2D．若f（x+3）＝f（x），方程[f（x）]2﹣kf（x）＝0在x∈[﹣3，3]上有6个不同的根，则k的范围为﹣【分析】根据函数的性质（单调性、奇偶性、最值）和导数与函数单调性的关系依次判断即可．解：对于A选项：若f（x）是偶函数，当0＜x≤3时，则﹣3≤﹣x＜0，所以f（x）＝f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），故A错误；对于B选项：若f（﹣3﹣x）＝f（x﹣3），则函数f（x）关于直线x＝﹣3对称，当﹣3＜x＜0时，g（x）＝f（x）+＝e x（x+1）+，∴g′（x）＝e x（x+2），∴当﹣2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当﹣3＜x＜﹣2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，因为g（﹣3）＝0，g（﹣2）＝，g（0）＝1+＞0，由零点存在定理可得函数g（x）在区间（﹣2，0）存在一个零点，即当﹣3＜x＜0时，函数g（x）有一个零点，根据函数对称性可知，当﹣6＜x＜﹣3时，函数g（x）也有一个零点，又因为g（﹣3）＝0，即﹣3也是函数g（x）的零点，于是函数g（x）在x∈（﹣6，0）上有3个零点，故B正确；对于C选项：若f（x）是奇函数，当﹣3＜x＜0 时，f′（x）＝e x（x+2），当﹣2＜x＜0 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，f （x）单调递减，又因为f（﹣3）＝，f（﹣2）＝，x→0﹣，f（x）→1，∴，结合奇函数图象及其性质可知函数f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪{0}∪[﹣e﹣2，1），于是有∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，故C正确；对于D选项：若f（x+3）＝f（x），即函数f（x）的周期为3，、所以方程[f（x）]2﹣kf（x）＝0在x∈[﹣3，3]上有6个不同的根，即方程[f（x）]2﹣kf（x）＝0在x∈[﹣3，0）上有3个不同的根，当x∈[﹣3，0）时，由[f（x）]2﹣kf（x）＝0⇒f（x）＝0或f（x）＝k，由C选项单调性分析可知，方程f（x）＝0有1个解，故方程f（x）＝k有2个解，由数形结合易得k的取值范围为，故D错误．故选：BC．三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）13．已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+＝6，则z的实部为3，虚部为4．【分析】设复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），且a＞0，b＞0，由z+＝6可求出a的值，再由|z|＝5求出b的值即可．解：设复数z＝a+bi（a∈R，b∈R），且a＞0，b＞0，∵|z|＝5，z+＝6，∴，a+bi+a﹣bi＝6，∴a＝3，b＝4，∴z的实部为3，虚部为4，故答案为：3，4．14．设函数f（x）＝则f（f（0））＝0，若f（m）＞1，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（e，+∞）．【分析】推导出f（0）＝1﹣0＝1，从而f（f（0））＝f（1；由f（m）＞1，得：当m ≥1时，f（m）＝lnm＞1，当m＜1时，f（m）＝1﹣m＞1，由此能求出实数m的取值范围．解：∵函数f（x）＝∴f（0）＝1﹣0＝1，f（f（0））＝f（1）＝ln1＝0，∵f（m）＞1，∴当m≥1时，f（m）＝lnm＞1，解得m＞e，当m＜1时，f（m）＝1﹣m＞1，解得m＜0，∴实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（e，+∞）．故答案为：0，（﹣∞，0）∪（e，+∞）．15．某校在高二年级开设校本课程选修课，有5名同学要求改选中国文化史，现中国文化史开有三个班（A班、B班、C班），若A班至少接收2名同学，其余两班每班至少接收1名同学，则不同的接收方案共有80种．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A班接收3同学，其余两班每班各接收1名同学，②A班接收2同学，其余两班分别接收2个和1个学生，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①A班接收3同学，其余两班每班各接收1名同学，有C53×A22＝20种接收方法，②A班接收2同学，其余两班分别接收2个和1个学生，有C52×C32×A22＝60接收方法，则有20+60＝80种不同的接收方案；故答案为：8016．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣k|x+1|有三个零点，则实数k的取值范围是（0，6﹣4）．【分析】画出函数f（x）＝，的图象，由图象可得k的范围．解：画出函数f（x）＝，的图象（如下），由图象可得k＞0．当y＝k（x+1）与y＝﹣x2+4x﹣3，（1＜x＜3）相切时，联立可得x2+（k﹣4）x+k+3＝0．△＝（k﹣4）2﹣4（k+3）＝0．解得k＝6﹣4．函数g（x）＝f（x）﹣k|x+1|有三个零点，则实数k的取值范围（0，6﹣4）．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m ＜2）成立．（1）若p为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．【分析】（1）根据不等式恒成立转化为判别式△＜0，进行求解即可．（2）求出q的等价条件，结合p是q的必要不充分条件，转化为不等式关系进行求解即可．解：（1）若p为真命题，则判别式△＝k2﹣4k＜0，得0＜k＜4，即实数k的取值范围是（0，4）．（2）由（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）得m≤k≤2，即q：m≤k≤2若p是q的必要不充分条件，即q⇒p，反之不成立，即当m≤k≤2时，x2+kx+k＞0恒成立，即[m，2]⫋（0，4），即0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2）．18．已知（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R．（1）若n＝8，a7＝1024．求λ的值；（2）若λ＝﹣2，n＝2020，求a0+a2+a4+…+a2020的值．【分析】（1）直接根据二项式系数的性质代入求解即可；（2）令x＝1得（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020＝1，令x＝﹣1得（1+2）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2019+a2020＝32020，两式相加可求得结果；解：（1）由题知（1+λx）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，a7＝λ7＝1024，解得λ＝2．（2）当λ＝﹣2，n＝2020时，（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，令x＝1得（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020＝1，令x＝﹣1得（1+2）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2019+a2020＝32020，两式相加整理可得：a0+a2+a4+…+a2020＝（32020+1）．19．近年来，国家对西部发展出台了很多优惠政策，为了更有效促进发展，需要对一种旧能源材料进行技术革新，为了了解此种材料年产量x（吨）对价格y（万元/吨）和年利润：（万元）的影响，有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表，若＝5.5．x12345y8764c （1）求表格中c的值；（2）求y关于x的线性回归方程＝x+；（3）若每吨该产品的成本为2万元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取得最大值？参考公式：＝，＝﹣．【分析】（1）利用样本中心的纵坐标，求解c；（2）利用已知条件，求出与的值，得到回归直线方程；（3）求出年利润的表达式，利用二次函数的性质求解产量为多少时，年利润取得最大值．解：（1）（8+7+6+4+c）＝5.5，解得c＝2.5；（2）∵＝8+14+18+16+12.5＝68.5，＝12+22+32+42+52＝55，∵，＝5.5，∴＝＝﹣1.4．＝＝5.5﹣（﹣1.4）×3＝9.7，y关于x的线性回归方程：＝﹣1.4x+9.7；（3）年利润z＝（﹣1.4x+9.7﹣2）x＝﹣1.4x2+7.7x，∴x＝﹣＝2.75吨时，年利润取得最大值．故当年产量为2.75吨时，年利润z取得最大值．20．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取100名观众进行调查，将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“，数据统计如表：体育迷（人）非体育迷（人）男2025女1045（1）是否有99%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）该体育类节目为了提升收视率，规定“体育迷”每天奖励积分2分，“非体育迷”每天奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的物品．用表中的样本频率作为概率的估计值．某日3名观众来领取积分，记此3人当日的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）作出列联表，求出K2≈8.129＞6.635，从而有99%的把握认为“体育迷”与性别有关．（2）“体育迷”的概率为，“非体育迷”的概率为，ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．解：（1）作出列联表：体育迷（人）非体育迷（人）合计男202545女104555合计3070100K2＝＝≈8.129＞6.635，∴有99%的把握认为“体育迷”与性别有关．（2）用表中的样本频率作为概率的估计值，得到“体育迷”的概率为，“非体育迷”的概率为，某日3名观众来领取积分，记此3人当日的积分总和为随机变量ξ，则ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（）3＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ3456PE（ξ）＝＝3.9．21．已知函数f（x）＝，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f′（x）+lnx﹣mx2﹣1，若存在x∈[，1]，使得不等式g（x）＜﹣2成立，求m的取值范围．【分析】（1）先求导得f′（x）＝（2x﹣1）（mx﹣1），然后分m＝0，m＜0，m＝2，m＞2和0＜m＜2，五种情况讨论导函数f′（x）的正负，进而得原函数f（x）的单调性．（2）根据题意可得g（x）＝mx2﹣（m+2）x+lnx，求导得g′（x）＝，然后分＜，＝和＞，三种情况讨论函数g（x）的单调性及最值，再根据条件得到g（x）min＜﹣2，进一步求出m的取值范围．解：（1）f′（x）＝2mx2﹣（m+2）x+1＝（2x﹣1）（mx﹣1），当m＝0时，f′（x）＝﹣2x+1，在（﹣∞，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当m＜0时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当m＞0时，若＝，即m＝2时，在（﹣∞，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，若＞，即m＞2时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，若＜，即0＜m＜2时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上，当m＝0时，在（﹣∞，）上f（x）单调递增；在（，+∞）上，f（x）单调递减，当m＜0时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f（x）单调递减；在（，）上，f（x）单调递增，当m＝2时，在（﹣∞，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，当m＞2时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f（x）单调递增；在（，）上，f（x）单调递减，当0＜m＜2时，在（﹣∞，），（，+∞）上，f（x）单调递增；在（，）上，（x）单调递减．（2）g（x）＝f′（x）+lnx﹣mx2﹣1＝mx2﹣（m+2）x+lnx，若存在x∈[，1]，使得不等式g（x）＜﹣2成立，则[g（x）]min＜﹣2，g′（x）＝＝，令g′（x）＝0，得x1＝，x2＝，当＜时，即m＞2时，令g′（x）＞0，得0＜x＜，或x＞；令g′（x）＜0，得＜x＜，故函数g′（x）在区间（0，）上单调递增，在（，）上但递减，在（，+∞）上单调递增，当＝时，即m＝2时，g′（x）≥0恒成立，故g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以当m≥2时，在区间[，1]上，g（x）单调递增，所以g（x）min＝f（）＝﹣+ln＜﹣2，解得m≥2当＞时，即0＜m＜2时，①若＜＜1时，即1＜m＜2时，由g（x）在区间（，）上单调递减，在区间（，1）上单调递增，所以g（x）min＝g（）＝﹣+ln＝﹣+ln﹣1，令＝t∈（，1），h（t）＝﹣t+lnt﹣1（＜t＜1），则h′（t）＝﹣1+＞0，函数h（t）在区间（，1）上单调递增，所以h（t）＜h（1）＝﹣2恒成立，所以h（t）＜h（1）＝﹣2恒成立，所以1＜m＜2．②当≥1时，即0＜m≤1时，函数g（x）在区间（，1）上单调递减，g（x）min＝g（1）＝﹣2，所以g（x）min＜﹣2不成立，综上所述，m的取值范围是（1，+∞）．22．已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x﹣y﹣2＝0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在k∈Z，对任意x＞0，使得2f（x+1）﹣kx＞0成立，若存在，求k的最大值；若不存在，说明理由．（参考数据：e2＝7.39，e3＝20.1）【分析】（1）首先对f（x）求导，求出（1，f（1））点处的切线方程与3x﹣y﹣2＝0相等即可；（2）由题意转换为：令g（x）＝，则k＜2g（x）min．利用导数求出g（x）的最小值即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+1+a，∴⇒，∴f（x）＝xlnx+2x﹣1．（2）对任意x＞0，使得2f（x+1）﹣kx＞0成立，可化为k＜＝，令g（x）＝，则k＜2g（x）min，g′（x）＝，x∈（0，+∞）．令h（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），则h′（x）＝1﹣＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∵h（2）＝1﹣ln3＜0，h（3）＝2﹣ln4＞0，故存在唯一的x0∈（2，3），使得h（x0）＝0，即x0﹣1＝ln（x0+1），当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，x0）上为减函数；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（x0，+∞）上为增函数．∴g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0+2，∴k＜2（x0+2），∵x0∈（2，3），∴2（x0+2）∈（8，10），∵k∈一、选择题，∴k的最大值为8．。
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.22cos15°+22sin15°=( )A.32B. 12C. −32D. −122.在复平面内，常把复数z =a +bi(a,b ∈R)和向量OZ 进行一一对应.现把与复数2+i 对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转90°，所得的向量对应的复数为( )A. 1−2iB. −1−2iC. 1+2iD. −1+2i3.下列各组向量中，可以作为基底的是( )A. e 1=(0,0)，e 2=(1,−2) B. e 1=(−1,2)，e 2=(5,7)C. e 1=(2,−3)，e 2=(12,−34)D. e 1=(3,5)，e 2=(6,10)4.复数z 满足z ⋅(1+i)=i 3，则其共轭复数−z 的虚部为( )A. 12B. 12iC. −12D. −12i5.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若A =60°，b =1，S △ABC =3，则a +csinA +sinC =( )A.133B. 2133C.393D. 23936.已知正四面体P−ABC 的棱长为1，空间中一点M 满足PM =xPA +yPB +zPC ，其中x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1.则|PM |的最小值为( )A.33B.63C. 23D. 17.已知sin (70°−α)=sin(50°+α)+cos(40°+α)，则tanα=( )A.33B. −33C.3 D. −38.如图，已知三棱柱ABC−A 1B 1C 1的所有棱长均为2，满足A 1B ⊥B 1C ，则该三棱柱体积的最大值为( )A.3B. 3C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省南京师范大学附属中学江宁分校等2校2022-2023学年高三上学期期末数学试题(原卷版)
2023届第一学期期末考试高三数学考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡．上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷 (选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{y |y ＝tan x ，x ∈[－π4，π4]}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则A ∩B ＝A ．[－1，0)B ．(－1，1]C ．[－1，1)D ．[1，＋∞) 2．在等比数列{a n }中，已知a 1＞0，则a 1＜a 2＜a 4是数列{a n }有最小值为a 1的 条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分又不必要D ．充要 3．在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ~N (μ，σ2)，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9544．A ．4772B ．6826C ．3413D ．95444．设a 为实数，若存在实数t ，使a －i 2i＋(t 2－1)i 为实数(i 为虚数单位)，则a 的取值范围是A ．a ≥－2B ．a ＜0C ．a ≤－1D ．a ≤－2 5．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率A ．1019B ．215C ．4790D ．126．已知平面四边形ABCD 满足→AD ＝13→BC ，平面内点E 满足→BE ＝52→CE ，CD 与AE 交于点M ，若→BM ＝x →AB ＋y →AD ，则y x等于A ．52B ．－52C ．43D ．－437．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－3)，点B (1，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上一动点，则|PB ||P A |的最大值是 A ．104 B ．22 C ．105D ．22 8．若存在实数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其公共定义域上的任意实数x 都满足：g (x )≤kx ＋b ≤f (x )恒成立，则称直线y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的一条“划分直线”．列命题正确的是：A ．函数f (x )＝x 2和g (x )＝2eln x 之间没有划分直线B ．y ＝2e x －e 是函数f (x )＝x 2和g (x )＝2eln x 之间存在的唯一的一条“划分直线”C ．y ＝3x 是函数f (x )＝x 2和g (x )＝1x(x ＜0)之间的一条“划分直线”D ．函数f (x )＝x 2和g (x )＝1x (x ＜0)之间存在“划分直线”，且b 的取值范围为(－4，0)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知函数f (x )＝tan x －sin x ，下列四个命题中真命题有：A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．f (x )的图象关于(π，0)对称10．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，49，50，……， 大衍数列为{a n }，则下列命题正确的是A ．a 11＝62B ．1a 3＋1a 5＋1a 7＋…＋1a 2021＋1a 2023＝10112024C ．a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 12＝182D ．当n 为偶数时，a n ＝n 2211．如图，已知圆锥的底面圆心为O ，半径r ＝3，侧面积为23π，内切球的球心为O 1，则下列说法正确的是A ．内切球O 1的表面积为(84－483)πB ．圆锥的体积为3πC ．过点P 作平面α截圆锥的截面面积的最大值为2D ．设母线PB 中点为M ，从A 点沿圆锥表面到M 的最近路线长为5－4cos3π212．己知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ．记g (x )＝f ′(x )，若f (1－x )，g (x ＋2)均为偶函数，下列结论正确的是A ．函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称B ．g (2023)＝2C ．g′(2)＝0D ．若函数g (x )在[1，2]上单调递减，则g (x )在区间[0，2024]上有1012个零点 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设α，β∈R ，若tan α＝2，tan(2α＋β)＝3，则tan β的值为 ▲ ．14．已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此正四棱台的体积为 ▲ ．15．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉．由二项式定理可得：C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n(n ∈N *，x ∈R )，1m C m －1n ＝1n ＋1C m n ＋1等等，则C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝ ▲ ．16．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴正半轴上的两个动点A 、B 满足|OB |－|OA |＝2023，抛物线E ：x 2＝4y 上一点P 满足P A ⊥AB ，设P 点坐标为(u ，t )，过点P 作斜率为u2的直线l ，记点B 到直线l 的距离为d ，当d 取到最小值时，→P A ·→PB 的值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，a1＝2，b1＝1，a2＋a3＝10，b2b3＝－a4．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n＝a n＋b n，求和：c1＋c3＋c5＋…＋c2n－1．18．(本小题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，△ABC面积为S，且43S＝b2＋c2＋2bc－a2．(1)求A：(2)若a＝2，且角A的角平分线交BC于点D，AD＝3，求b．19．(本小题满分12分)中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为ŷ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差S y2＝50，年份x的方差为S x2＝2．(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考公式；(i)线性回归方程：ŷ＝bˆx ＋a ，其中b ˆ＝()()()∑∑==---ni ini iix x y yx x 121，a ＝―y －bˆ―x ； (ii)相关系数：r ＝∑∑∑===---ni ini ini ii y n yx n xyx n yx 1221221，若r ＞0.9，则可判断y 与x 线性相关较强；(iii)χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．附表：20．(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，棱AC ，A 1C 1的中点分别为M ，N ． (1)求证：B 1N ⊥C 1M ；(2)求异面直线BN 与C 1M 所成角的余弦值； (3)求平面A 1BM 与平面ABC 1所成二面角的正弦值．21．(本小题满分12分)已知圆F 1：x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点F 2(1，0)，P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)设A (－2，0)，B (2，0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx －13kx 3，其中m ，k ∈R ．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )＝2ln x －x (e 是自然对数的底数)，若对于 k ＞0，曲线y ＝f ′(x )与曲线y ＝g (x )都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．。
南京师范大学2013-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题
南京师范大学2013-2014大一上学期高数期末考试及解答（根据试卷整理）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届江苏省南师附中数学高一第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 3．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B ．公比为22的等比数列 C 22的等比数列D ．公比为412或412-的等比数列6．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（ ）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或17．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．2B ．23C ．4D ．610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A 3B ．33-C ．3-D ．33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024学年江苏省南师附中数学高三第一学期期末联考试题含解析
2024学年江苏省南师附中数学高三第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定2．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．,)e +∞C ．,)e +∞D ．e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米4．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2B ．1C ．2D 55．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C D ．26．命题“(0,1),ln xx e x -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C D 10．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）11．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 12．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南师附中高三数学期末试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，等式成立的是（）A. 3x + 2 = 3(x + 2)B. (a + b)² = a² + 2ab + b² + 1C. (x - y)(x + y) = x² - y²D. (x - y)(x + y) = x² + y²2. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 抛物线向上开口B. 抛物线向下开口C. 直线D. 双曲线3. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 圆B. 矩形C. 线段D. 双曲线4. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a₁，若a₁ + a₂ + a₃ = 9，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列各式中，不是二元一次方程的是（）A. 2x + 3y = 6B. x² + y² = 1C. 3x - 2y = 0D. x + y = 06. 若函数f(x) = ax² + bx + c的图像与x轴的交点为（1, 0）和（-3, 0），则a、b、c的值分别为（）A. a = 1, b = -4, c = 3B. a = 1, b = 4, c = 3C. a = -1, b = 4, c = 3D. a = -1, b = -4, c = 37. 已知等比数列{an}的公比为q，首项为a₁，若a₁ + a₂ + a₃ = 27，则q的值为（）A. 3B. 9C. 27D. 818. 若直线l的方程为3x - 4y + 5 = 0，则直线l的斜率为（）A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/39. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若函数g(x) = x² - 4x + 4在区间[1, 3]上单调递减，则g(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的前三项分别为2, 5, 8，则该数列的通项公式为______。
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南京师范大学《高等数学》(下册)期末考试试卷1(6学时)学号 姓名 班级 成绩 一、填空题（4'⨯8=32'）：1、,,,a b c →→→为单位向量，且满足0a b c →→→++=则a b b c c a →→→→→→++= .2、曲线20y x z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转所得的曲面方程为 ．3、设函数22,z x xy y =++，则2zx y∂∂∂= ．4、球面2229x y z ++=在点(1,2,2)处的切平面方程为 ．5、设二次积分100(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I= ．6、闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数()(),,,P x y Q x y 在D 上有一阶连续偏导数，则有（格林公式）： .7、微分方程22x y y y e '''+-=的特解可设为 ．8、微分方程31dyx dx-=的通解为 ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、设积分区域D 由坐标面和平面236x y z ++=围成，则三重积分D dv =⎰⎰⎰（ ）．（A ）6； （B ）12； （C ）18；（D ）36．2、微分方程34"'(")30y y y y x ++-=的阶数是 （ ）．（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4． 3、设有平面:210x y z π-+-=和直线116:112x y z L -+-==-,则π与L 的夹角为（ ）．（A ）6π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）2π．4、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处满足关系（ ）．（A ）可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）⇔连续；（B ）可微⇒可导⇒连续；（C ）可微⇒可导，且可微⇒连续，但可导不一定连续； （D ）可导⇒连续，但可导不一定可微． 5、设无穷级数()311npn n∞-=-∑绝对收敛，则（ ）．（A ）1p >； （B ）3p <； （C ）2p >； （D ）2p <． 三、计算题（6'5⨯=30'）：1、设函数(,,)u f x y z =可微，22z x y =-，求ux∂∂，u y ∂∂；2、已知方程22243x y y z +-+=确定函数(,)z z x y =,求z zx y∂∂∂∂和；3、求幂级数2112n n n x ∞-=∑的收敛域；4、将函数1()ln 1xf x x+=-展开为x 的幂级数；5、求微分方程2(21)0x dy xy x dx +-+=的通解；四、（8'）求函数22(,)4()2f x y x y x y =---的极值．五、（7'）计算2()Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由直线,y x =2y x =2y =及所围成的闭区域．六、（8'）求旋转抛物面22=--和锥面z=围成的立体的体z x y6积．期末考试试卷2(6学时)一、填空题（4'⨯7=28'）：1、已知直线过点(3,2,4)P -,(6,3,2)Q ,则直线方程为 ． 2、函数22(,)f x y =的定义域是 ．3、设函数2223x y z e+=,则全微分dz = ．4、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++的和函数为 ．5、幂级数1(1)2n nn x n ∞=-⋅∑的收敛半径R = ． 6、设C 是在第一象限内的圆：cos x t =，sin y t =（02t π≤≤），则Cxyds =⎰．7、微分方程"8'160y y y -+=的通解为 ． 二、选择题（'36⨯＝18'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是（ ）．（A ）22149x y -+=；（B ）22223x y z +=；（C ）22z x y =-； （D ）22224x y z -+=．2、设'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，则在点00(,)x y 处函数(,)f x y （ ）． （A ）连续； （B ）一定取得极值； （C ）可能取得极值；（D ）全微分为零．3、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （ ）.（A ）213sin 2n n n ∞=∑； （B）11n n -∞=； （C ）11(1)n n n -∞=-∑； （D ）2211n n n∞=+∑． 4、设积分区域22:3D x y +≤，则二重积分(3)Ddxdy -⎰⎰（ ）． （A ）9π-； （B ）3π-； （C ）3π；（D ）9π．5、微分方程2"2'35x y y y e -+=的一个特解为 （ ）．（A ）259x e ； （B ）253x e ； （C ）22x e ； （D ）252x e ． 6、D 是点()()()0,0,1,0,1,1为顶点的三角形区域，(),f x y 在D 上连续，则二重积分(),Df x y d σ=⎰⎰（ ）.（A ）()1100,;dx f x y dy ⎰⎰ （B ）()110,;x dx f x y dy ⎰⎰ （C ）()100,;xdx f x y dy ⎰⎰ （D ）()100,.ydy f x y dx ⎰⎰ 三、计算题（6'4⨯=24'）：1、已知(1)x y z xy +=+，求函数z 在点(1,1)P 处的偏导数z zx y∂∂∂∂和；2、设22()z f x y =+，f 具有二阶导数，求2zx y∂∂∂；3、判断级数21(1)1nn n ∞=-+∑的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；4、将函数2()ln(1)f x x =+展开为x 的幂级数；四、（7'）求微分方程()230x y dx xdy -+=的通解．五、（8'）某厂要用铁板作成一个体积为32m 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？六、计算下列积分：1、（7'）计算(2)Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =和直线2y x =+所围成的闭区域．2、（8'）设积分区域Ω由上半球面z =及平面0z =所围成，求三重积分zdxdydz Ω⎰⎰⎰．期末考试试卷3(6学时)一、填空题（4'⨯8='32）：1、设(2,2,1)a =，(4,5,3)b =，则与a 、b 同时垂直的单位向量为____________．2、yoz 面上的抛物线22z y =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 ．3、若(,)f x y 在区域22:14D x y ≤+≤上恒等于1，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ ．4、设22(,)4()f x y x y x y =---，则其驻点为 ．5、级数13n n q ∞=∑收敛，则q 的取值为 ．6、设sin ,z uv t =+而,cos .t u e v t ==则全导数dzdt= . 7、微分方程'sin 0y y e x -=的通解为 ． 8、设函数(1)x z y =+，则(1,1)|dz = ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1、过点（2，-8，3）且垂直于平面2320x y z +--=的直线方程是（ ）．（A ）(2)2(8)3(3)0x y z -++--=； （B ）283123x y z -+-==--； （C ）283123x y z +-+==-； （D ）283x y z==-．2、若函数(,)y y x z =由方程x y xyz e +=所确定，则yx∂=∂ （ ）． （A ）(1)(1)y x x y --； （B ）(1)y x y -； （C ）1yzy-； （D ）(1)(1)y xz x y --． 3、二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数 '00(,)x f x y 和'00(,)y f x y 存在是函数在该点全微分存在的 （ ）．（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件．4、积分⎰⎰y ydx )y ,x (f dy 10更换积分次序后为（ ）． （A ）⎰⎰1010),(dy y x f dx ； （B ）⎰⎰xx dy y x f dx ),(10； （C ）⎰⎰2),(10x x dy y x f dx ；（D ）⎰⎰xx dy y x f dx 2),(10．5、设12n n S a a a =++（0,1,i a i n >=），而无穷级数1n n a ∞=∑收敛，则下列说法不正确的是（ ）．（A ）lim 0n n a →∞=； （B ）lim n n S →∞存在；（C ）lim 0n n S →∞=； （D ）{}n S 为单调数列．三、计算题（6'⨯3='18）：1、曲面224z x y =--上哪一点的切平面平行于平面2210x y z ++-=，并写出切平面方程；2、讨论级数11121(1)2n n n n ∞--=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.3、将函数21()22f x x x =-+展开为(1)x -的幂级数；四、（7'）求微分方程2"'2x y y y e +-=的通解．五、（7'）在所有对角线为六、（7'）计算22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域．七、（7'）计算arctan Dyd xσ⎰⎰，其中D 是由圆22221,4x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限部分。
八、（7'）计算曲线积分2322(6)(63)Cxy y dx x y xy dy -+-⎰,其中积分路线C是由(1,2)A 点到(3,4)B 点的直线段。
期末考试试卷4(6学时)一、填空题（4'⨯6='24）：1、过点(3,2,1)--并且平行于zox 面的平面方程为 ．2、平面80x z +-=和xoy 的夹角为 . 3、设222()u f x y z =+-，其中f 为可微函数，则ux∂=∂ ． 4、交换积分次序：22402(,)x x dx f x y dy --=⎰⎰ ．5、设a 为常数，若级数1()n n u a ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= ．6、微分方程"5'60y y y -+=的通解为y = ． 二、选择题（'35⨯＝15'）： 1、设a和b是向量，则()(2)a b a b +⨯+=（ ）． （A ）a b ⨯； （B ）3a b ⨯； （C ）b a ⨯；（D ）223a a b b +⨯+．2、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++的和函数为（ ）． （A ）211x -； （B ）211x --； （C ）211x +； （D ）211x -+． 3、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是 （ ）.（A ）(1,0)； （B ）(1,2)； （C ）(3,0)-；（D ）(3,2)-．4、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为 （ ）．（A ）()()0x y x y x y e e dx e e dy ++-+-=； （B ）)(ln xy dxdy=； （C ）3()0xdy y x dx -+=； （D ）422dy x y dx xy+=． 5、设C +是沿椭圆：cos ,sin (02)x a t y b t t π==≤≤的逆时针路径，则线积分C ydx xdy ++=⎰（ ）．（A ）0； （B ）2π； （C ）ab π；（D ）2ab π．三、计算题（6'6⨯=36'）： 1、求过点（2，0，-1）且与直线321232x y z -+-==-垂直的平面方程；2、设(cos sin )xz e y x y =+，求zx∂∂，2z x y ∂∂∂；3、设ln 0xz z y -=，求z zz y x y∂∂-∂∂；4、讨论级数()11121nn n ∞=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛；5、求幂级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛半径和收敛区间；6、求微分方程'tan y y y xx=+的通解．四、设某工厂生产某产品的数量S ()吨与所用的两种原料A ，B 的数量,x y （吨）之间的关系式2(,)0.005S x y x y =。