第三章线性系统的能控性解析
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第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
线性系统 第3章
∴ || X 0 || X 0
2
==> X 0 0 ，与假设 X 0 0 矛盾。 Wc 非奇异。
At e 用上述定理，首先求 ==>能控性，n 大时计算复杂，
不实用。
定理 3-2：线性定常系统为完全能控的充要条件是
Rank[B | AB | | A B] n
n 1 Q Rank [ B | AB | | A B] 称系 其中 n 为矩阵 A 的维数， c
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1I A, B 0 1 0 0 1 2 1 0 1 2
ˆ b 111 ˆ b211 ˆ b r11 ˆ b 112 ˆ b r12 ˆ b 121 ˆ b r 21
行线性无关。 同理， 2 也可推出此结果。
例：线性定常系统的约旦标准型
(2) 当矩阵 A 的特征值有重根，即：
（ （ （ , 1 2 l n）时，则 1 1重）， 2 2 重）， l l 重）且（
ˆ ˆ Bu ˆ AX ˆ , 其中 X ˆ B J1 1 ˆ J B 2 ˆ ˆ 2 , J 表示相应于特征值 的约旦块 , B A i i n n n p Jl ˆ Bn J i1 Ji ( i i ) ˆ B i1 ˆ J i2 B , B ˆ i2 i ip ˆ J i i B ii J 表示J 中第j个约当块
bˆ ri 1 bˆ
由
ˆ B ik
ri
2
最后一行所组成的矩阵
bˆ ri
i
对 i 1, 2 , l 均线性无关。 证明：定理中（1）是（2）的特例，故只需证（2） 。设：
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
第3章 线性系统的结构分析
一、线性系统的能控性
注意：如果A为对角标准型时含有相同的特征值，
或者A为约当标准型时含有相同特征值的
约当块,则上述结论不成立.
例如:
x&
1 0
0 1
x
1 1
u
是不完全能控的.
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
4、 能控性的格拉姆矩阵判据和秩判据
系统 : x& Ax Bu（或矩阵对[A, B]）完全能控的 充分必要条件是下列条件之一成立：
状态x(0) x0, 存在一个有限时间段[0,t1]和定义在这 个时间段的控制输入u(t),t [0,t1]使得系统状态轨迹 在这个时间段内从状态x0出发在t1时刻达到平衡状态0， 则称时不变系统的状态是完全能控的。
0 x(t)
x0
u(t)
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
• 注意
时变系统的状态能控性定义:
一、线性系统的能控性
u(t) x& Ax Bu x(t) y Cx Du y(t)
• 能控性问题: 在任意给定时刻,输入能否驱 动状态从任意一个位置在有限时间内到达平 衡位置？
自主技术与智能控制研究中心
一、线性系统的能控性
状态能控性定义：
对于线性时不变系统 x& Ax Bu, 如果对任意初始
0
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
tWc1[0,
t1
]x0
dt
eAt1 x0 eAt1
t1 0
e
At
BBT
e
AT
t
dt
Wc1[0,
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
现代控制理论第三章4
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
定理中非奇异变换阵的构造 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系 统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为 q1 q Po1 2 ... q n 其中前no个行向量q1,…, qn 为能观性矩阵Qo的no个线性无关 o 的行向量,qno 1,…,qn为任意选择的n-no个线性无关的行向 量但必须使变换矩阵Po-1可逆。
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
定理表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统,
总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统 和完全不能观子系统两部,
且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵 Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
~ B1
+ +
~ x1
~ A11
~ x1
~ C1
y1
u
能观部分
+
y
+
~ A21
~ x2
第3章_线性控制系统的能控性和能观性
证明 定理3.3-1
y(t1) 0(t1)Im 1(t1)Im n1(t1)Im C
y(t2） 0(t2)Im
1(t2)Im
n1(t2)ImC
A x(0)
y(tf)
0(tf)Im
1(tf)Im
n1(tf)ImCnA 1
上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值 y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地 确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。
4)不可控
18
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
3.可控性约当型判据
J1
设
x AxBu
J2
xu
Jk
若 A为约当型，则状态完全可控的充要条件是：
每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行 元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此
结论不成立。）
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19
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
➢本章结构
• 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 ✓3.1 能控性 ✓3.2 能观性 ✓3.3 能控性与能观性的对偶关系 ✓3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系
精选可编辑ppt
1
引言
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系
u
x
y x Ax Bu
y Cx Du
状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程 反映系统输出对控制输入和状态的依赖
10
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别
证明 定理3.1-1
n1
x(0) AkBk B AB A2B k0
0
An1B1
n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都
第3章 能控性和能观性
t 0, t 1
0
W (0, t1 ) 奇异，
与已知条件矛盾
rank W n
说明：1.
在应用格拉姆矩阵判据时计算矩阵指数
函数以及积分的计算量非常大，所以这一判据主要 用在理论分析中。 2. 矩阵W可以利用Matlab函数ctrb(A,B)来计算， 不过其计算在数值上容易导致病态，所以建议使用
1.2 可观性
［例］电路 ((信息)观测的可能性)
如果 u 0，不管电容储存了多少电荷, 由于 y 0 无法知道状态（信息） 图 假定输入恒为0
u
R
R C R
y
R
(信息)观测的可能性
y ce At x0 （未知量
有输入时
At t
(u 0) x0 ）
y y ce
0
y ce x0 ce A(t )bu( )d
, T An1B 0
B AB
T
系统不可控。
n1 T A B W 0 rank W n
充分性：证明过程与上相反。
所以输入维数增加 那么特征值 i 不可控。 约当标准形判据 线性定常系统可控的充分必要条件是 系统可控的可能性增加。
T i T i
t 0 A( t )
bu ( )d 可将它看做输出
已知
可观性的直观意义和定义
所谓系统可观是指通过观测系统的外部变量即输 入输出变量就能正确地知道系统的内部状态。 定义 如果基于有限长的输入输出数据:
u(t ), y(t ),
0 t T
能唯一地确定系统的初始状态 x0 ，则称点 x0 可观 测。进一步，如果状态空间中任意的初始状态 x0 都可观测，则称系统可观测。
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章线性控制系统的能控性和能观性
1
1
1
1 1
0
0
1
m
1
0 1
m m m1
0
0 0
0 0 0 n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
13
b b1 b2 bn
T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二 阶系统，对能控性加以剖析。
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼 (Kalman) 在 1960 年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入 u(t) 引起状态 x(t) 的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的 输出y(t)的变化。 能控性和能观性正是分别分析 u(t) 对状态 x(t) 的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
3
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下，状态矢量 x(t) 的转移情况，与输出 y(t) 无关， 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
4
一、线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t) ，能在有 限时间区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)， 转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此 系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻 t0=0 ，初始状态为 x(0) ，而任意终端状态就 指定为零状态，即 x(t f ) 0 2) 也可以假定 x(t0)=0，而 x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用 u(t) ，在 有限时间 [t0, tf]能将 x(t)由零状态驱动到任意 x(tf) 。 在这种情况下，称为状态的能达性。
第三章线性系统的能控性与能观性2
试判断该系统的能控性．
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
Hale Waihona Puke .解：Sc [b Ab]
Sc b Ab b1 b2
1b1 b1b2 (2 1 ) 2b2
0
如果rank Sc =2, 则必须要求 b1 0, b2
4. 定理3：设 x Ax Bu ， 若Ａ为约当标准形，且每个约当块所 对应的特征值均不相同，则状态完全能控 的充要条件是：
且
ri1 ri 2 rii i
由 Bik (k 1,2,, i ) 的最后一行组 成的矩阵：
bri1 r bri 2 对i 1, 2, , l均为行线性无关 Bi bri i 则系统能控
例：设 x Ax Bu ，已知
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性定常连续系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性定常系统结构分解 3.9 传递函数矩阵的实现 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性、能观性之间 的关系
定理2：若
x Ax Bu
若Ａ为对角型，且对角线上的元素均不相同， 则状态完全能控的充要条件为： Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1 1 x1 b11u1b12u2 b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
例：线性系统的状态方程为 x Ax bu 其中： 1 0 b1 A b 0 2 b2
Ci C1i1 C1i2 C1ii
第三章能控性与能观性
(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别 为 n n、 n r 常数阵。 式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能 控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
13
2.系统能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ， 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有 ，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对 于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能 观测。
第三章线性控制系统的能控性和能观性
第三章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。
能控性和能观性是分别分析)(t u 对状态)(t x 的控制能力以及输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
§3－1 能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用)(t u 的作用下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关。
矢量的线性无关与线性相关：如果0x x x x 332211=++++n n C C C C 式中的常数n C C C 21,满足0321====n C C C C ,则把向量n x x ,x 21 叫做线性无关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0102x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003x 便是线性无关。
若向量n x x ,x 21 中有一个向量i X 为其余向量的线性组合，即：∑≠==nij j jj i C 1x x 则称向量n x x ,x 21 为线性相关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3211x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4223x 便是线性相关。
又例如在式中213x x x +=,0x 3x x 321=++式中系数并不全为零。
故为线性相关。
具有约旦标准型系统的能控性判据 1．单输入系统先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的A 阵和B 阵化为约旦标准型)ˆ,ˆ(B A,再根据B 阵确定系统的能控性。
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为bu x x+=λ ，或bu Jx x+= 。
其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n λλλλλ 00321，各根互异。
其中：（特征值有重根的）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ010010121111 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21 下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。
线性系统的能控性和能观性
例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。
3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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第二节 能控性判定
预备知识 时间函数的线性无关定义及其判别定理
线性时变系统的能控性判定： 格拉姆矩阵判据，秩判据
线性定常系统的能控性判定 格拉姆矩阵判据，频域判据，秩判据，PBH秩
判据，PBH特征向量判据，约当标准型判据 输出能控性
一 预备知识
时间函数的线性无关性
假定 f1(t), f2 (t),..., fn (t)是一组复值时间函 数，如果在复数域C中可以找到这一组
第三章 线性系统的能控性和能观 测性
1.能控性定义 2. 连续时间系统的能控性判定 3.连续时间系统的能观测性定义及判据 4. 对偶性原理 5. 线性离散时间系统的能控性和能观测性 6.用MATLAB对能控性和能观测性进行
检测
7.线性系统的状态空间结构 8.单输入单输出系统的能控规范型和能观
测规范型
2. 无约束容许控制中无约束表示的是输入分 量的幅值无限制，可以任意大到所要求的 值。容许控制就是说控制作用要满足状态 方程解存在且唯一的条件，具体的说就是 要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。
3.上述定义中都是相对于J中的一个取定 的 是初非始常时重刻要t的0而，言因的为，时这变对系于统时的变能系控统性
不全为零的复数1, 2 ,..., n ，使得
n
i1
i
fi
(t)
0,
t [t0 ,t1]
那么就称这组复值函数在区间[t0,t1] 内是线性相关的，否则就称他们在 [t0,t1]内是线性无关。
注意：应明确时间区域，因为在不
同的时间段内，这组时间函数的线
性相关或线性无关性将会发生改变。
例如
f1 (t) t,
cos45
~x2
2 1 2 1
1~x1
1
~x2
即T
2 1 2 1
1
1
T 1
2
T
1
AT
1
0
0 3
B~
T
1 B
2
0
在新坐标下，系统状态描述为：
~~xx12
~x1 3~x2
2u
显然，u ~x2 的通道被截断，系统
是不完全能控的。
二 严格定义
定义1：对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u, t J
如果对于非零初始状态X0,t0 J ，都存 在某一时刻 t1 J ,t1 t0 和一个无约束的 容许控制 u(t), t [t0 ,t1] ，使得状态由初 始点转移到t1时刻的原点，则称此初始 状态x0在t0时刻是能控的。
定义2：如果状态空间中所有的非零状态 在t0时刻都是能控的，那么就称系统在 t0时刻是完全能控的。
t [1,1]
t t [1,0]
f 2 (t)
t
t [0,1]
[-1,0] [0,1] [-1,1]
线性相关 线性相关 线性无关
时间向量的线性无关性：
假设 fi (t) 是一组p维的复值函数行向量， i=1,2,…,n，如果在复数域中存在一组不 全为零的复数 1, 2 ,..., n ，使得：
经典控制论:
W s 0 ，u 就可以控制 y
现代控制理论：
①(u,y)多对多控制，虽然W s 0 ，但是 ys W sus ，如果Ws某一行为零，该
输出不可控；若两行相等，则两输出具 有一样的控制效果，不能任意控制。 ② (x,u)多对多控制， 状态能控性：u对x的支配能力；状态能 观测性：y反映x的能力
RC 1 3
2 1
A
1
2
B
1 1
e At
1 et 2 et
e3t e3t
et e3t
e t
e 3t
问题：两个状态与u 均有联系，是否都 可控？
回答：有联系不是 充分条件，两通道 作用可以抵消。
坐标变换后更容易理解：~x 是x转过45°
x1
x2
cos45 sin 45
sin 45~x1
例2
x
1
0
02x 10u
u和x2的联系被切 断，有联系是可 控性的必要条件， 是否充分？
而且采用状态反 馈进行控制时， 模态e-t可以改变， 模态e-2t不可改变。
例3．
实际电路，两个电容的端电压x1和x2是 状态变量，输入u可以使状态转移到任 意目标值，但是不能将状态分别转移到 不同的目标值，也就是说无论输入取为 何种形式，对所有的t>0都有x1=x2，这 就表明该电路系统是不完全能控的。
9.结构分解 10.传递函数阵的零极对消与可控可观性
第一节 能控性定义
能控性研究系统的内部变量—状态是否可以 由输入影响；能观测性体现了系统状态的运 动是否可以由输出来完全反应，换而言之能 控性反应的是系统输入对状态的控制能力， 而能观测性是输出对状态的反应能力。
直观的讨论 严格定义
一．直观的讨论
支配能力的三种表达方法：
在有限时间内，找到u(t)，使
某态 0 能控 0 某态 能达 某态 另一态 联合
例1．给定系统如下：
x1 4x1 u x2 5x2 u y 6x2
状态变量x1和x2可以通过选择输入u而 使得他从初始点转移到原点。因而系统 是完全能控的，但输出只反应出状态x2， 状态x1与输出既无直接关系也无间接关 系，所以是不完全能观测的。
与初始时刻的选择有很大的关系。而对
于定常系统来讲，其能控性与初始时刻 t0的选择无关。 4.上述定义中规定从非零初始状态转移到
零状态，如果改成由零状态转移到非零
状态，就称之为系统状态是能达的。对
于线性连续定常系统，其能控性和能达
性是等价的，而对于离散系统和时变系 统，二者严格来讲是不等价的。
5.系统为不完全能控的情况只是一种奇异 的情况。系统中组成元件的参数值发生 微小变动，都可能使系统变成能控的， 就拿上述实际电路来讲，如果其中一个 电阻值发生微小变化，而使电路对称性 破坏的话，此电路就由不完全能控变成 了完全能控的。所以说对一个实际的系 统，系统是完全能控的概率几乎为1， 也就是说，如果随机地选取系数矩阵A 和B，那么系统几乎就是完全能控的。
定义3：取定初始时刻t0，如果存在一个 或一些非零状态在t0时刻是不能控，那 么就称系统在t0时刻是不完全能控的。
注释：
1. 上述定义中，只要求能够找到这样的控制 输入u，使得t0时刻的非零状态经过一段时 间之后转移到状态空间中的坐标系原点， 而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制， 这就是说能控性是表征系统状态运动的一 个定性的特性