考研高数讲义新高等数学下册辅导讲义——第十二章

n1

（2）若二级数都发散，

( un vn ) 不一定发散。

n1

【例】取 un

( 1) 2n ， vn

(

1) 2n

1
，而

un

vn

0。

（ 3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。 （ 4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。 推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。 注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

n

Sn

uk u1 u2 u3

k1

un 称 为 级 数 的 部 分 和 。 若

lim Sn S 存在，则称 无穷级数收敛 ，并称 S 为级数的 和 , 记作
n

S

un ；若

lim
n

Sn

不存在，则称

无穷级数发散

。

n1

当级数收敛时 , 称差值 rn S Sn u n 1 un 2

为级数的余

项。显然 lim rn 0 。 n

学习笔记：

收敛定理 3：( 比较审敛法的极限形式 ) 设两正项级数

穷

利用级数的若干性质（添项减项，加括号，去括号等等）

级 求 和—转化为幂级数求和或者利用定义

数

幂级数收敛性的特点 求幂级数的收敛域的方法 幂级数 幂级数和函数的性质 幂级数的求和
直接法 函数展开成幂级数
间接法 求定义在 [ l , l ]上的函数的傅里叶级数 求定义在 [0, l ]上函数的正弦或者余弦级数 傅里叶级数 已知函数的表达式求它的傅里叶级数和常数项级数求和 狄利克来收敛定理
第十二章 无穷级数

【本章网络结构图】

定义

性质

由定义判断

由收敛的必要条件判断级数的发散性

常 数 项
判断敛散性 级 数

利用收敛判别法则

收敛的充要条件 比较审敛法 比较审敛法的极限形式 正项级数 比值审敛法 根值审敛法 常用级数： p级数和几何级数

交错级数（莱布尼茨判别法）

变号级数

无

一般级数（绝对收敛和条件收敛）
n1

界。

收敛定理 2 ： ( 比较审敛法 ) 设 un ， vn 是两个正项级数 , 且存

n1

n1

在 N Z ，对一切 n N ，有 un k vn （常数 k 0 ), 则有

（ 1）若强级数

vn 收敛，则弱级数

un 也收敛；

n1

n1

（ 2）若弱级数 un 发散，则强级数

vn 也发散。

n1

n1

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数。

，当 p

1 时收

敛，当 p 1 时发散。

【重点小结】 1、常数项级数收敛和发散的定义 2、常数项级数敛散的性质 3、常数项级数收敛的必要条件 4、常用的两个常数项级数

学习笔记：

第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数： 若 u n 0 ，则称 un 为正项级数。
n1
收敛定理 1：正项级数 un 收敛 等．价．于部分和序列 Sn (n 1,2, ) 有

第一节 常数项级数的概念和性质

学习笔记：

一、常数项级数的收敛与发散
给 定 一 个 数 列 u1, u2 , u3 , ,un , 将 各 项 依 次 相 加 , 简 记 为

un ，即 u n u1 u 2 u3

n1

n1

un

，称该式为无穷级数，
Fra Baidu bibliotek
其 中 第 n 项 un 叫 做 级 数 的 一 般 项 , 级 数 的 前 n 项 和

un ，则各项乘以常数 c 所得

n1

n1

学习笔记：

级数 c un 也收敛，其和为 cS 。
n1
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

（ 2）设有两个收敛级数 S

un ，

n1

vn ，则级数 ( un vn )

n1

n1

也收敛 , 其和为 S 。
注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减

相关结论：（1）若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn ) 必发散。

1

具体的： 若存在 N Z ，对一切 n N ， (1) un

，则 un 发

n

n1

散； (2) un

1 np

(p

1) ，则 un 收敛。
n1

【例 1】 判断下列级数的敛散性

（ 1）

n
13

n 1n 5

（2）

n

11

1 an

（a

0, a

1）

6n
（ 3）
n 1 7n 5n

1
（4）
n 1 n2 n 1

（ 5） ln 1

（ 1）

1 ln 1

n1

n

（ 2） n 1 cos

n1

n

【答案】（1）发散；（ 2）发散

五、两个重要级数：几何级数与 p 级数的敛散性

（ 1）几何级数：

r n ，当 | r | 1时收敛；当 | r | 1时发散 .

n1

（ 2） p 级数 ( 或对数 p 级数 ) ： 1 n 1 np

1

或
n

2

n ln p n

(ln 3) n

【例 1】（93 三）级数
n1

2n

的和为

.

【答案】 ln 3 2 ln 3

结论：等比（几何）级数

n
aq

：收敛

n0

当|q| 1时

发散 当 | q | 1 时

二、收敛级数的和

n

若 un 收敛，则其和定义为 S

un

lim
n

uk

lim
n

Sn 。

n1

n1

k1

三、无穷级数的基本性质

（ 1）若级数 un 收敛于 S ，即 S

【例】 (1 1) (1 1)

0 ，但 1 1 1 1 发散。

【例 2】判断级数的敛散性：

1 21

1 21

【解析与答案】

1 31

1 31

1 41

1 41

S2n

1

1

21 21

1 n11

1 n11

1

1

21 21

212

2

3

n

11

1

21

23

n

lim
n

S2n 不存在

故原级数发散

四、级数收敛的必要条件

1 n11

1 n11

学习笔记：

必要条件： 若

un 收敛，则

lim
n

un

0。

n1

逆否命题： 若级数的一般项不趋于 0，则级数必发散。

1234
【例】
2345

un

n1
( 1)

n

，当 n

n1

( 1) n 1 n n1

，其一般项为

时， un 不趋于 0，因此这个级数发散。

注： lim un 0 并非级数收敛的充分条件 n

【例】调和级数

1

11

1

n1n

23

1

，虽然

n

lim un lim 1 0 ，但是此级数发散。 事实上， 假设调和级数收敛于

n

nn

S ，则 lim (S2n Sn) 0 ， n

但 S2 n Sn
假设不真。

11 n1 n2

1 n3

1 n1
，矛盾！所以
2n 2n 2

【例 3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和：
n1

1 n2

【答案】（1）收敛；（ 2）当 0 a 1 时，发散；当 a 1时，收敛；

（3）收敛；

（ 4）发散；

（ 5）收敛

1

1

【例 2】（97 一）设 a1

2 ， an 1

(an 2

)( n 1,2, ) ，证明 an

(

Ⅰ)

lim
n

an 存在；（Ⅱ）级数

( an a n 1 n 1

1)收敛 .

【解析】（1）用单调有界必收敛证明； （ 2）用比较审敛法证明