光纤光学_第4章_第2部分

U
EC
模式分类 的 q 参数
' ' J U K 1 1 m 1 m W 1 E 连续 Aim 2 2 B 0 U W U J m U W K m W
SC
1 1 m( 2 2 ) U W q J m U K m W
SC
' K0 (W ) WK 0 (W )
U
EC
J1 (U ) UJ 0 (U )
13
' ' J0 (U ) K0 (W ) 0 UJ 0 (U ) WK 0 (W )
' J0 (U ) 由贝塞函数的 UJ 0 (U ) 递推关系和渐近公式
SC
m=0： 1 ' ' J 0 (U ) J 1 (U ) J1 (U ) J 0 (U ) 2 即： UJ 0 (U ) 1 J 1 (U ) J1 (U ) J1 (U ) 2 UJ 0 (U ) J (U )
U
EC
对于TM0 n 模，仅有H , Ez 和Er 分量，H z H r E 0；
SC
U
对于TE0n 模，仅有E , H z 和H r 分量，Ez Er H 0；
EC
11
HEmn模和EHmn模区分：
H z 较大的为HE mn 模。
(2)若方程等式右边取“-”，则对应HE mn波型。 特点：直接了当。
SC
SC
中南民族大学电信学院 侯金 exehost@foxmail.com
U
（Optical Fiber Optics）
EC
光纤光学
U
EC
1
4.2.3 模式及其分类
SC
U
EC
因此， 光纤中的模式分类取决于m值、Ez 与Hz的相位关系以及幅值大小。
2
SC
HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合 右手定则), EH模偏振旋转方向则与光波行进方 向相反;
' K0 (W ) 0 WK 0 (W )
J1 (U )=0, （U 0）
16
0n
SC
0n
远离截止条件下的特征方程为:
U
可得 ' 由贝塞尔函数的 J 0 (U ) 0 递推关系和微分公式， UJ 0 (U )
SC
U
EC
J1 (U ) 0 UJ 0 (U )
远离截止条件下的特征方程为:
SC
7
U
EC
两种情形可很容易地确定本征值:
U
杂, 只能利用计算机进行数值计算。
EC
模式的本征值β可由U或W求得
SC
小宗量近似：
1 x m lim J m ( x) ( ) x 0 m! 2
SC
8
U
2 m J m ( x) cos( x ) 大宗量近似： lim x x 4 2
EC
0n
' ' (U ) K0 (W ) n12 J 0 0 2 n2 UJ 0 (U ) WK 0 (W )
' K0 (W ) 0 WK 0 (W )
J1 (U )=0， （U 0）
20
SC
远离截止条件下的特征方程为:
U百度文库
0n
可得 ' 2 (U ) n n12 J 0 由贝塞尔函数的 1 J1 (U ) 2 0 0 2 n2 UJ 0 (U ) 递推关系和微分公式， n2 UJ 0 (U )
14
EC
J1 (U ) UJ 0 (U ) 截止条件下的特征方程为:
J 0 (U )=0
0 0n
SC
它们分别对应着TM01 , TM02 ,TM 03 , ...模的截止频率。
则TM 01就能在光纤中存在；
反之，若V <2.4048, TM01就不是导模。
15
SC
说明：若波导的归一化频率V >2.4048,
SC
U
EC
2
在r a处，H 应连续，可得：
1
2
1 n1 1 1 2 2 2 2 2 2 k2 U W n2 U W
SC
q n2
uk
U
EC
n12 1 m 2 2 2 W n2U
4
模式分类的 q 参数
2 n 1 1 1 J U K m W m( 2 2 ) 2 m n2 H z U W q i Ez J m U K m W n12 1 m 2 2 2 n2U W
SC
U
EC
远离截止条件下的特征方程为:
U0 n是TE0 n 模远离截止时的本征值，是J1 =0的根。
SC
U
EC
2 1 2 2
J1 (U )=0， （U 0）
J1 (U 0 n )的根有3.832, 7.016, 10.123, ...,
U 是TM0n模远离截止时的本征值，是J1 =0的根。
0n
SC
U
EC
J1 (U )=0, （U 0）
J1 (U 0 n )的根有3.832, 7.016, 10.123, ...,
0n
0n
模的远离截止频率。
注意，当U -> 0 时，
J1 (U ) 1/ 2 UJ 0 (U )
EC
方法1：以Ez 和H z分量的相对大小来区分，Ez 较大的为EH mn 模，
12
4.2.4.1
TM0n模分析
对TM0n模有，m=0, q=0, 且满足下式：
SC
U
m=0
EC
1 1 J m U K m W m( 2 2 ) U W
(1) 当模式截止时，W 0,
可得 ' 由贝塞函数的 J0 (U ) 递推关系和微分公式 UJ 0 (U )
18
SC
可得
' K0 (W ) WK 0 (W )
U
EC
模式截止条件下的特征方程为:
0 0n
EC
n12 J1 (U ) 2 n2 UJ 0 (U )
SC
U 是TE0n 模截止时的本征值，是J 0 =0的根。
0 J 0 (U 0 n )=0的根有2.4048, 5.5200, 8.6537, ...,
U
EC
0 J 0 (U 0 n )=0的根有2.4048, 5.5200, 8.6537, ...,
U
U 是TM0n 模截止时的本征值，是J 0 =0的根。
0 0n
(2) 当模式远离截止时，W ,
EC
' ' J ( U ) K 0 0 (W ) 对TM0n模有，m=0, q=0, 0 UJ 0 (U ) WK 0 (W )
6
SC
n12 J U K m W 2 m n 1 2 n12 1 m 2 2 2 n2U W
U
n12 n12 1 J U K m W m 2 2 2 2 m n2 n2U W
EC
q=-1时，对于HE模或TE模
SC
3
U
1 1 1 1 im 2 2 im 2 2 B W W U U ' ' A 1 Jm J m U K m W U 1 Km W U J m U W K m W
U
J 0 (U )=0
0 0n
则TE 01就能在光纤中存在；
反之，若V <2.4048, TE01就不是导模。
19
SC
说明：若波导的归一化频率V >2.4048,
U
它们分别对应着TE 01 , TE02 ,TE 03 , ...模的截止频率。
EC
对TE0n模有，m=0 ,q=
(2) 当模式远离截止时，W ,
1 K ( x) K m1 ( x) K m1 ( x) 2
' m
1 x K m ( x) e 大宗量近似： lim x x (m 1)!2m1 x m (m 1) 小宗量近似： lim K m ( x) 2 x 0 ) (m 0) ln( 1.781x
SC
来区分。 (1)若方程等式右边取“＋”，则对应EH mn波型；
U
' ' 1 J m U 1 K m W 1 1 = m 2 2 U J m U W K m W W U
EC
方法2：根据弱导光纤特征方程
SC
U
问题：因Ez 和H z分量一般都很小，难以区分。
SC
U
EC
m 1 K m ( x) K m1 ( x) K m1 ( x) x 2
9
U
EC
表
贝塞尔函数的根
J0(U) 2.405 5.520 8.654 J1(U) 3.832 7.016 J2(U) 5.136 8.417
SC
贝塞尔函数
10.173
U
前三个根 （不包括零根）
SC
10
EC
11.620
对应m＝0，有两套波型：TE 0 n 模和TM 0 n 模，其中m表示 圆周方向的模数，n表示径向模数，n 1, 2, ...。
m＝0，意味着TE波和TM波的场分量沿圆周方向没有变化。
分为两套：HE mn 模和EH mn 模。
SC
当m 0时，Ez 和H z分量均不为零，为混合模。混合模
' ' (U ) K0 (W ) n12 J 0 0 2 n2 UJ 0 (U ) WK 0 (W )
(1) 当模式截止时，W 0,
' 2 (U ) n12 J 0 n 由贝塞尔函数的 1 J1 (U ) 2 2 n2 UJ 0 (U ) n2 UJ 0 (U ) 递推关系和微分公式，
0
SC
1 x m 满足 lim J m ( x) ( ) x 0 m! 2
U 0 n 0
17
U
EC
它们分别对应着TM 01 , TM 02 , TM 03 , ...
4.2.4.2 TE0n模分析
对TE0n模有，m=0，q=, 且满足下式：
SC
U
EC
n12 n12 1 J U K m W m 2 2 2 2 m n2 n2U W
SC
SC
5
U
EC
m≥0，
U
EC
n12 1 1 J U K m W m( 2 2 ) 2 m n H z U W q 2 i Ez J m U K m W n12 1 m 2 2 2 n2U W
分析q，可以判定光纤中传输光波的模式类型，也是 对模场中TE型和TM型光波相对成分的一种量度。
1
SC
U
EC
1 又有微分关系： J ( x) J m1 ( x) J m1 ( x) 2
' m
U
有递推 关系：
m=0： m 1 J m ( x) J m1 ( x) J m1 ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) x 2
EC
J1 (U ) UJ 0 (U )
U
EC
在r a处，E 应连续，可得：
EC
模式分类 的 q 参数
' ' 2 n12 J m U n2 Km W 1 1 H 连续 A 0 Bim 2 2 0 U W U J m U W K m W
' ' 2 n12 J m U n2 Km W i 0 2 2 i n J U n U J U W K W B 0 1 m 2 K m W m m 1 1 1 A 1 m 2 2 m 2 2 U W W U 2 2 n12 J m U K m W 0 0 2
SC
U
1 1 ) 2 2 U W 1 J m U K m W m(
EC
q=1时，对于EH模或TM模
1 1 J m U K m W m( 2 2 ) U W
4.2.4 光纤中的模式本征值
在一般情况下由本征值方程求本征值很复
SC
导模处于临近截止 导模处于远离截止
EC
贝塞尔函数递推公式(I) 1 ' 微分公式： J m ( x) J m 1 ( x) J m 1 ( x) 2 m 1 递推公式： J m ( x) J m1 ( x) J m1 ( x) x 2
U
EC
贝塞尔函数递推公式(II)
递推公式：
SC
U
EC
微分公式：