容斥问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理和容斥问题
容斥原理是概率论中的一种计算方法，用于求解多个事件的交集和并
集的概率。
容斥原理通过对各种情况进行分类，然后逐步减去重复计
算的部分，从而得到最终的结果。
容斥问题是指给定一组事件，求满足其中至少一个事件发生的概率。
通常情况下，如果直接计算这个概率比较困难，就可以通过容斥原理
来简化计算过程。
容斥问题的一般形式可以描述为：给定一组事件 A1, A2, ..., An，
求至少一个事件发生的概率P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)。
容斥原理告诉我们，这个概率可以通过分别计算每个事件发生的概率，再减去交集事件发生的概率，再加上相交事件发生的概率，以此类推，最终得到结果。
具体而言，容斥原理的公式可以表示为：
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - ... - P(An-1 ∩ An) + ...
通过容斥原理，可以将一个复杂的问题分解为一系列简单的事件，从
而使计算过程更加简单明了。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
容斥问题
巧用容斥问题诀窍：运用容斥原理（重叠）解题，就是先把各种情况都“包含”进来，加在一起，再“排除”重复的部分。
在解决这类问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部份，从而找出解答方法。
容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
1、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?2、电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人?3、六一班有学生46人，其中骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，都不会的有多少人？4、1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？5、、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？6、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？7、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？8、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？9、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？10、一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道，问两道都做对的有几人？11、教工运动会上，参加跳绳比赛的有38人，参加踢毽子比赛的有39人，因病请假的有3人。
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
容斥问题
一、两集合容斥问题两集合容斥问题根据能否直接套用公式，又可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。
(一)标准型两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。
对于两集合的容斥问题，如果能用公式我们直接套公式。
解题技巧：两集合容斥问题关键是匹配题型，这也是很多同学头疼的地方。
如果出现了两者都或者两者都不，就考虑两集合的容斥问题;如果两者都，两者都不同时出现，则往往能直接套公式(满足标准型)。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人( )A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】题干中出现了同时参加两科竞赛，即出现了两者都，又出现了两科都没有参加，即出现了两者都不，综合考虑满足两集合标准型公式。
参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，设两个竞赛都参加的有x人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-x=60-20，x=22。
选择D。
两集合标准型题型特征非常明显，难度不大。
为了增加难度，有时题目特征不明显，这就需要我们发现特征，解决问题。
【例2】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。
期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )A.16天B.20天C.22天D.24天【答案】A【解析】此题咋一看，没有出现两者都，两者都不这样的字眼，不符合两集合容斥问题的特征。
但细想此题出现了上午待在旅馆，下午待在旅馆，即出现了满足条件A,B，想到容斥问题。
同时题干中出现了不下雨，有不下雨自然就有下雨，下雨其实就是上下午都在旅馆，即出现了两者都，从而判断出是两集合的容斥问题。
带你了解公务员容斥问题
带你了解容斥问题二集合容斥两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的1. 某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人：A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的。
根据题意有：30+32-x=60-20，尾数法，x的尾数为2。
因此，本题答案为D。
2.车间共有50名工人，年底进行考核，有12人业务能力为优，10人政治表现为优，没有一项考核成绩为优的有34人，车间要向上级单位推荐2名两项考核均为优的工人作为先进个人的候选人。
问有多少种推荐方案？A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】总人数为50人，没有一项为优的为34人，则至少一项考核为优的：50-34=16人，12人业务能力为优，10人政治表现为优，则两项全部为优的人数：10+12-16=6人。
从中任选两人，则有C62=15种。
因此，本题答案为B。
三集合容斥①三集合容斥标准公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的3.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人：A.20B.18C.15D.12【答案】A【解析】设不喜欢这三个景点中任何一个的有x，根据三集合容斥原理标准型公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，代入数据求得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，尾数法，x尾数为0。
因此，本题答案为A。
4.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A.7人B.8人C.5人D.6人【答案】A【解析】设同时报乙、丙职位人数为x，根据三集合标准型容斥公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，由题意可知，满足三个条件和一个都不满足的人数均为0，代入数据求得：22+16+25-8-6-x+0=42-0，尾数法，x尾数为7。
小学数学典型应用题22：容斥问题(含解析)
小学数学典型应用题22：容斥问题（含解析）容斥问题【含义】容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
【数量关系】★A∪B = A+B - A∩B★A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长_____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考.没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀.下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
容斥问题
容斥问题（一）这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1．将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
一共有多少人参加了这次数学测验？7．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。
高中数学 容斥问题
高中数学容斥问题
容斥问题是一种常见的数学问题，主要涉及到两个集合的元素数量计算。
在解决这类问题时，我们需要特别注意不要重复计算两个集合的交集部分。
基础公式
假设有两个集合 A 和 B，它们的交集为A∩B。
集合 A 的元素数量是 A
集合 B 的元素数量是 B
集合 A 和 B 的交集的元素数量是A∩B
那么，整个问题的关键在于理解以下公式：
A∪B = A + B − A∩B
这个公式告诉我们，要计算两个集合的并集的元素数量，我们不能简单地把两个集合的元素数量加起来，因为这样会把交集部分的元素计算两次。
所以我们需要减去交集部分的元素数量。
示例问题
假设一个班级里有30个学生，其中15个学生喜欢数学，12个学生喜欢科学，8个学生既喜欢数学又喜欢科学。
那么有多少个学生既不喜欢数学也不喜欢科学？
在这个问题中，我们可以这样分析：
喜欢数学或科学或两者都喜欢的学生数量是：15（数学） + 12（科学）− 8（两者都喜欢） = 19。
班级总人数是30。
那么既不喜欢数学也不喜欢科学的学生数量就是：30（总人数）− 19（喜欢数学或科学或两者都喜欢的学生数量）= 11。
通过这种方式，我们就能正确地计算出既不喜欢数学也不喜欢科学的学生数量。
公务员考试-容斥原理问题
容斥原理问题——基础学习一、解答题2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）A．13 B．22 C．33 D．41【答案】B【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B=A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。
3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？（）A． 30 B．35 C．57 D．65【答案】A【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。
4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41【答案】C【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。
5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。
7、三个集合容斥原理例1：某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不交三门课的外语教师有多少名？（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题，根据容斥原理可以得到，至少教英、日、法三门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4=106，不做这三门课的外语教师人数为120-106=14名。
3个集合容斥问题
3个集合容斥问题和解问题1：某班有学生50人，其中参加数学竞赛的有20人，参加物理竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有5人。
问有多少人参加了竞赛？解：1.使用三集合容斥原理公式：A+B-A∩B=总人数。
2.代入已知数据：A=数学竞赛人数=20，B=物理竞赛人数=15，A∩B=既参加数学竞赛又参加物理竞赛的人数=5。
3.计算总人数：20+15-5=30。
问题2：某学校共有学生800人，其中男生480人，女生320人。
问该校男女生的比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：男女比例=男生人数/女生人数。
2.代入已知数据：男生人数=480，女生人数=320。
3.计算比例：480/320=1.5。
问题3：某公司有员工100人，其中技术部门有30人，市场部门有20人，销售部门有50人。
问这三个部门的人数比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：部门比例=部门人数/总人数。
2.代入已知数据：技术部门人数=30，市场部门人数=20，销售部门人数=50。
3.计算比例：技术部门比例=30/100=30%，市场部门比例=20/100=20%，销售部门比例=50/100=50%。
集合容斥问题是一种计数问题，当几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
例如，在幼儿园的小朋友准备六一儿童节的表演节目时，参加合唱的有20个，参加舞蹈的有12个，参加朗诵的有25个，既参加合唱又参加舞蹈的有6个，既参加舞蹈又参加朗诵的有9个，既参加合唱又参加朗诵的有14个，三个节目都参加的有3个，三个节目都不参加的有2个。
在这个问题中，就涉及到了集合容斥问题。
容斥原理50经典例题
容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。
接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。
1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。
3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
容斥问题——精选推荐
容斥问题在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了⼀个能够为全部数学提供基础的通⽤数学框架，他创⽴的这个学科⼀直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。
它的概念与⽅法已经有效地渗透到所有的现代数学。
可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、⽣长的。
容斥问题在信息学竞赛的问题求解中也经常出现。
⼀、知识点1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。
每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。
A∪B读作“A并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰：例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）：（⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏：第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）；第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣原理⼆：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏：第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣⼆、解题思路：遇到集合问题，⾸先要弄请：集合⾥的元素是什么。
容斥问题
容斥问题1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业了？请举手！”又问“谁做完数学作业了？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数？2、在四年级96个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示：有78人会下中国象棋，有24人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人？3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？5、光明小学举办学生书法展。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？6、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？7、城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5人，数学比赛获奖的有多少人？8、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人。
如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？9、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？10、科技节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32件。
其他年级参展的作品共有多少件？。
容斥问题
容斥问题普林斯顿公式：A+B－总＝重叠1，一个班有学生45人，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有35人，并且都至少参加了一个小组。
这个班两组都参加的有多少人？2，同学们去春游，带矿泉水的有35人，带水果的有25人，既带矿泉水又带水果的有20人。
参加春游的有多少人？3，在六年级96个学生中，调查会中国象棋和国际象棋的人数，发现每个学生至少会一样。
调查结果是，有56人会中国象棋，有24人两样都会。
求会国际象棋的有多少人？4，40人参加数学测试，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人。
两题都没答对的有多少人？5，1,2,3,4,……，99,100这100个自然数中，能被3整除或能被4整除的数共有多少个？容斥问题练习题普林斯顿1，某班有36个同学，在一次测验中，答对第一题的25人，答对第二题的23人，两题都答对的15人。
那么两题都不对的有多少人？2，学校文艺组的每个人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，这个文艺组一共有多少人？3，六年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年报》，有48人订了《小学生报》。
问两种刊物都订的人有多少人？4，一个班有52人，有一次做完语文作业的有32人，做完数学作业的有35人，语文、数学作业都没有做完的有8人。
这个班语文数学都做完的有多少人？5，六年级有122名学生参加语文、数学考试，没人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？6，某区100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有的教师既懂英语又懂日语，问只懂英语的教师有多少人？7，某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两种竞赛都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两种竞赛的有多少人？8，求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数？9，分母是385的最简真分数共有多少个？。
容斥问题
容斥问题例1 、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析解答：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有： 37＋42=79人, 多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有： 79－48=31人。
练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2 、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有： 25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数： 10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有：36－33=3人。
练习二1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组， 23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32 人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
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十三、复习容斥问题
容斥问题其实比较好理解，我们可以试着看一个例题：“学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种都会拉的还有8人。
这个文艺组共有多少人？”（课本60页例一）。
我们来分析：试着画一个如上面的两个圆圈图，其中左边圆圈内代表会拉手提琴的一共有24人，右边圆圈代表会弹电子琴的一共有17人，然后图中C的部分是两个圆圈的重叠部分，代表两种乐器都会演奏的人，注意，这部分人它既属于A会拉手提琴，也属于B会弹电子琴，那么要求文艺组多少人，就是求会演奏的人加起来，这些人正好是都包括在圈里的，那么就是24+17-8，因为24+17的话会把两种乐器都会的人全算上，所以要把重复多计算的公共重叠部分减去，减去8就可以得到圈内总数，也就是24+17-8=33人。
那么我们可以根据这个题推导出一个适合我们使用的容斥问题公式：
A+B-C=圈内总数
其中，A代表符合A条件的数量A，B代表符合B条件的数量B，C代表既符合A也符合B条件的C，同学们要注意我们要求的圈内总数指的就是符合A，符合B，还有两种都符合的加起来，不能有重复，如果你仔细看图会发现这个图其实分成三块。
第一块是左边，它的数量是A-C，中间是C，右边是B-C，加在一起求圈内总数，就是A-C+C+B-C，就等于A+B-C，同学们清楚了么。
那么根据这个式子，其实我们可以推出3个式子，也就是分别求A、B、C的式子：
A+B-圈内总数=C
圈内总数+C-A=B
圈内总数+C-B=A
也就是根据：被减数-减数=差这样推导出来的么。
以上就是简单一些的容斥问题。
再多一点条件的，比如：一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种语言都不会的有4人，两种语言都会的有多少人？（课本61页例二）
其实这个咱们就能看出来圈内总数+两种语言都不会的=旅行社全部人数，我们可以先求圈内总数
36-4=32人，也就是说会说外语的，不管是会1种还是2种，都算起来，共有32人，然后根据上面
我们总结的式子，这是求C的，那么就用A+B-圈内总数=C求就可以：
36-4=32（人）
24+18-32=10（人）
两种语言都会的有10人。
练习题：
1、四（1）班有38名学生，其中有18人参加音乐小组，有16人参加手工制作小组，这些学生每人至多只参加了一个小组。
两个小组都没有参加的有多少人？
2、某班有40人订了报纸，其中有28人订了《小学生报》，有16人订了《数学报》，两种报纸都订的人有多少人？
3、某班有54人，每人至少订阅一种读物，订阅《作文》的有45人，同时订阅《作文》和《数学》的有13人，问订阅《数学》的有多少人？
4、五四班有学生46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有10人，那两种运动都不会的有多少人？
5、某班同学共有70人，其中48人参加了数奥社团，24人参加了垒球社团，其中有8个人两种社团都参加了，问两种社团都没有参加的同学有几个人？。