容斥问题

十三、复习容斥问题

容斥问题其实比较好理解，我们可以试着看一个例题：“学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种都会拉的还有8人。这个文艺组共有多少人？”（课本60页例一）。我们来分析：试着画一个如上面的两个圆圈图，其中左边圆圈内代表会拉手提琴的一共有24人，右边圆圈代表会弹电子琴的一共有17人，然后图中C的部分是两个圆圈的重叠部分，代表两种乐器都会演奏的人，注意，这部分人它既属于A会拉手提琴，也属于B会弹电子琴，那么要求文艺组多少人，就是求会演奏的人加起来，这些人正好是都包括在圈里的，那么就是24+17-8，因为24+17的话会把两种乐器都会的人全算上，所以要把重复多计算的公共重叠部分减去，减去8就可以得到圈内总数，也就是24+17-8=33人。那么我们可以根据这个题推导出一个适合我们使用的容斥问题公式：

A+B-C=圈内总数

其中，A代表符合A条件的数量A，B代表符合B条件的数量B，C代表既符合A也符合B条件的C，同学们要注意我们要求的圈内总数指的就是符合A，符合B，还有两种都符合的加起来，不能有重复，如果你仔细看图会发现这个图其实分成三块。第一块是左边，它的数量是A-C，中间是C，右边是B-C，加在一起求圈内总数，就是A-C+C+B-C，就等于A+B-C，同学们清楚了么。那么根据这个式子，其实我们可以推出3个式子，也就是分别求A、B、C的式子：

A+B-圈内总数=C

圈内总数+C-A=B

圈内总数+C-B=A

也就是根据：被减数-减数=差这样推导出来的么。以上就是简单一些的容斥问题。再多一点条件的，比如：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种语言都不会的有4人，两种语言都会的有多少人？（课本61页例二）

其实这个咱们就能看出来圈内总数+两种语言都不会的=旅行社全部人数，我们可以先求圈内总数

36-4=32人，也就是说会说外语的，不管是会1种还是2种，都算起来，共有32人，然后根据上面

我们总结的式子，这是求C的，那么就用A+B-圈内总数=C求就可以：

36-4=32（人）

24+18-32=10（人）

两种语言都会的有10人。

练习题：

1、四（1）班有38名学生，其中有18人参加音乐小组，有16人参加手工制作小组，这些学生每人至多只参加了一个小组。两个小组都没有参加的有多少人？

2、某班有40人订了报纸，其中有28人订了《小学生报》，有16人订了《数学报》，两种报纸都订的人有多少人？

3、某班有54人，每人至少订阅一种读物，订阅《作文》的有45人，同时订阅《作文》和《数学》的有13人，问订阅《数学》的有多少人？

4、五四班有学生46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有10人，那两种运动都不会的有多少人？

5、某班同学共有70人，其中48人参加了数奥社团，24人参加了垒球社团，其中有8个人两种社团都参加了，问两种社团都没有参加的同学有几个人？