理论力学-虚位移原理 案例
理论力学：虚位移原理
y
B
内力虚功：W (Fs ) Fs
b
xE xD 2b sin 2b cos
l
A
FS D FS' E
CF
外力虚功：W (F ) FxC
xC 2l sin
xC 2l cos
x
根据虚位移原理：W 0
当0 2b
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
2020/12/9
变形体的虚位移原理：具有双面、理想约束处于静止的质 点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外 力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等 于零。
2020/12/9
2
理论力学
§4-6 虚位移原理
例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧
刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平
理论力学
习题：4-7、4-12、4-15
•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
2020/12/9
1
理论力学
§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
V
nห้องสมุดไป่ตู้i1
V qi
qi
0
(*)
对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移（变分）是独立的
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。
15 理论力学--虚位移原理及其应用
(i = 1, 2,⋯, n )
O θ1 l1 M1(x1，2) y θ2 y l2 M2(x2，y2) x
如图15-5所示双摆。质点系由两个 质点组成，受到两个几何约束，广义坐 标数（或自由度数）为 2 ，可以选取角
ϕ 1和 ϕ 2作为广义坐标， ϕ 1和 ϕ 2相互
独立。
图 15-5
15.2.4 虚位移分析 15.2.4.1 几何法 应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关 系。首先根据系统的约束条件，确定自由度，给定虚 位移，画出虚位移图，然后应用运动学的方法求有关 点虚位移间的关系。 质点的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt。 两质点无限小位移大小之比等于两点速度大小之比。 两质点虚位移大小之比等于对应点虚速度大小之比。 可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、速度 投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。
本章重点 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理 求解物体系的平衡问题。 本章难点 广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的 虚位移原理。
15.1 约束及其分类 . 15.1.1 约束与约束方程 位形（Configuration）： 位形 质点系内各质点在空间的位置的集合。 约束（Constraints）： 约束 在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系 位形或速度的运动学条件。 例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件 ，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件 约束方程（Contraint equations）： 约束方程 限制条件的数学方程式。
f j ( x1 , y1 , z1 ; ⋯; xn , yn , zn ) = 0
( j = 1, 2,⋯, s )
（15-3）
15.2 虚位移与自由度 . 15.2.1 虚位移 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所 容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置 的虚位移 虚位移（Virtual displacement）。 虚位移 虚线位移：δ r ， δ r = δ x i + δ y j + δ z k 。 虚角位移：δϕ ， δθ 。
虚位移原理例题
虚位移原理例题虚位移原理是力学中的一个重要概念，它是描述物体在受力作用下发生位移的原理。
虚位移原理在力学、静力学、动力学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解虚位移原理的应用。
例题一，弹簧振子。
一根质量为m的弹簧上挂着一个质量为M的物体，当物体受到外力F时，弹簧发生形变。
求弹簧的位移x。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设弹簧的位移为x，那么弹簧所受的弹力为-kx，其中k为弹簧的弹簧系数。
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为F-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到F-kx=0，解得x=F/k。
例题二，斜面上的物体。
一个质量为m的物体沿着无摩擦的斜面向下滑动，斜面的倾角为θ，斜面的高度为h。
求物体滑动的位移s。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体沿着斜面滑动的位移为s，那么物体所受的重力分解成沿斜面方向的分力为mgsinθ，垂直斜面方向的分力为mgcos θ。
根据虚位移原理，物体所受的合外力为mgsinθ，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到mgsinθs=0，解得s=0。
例题三，简谐振动。
一个质量为m的物体挂在一个弹簧上，弹簧的劲度系数为k。
求物体振动的最大位移A。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体振动的位移为x，那么物体所受的弹力为-kx。
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为-mg-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到-mg-kA=0，解得A=mg/k。
通过以上例题的分析，我们可以看到虚位移原理在力学问题中的重要作用。
它通过假设物体的虚位移，使得问题的分析变得简单而直观。
虚位移原理的应用不仅仅局限于上面的例题，它在静力学、动力学、弹性力学等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握虚位移原理对于理解力学问题、解决实际问题具有重要意义。
总结：虚位移原理是力学中的一个重要概念，它描述了物体在受力作用下发生位移的原理。
第12章 虚位移原理
B
rB
A
r
A
l
O
B
rB
虚位移
虚 位 移 与 实 位 移 的 比 较
实位移 1. 为约束所容许； 2. 可以是有限值，真是发生； 3. 除与约束有关，还与力、时间、 初始条件有关； 4. 所能实现的只有一组；
1. 为约束所容许； 2. 总为无限小，非真实发生； 3. 只与约束有关，与力、时间、初 始条件无关，是纯粹的几何概念； 4. 一个位置下可以有几组；
解析式为：
xi i yi i zi
Fi ri FNi ri 0
Fi FNi 0
F x F y F z 0
i
虚位移原理或虚功原理: 对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用 于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.
FA cos r B FB rB 0
FA FB tan
例：求图示组合梁支座A的约束力，求FA。
解:
s A 8
WF FA sA F1 s1M F2 s2 0
3 11 1 FA F1 F2 M 8 14 8
s1 3
M
E
C
rE
D
rD
rB
mA M Q1 rE F1 sin rB F2 rD 0
rE l , rB 2l , rD rE 2l
mA M 2F1l sin Q1l 2F2l 3 kN m
sM 11
4 s2 s M 7
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
理论力学(14.2)--虚位移原理
F
cotq
q q
问题：如图在 CG 间加一弹簧 , 刚度 k ,
且已有伸长量 0 , 仍求FBx .
在弹簧处也代之以力 , 如图 .
FC FG k0
δ0WF FBx �δxδBδ + FC �yC - FG �yG +F �δy0G
xB 2l cosq , yC l sinq , yG 3l sinq δx2B sin-δ, l q q cosδy,C l q3 qcos yG l qq
δδrA dt
,
vB
rB dt
￥ 代入到
Fi
�δ0ri
, 中得
为 虚速度
FBvB - FAvA 0
由速度投影定理 , 有 vB cosj vA sin j
FA FB tanj
例 14-4
已知：如图所示机构 , 不计各构件自重与各处摩擦 . 求：机构在图示位置平衡时 , 主动力偶矩Ｍ 与主动
Mw - FvC 0
M
Fh sin2 q
解析法：Mδqδ0+ F xC
xC h cotq + BC
δ xC
-
hδq sin2 q
M
Fh sin2 q
例 14-5 求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力 .
解：解除 A 处约束，代之FA ，给虚位移，如图
δWδδFδδ0FA sA - F1 s 1+M j + F2 s2
第十四章
虚位移原 理
例 14-1
已知：如图所示 , 在螺旋压榨机的手柄 AB 上作用一在水平 面内的力偶 ( F , F), 其力矩 M ,2螺F杆l
理论力学教学材料-10虚位移原理
虚位移原理的基本假设
虚位移原理假设系统内部的所有约束不受到违反或松弛。这是这一原理应用于求解力学问题的前提条件。
虚位移原理的应用
1
受力分析
通过虚位移原理，我们可以更轻松地进行受力分析，理解并求解力学系统中各个 部分的受力情况。
2
平衡条件
虚位移原理帮助我们建立与求解系统的平衡条件，对于分析平衡或运动过程中的 约束非常有用。
培养分析能力
虚位移原理培养学生分析实际问题的能力，使他们能够从力学的角度独立思考与解决工程问 题。
拓展视野
理论力学教学中的虚位移原理可以帮助学生拓展对力学问题的视野，了解力学规律在实践中 的应用。
虚位移原理的实例分析
梁的弯曲
通过虚位移原理，我们可以推 导出梁的弯曲方程，并求解梁 的挠度与受力分布。
简谐摆动
应用虚位移原理，我们可以分 析简谐摆动的运动特性，并推 导出摆长与周期之间的关系。
弹簧质点系统
虚位移原理可用于分析弹簧质 点系统的受力与变形，推导系 统的运动方程与振动频率。
介绍了虚位移原理的概念、应用及实例分析。继续探索理论力学的更多知识， 可以进一步拓展对虚位移原理的理解与应用。
理论力学教学材料-10虚 位移原理
理论力学中的虚位移原理为我们解决实际问题提供了强有力的工具。本节将 介绍虚位移的概念、基本假设以及其在理论力学教学与实际问题中的应用。
虚位移的概念
虚位移是指系统在力学平衡状态下，对每个可变形约束上的广义坐标作微小的假想位移。通过引入虚位 移，我们可以对系统的平衡条件进行分析与求解。
3
能量方法
虚位移原理也可应用于能量方法中，帮助我们推导系统的稳定性与能量守恒等方 面的结论。
虚位移原理与实际问题的联系
高中物理竞赛经典讲义 虚位移原理
第15章 虚位移原理15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。
作用线平分ABC ∠。
设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。
解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。
将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有)902cos(δ)90cos(δ︒-=-︒θθB C r r即 θcos 21δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ θsin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2N F F =15-3 挖土机挖掘部分示意如图。
支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。
当︒==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。
不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。
解：由虚功原理： 0δδcos 1=-⋅ϕθM r F A （1）式中 a r B δδ=ϕ （2）A 、B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =2tan δδθB A r r = （3）式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=⋅-⋅⋅a r M r F B B θθ Fa M Fa M 21,sin ,30221==︒==θθθ15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。
已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。
求机构平衡时F 2与F 1的关系。
解：用解析法解，选取ϕ为广义坐标，则滑块A 的约束方程ϕtan l y A =ϕϕδsecδ2l y A = （1） 由虚位称原理 0δδ)(21=+-A y F a F ϕ （2）把式（1）代入（2）得 0δsec δ221=+-ϕϕϕl F a F因 0δ≠ϕ，于是有 0sec 221=+-ϕl F a F故 ϕ221cos a l F F =15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知︒=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。
理论力学(30-11) 4-1 虚位移原理
δ W = − M δθ + Pδ rD cos β − N Byδ rB = 0 (− M +Pa −N By ⋅ 2a)δθ = 0 Q δθ ≠ 0
∴ N By = − M + P 2a 2
M C D
β
求该点的所有约束力？
P
δrCN By δrD δθ
真实平衡位置 与约束所容许的无数个可能 平衡位置 的准则或判据 。 a 可用来解决非自由质系的平衡问题： Ø 系统在给定位置平衡时主动力之间的关系。 因虚位移任意，令其系数为得主动力之平 衡关系 Ø 求系统在已知主动力作用下的平衡位置 Ø 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束 反力（解除约束） a 对非理想约束 ，解除约束，作主动力处理 a 对受完全约束的结构，先解除约束，赋与 运动自由度，将该约束反力作为主动力。
例1 椭圆规机构 第4章 连杆AB长为l ，杆重和滑道、铰链上的摩擦均
解 第4章
几何法 第4章
解
解析法
2 B 2 A 2
虚 位 移 原 理 及 应 用
忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力 P和 Q之间的关系。
虚 位 移 原 理 及
理想约束系统 由速度投影定理： δ rB cosϕ = δ rA sin ϕ
虚 位 移 原 理 及 应 用
约束方程： x + y = l
变分得： 2 xBδ xB + 2yAδ yA = 0
y
P A l
虚功原理 （一自由度） ：
δ A = − PBiblioteka rA +Qδ rB = 0
δ yA = −
虚功原理：
xB δ x = − cot ϕδ xB yA B
理论力学(虚位移原理) 山东建筑大学理论力学
2
rA
C
b
rD
D
B
b
4
rB
4
I2
P
7
a
I1
O
2
A m1
利用虚位移图 2
rA
C
计算各虚位移间
rD
D
P
的关系.
b
B
b
rA =a1=I1A2 rB =I1B2 =I2B4 rB =I2D4 I1O actg2
4
rB
4
I2
I1B
a cos sin2
I2D 2bsin
sin2 cos 2
a cos b cos2
q
P2 2
W(P2) = - 1602 = - 801
P1 1 C 4
1
3
2
2
W(M) = 2002 = 1001
MA A 4
8
M
由虚位移原理得: MA1 - 301 - 601 - 801+1001= 0 rB B
MA = 70
22
q
P1 1
C r
4
P2
r
2
2
A
3
A
XA
4
r
8
M
解除A端的水平约束代之约束反力XA 画虚位移图.
例题14-19.试计算图示桁架CD杆的内力.
C A
D
B
6a
P
3a
31
解:截断CD杆代之内力SC和SD , 且SC = SD = S. 画虚位移图.B为BD部分的瞬心.亦为BH部分的瞬心. I为CI部分的瞬心.亦为DI部分的瞬心.
E为23杆的瞬心.
I
2
理论力学习题详细解答 第12章 虚位移原理及其应用习题解
第12章 虚位移原理及其应用12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。
试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。
解：应用解析法，如图（a ），设OD = lθsin 2l y A =；θsin 6l y B =θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B =应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅A B y F y F02612=-F F；213F F =12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。
已知：AC = BC= EC = DE = FC = DF = l 。
解：应用解析法，如图所示：θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3δl x D =应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅-D A x F y F0cos3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F =12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。
求竖向力F 1与F 2的大小关系。
解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=⋅+⋅r F r F 如图（b ）：βθtan δδtan δ2a 1r r r ==；12δtan tan δr r θβ=0δtan tan δ1211=⋅-⋅r θβF r F ；θβtan tan 21⋅=F F12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。
机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。
机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。
习题12-1图（a ）习题12-2解图习题12－3（a ）r a（b ）解：应用虚位移原理：0δδ2211=⋅-⋅ϕϕM M （1）如图所示，e a δcos δr r =θ其中：`1a δδϕ⋅=OA r ；2e δcos 2δϕθ⋅⋅=OA r 所以：21δ2δϕϕ=，代入式（1）得：122M M =12－5 等长的AB 、BC 、CD 三直杆在B 、C 铰接并用铰支座A 、D 固定，如图所示。
理论力学-虚位移原理
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，
这一坐标完全确定了此质点系的位置。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面 的曲面方程：
z
f (x, y, z) 0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
f j (x1, y1, z1; ...; xn , yn , zn; x1, y1, z1, ...; xn, yn, zn; t) 0
约束类型
第六章 虚位移原理
非完整约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
● 如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳 定约束。
定常约束一般形式为
f j (x1, y1, z1; ...; xn, yn, zn; x1, y1, z1,...; xn, yn, zn;) 0
理论力学(14.5)--虚位移原理
第14章作业
1、已知：在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为 M 。
手轮轴两端各有螺距同为
h 、但方向相反的螺纹。
螺纹上各套有一个螺母 A 和 B ，这两个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框，如图所示。
此菱形框的点 D 固定不动，而点 C 连接在压缩机的水平压板上。
试求：当菱形框的顶角等于 2 θ 时，压缩机对被压物体的压力。
2、已知：挖土机挖掘部分示意如图。
EA = FB = r 。
当时杆 AE ⊥ DF ，此时油缸推力为F，不计构件重量。
试求：此时挖斗可克服的最大阻力矩 M 。
3、已知： 图示远距离操纵用的夹钳为对称结构。
当操纵杆 EF 向右移动时，两块夹板就会合拢将物体夹住。
操纵杆的拉力为F，在图示位置两夹板正好相互平行。
试求：被夹物体所受的压力。
4、已知：跨度为 l 的折迭桥由液压油缸 AB 控制铺设，两段相同的桥身重量都是 ，质心 G 位于其中点。
试求：平衡时液压油缸中的力F和角 θ之间的关系。
5、已知： 图示桁架中， AD = DB = 6m ， CD = 3m ，节点 D 处载荷为 。
试求：用虚位移原理求杆 3的内力。
2chap1虚位移原理(II)
例9：如图所示，重量分别为3P和P的A，B物体系在无重不伸 长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C,D,E，滑轮D为动滑轮， 其轴上挂有物体H，物体A放在粗糙的水平面上，求当系统平 衡时物体H的重量PH和物体A与水平面间的摩擦系数。
7.在势力场中质点系的平衡条件及平 衡的稳定性
一. 平衡条件
1.作用在质点系上的主动力都是有势力，若势能是各质点坐标 的函数。即
注：显然，质点系受到的约束越多，则广义坐标数越少，求 解越方便。
计算广义力的方法
1.解析法：用定义公式直接计算
xi yi zi Qk X Y Z i i i q q qk i 1 k k
n
n ri Fi q k i 1
虚功方程：
W ( X x Y y Z z ) 0
F i 1 i i i i i i
n
将式
xi q k k 1 q k N yi y i q k q k k 1 N zi z i q k k 1 q k
选一广义坐标（自变量），给出各主动力作用点的 坐标方程，求变分，各变分间的比例即为虚位移间 的比例；
6. 以广义力表示的质点系平衡条件
之前的虚位移原理的表达式中，虚 位移是用质点的坐标变分表示的， 这些虚位移并不一定是相互独立的， 所以解题是还需找出它们之间的关 系。
如果虚位移直接用广义坐标 的变分来表示，由于它们之 间是相互独立的，则虚位移 原理的表达式将更加简明！
再给2≠0， 1＝0，
o
1 C1 A
xC1 0 xC 2 0.5l2 sin 22
yB l2 cos2 2
系统在这组虚位移中的虚功方程为：
文库最新发布：虚位移原理
计算虚功得: W(P) = P xP
O
y
A
B
P
C
W(Q) = Q xQ
Q
由虚位移原理得: P xP + Q xQ = 0
x
代入上述变分结果得: - 8 P xQ + Q xQ = 0
Q/P = 8 21
例题7.在图示结构中,曲柄OA上作用一力偶, 其力偶矩为m,另在滑块D上作用一水平力P. 结构尺寸如图所示.求当平衡时,力P与力偶矩 m的关系.
4
(2) 解析法
先把各质点的坐标表示成广义坐标的函数,再将各式 对广义坐标求变分(与求微分相似)，得到各虚位移在相 应坐标轴上的投影。
例题.求图示机构A点和B点的虚位移.OA=AB=l ;
y
解: xA=l cos yA=l sin
xB=2l cos
yB=0 xA = -lsin
O
yA = lcos
I
解: 应用几何学和运动学来求A点
和B点的虚位移rA和 rB
2
OA杆作定轴转动
rA
2
rA = OA 1
(1)
AB杆作平面运动 , I为瞬心
A 1
rA = IA 2
(2)
O
rB
B
3
由(1)(2)式得:
I
2
=
OA IA
1
rB = IB 2
=
OA IA
IB
1
2
rA
2
A
1
O
rB
B
当然也可以取1 的转向为顺时针转向,画 出虚位移图得出的 rA和 rB的表达式与转向 为逆时针是一致的.
B是AC杆的瞬心. E是CE杆的瞬心.
第15章 虚位移原理_例题
δ y D = − 2 a sin ϕδϕ − b sinψδψ x B = 2 a sin ϕ + 2 b sinψ , δ x B = 2 a cos ϕδϕ + 2 b cosψδψ
代入(a)式，得：
( − P a sin ϕ − P2 2a sin ϕ + F 2a cos ϕ )δϕ + ( − P2b sin ψ + F 2b cosψ )δψ = 0 1
h 4、列虚功方程： δW = 2 Flδϕ − FN δs = (2 Fl − FN ) ⋅ δϕ = 0 2π
δϕ 是任意的，有： 2 Fl − h F = 0 由于 N 2π 也即：
l ∴ FN = 4π F h
讨论： 1）利用约束力不做功避免了所有约束力的出现， 这是虚位移原理解题与矢量静力学解题相比的巨大优点。 2）本题求虚位移间关系的方法为：由物理关系直接给 出法。
− M δθ − F δx B = 0
注意：几何法时，主动力与虚位移方向一致为正；
力偶、角度逆时针为正 解析法时主动力、坐标变分各自沿坐标轴方向为正，力偶、角度逆时针为正。 力偶
例4 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用固定铰 支座，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点 加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角ϕ及ψ 。
而
δ rC = a δϕ , δ rB = δ rD = δ rA = 2 a δϕ
代入上式后，得：
( F cosϕ ⋅2a − P1 ⋅asinϕ − P2 ⋅2asinϕ )δϕ = 0
tgϕ =
2F P1 + 2 P2
讨论：其它可能虚位移与真实位移
例5 ：升降机构，
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代入到 Fi δri 0 中, 得
为虚速度
FBvB FAvA 0
由速度投影定理,有 vB cos vA sin
FA FB tan
例14-4
已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦.
求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系.
解: 给虚位移 θ , rC
WF M Frc 0
－－直接法（几何法）
(2) 解析法 建立坐标系如图.
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
FBδxB FAδyA 0
xB l cos, yA l sin
δxB l sin δ δyA l cosδ
FA FB tan
(3) 虚速度法
定义:
vA
δrA dt
,
vB
δrB dt
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin δxB 2l sinδ , yC l cosδ , yG 3l cos
FBx(2l sin ) k0l cos k03l cos F3l cos 0
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
－－解析法例14-3Fra bibliotek已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块A ,B与杆
xB 2l cos , yG 3l sin δxB 2l sin δ , δyG 3l cos δ
代入虚功方程
FBx 2l sinδ F 3l cosδ 0
FBx
3 2
F
cot
问题：如图在CG 间加一弹簧,刚度k , 且已有伸长量 0 ,仍求 FBx .
在弹簧处也代之以力,如图.
FC FG k0 δWF 0 FBx δxB FC δyC FG δyG F δyG 0
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力F与A F之B 间的关系。
解: (1) 给虚位移 δrA , δrB ,
Fi δri 0
FAδrA FBδ rB 0
由 δrB cos δrA sin ( δrA,在δrBA ,B 连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FAδrB cot FBδrB FA FB tan
第十四章 虚位移原理
例14-1
已知：如图所示,在螺旋压榨 机的手柄AB上作用一在水平
面内的力偶( F),,其F力 矩
,螺M杆 2Fl
的导程为 . h
求：机构平衡时加在被压物体上的力.
解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 受力如图.
给虚位移 δ与 δs
δ δs
2π h
δW F
FNδs 2Flδ
解：解除A处约束，代之 FA ，给虚位移，如图
δWF FAδsA F1δs1Mδ F2δs2 0
δ δsA ,
8
δs1
3δ
3 8
δs
A
,
δsM
11δ
11 8
δs
A
δs2
4 7
δsM
4 7
11 8
δ
s
A
11 14
δsA
3 11 1 FA 8 F1 14 F2 8 M
0
δWF
2Fl
FN h 2π
δ
0
因 是任意的
2Fl FNh 0 2π
FN
4πl h
F
例14-2
已知：图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的
力Ｆ, AC CE CD CB DG GE . l
求：支座Ｂ的水平约束力.
解: 解除B端水平约束,以力代替.
δWF FBxδxB FδyG 0
δra
δre
sin
δre
OBδ
h
sin
δ ,
δrC
δra
hδ sin2
M
Fh
sin 2
虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin2
M FvC 0
Fh M
sin 2
解析法：Mδ FδxC 0
xC h cot BC
δ xC
hδ sin2
M
Fh
sin 2
例14-5
求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.