工程力学 第十一章-能量法

L 2EI
M (x) P x ;(0 x a) 2
在应用对称性，得：
a
U 2
1
( P x)2 dx P2a3
0 2EI 2
12 EI
W
U
fC
Pa 3 6EI
思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q
能量法
例2 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所 示。试求梁内的应变能 。
q
A
w
能量法
注意：•卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体， 也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为 余能定理的特例，仅适合于线弹性体。
•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
•当所求位移处无相应广义力时 ，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映 在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该 “虚加”外力为0。
材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。
试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。
l
F
1
A
B
A
45O
B B'
C
(a)
C
(b)
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，
先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则： AB 1
BC 1cos 450
2
2 1
能量法
同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A
B
2
B''
则：
C
AB 0
(c)
BC 2 sin 450
2
2 2
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
BC
2 2
1
2
能量法
桁架的应变能为
V
EA i2 2li
EA 2l
12
EA 2 2l
1 2
12
1 2
1 2
12
应用卡氏第一定理得
V 0 及 V F
1
2
解得：
1 Fl EA 及 2 （1 2 2）Fl EA
能量法
2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理
设有非线性弹性的梁，
1
2
3
梁内的余能为：
Vc
Wc
n
0F1
i
d
fi
i1
1
23
n
B
n
假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均保
持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的相
应改变量为： dWc i d Fi
变能V 在数值上不一定相等。
•余功、余能、余能密度都没有具体的物 理概念，仅是具有功和能的量纲而已。
能量法
§11–3 卡氏定理
1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定理
设图中材料为非线性弹性，
由于应变能只与
最后荷载有关， 而与加载顺序无 关。不妨按比例 方式加载，从而
1
2
3
Fi
n
B
i
1
2
3
di
n
有
d V
V
i
d i
从而有：
Fi
V
i
（—卡氏第一定理 ）
注意：
•卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线
性弹性体。
•式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
能量法
例4 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁
架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的
Bx
x l
y
解：梁的挠曲线方程为：
w
ql4 24EI
x l
2
x3 l3
x4 l4
荷载所作外力功为： 将前一式代入后一式得：
W l 1q d x w
V
02 W
q2 l5 240 EI
能量法
2. 余能
设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-
曲线如图b 。
FF1ຫໍສະໝຸດ (a)(b)dF
F
O
1
“余功Wc”定义为：
n
V W
1 0
f
i d i
i 1
假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i ,
则应变能的变化为：
d V
V
i
d i
能量法
因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其
余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微
小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：
dW F i d i
注意到上式与下式在数值上相等
固体的位移、变形和内力等的方法。 2.能量法的应用范围十分广泛：
（1）线弹性体；非线性弹性体
（2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础
能量法
§11–1 变形能的普遍表达式
一、能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作
的功，即
U W
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形
比能: u 1
2
或 U
n
M
2 ni
Li
i1 2Gi I Pi
或 U
n
M
2 i
Li
i1 2Ei Ii
能量法
三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能
可以相互叠加。
U
N 2(x)dx
M
2 n
(
x)dx
M 2(x)dx
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
余能的相应改变量为：
dVc
V c Fi
d Fi
能量法
由于外力余功在数值上等于余能，得
dV c dWc
解得：
i
Vc Fi
（称为“余能定理”）
特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比， 应变能V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
i
V Fi
（称为“卡氏第二定理”）
式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。
和内力的方法称为能量方法。
二、杆件变形能的计算：
1.轴向拉压杆的变形能计算：
U
N 2(x) dx
或U
n
N
2 i
Li
L 2EA
i1 2Ei Ai
比能: u 1
2
能量法
2.扭转杆的变形能计算：
U
M
2 n
(
x)
dx
L 2GIP
比能: u 1
2
3.弯曲杆的变形能计算：
M 2(x)
U L 2EI dx
L
S
Q2(x) 2EA
dx
S 剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。
U
N 2(x)dx
M
2 n
(
x)dx
M 2(x)dx
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
能量法
例1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
P
解：外力功等于应变能
A a
f
C a
B
W
1 2
PfC
U
M 2(x) dx
能量法
Energy Method
§11–1 引言
Introduction
§11–2 应变能,余能(补偿能)
Strain Energy • Complementary Energy
§11–3 卡氏定理
Castigliano’s Theorem
第11章 能 量 法
§11.1 概 述
1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形
WC
F1 d F
0
与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。
能量法
即：
Vc WC
F1 d F
0
（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）
F
F1
(b)
dF
O
1
dF
注能量意法：
F
F
1
(b)
•对线弹性材料，余能和应变能 在数值上相等，但其概念和计算 方法截然不同。
1
•对非线性材料，余能V c与应