开普勒三定律的应用

万有引力及天体运动

一．开普勒行星运动三大定律 1、开普勒第一定律(轨道定律):

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律):

对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律(周期定律):

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说确的是： A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点

C 、m 从A 到B 做减速运动

D 、m 从B 到A 做减速运动 二、万有引力定律

1、万有引力定律的建立

①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验

③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律

①容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r

的二次方成反比。即： ②适用条件

（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用

地上：忽略地球自转可得： 2）计算重力加速度

地球上空距离地心r=R+h 处 方法：

在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度'

'g

方法：

（3）计算天体的质量和密度

利用自身表面的重力加速度：

天上：利用环绕天体的公转： 等等

（注：结合

得到中心天体的密度） （4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L

特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

双星轨道半径之比： 双星的线速度之比：

三、宇宙航行

1、人造卫星的运行规律

2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=⨯⋅12

2m m

F G r =2

R Mm G

mg =2'

''''

'R m M G mg =mg R Mm

G =2r T m r m r v m r Mm G 222

224πω===33

4

R M πρ⋅=2

')(h R Mm

G mg +=1

2

2121

m m v v R R ==v Mm 22

24π

332T=2.

GM GM GM r M v a G r r r

ωπ=== ， ， ，

例.两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，T A ：T B =1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ） 2、宇宙速度

第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 脱离速度 第三宇宙速度：V 3=16.7km/s 逃逸速度

注：（1）宇宙速度均指发射速度

（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度（环绕速度） 3、地球同步卫星（通讯卫星）

（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；

（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期； （3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）； （4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。 对同步卫星：运动规律：

由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h ），故而 其 r 、 v 、ω、T 、a 等均为定值。

3)卫星的变轨问题

卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有．当卫星由于某种

原因速度突然增大时，

，卫星将做离心运动；当突然减小时，，卫星做向心运动。

变轨处机械能会改变

四、小专题剖析

1、测天体的质量及密度：

1.继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。

2

2(1) :M m GM v G m v r r r

==卫地地卫由得2

23

(2) :M m GM G

m r r r ωω==卫地地卫

由得23

224 2(3) :M m r G m r T r T GM π==卫地卫地

由得r T

m r m r v m r GMm 222

2

2(πω===

3、人造卫星、宇宙速度：

将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说确的是：

A ．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。 2.“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km 圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km 的圆轨道3。设轨道2与1相切于Q 点，与轨道3相切于P 点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（ ）

A ．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B ．飞船在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C ．飞船在轨道1上经过Q 点时的加速度大于在轨道2上经过Q 点的加速度

D ．飞船在轨道2上经过P 点时的加速度等于在轨道3上经过P 点的加速度

2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 （ ）

A ．飞船变轨前后的机械能相等

B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C ．飞船在此圆轨道上运动的角度速度小于同步卫星运动的角速度

D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

4、双星问题：

【例4】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

P

1

2 3

•

•

Q

地球

Q

轨道1 轨道2