第四章 四元数正态分布

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中山大学博士论文：四元数正态分布的统计分析理论
定理 ４ ． １ ． １在上述条件下，记４ ｍ维实随机向 量Ｙ ， （ ｏ ｒ ， Ｙ ２ ， Ｙ ３ ａ ｎ ｄ Ｙ ， ）
的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ， ｑ Ｚ ． ｘ 、 的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ ， Ｚ ． ｘ ， 》则：
极其分布密度函数，研究了他们的性质。
第一节
文］ ２ ４ ］ 对四 元数多 元正态分布的 定 义
为简单起见，我们考虑的随机变量为具有零均值，非奇异方差矩阵。
定 义４ ． １ ． １ 如 果一 个ｍ 一维 的 四 元 数向 量。 Ｚ ． － Ｉ － 乙＋ Ｚ ； ＂ ｉ ＋ 乙＂ ｊ ＋ Ｚ ｋ
Ｚ ＇ ． １ － ＇ Ｚ 二 音 ４ Ｙ ｝ ｒ ； 一 、 一 ４ Ｙ ２ ＇ ． ＇ ‘ 一 ’ ： 一 ４ Ｙ ３ ＇ ， ； 一 ： 一 ４ Ｙ ４ ＇ ， Ｓ ， ；
由 此２ ＂ ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ＿ （ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ， 进一 步得 ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ｉ ｎ ＝ ２ ＂ ． （ ｄ ｅ ｔ （ ｊ ： ） ） ２
－ （ Ｉ Ｉ Ｉ ＋１ ＇ ２ ２＋ 艺 ３ ３ ＋１ ４ ４） ＋（ 一 Ｅ． ：＋ １ ． ２ ！ 一 ７３ ４ ＋１ ４ ３ ） ・ ｉ ＋ （ 一 Ｚ １ ３ ＋ 艺２ ４ ＋１３ １一 １ ４ ２ ） ・ ｊ ＋ （ 一 １１ ４ ＋ １ ４ １ 一 １ ２ ３ ＋ １ ３ ２） ・ ｋ
ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ， 二 ） － ２ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 （ ｘ ； ＋ ・ ： ＋ ・ ； ＋ ・ ‘ ） ｝ 二 ‘ ２ ｚ ， 一 ’ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ （ ｚ ・ 奋 ・ ） ｝
定理４ ． ２ ． １设四元数随机变量ｘ ， ， ． ． ． ， ｘ 二 相互独立，且都服从标准正态分
的四 元数正态分布的定义。 这个定义更具有一 般性。 第三节为文［ ［ ２ ４ ］ 中的结
果，研究了四元数多元正态分布的 ｕ，Ｅ的极大似然估计及性质。论文第 四节研究了四元数正态分布下样本均值的分布 （ 即定理 ４ ． ４ ． １ ）及样本方差 的分布 （ 即性质 ４ ． ４ ． ２ ），给出了四元数卡方分布、ｔ分布、Ｆ分布的定义
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ｚ 证明： 显然， ｐ ． ｄ ． ｆ ． （ Ｙ ， ） ＝ （ ２ Ｔ ） ） ｓ ｍ
ｅ ｘ ｐ ｛ 一 杏 ： 。 ， ； 一 Ｙ ｝ ｝
因 为。 ｝ －４ ． ｝ ， ， 互 对 称正 定 的 ， ４ ｝是Ｈ ｅ ｎ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 的 ．
ｄ ｅ ｔ （ ４ ， 毛 ） 一 ｛ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ，
第二节
义。
四元数多元正态分布的定义
文［ ２ ５ ） 对特殊的四 元数随机向 量给出了定义， 我在这里给出更一般的定
定 义４ ． ２ ． １ 设 四 元 数 随 机 变 量： ＝ ｘ ｒ ＋ ｘ ｔ ＇ ｉ 十 ｘ ｊ ｊ 十 ｘ ｋ － ｋ ， 其 中 ， ｘ ｒ ， ｘ ｉ ， ｘ ， ， ｘ ｋ ， 为 相 互 独 立 且 服 从 标 准 正 态 分 布的 实 随 机 变 量， 则 称二 为 服 从 标 准 正 态 分 布 的 四 元 数 随 机 变 量 ， 记 为 ： ｚ － ｇ Ｎ （ ０ ， ４ ） ， 它 的 密 度函 数 为 ：
ｅ ｘ ｐ ｛ 一 告 （ ： ， ； ； 一 ’ Ｙ ， ・ ： ・ ； ； 一 ： 十 ： ・ ， ； 】 。 ＋ 几 ・ 。 ； １ Ｙ ４ ｝
一 。 ｘ ｐ ｛ 一 １ （ 夕Ｙ ， ＇ （ ４ ， 。 一 Ｙ ， ｝ 一 ｅ ｘ ｐ 、 一 粤 ｔ ｒ （ Ｙ ＇ （ ４ ， ｝ ） 一 ， ： ） ｝
毛 ， 一艺 Ｊ ＝ 一 Ｅ １ ３ 一 １ ３ ， 一 １ ２ ４ 一１ ４ ２ ， 反 对 称 矩阵
第四章
四元数止态分布
二 一 艺１ ４ ＝ Ｅ ｋ 二 Ｅ ４ 一Ｅ ２ ： 二 一 Ｅ ３ ２ 为反对称矩阵时
（ Ｚ 芝 ｍ ｘ ｍ ４
＋Ｙ ｊ ｉ ＋ Ｚ ； Ｊ ＋ Ｅ ｋ ｋ ） 一 ４ ， ｝ ， 。 毛 是Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 矩 阵
乙 不 片
Ｚ
＝ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 ｔ ｒ （ （ ４ ， ｝ ） 一 ’ Ｙ Ｙ ＇ ） ）
第四章
四元数正态分布
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ２ ｉ ． ｅ ． ， Ｐ （ Ｚ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｚ ＊ Ｅ － ＇ Ｚ ）
此处 Ｅ ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， ， Ｚ ， ） ， ｔ ， ｓ ＝ ｒ ， ｉ ， ｊ ， ｋ ． 文［ ［ ２ ５ ］ 对特殊情况下的四元数随 机变量作了 进一步研究： 当Ｚ ： 二 Ｅ １ ， 一 １ ２ ２ 一 １ ３ ３ 二 艺 ４ ４ 为实对称， 毛 ２ 一 １ １ 一１ １ ２ 一 １ ２ ， Biblioteka Baidu１ ３ ４ ＝ Ｅ ４ ： ，反对称矩阵
ｓ ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ．
证明： Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ，
Ｄ （ Ｙ Ｚ ） ＝ Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ Ｄ （ Ｙ ４ ） ＝毛
２ ８
Ｖ 上 ． Ｙ， 玖
Ｙ ，
瓦龙耳乙 ［ Ｙ ＇ ， ． ， － Ｙ ， ＇ ， － Ｙ ， ， ； Ｙ Ｊ
一 艺 １ ４ Ｅ ２ ４ － Ｙ ３ ４ １ ４ ４
二ｄ ｅ ｔ （ ， 咨 ） ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， ； （ 一 （ ４ ， ｝ ） 一 ‘ （ 二 ） ｝ 艺 （ ２ ｒ ） ） ｚ － ２ ２ ， （ ｄ ｅ ｔ Ｅ ） － ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｚ ） 三 ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ － ２ Ｚ ＇ Ｅ 一 ， Ｚ ） ｝ 汀２ ＂ ，
布。 记 随 机 列向 量Ｘ ， Ｘ ＇ ＝ （ ｘ ， ， ， 二 ， ｘ ． ） 为Ｘ － ， Ｎ （ ０ ， ４ １ ） ． Ｘ 分 布 密 度函 数为：
（ ２ ｚ ） － ２ ＂ ｅ ｘ ｐ ｆ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ － Ｘ ） ）
证 明 ： ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ２ ｇ ） － ２ ＇ ｅ ｘ ｎ 、 一 生 Ｘ ＇ Ｘ １（ ２ ｒ １ ） － ２ ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 粤 ｔ ｒ （ Ｘ ＇ Ｘ ） ｝
Ｂ Ｘ＋Ｕ ， Ｂ 为ｍ 阶非奇异四元数矩阵常量，Ｕ为 ｍ 阶四元数常向量，此时，
记 ： Ｙ 一。 Ｎ ｍ （ Ｕ ， ４ Ｂ Ｂ ｝ ） 则 ：
记：ｇ ｊ ＋Ｚ ，・ ｋ Ｚ ． ｘ Ｉ － Ｚ ， ＋ Ｚ ； ’ ｉ － ｆ Ｚ ｊ ・
＝ ＹＹ Ｉ Ｉ Ｙ ３ ， Ｙ ４ 记为：Ｙ ４ ｍ ｘ ４
Ｙｒ斌代么
及， Ｓ － ，
称耳拼耳
一 Ｙ ， Ｙ ，
引 理４ ． １ ． １ 在 上 述 情 况 下， 对四 元 数 随 机向 量。 Ｚ ｍ ｘ ｌ － Ｚ ， 十 ｚ・ ｉ ＋ Ｚ ｉ ・ ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ 的 方 差 矩 阵Ｅ ｍ ｘ ｍ 来 说， 有１ ／ ４ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） － ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ， ， Ｙ ， ） ，
的实分向量是 ｍ 一 维的实随机向量，则称它为四元数随机向量。
定 义４ ． １ ． ２四 元 数 随 机 向 量， Ｚ ． ． 、 的 协 方 差 矩 阵 定 义 为Ｅ ｛ Ｚ ． Ｚ ＇ ） ， 即 ： ｝ ｍ ｘ ｝ 。 一 ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） ＝ Ｅ （ Ｚ ・ Ｚ ＇ ）
一 Ｅ ［ （ Ｚ ， ＋ Ｚ ， ・ ３ ＋ Ｚ ， ＂ Ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ ） ・ （ ｚ 。 一 Ｚ ， 。 ｉ － Ｚ ｌ ＂ ｊ － ４・ ｋ ） ］
“（ ２ ） ｒ ） 一 ， ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ ＊ Ｘ ） ）
２ Ｌ
定 理４ ． ２ ． ２设四 元数随 机列向 量Ｘ一。 Ｎ ． （ ０ ， ４ １ ） ， 四 元数随 机列向 量Ｙ ＝
（ ； ｒ ） ２ ｍ
（ ７ ） ２ ．
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ＇ ｅ ｘ ｐ ｛ 一Ｒ ｅ ｔ ｒ （ Ｅ － ＇ Ｚ Ｚ ＊ ） ｝
＿ ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ２ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， （ 一 （ ４ ｒ ｝ ） 一 ， （ 二 ） ｝ 、 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
又因为 Ｅ － ＇ －１ １ ４ ｊ一 ‘ ， 所以
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ’ ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ， ） “ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 Ｙ ＂ ． ｝ － Ｉ Ｙ Ｉ ｝ 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
２ ＂ｄ Ｚ ｅ ｔ （ 艺 ） ， ｅ ｘ ｐ （ － ２ Ｚ ＇ － Ｙ 一 ， Ｚ ） ＝ ｐ ． ｄ ． ｆ （ Ｚ ） （ ｒ ， ） ２ ｍ
中山人学博十论文：四元数止态分布的统计分析理论
第四章 四元数正态分布
本章第一节介绍了文［ ２ ４ ］ 的四元数多元正态分布的定义，它从研究四 元数的随机向量的方差矩阵入手，给出了在特殊情况下的四元数正态随机变 量作了进一步研究． 第二节通过通过仔细的构思，先给出一个由四个相互独
立的实随机变量为分量的标准四元数正态分布， 然后通过线性便换得到一般