第四章 四元数正态分布
《正态分布》教学课件(2024)
2024/1/29
4
正态分布定义及特点
特点
分布的形状由标准差决定，标准 差越小，曲线越陡峭；标准差越 大，曲线越平缓。
定义：正态分布是一种连续型概 率分布，描述了许多自然现象的 概率分布情况。在统计学中，正 态分布又被称为高斯分布。
2024/1/29
曲线呈钟形，对称于均值，且均 值、中位数和众数相等。
正态分布在实际问题中解 决方案
2024/1/29
24
问题背景描述
2024/1/29
实际问题中，很多数据分布情况呈现出一种钟型曲线， 即正态分布。 正态分布在自然界、社会科学、工程技术等领域都有广 泛应用。
掌握正态分布的性质和参数估计方法，对于解决实际问 题具有重要意义。
25Βιβλιοθήκη 解决方案设计思路确定问题背景和数据来源，对数据进行 收集和整理。
02
正态分布是一种连续型概率 分布，具有钟形曲线特征。
03
正态分布的概率密度函数由 均值和标准差决定。
29
关键知识点总结回顾
正态分布具有对称性 、可加性和稳定性等 重要性质。
标准正态分布是均值 为0、标准差为1的正 态分布。
2024/1/29
标准正态分布及其性 质
30
关键知识点总结回顾
标准正态分布的概率密度函数具有标准形式，便于计算和分析。
如果数据符合正态分布，则可以利用正 态分布的性质和参数估计方法，对数据
进行建模和分析。
2024/1/29
利用统计分析方法，对数据进行描述性 统计和推断性统计，判断数据是否符合 正态分布。 根据建模结果，对实际问题进行解释和 预测，提出相应的解决方案。
26
具体实施步骤和结果展示
4正态分布
正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
4 正态分布
σ 2π −∞
2010-9-15
6
标准正态分布
标准化变换（Z转换）：令 称Z为离差单位或标准分。
Z
=
(
X− σ
μ)
，
Z ∼ N (0,1)
密度函数： f (z) =
1
− z2
e2
2π
−∞ < z < +∞
分布函数：
2010-9-15
∫ Φ(z) = 1
t −t2
e 2 dt
2π −∞
9
正态分布与标准正态分布的转换
2010-9-15
18
几个重要区间
单侧：
Z (−∞, 1.645]
__
X (−∞, X + 1.645S]
⇒ P = 0.95
Z(−∞, 2.326] __
⇒ P = 0.99
X (−∞, X + 2.326S]
2010-9-15
19
正态分布的应用
Ⅰ 估计医学参考值范围
Ⅱ 质量控制（6 σ 原则）
解：已知
__
X
=
4.7168
，S
=
0.5665
X = 4, Z = (4 − 4.7168) / 0.5665 = −1.265
X = 5, Z = (5 − 4.7168) / 0.5665 = 0.500
P(4 < X < 5) = P(−1.265 < Z < 0.500)
= Φ(0.500) − Φ(−1.265) = 1 − 0.3085 − 0.1029
18
占正常女子总人数的百分比。 1.3~
13
1.4~
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布计算方法
正态分布计算方法嘿，咱今儿就来聊聊正态分布计算方法！这正态分布啊，就像是生活中的很多事儿一样，有它自己的规律呢！你看哈，正态分布就像是一群人站成一排，大部分人都在中间，两边的人就比较少。
这中间的“大部队”就是最常见的情况呀！那怎么去算它呢？咱先得搞清楚几个关键的东西。
比如说均值，这就像是这群人的平均位置，是个很重要的参考点呢。
还有标准差，它就像是衡量这群人站得有多开或者多集中的一个指标。
计算正态分布的时候，咱可以想象成在给这些人排队分位置呢。
先找到均值这个中心，然后根据标准差来看看两边的范围有多大。
比如说，咱假设有个正态分布，均值是 50，标准差是 10。
那离均值一个标准差范围内的，不就是 40 到 60 之间嘛。
这一段里的情况就比较常见咯。
然后呢，咱可以通过一些公式来具体算算某个值出现的概率。
这就好像是在问，在这群人里，找到一个特定身高的人的可能性有多大。
哎呀，这正态分布计算方法其实也不难理解嘛，对吧？咱把它想象成生活中的例子，不就好懂多啦！你想想，考试成绩很多时候不就是正态分布嘛！大部分人都在中间的分数段，特别高和特别低的都比较少。
那咱要是会算正态分布，不就能大概知道自己的成绩在整个群体里处于啥位置啦？再比如说，人的身高啊、体重啊，很多也都符合正态分布呢。
咱知道了计算方法，就能更好地了解这些数据背后的意义呀！总之呢，正态分布计算方法虽然听起来有点高大上，但只要咱用心去理解，把它和生活中的例子联系起来，就会发现它其实挺有趣，也挺有用的呢！别被那些公式和概念吓住啦，勇敢地去探索，你肯定能掌握它的！就像咱生活中遇到困难，只要勇敢面对，总能找到解决办法一样！加油吧！。
4正态分布
+∞
1 = ∫ ( x − μ) ⋅ e −∞ 2 πσ x− μ 令 = t,得 σ t2 2 − +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫− ∞
+∞
2
( x − μ )2 − 2σ 2
d x.
t2 2 ⎛ − σ ⎜ = − te 2 2π ⎜ ⎝
+∞
+∫ e
−∞
t2 +∞ − 2 −∞
所以
1 E( X ) = ∫ x ⋅ e −∞ 2πσ
+∞
( x − μ )2 − 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫−∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ − 2 −∞
t2 − 2
dt
t2 − 2
σ +∞ dt + ∫−∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
dx
dx
1 = e 2π
z t = x− 2
∫− ∞ e
+∞
+∞
z ⎛ −⎜ x− 2 ⎝
⎞2 ⎟ ⎠
1 e 2π
z2 − 4
∫− ∞ e
−t2
dt=
1 2 π
e
z2 − 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
∫
c− μ σ −∞
1 e 2π
u2 − 2
⋅du
⎛d − μ⎞ c − μ⎞ =Φ⎜ ⎟ −Φ ⎛ ⎜ ⎟. σ ⎠ ⎝ ⎝ σ ⎠
正态分布课件课件
医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。
《概率统计教学资料》第4章正态分布1
P( X x)1 P(X x) 1 P( X x ) 1 ( x )
P( x1
X
x2 )
P( x1
X
x2 )
( x2 ) ( x1 ).
2019/8/6
9
例3.某省高考人数是35000人,考试成绩呈正态分布,
2019/8/6
12
正态分布的密度函数的性质与图形
1y
2
钟形曲线： 中间高 两边低
-
+ x
对称性 关于 x = 对称
单调性 （-，）升，（，+ ）降
拐点
( ,
1
1
e 2 );
2
f最大（）
1
2
μ,σ对密度曲线的影响
相同，不同
图形相似，位置平移
3 2 2 3
| 68.26% |
| |
95.44% |
99.74%
|
2019/8/6
16
性质2 可加性.
设
X
~
N
(1,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
且X与Y相互独立,
则
Z
X
Y
~
N( μ1
μ2 ,
σ12
σ
2 2
1.3
0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
正态分布原理
正态分布原理正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它具有许多重要的性质，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
正态分布的形状是对称的钟形曲线，其均值、方差和标准差是其分布特征的重要参数。
在实际应用中，正态分布常常被用来描述各种随机变量的分布规律，因此了解正态分布的原理和特点对于数据分析和统计推断具有重要意义。
正态分布的原理可以从多个角度来解释。
首先，从数学角度来看，正态分布是由数学家高斯在研究误差理论时提出的。
它的概率密度函数可以表示为一个关于均值和标准差的函数，其曲线在均值处达到最大值，两侧逐渐下降，呈现出典型的钟形。
这种对称的形状使得正态分布在描述随机变量时具有很好的性质，例如可以方便地计算概率、求解置信区间等。
其次，从统计学角度来看，正态分布在中心极限定理中扮演着重要的角色。
中心极限定理指出，大量独立随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这意味着在很多情况下，当我们对一组随机变量进行统计分析时，可以假设其总体分布近似为正态分布，从而简化了问题的复杂性。
此外，从实际应用的角度来看，正态分布在自然界和社会现象中的广泛存在也为其原理提供了实际基础。
例如，身高、体重、考试成绩等许多现象都呈现出正态分布的特征。
这种普遍性使得正态分布成为了一种重要的模型，可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
总的来说，正态分布的原理涉及数学、统计学和实际应用等多个方面，其重要性不言而喻。
了解正态分布的原理有助于我们更好地理解概率统计的基本概念，提高数据分析和统计推断的能力，为科学研究和实际应用提供有力支持。
因此，对于学习者来说，深入理解正态分布的原理是非常重要的。
在实际应用中，我们可以通过计算机软件进行正态分布的模拟和分析，从而更好地理解其原理和特点。
同时，也可以通过实际数据的分析来验证正态分布在现实中的应用情况，进一步加深对正态分布原理的理解和掌握。
总之，正态分布作为概率论和统计学中的重要概率分布之一，其原理和特点具有重要的理论和应用价值。
第四章：正态分布
P { 1 .3 (X 1 )/2 0 .7 } (0.7) ( 1.3)
( 0 . 7 ) [ 1 ( 1 . 3 ) 0 ] . 7 5 [ 1 0 . 8 9] 0 0 . 6 3 . 6 2
例2. 设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
(二)标准正态分布N(0, 1)
X~f(x)
1
x2
e 2,
x
2
E(X) x(fx)d x
2 xex2 2d x0(奇函 ) 数
D(X)E{X [ E(X)]2}[xE(X)2 ]f(x)dx
x2 2 1ex22dx1
0.3(x)0.7(x1)
22
于 E 是 X x ( x ) f d x x [ 0 .3 ( x ) 0 .7( x 1 )d ]x
22
0 .3 x(x)d x 0 .7 x(x 1 )dx
求 P { X 0 } .
解 P { 2 X 4 } P { 0 ( X 2 ) / 2 /}
随机变量 标准化
(2 /) (0 ) 0 .3 , (2 /) 0 .3 (0 ) 0 .8
P { X 0 } P { X ( 2 )/ 2 /}
图象见右上角
正态分布有两个特性： (1) 单峰对称
1
2 f (x)
密度曲线关于直线x=对称
f()＝maxf(x)＝ 1
2
0
(2) 的大小直接影响概的分布
越大,曲线越平坦;
f (x)
越小，曲线越陡峻.
正态分布也称为
正态分布的概念与计算
正态分布的概念与计算正态分布（Normal Distribution），也称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论与统计学中非常重要的一种连续型概率分布。
它在自然界和人类社会的各个方面都有广泛应用，是描述随机变量分布的重要工具。
本文将介绍正态分布的概念，并说明如何计算正态分布。
一、正态分布的概念正态分布由其概率密度函数来定义，符号表示为：N(N, N²)，其中N为均值，N²为方差。
概率密度函数的形式为：N(N) = 1 / (N√2N) * N^(-((N−N)² / (2N²)))特点：1. 正态分布的图像呈钟形，中心对称，左右两边曲线对称，均值、中位数和众数相等，即N。
2. 在均值处有最高点，随着离均值的距离增加，曲线下降缓慢。
3. 标准差N的大小决定了曲线的陡峭程度，标准差越大，曲线越平缓。
二、正态分布的计算1. 概率密度计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以通过概率密度函数计算任意N处的概率密度值。
例如，计算某个值N的概率密度，可以使用如下公式：N(N) = 1 / (N√2N) * N^(-((N−N)² / (2N²)))其中，N(N)表示N处的概率密度值。
2. 累积概率计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以计算N≤ N的累积概率N(N≤ N)。
此时，可以使用标准正态分布表格或统计软件来查找概率值。
3. 标准化与反标准化：在实际计算过程中，常常需要将正态分布转化为标准正态分布，即N(0, 1)。
标准正态分布的均值N为0，方差N²为1。
标准化公式如下：N = (N−N) / N其中，N表示标准化后的值。
反标准化则是将标准正态分布转化为任意正态分布。
反标准化公式如下：N = N + NN4. 百分位数计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以计算N对应的百分位数。
正态分布详解很详细
?
?
? ? (b? ? )? ? (a? ? )
?
?
五、3 ? 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
P(|X| ?1)=2? (1)-1=0.6826
P(|X| ? 2)=2? (2)-1=0.9544
P(|X| ?3)=2 ? (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[- 3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3% .
除了我们在前面遇到过的年降雨量和 身高外,在正常条件下各种产品的质量指标， 如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作 物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差， 射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等 等，都服从或近似服从正态分布 .
服从正态分布 N (? ,? 2 ) 的随机变量
X的概率密度是
f (x) ?
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布.
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
请看 街头
也许很多人不相信，玩这种赌博游 戏十有八九是要输掉的，不少人总 想碰碰运气，然而中大奖的概率实 在是太低了。
若硬币是均匀的， X~B(10000，0.5),
采用正态近似, np=5000, np(1-p)=2500,
即
X ? np X ? 5000 ?
np(1 ? p)
50
近似正态分布N(0,1).
X ? np np(1 ? p)
?
X
? 5000 50
近似正态分布N(0,1).
四级正态分布表
四级正态分布表1. 什么是正态分布？正态分布，又称为高斯分布，是概率论和统计学中最重要的分布之一。
它以钟形曲线为特征，对称分布于均值周围。
在自然界和社会科学中，许多现象都可以用正态分布来描述，因此它具有广泛的应用。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：其中，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。
2. 为什么需要四级正态分布表？四级正态分布表是一种用于计算正态分布概率的工具。
由于正态分布的概率密度函数没有一个简单的闭式表达式，因此需要借助正态分布表进行计算。
正态分布表中列出了标准正态分布（均值为0，标准差为1）的累积分布函数值，通过查表可以方便地计算出任意正态分布的概率。
3. 如何使用四级正态分布表？使用四级正态分布表进行计算需要以下几个步骤：步骤1：确定问题的条件首先，需要确定问题的条件，即给定的正态分布的均值和标准差。
这些条件通常是通过实验或观察得到的。
步骤2：标准化将给定的正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的分布。
这可以通过以下公式进行计算：其中，X是给定的正态分布的随机变量，μ是均值，σ是标准差，Z是标准正态分布的随机变量。
步骤3：查表计算概率在四级正态分布表中，找到标准正态分布的Z值对应的概率。
四级正态分布表通常是按照Z值的整数部分和小数部分进行排列的。
通过查表可以得到对应Z值的概率。
步骤4：计算实际概率根据标准化公式，将步骤3中计算得到的概率转化为实际正态分布的概率。
如果给定的正态分布是左尾概率，需要计算1减去查表得到的概率；如果给定的正态分布是右尾概率，直接使用查表得到的概率。
4. 示例假设某城市的男性身高服从均值为170cm，标准差为5cm的正态分布。
现在需要计算身高在180cm以上的男性所占的比例。
步骤1：确定问题的条件均值为170cm，标准差为5cm。
步骤2：标准化X = 180，μ = 170，σ = 5，代入标准化公式得到： Z = (180 - 170) / 5 = 2步骤3：查表计算概率在四级正态分布表中查找Z = 2对应的概率为0.9772。
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ｅ ｘ ｐ ｛ 一 告 （ ： ， ； ； 一 ’ Ｙ ， ・ ： ・ ； ； 一 ： 十 ： ・ ， ； 】 。 ＋ 几 ・ 。 ； １ Ｙ ４ ｝
一 。 ｘ ｐ ｛ 一 １ （ 夕Ｙ ， ＇ （ ４ ， 。 一 Ｙ ， ｝ 一 ｅ ｘ ｐ 、 一 粤 ｔ ｒ （ Ｙ ＇ （ ４ ， ｝ ） 一 ， ： ） ｝
－ （ Ｉ Ｉ Ｉ ＋１ ＇ ２ ２＋ 艺 ３ ３ ＋１ ４ ４） ＋（ 一 Ｅ． ：＋ １ ． ２ ！ 一 ７３ ４ ＋１ ４ ３ ） ・ ｉ ＋ （ 一 Ｚ １ ３ ＋ 艺２ ４ ＋１３ １一 １ ４ ２ ） ・ ｊ ＋ （ 一 １１ ４ ＋ １ ４ １ 一 １ ２ ３ ＋ １ ３ ２） ・ ｋ
Ｚ ＇ ． １ － ＇ Ｚ 二 音 ４ Ｙ ｝ ｒ ； 一 、 一 ４ Ｙ ２ ＇ ． ＇ ‘ 一 ’ ： 一 ４ Ｙ ３ ＇ ， ； 一 ： 一 ４ Ｙ ４ ＇ ， Ｓ ， ；
由 此２ ＂ ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ＿ （ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ， 进一 步得 ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ｉ ｎ ＝ ２ ＂ ． （ ｄ ｅ ｔ （ ｊ ： ） ） ２
（ ； ｒ ） ２ ｍ
（ ７ ） ２ ．
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ＇ ｅ ｘ ｐ ｛ 一Ｒ ｅ ｔ ｒ （ Ｅ － ＇ Ｚ Ｚ ＊ ） ｝
＿ ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ２ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， （ 一 （ ４ ｒ ｝ ） 一 ， （ 二 ） ｝ 、 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
乙 不 片
Ｚ
＝ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 ｔ ｒ （ （ ４ ， ｝ ） 一 ’ Ｙ Ｙ ＇ ） ）
第四章
四元数正态分布
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ２ ｉ ． ｅ ． ， Ｐ （ Ｚ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｚ ＊ Ｅ － ＇ Ｚ ）
Ｂ Ｘ＋Ｕ ， Ｂ 为ｍ 阶非奇异四元数矩阵常量，Ｕ为 ｍ 阶四元数常向量，此时，
记 ： Ｙ 一。 Ｎ ｍ （ Ｕ ， ４ Ｂ Ｂ ｝ ） 则 ：
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ｚ 证明： 显然， ｐ ． ｄ ． ｆ ． （ Ｙ ， ） ＝ （ ２ Ｔ ） ） ｓ ｍ
ｅ ｘ ｐ ｛ 一 杏 ： 。 ， ； 一 Ｙ ｝ ｝
因 为。 ｝ －４ ． ｝ ， ， 互 对 称正 定 的 ， ４ ｝是Ｈ ｅ ｎ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 的 ．
ｄ ｅ ｔ （ ４ ， 毛 ） 一 ｛ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ，
ｓ ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ．
证明： Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ，
Ｄ （ Ｙ Ｚ ） ＝ Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ Ｄ （ Ｙ ４ ） ＝毛
２ ８
Ｖ 上 ． Ｙ， 玖
Ｙ ，
瓦龙耳乙 ［ Ｙ ＇ ， ． ， － Ｙ ， ＇ ， － Ｙ ， ， ； Ｙ Ｊ
一 艺 １ ４ Ｅ ２ ４ － Ｙ ３ ４ １ ４ ４
记：ｇ ｊ ＋Ｚ ，・ ｋ Ｚ ． ｘ Ｉ － Ｚ ， ＋ Ｚ ； ’ ｉ － ｆ Ｚ ｊ ・
＝ ＹＹ Ｉ Ｉ Ｙ ３ ， Ｙ ４ 记为：Ｙ ４ ｍ ｘ ４
Ｙｒ斌代么
及， Ｓ － ，
称耳拼耳
一 Ｙ ， Ｙ ，
引 理４ ． １ ． １ 在 上 述 情 况 下， 对四 元 数 随 机向 量。 Ｚ ｍ ｘ ｌ － Ｚ ， 十 ｚ・ ｉ ＋ Ｚ ｉ ・ ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ 的 方 差 矩 阵Ｅ ｍ ｘ ｍ 来 说， 有１ ／ ４ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） － ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ， ， Ｙ ， ） ，
“（ ２ ） ｒ ） 一 ， ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ ＊ Ｘ ） ）
２ Ｌ
定 理４ ． ２ ． ２设四 元数随 机列向 量Ｘ一。 Ｎ ． （ ０ ， ４ １ ） ， 四 元数随 机列向 量Ｙ ＝
ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ， 二 ） － ２ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 （ ｘ ； ＋ ・ ： ＋ ・ ； ＋ ・ ‘ ） ｝ 二 ‘ ２ ｚ ， 一 ’ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ （ ｚ ・ 奋 ・ ） ｝
定理４ ． ２ ． １设四元数随机变量ｘ ， ， ． ． ． ， ｘ 二 相互独立，且都服从标准正态分
第二节
义。
四元数多元正态分布的定义
文［ ２ ５ ） 对特殊的四 元数随机向 量给出了定义， 我在这里给出更一般的定
定 义４ ． ２ ． １ 设 四 元 数 随 机 变 量： ＝ ｘ ｒ ＋ ｘ ｔ ＇ ｉ 十 ｘ ｊ ｊ 十 ｘ ｋ － ｋ ， 其 中 ， ｘ ｒ ， ｘ ｉ ， ｘ ， ， ｘ ｋ ， 为 相 互 独 立 且 服 从 标 准 正 态 分 布的 实 随 机 变 量， 则 称二 为 服 从 标 准 正 态 分 布 的 四 元 数 随 机 变 量 ， 记 为 ： ｚ － ｇ Ｎ （ ０ ， ４ ） ， 它 的 密 度函 数 为 ：
极其分布密度函数，研究了他们的性质。
第一节
文］ ２ ４ ］ 对四 元数多 元正态分布的 定 义
为简单起见，我们考虑的随机变量为具有零均值，非奇异方差矩阵。
定 义４ ． １ ． １ 如 果一 个ｍ 一维 的 四 元 数向 量。 Ｚ ． － Ｉ － 乙＋ Ｚ ； ＂ ｉ ＋ 乙＂ ｊ ＋ Ｚ ｋ
此处 Ｅ ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， ， Ｚ ， ） ， ｔ ， ｓ ＝ ｒ ， ｉ ， ｊ ， ｋ ． 文［ ［ ２ ５ ］ 对特殊情况下的四元数随 机变量作了 进一步研究： 当Ｚ ： 二 Ｅ １ ， 一 １ ２ ２ 一 １ ３ ３ 二 艺 ４ ４ 为实对称， 毛 ２ 一 １ １ 一１ １ ２ 一 １ ２ ， 一１ ３ ４ ＝ Ｅ ４ ： ，反对称矩阵
的四 元数正态分布的定义。 这个定义更具有一 般性。 第三节为文［ ［ ２ ４ ］ 中的结
果，研究了四元数多元正态分布的 ｕ，Ｅ的极大似然估计及性质。论文第 四节研究了四元数正态分布下样本均值的分布 （ 即定理 ４ ． ４ ． １ ）及样本方差 的分布 （ 即性质 ４ ． ４ ． ２ ），给出了四元数卡方分布、ｔ分布、Ｆ分布的定义
毛 ， 一艺 Ｊ ＝ 一 Ｅ １ ３ 一 １ ３ ， 一 １ ２ ４ 一１ ４ ２ ， 反 对 称 矩阵
第四章
四元数止态分布
二 一 艺１ ４ ＝ Ｅ ｋ 二 Ｅ ４ 一Ｅ ２ ： 二 一 Ｅ ３ ２ 为反对称矩阵时
（ Ｚ 芝 ｍ ｘ ｍ ４
＋Ｙ ｊ ｉ ＋ Ｚ ； Ｊ ＋ Ｅ ｋ ｋ ） 一 ４ ， ｝ ， 。 毛 是Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 矩 阵
中山人学博十论文：四元数止态分布的统计分析理论
第四章 四元数正态分布
本章第一节介绍了文［ ２ ４ ］ 的四元数多元正态分布的定义，它从研究四 元数的随机向量的方差矩阵入手，给出了在特殊情况下的四元数正态随机变 量作了进一步研究． 第二节通过通过仔细的构思，先给出一个由四个相互独
立的实随机变量为分量的标准四元数正态分布， 然后通过线性便换得到一般
又因为 Ｅ － ＇ －１ １ ４ ｊ一 ‘ ， 所以
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ’ ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ， ） “ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 Ｙ ＂ ． ｝ － Ｉ Ｙ Ｉ ｝ 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
２ ＂ｄ Ｚ ｅ ｔ （ 艺 ） ， ｅ ｘ ｐ （ － ２ Ｚ ＇ － Ｙ 一 ， Ｚ ） ＝ ｐ ． ｄ ． ｆ （ Ｚ ） （ ｒ ， ） ２ ｍ
二ｄ ｅ ｔ （ ， 咨 ） ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， ； （ 一 （ ４ ， ｝ ） 一 ‘ （ 二 ） ｝ 艺 （ ２ ｒ ） ） ｚ － ２ ２ ， （ ｄ ｅ ｔ Ｅ ） － ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｚ ） 三 ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ － ２ Ｚ ＇ Ｅ 一 ， Ｚ ） ｝ 汀２ ＂ ，
布。 记 随 机 列向 量Ｘ ， Ｘ ＇ ＝ （ ｘ ， ， ， 二 ， ｘ ． ） 为Ｘ － ， Ｎ （ ０ ， ４ １ ） ． Ｘ 分 布 密 度函 数为：
（ ２ ｚ ） － ２ ＂ ｅ ｘ ｐ ｆ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ － Ｘ ） ）
证 明 ： ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ２ ｇ ） － ２ ＇ ｅ ｘ ｎ 、 一 生 Ｘ ＇ Ｘ １（ ２ ｒ １ ） － ２ ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 粤 ｔ ｒ （ Ｘ ＇ Ｘ ） ｝乙云又毛』 ｒFra bibliotek 卜‘ ｆ ｒ‘
禹 乙 乙 玩甄 么 耳 乙 禹 玩 从 玩云 乙 及 式
中山大学博士论文：四元数正态分布的统计分析理论
定理 ４ ． １ ． １在上述条件下，记４ ｍ维实随机向 量Ｙ ， （ ｏ ｒ ， Ｙ ２ ， Ｙ ３ ａ ｎ ｄ Ｙ ， ）
的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ， ｑ Ｚ ． ｘ 、 的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ ， Ｚ ． ｘ ， 》则：
的实分向量是 ｍ 一 维的实随机向量，则称它为四元数随机向量。
定 义４ ． １ ． ２四 元 数 随 机 向 量， Ｚ ． ． 、 的 协 方 差 矩 阵 定 义 为Ｅ ｛ Ｚ ． Ｚ ＇ ） ， 即 ： ｝ ｍ ｘ ｝ 。 一 ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） ＝ Ｅ （ Ｚ ・ Ｚ ＇ ）
一 Ｅ ［ （ Ｚ ， ＋ Ｚ ， ・ ３ ＋ Ｚ ， ＂ Ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ ） ・ （ ｚ 。 一 Ｚ ， 。 ｉ － Ｚ ｌ ＂ ｊ － ４・ ｋ ） ］