空间向量解立体几何题讲义(自编精品)
用空间向量解立体几何的问的题目方法归纳
实用标准文案精彩文档用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α?a∥u?a＝k u?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E 12，1，12，F0，1，12，EF＝－12，0，0，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB?平面P AB，EF?平面P AB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP?平面P AD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
利用 空间向量解立体几何(含综合题
利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：1112220x y z x y x y z x y z z ++=⎧⎨++=⎩ 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=⎧⎨++=⎩ ，解得：2x yz y =-⎧⎨=⎩::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-（二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量）1、判定类（1）线面平行：a b a b ⇔∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥⇔⊥ （3）面面平行：m n αβ⇔∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥⇔⊥ 2、计算类：（1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a bθ⋅==（2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ⋅==（3）二面角：cos cos ,m n m n m nθ⋅==或cos cos ,m n m n m nθ⋅=-=-（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面α的距离为A AP n d nα-⋅=，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。
空间向量法解决立体几何问题
A
C B
Y
1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 X x y 0
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向 量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角 坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直 线AB的方向向量是 z
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
B A y
Z
A’ B’
O1 (0,0, a) E(a b, a,0) A1F (a, b, a) O1E (a b, a, a) x 1 1 A1F O1E A F O E 0
O C
F A
y
B
E
A１F O1 E
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 作EF PB交PB于点F . (2) 求证 : PB 平面EFD.
证1：如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1. 1 1 PB (1, , 1) DE (0, , ) 1 2 2 1 1 故PB DE 0 0 2 2 所以PB DE
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。
第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版2023届高考数学二轮复习讲义
第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用【考点梳理】1.法向量的求解①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 n 是平面的法向量，向量 m 是与平面平行或在平面内，则有0⋅= m n ．第一步：写出平面内两个不平行的向()()111222，，，，，== a x y z b x y z ；第二步：那么平面法向量()，，= n x y z ，满足1112220000⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ xx yy zz n a xx yy zz n b ．第三步：化解方程组令z y x ,,其中一个为1，求其它两个值.2.判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为 a ， b ．若 a ∥ b ，即= a b λ，则∥a b ；若⊥ a b ，即0⋅= a b ，则⊥a b ．②直线与平面的位置关系：直线l 的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ，且⊥l α．若 a ∥ n ，即= a n λ，则⊥l α；若⊥ a n ，即0⋅= a n ，则∥ a α．3.平面与平面的位置关系平面α的法向量为1 n ，平面β的法向量为2 n ．若1 n ∥2 n ，即12= n n λ，则∥αβ；若1 n ⊥2 n ，即120⋅= n n ，则α⊥β．4.空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅== a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅== a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,= n n θ或12,- n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅= n n n n θ．5.点到平面的距离A 为平面α外一点（如图）， n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH．||||⋅= AB n d n 【典型题型讲解】考点一：直线与平面所成的角【典例例题】例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，12AE CD =.(1)证明：PC AD ⊥；(2)若三角形AED 为等边三角形，PA =AD =6，F 为PB 上一点，且13PF PB =，求直线EF 与平面PAE 所成角的正弦值.【方法技巧与总结】设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅== a n a n a nθ．【变式训练】1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD 中，AB=BC=CD=2，AD=4，E 为AD 的中点，连结BE ，AC 交于F ，将△ABE 沿BE 折叠，使得平面ABE ⊥平面BCDE （如图2）.(1)求证：AF ⊥CD ；(2)求平面AFC 与平面ADE 的夹角的余弦值.2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.(1)求证：平面CDE ⊥平面ACD ；(2)若AB =2AC =，五面体ABCDE ，求直线CE 与平面ABED 所成角的正弦值.3．（2022·广东汕头·一模）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =，ABC 是底面的内接正三角形，且6DO =，P 是线段DO 上一点.(1)是否存在点P ，使得PA ⊥平面PBC ，若存在，求出PO 的值；若不存在，请说明理由；(2)当PO 为何值时，直线EP 与面PBC 所成的角的正弦值最大.考点二：二面角【典例例题】例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．(1)证明PA ⊥底面ABCD ；(2)设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --的正弦值为14，试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值．【方法技巧与总结】设12， n n 是二面角--l αβ的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角--l αβ的余弦值为1212n n |n ||n |⋅⋅ ．【变式训练】1．（2022·广东·一模）如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线.(1)证明：BE ⊥平面DEF ；(2)若2AB BC ==，当三棱锥B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的余弦值.2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ACC A ，90ABC ∠= ，AB BC =，四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，O 是AC 的中点.(1)证明：BC ⊥平面11B OA ；(2)求二面角11A OB C --的余弦值.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E -ABCD 中，//AB CD ，12AD CD BC AB ===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．(1)求证：//MN 平面ABE ；(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时，求二面角N -AE -B 的余弦值．4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB DC ，2BC CD AD ===，4AB =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点．(1)证明：平面PMN ⊥平面PAD ；(2)若二面角C AB P --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积．5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥,90C D A D C ∠= ，MBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，E 为AB 中点，222AB AD D C M E ====.(1)求证：BC ME ⊥；(2)点P 为棱AM 上一点，若12AP AM =，求二面角P BD A --的余弦值.6.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，2,4,60AB PA BC ABC ===∠=︒，点E 是线段BC （包括端点）上的动点．（1）探究点E 位于何处时，平面PAE ⊥平面PED ；（2）设二面角P ED A --的平面角的大小为α，直线AD 与平面PED 所成角为β，求证：π2αβ+=考点三：点到平面距离【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=．（1）求三棱锥D OCB -的表面积；（2）求A 到平面OCD 的距离．例2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，过1AB E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC 上的动点．（1）点H 在棱BC 上，当14CH CB =时，//FH 平面1AEB ，试确定动点F 在棱1CC 上的位置，并说明理由；（2）若2AB =，求点D 到平面AEF 的最大距离．【方法技巧与总结】如图所示，平面α的法向量为n ，点Q 是平面α内一点，点P 是平面α外的任意一点，则点P 到平面α的距离d ，就等于向量 PQ 在法向量n 方向上的投影的绝对值，即|||cos ,|==<> d PQ PQ n 或||=||||⋅⋅ PQ n d PQ n 【变式训练】1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB DC ∥，2AB =，4AD CD ==，E ､F 分别是AD ，BC 的中点，将四边形ABFE 沿EF 折起，如图②，连结AD ，BC ，AC .(1)求证：EF AD ⊥；(2)当翻折至AC =时，设Q 是EF 的中点，P 是线段AC 上的动点，求线段PQ 长的最小值.2.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，D 为AB 中点，且1A D =．（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）若点P 在线段1BC 上，且直线AP 与平面1ACD ，求点P 到平面1ACD 的距离．3.如图，矩形ABCD 和梯形ABEF ，,//AF AB EF AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，且2,1AB AF AD EF ====，过DC 的平面交平面ABEF 于MN ．（1）求证：DN 与CM 相交；（2）当M 为BE 中点时，求点E 到平面DCMN 的距离：4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1．（1）求1A C 与平面1A ED 所成角的正弦值；（2）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由．【巩固练习】一、单选题1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（）A ．3B ．3C ．2D ．22．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是棱1DD 的动点，则下列说法正确的（）个．①若E 为1DD 的中点，则直线1//B E 平面1A BD②三棱锥11C B CE -的体积为定值313a③E 为1DD 的中点时，直线1B E 与平面11CDD C④过点1B ，C ，E 的截面的面积的范围是22⎤⎥⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题2．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =- ，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB 分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 3．直三棱柱111ABC A B C -，中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A ．//AC 平面1A BDB ．CD 与1AC 不垂直C ．ADC ∠的取值范围为,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．AD DC +三、填空题4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱CD 的中点，点F 为底面ABCD 内一点，给出下列三个论断：①1A F BE ⊥；②13=A F ；③2ADF ABF S S =△△．以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11A B ，BC 的中点，则EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为___________．四、解答题6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11222A C AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．（1）证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．（2）设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．7．如图，ABCD 是边长为6的正方形，已知2AE EF ==，且////ME NF AD 并与对角线DB 交于G ，H ，现以ME ，NF 为折痕将正方形折起，且BC ，AD 重合，记D ，C 重合后为P ，记A ，B 重合后为Q ．（1）求证：平面PGQ ⊥平面HGQ ；（2）求平面GPN 与平面GQH 所成二面角的正弦值．8.如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，2AB CD =，60BAD ∠=︒，四边形11CDD C 是正方形．（1）指出棱1CC 与平面1ADB 的交点E 的位置（无需证明），并在图中将平面1ADB 截该四棱柱所得的截面补充完整；（2）求二面角11B AD A --的余弦值．9.如图，圆锥PO ，ABC 是⊙O 的内接三角形，平面PAC ⊥平面PBC ．BC =60ABC ∠=︒．（1）证明：PA PC ⊥；（2）设点Q 满足OQ OP λ= ，其中()0,1λ∈，且二面角O QB C --的大小为60︒，求λ的值．10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，1A C 的中点为O '，四面体111O A B C '-的体积为13，四边形11BCC B 的面积为（1）求O '到平面11BCC B 的距离；（2）设1AB 与1A B 交于点O ，ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形且111AA A B =．求直线1'B O 与平面1A BC 所成角的正弦值．。
利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何一、基本工具1.数量积： cos a b a b θ⋅=2.射影公式：向量a 在b 上的射影为a bb⋅ 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为PQ =u u u r2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ u u u r在法向量(),n A B =上的射影PQ n n⋅u u u r=即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r，计算平面α的法向量n ，计算PQ u u u r在α上的射影，即为点P 到面α的距离.四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB u u u r u u u r 和，则角<','AA BB u u u r u u u r>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , 不需要用法向量。
第2讲 空间向量与立体几何(知识点串讲)(解析版)
第2讲空间向量与立体几何（知识点串讲）一、[体系构建]二、知识整合考点1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．例1、(2019·山东威海月考)若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能【答案】B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] [跟踪训练]1、 (2019·河南新乡联考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B [∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1. ∴P ，A ，B ，C 四点共面．]考点2．两个向量的数量积(1)非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 考点3．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).例2、（1111(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________.【答案】(1)A 1A → (2)12AB →＋12AD →＋AA 1→ [(1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA→＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.][跟踪训练]2、（2019·山西太原期末）已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上，点N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND ，若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＋y ＋z ＝________.【答案】－23[如图，MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(AD →－AP →)－23(P A →＋AC →)＝12AD →－12AP →＋23AP →－23(AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →. 所以x ＋y ＋z ＝－23－16＋16＝－23.]考点4．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 考点5．空间位置关系的向量表示例3、( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对【答案】C [因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a ，所以a ∥c . 又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .][跟踪训练]3、(2019·山西晋中联考)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2【答案】A [ ∵a ∥b ，∴b ＝k a ， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝kλ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.]考点6．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．考点7．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点8．二面角若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB →与CD →的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，如图(2)(3)．例4、(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56 C ．55D ．22【答案】C [方法一 如图(1)，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA A 1′B 1′B 1A 1.图(1)连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′，即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55. 故选C ．方法二 如图(2)，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．图(2)由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝225＝55.][跟踪训练]4、(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明 由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解 如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz .由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP →＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32.又HP →为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.。
巧用向量法，妙解立体几何题
思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义一、知识梳理1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围]2,0(π[0，π] 求法cos θ＝|a ·b ||a ||b | cos β＝a ·b |a ||b | 2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．注意：利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是]2,0(π，直线与平面所成角的范围是]2,0[π，二面角的范围是[0，π]．( ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( ) 题组二 教材改编2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．题组三：易错自纠4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.225．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为__ __．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的角为______．二、典型例题题型一：求异面直线所成的角典例 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．思维升华：用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．题型二：求直线与平面所成的角典例如图，四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD 上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．思维升华：利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．题型三：求二面角典例 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．思维升华：利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练 (2017·天津)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 题型四：求空间距离(供选用)典例 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．思维升华：求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．跟踪训练 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q －AC －D 的余弦值为63若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由．注意：利用空间向量求解空间角典例 (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．四、反馈练习1．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π22.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B ．－14 C.14 D ．－523．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.224.已知六面体ABC —A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°5．设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.2336．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是____________．8．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．9．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________．10．设二面角α—CD —β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC ＝45°，则AB 与平面β所成角的大小为________．11．已知三棱锥A —BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，点E 在AD 上，且AE ＝2ED .(1)已知点F 在BC 上，且CF ＝2FB ，求证：平面PEF ⊥平面P AC ；(2)当二面角A —PB —E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面P AB 所成的角为45°？13已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.3314．已知三棱锥S —ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，Q 是三棱锥S —ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________．15．已知三棱锥P —ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P —ABC 的体积最大时，二面角P —AB —C 的大小为θ，则sin θ等于( )A.23B.53C.63D.7316．如图，已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP＝PB ，BQ QC ＝CR RA＝2，分别记二面角D —PR —Q ，D —PQ —R ，D —QR —P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α。
2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块七 用空间向量解立方体问题完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块七 用空间向量解立方体问题完整讲义（学生版）【例1】 正方体中，与平面所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】 在正方体中，如图、分别是，的中点，⑴求证：平面；⑵求异面直线的所成角．【例3】 如图，已知正方体的棱长为，点是正方形的中心，点、分别是棱，的中点．设点，分别是点、在平面内的正投影．⑴证明：直线平面；⑵求异面直线与所成角的正弦值．G F ED 1C 1B 1A 1D CB A【例4】 如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、上的动点，且（）．⑴求证：；⑵当的面积取得最大值时，求二面角的大小．FD 1C 1B 1A 1DC A【例5】 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，典例分析⑴求证：；⑵求与所成的角的余弦值；⑶求的长．H GF ED 1C 1B 1A 1DC A【例6】 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，分别为的中点，⑴求证：，；⑵求证：平面；⑶求异面直线与所成角的余弦值；⑷求直线与平面所成角的余弦值；⑸求二面角的余弦值．H GFE D 1C 1B 1A 1DC B A【例7】 如图，在正方体中，、分别是、的中点．⑴证明：；⑵求与所成的角；⑶证明：面面．F ED 1C 1B 1A 1DC B A【例8】 在正方体中，如图、分别是，的中点，⑴求证：平面；⑵求异面直线的所成角．【例9】 如图，在棱长为的正方体中，，截面，截面．⑴证明：平面和平面互相垂直；⑵证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值；⑶若与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．图1A'A BE C QC'G HDFP B'D'【例10】 如图，在长方体中，、分别是棱，上的点，，⑴ 求异面直线与所成角的余弦值；⑵ 证明平面【例11】 如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．⑴求证：平面；⑵求与平面所成的角的正弦值．FED 1C 1B 1A 1DC B A【例12】 正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．⑴求证：平面；。
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a b a b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l－β 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角α －l－β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角α －l－β 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角AB与的夹角的大小．α －l－β 的大小就是向量CD方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2P A1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b 得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴⋅AD AC AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ． ∴BC ⊥平面P AC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ，b ⊂α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ⊂α ，则a ∥b (C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b 2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38(C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3 (D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23 (D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形；③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°． 不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55 习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ． ∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题型(解析版)
第一章 空间向量与立体几何 单元复习讲义 易错题易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量【详解】A. 取AD,11B C的中点M,N ，则：2OA OD OM +=,112OB OC ON =+，两者不是一对相等向量； B. OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，两者是一对相等向量； C. 11OA OA AA =-，11OC O C C C -=，两者是一对相反向量；D.设底面1111,ABCD A B C D 的中心分别为P,Q ，则：OA OB OC OD OP ++=+，1111OA OB OC OD OQ ++=+， 两者是一对相反向量；故选：D.2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA AD=++-，那么点M 必（ ）A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内C ．在平面11BA D内 D ．在平面11AB C 内【详解】因为1111111176464PM PB BA AA A D PB BA BA A D =++-=++-11116PB B A BA =++-11111146()4()A D PA PA PB PD PA =+---111164PA PB PD =--，所以M ，B ，1A ，1D 四点共面 故选：C.3．已知平行六面体ABCD -A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;①''''AC AB B C CC =++;①''AA CC =;①'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.【详解】由题意得AB CB AB BC AC -=+=,①正确;'''''AB B C CC AB BC CC AC ++=++=,①正确;①显然正确;因为''AB BB BC AC ++=,所以①不正确. 故答案为①①①易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ）A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-【详解】 如图：由11,BD AD AB AA =-+2211()BD AD AB AA ∴=-+222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅-⋅+⋅21111211cos 45cos60c 12161os 0︒︒︒-⨯⨯=⨯+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 32=-,13||2BD ∴=-, 故选：C2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ， (,,)OC x y z =，(2,2,)BC x y z =--，(22,22,0)EF =-，由(22,22,0)(2,2,)1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅--===⋅⋅，整理可得：22x y -=-， 由||||3CO CB ==，得2222(2)(2)x y x y +=-+-， 化简得2x y +=，以上方程组联立得232,44x y ==，则()(,,)0,22,0223OC OF x y z y =⋅==.故选：D.3．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________．【详解】 ·0＝a b ，且a b c ，，均为单位向量， ①()22222211202+=+=++⋅=++⨯=a b a b a b a b ，|c |=1，21=c ,①()()()()21-⋅-=⋅-++⋅-⋅=+a c b c a b a b c c a b c.设a b +与c 的夹角为θ， 则()()1cos 12cos θθ-⋅-=-+=-a c b c a b c .故()()a cbc -⋅-的最小值为1 2.-故答案为：1 2.-易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC-中，D 是四边形11BB C C的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++ B ．111222a b c -+ C ．111222a b c +- D ．111222a b c-++【详解】由于D 是四边形11BB C C的中心()11111111111111()22222A D A B AC A A A B AC a b c =+=++=-++. 故选:D2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c-+ B ．a b c +- C ．a b c -+ D ．1122a b c -+- 【答案】A 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC=+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c=-=-+=-+. 故选：A.3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【详解】MN MA AB BN =++ 11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC=++133,,888x y z ∴===即78x y z ++=故答案为：78易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB =,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 7(,1,1)3-- D ． 573(,,)222-【详解】设C 的坐标是（x ，y ，z ） ①A(3,3,-5),B(2,-3,1)，①166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，） ①23AC AB =，①2335166,3x y z --+=--（，，）（，，）由此解得7,1,1,3x y z ==-=- ，故选C.2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP与13PP 的夹角是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90【详解】设向量12PP与13PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-，则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D.3．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E ，F 分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.【详解】因为11112AE AD DD D E AB AD AA =++=++，所以向量AE 的坐标为1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为11112AF AB BB B F AB AD AA =++=++， 所以向量AF 的坐标为1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,. 因为11AC AB AD AA =++，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1).故答案为：1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,；(1,1,1)易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直.故选：B.2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为( )A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】设OD =t OC =（t ，t ，2t ），t≥0，①A （1，2，3）、B （2，1，2）、C （1，1，2），O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动， ①DA =（1﹣t ，2﹣t ，3﹣2t ），DB =（2﹣t ，1﹣t ，2﹣2t ）， ①DA •DB =（1﹣t ）×（2﹣t ）+（2﹣t ）×（1﹣t ）+（3﹣2t ）（2﹣2t ） =6t2﹣16t+10=6（t ﹣43）2+269，当t=43时，DA •DB 取最小值，此时D （448333，，）．故答案为：C ．3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，①401525777x y +=-=.易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ）A ．1//AF D EB ．1AF D E ⊥C ．//AF 平面11CDE D ．AF ⊥平面11C D E【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，设(0,1,)F z （(01)z ≤≤，则11(,1,1)2D E =-，(1,1,)AF z =-，因为11211≠-，所以1,AF D E 不可能平行，即1,AF D E不可能平行，又11102AF D E z ⋅=-+-=，12z =，因此1,AF D E 可以垂直，即AF 与1D E 可能垂直． 1(0,1,1)C ，11(0,1,0)DC=， 设平面11C D E的一个法向量为(,,)n x y z =， 则1110102n D C y n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取2x =，则(2,0,1)n =， AF 与n 不可能平行，因此AF 与平面11C D E 不可能垂直，2[2,1]AF n z ⋅=-+∈--，因此AF 与n 不可能垂直，因此AF 与平面11C D E 不可能平行，故选：B ．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量(0,1,0)n=.①A1M=AN=23a，①M233a aa⎛⎫⎪⎝⎭，，，N2233a aa⎛⎫⎪⎝⎭，，，①233a aMN⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，.①0MN n⋅=，①MN①平面BB1C1C，故选：B.3．若直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____.【详解】因为AB=(1,-1,1), 直线l1的方向向量为1u=(1,3,2),1u·AB=(1,3,2)·(1,-1,1)=0,所以两直线位置关系为垂直.易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA①平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB①AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A．3010-B．305-C．305D．3010【详解】因为PA①平面ABC，所以PA①AB，PA①BC．过点A作AE①CB，又CB①AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故CP=(−4，2，2)，AD=(2，0，1)．所以cos〈AD，CP〉=AD CPAD CP⋅⋅==−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈AD，CP〉|=.2．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D-中，若E为11D C的中点，则11A C→与DE→所成角的余弦值为（）A．1010B．13C．24D．55【详解】设正方体的棱长为1，记AB a→=，AD b→=，1AA c→=，则||||||1a b c===，0a b b c c a⋅=⋅=⋅=．因为11AC AB AD a bAC→→→→==+=+，1111112DE DD D E DD D C c→→→→→=+=+=+12a，所以221111111()22222AC DE a b c a a c b c a a b a→→⎛⎫⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅==⎪⎝⎭．又因为11||2AC →=，215||122DE →⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以1111111102cos ,105||||22AC AC DE AC DE →→→→→〈〉===⨯， 所以11AC→与DE →所成角的余弦值为1010．故选：A3．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.【详解】根据题意，以O 为原点，分别为OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA OB OC ===，则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,1C 、()10,,112P b b b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭、()1,0,002Q a a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， (),,1QP a b b =--，()0,1,0OB =，所以()222221cos ,1111QP OB b QP OB QP OBa b b a b b ⋅<>===⋅++-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]0,1a b ∈，[]11,2b ∈，所以当0a =，1b =时， cos ,QP OB <>取得最大值，且最大值为1；当12a b ==时，cos ,QP OB <>取得最小值，且最小值为33，所以PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.易错点八：线面角的向量求法1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1A B 与平面BDE 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π 【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，1(1,0,1)A ， ①(1,1,0)DB =，10,1,2DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,1,1)A B =-， 设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则1,2y z =-=，所以平面BDE 的一个法向量(1,1,2)n =-，①1(0,1,1)BA =-，①11123cos ,,,[0,]223BA n BA n π+<>==<>∈， ①1,6BA n π<>=，①直线1A B 与平面BDE 的夹角为3π.故选：B.2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B．25C．35D．45【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D，11(0,1,)2=-D M，11(1,0,)2=MB设平面11A D M的法向量为(,,)m x y z=则111=012xA D my zD M m-=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y=可得2z=，所以(0,1,2)=m设直线1B M与平面11A D M所成角为θ，1112sin5552θ⋅===⋅⨯m MBm MB故选：B3．在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．【详解】解：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，(0,,)22a aP-，则CA ＝(2a ，0，0)，AP ＝(,,)22a a a --，CB ＝(a ，a ，0)． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，因为n ①CA ，n AP ⊥，所以20,0,22ax a a ax y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩所以x ＝0，y ＝z ，令y ＝1，则n ＝(0，1，1)是平面PAC 的一个法向量， 所以cos 〈,CB n〉＝21222CB n a CB n a ⋅==⨯，所以〈,CB n 〉＝60°，所以直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°＝30°．故答案为：30°．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33- B ．32- C ．33 D ．32【详解】 设1AD =，则1(1,0,2)A ，(1,2,0)B①E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点①(0,1,2)E ，(1,1,1)F ，即1(1,1,0)AE =-，1(0,2,2)A B =- 设(,,)m x y z =是平面1A BE 的法向量，则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则1y z ==，即有平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =又DA ⊥平面11A B B ，即(1,0,0)DA =是平面11A B B 的一个法向量①13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉===，又二面角11B A B E --为锐二面角 ①二面角11B A B E --的余弦值为33故选：C2．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33- B ．32- C ．33 D ．32【详解】 设1AD =，则1(1,0,2),(1,2,0)A B ，因为E 为11C D 的中点，所以(0,1,2)E ，所以 11(1,1,0),(0,2,2)A E A B =-=-，设(,,)m x y z =是平面 1A BE 的一个法向量，则1100A E m A B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1x =，则1y z ==，所以平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =，又因为DA ⊥平面11A B B ，所以(1,0,0)DA =是平面 11A B B 的一个法向量，所以13cos ,3||||3m DA m DA m DA ⋅〈〉===， 又因为二面角11B A B E --为锐二面角， 所以二面角11B A B E --的余弦值为33.故选：C.3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．【解析】 分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC的法向量为(,,)m x y z =由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=-平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量， ∴120(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-二面角1D EC D --的大小为4π∴cos4m nm n π⋅=⋅，即22222(2)12λ=-++解得 23λ=-，23λ=+（舍去）∴23AE =-故答案为23-。
1.2空间向量在立体几何中的应用新课讲义2021-2022高一数学人教B版(2019)选择性必修一
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AB n⋅典例解析考点一：空间中的点线例1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,1,5),(4,3,1)A B -，点P 为线段AB 的中点，则点P 的位置向量的坐标是（ ） A ．7,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．(12,3,5)-D ．14,,233⎛⎫- ⎪⎝⎭变式1．若(1,0,1),(1,4,7)A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)变式2．已知点(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上一点且||13||AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭例2．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BB 1，DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 的夹角为( ) A.6πB.3π C.4πD.2π变式1：把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形的中心，则折起后，直线OE 与OF 的夹角的大小是( ) A.3πB.2π C.32πD.65π变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；PABCDE例3．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，PAD ABCD ⊥,AD BC //，CD ⊥AD ，AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．变式1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.变式2：正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面夹角的正弦值等于( )A.46B.410C.22D.23EDCBPA例4．在四棱锥S ABCD —中，底面ABCD 为矩形，SD ABCD ⊥平面，2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上，=60ABM ∠。
空间向量解立体几何(含综合题习题)
空间向量解立体几何(含综合题习题)利用空间向量解立体几何问题一、基础知识1.刻画直线与平面方向的向量直线的方向向量可由直线上的两个点来确定。
例如，若有点A(2,4,6)和点B(3,0,2)，则直线AB的方向向量为AB=(1,-4,-4)。
平面的法向量来刻画平面的倾斜程度。
法线的方向向量就是平面的法向量。
要求出指定平面的法向量，需要平面上的两条不平行的直线。
设平面的法向量为n=(x,y,z)，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，则可列出方程组：x1x+y1y+z1z=0和x2x+y2y+z2z=0，解出x,y,z的比值即可。
例如，若a=(1,2,0)和b=(2,1,3)，求a,b所在平面的法向量，则设n=(x,y,z)，有方程组：x+2y=0，2x+y+3z=0，解得：x:y:z=-2:1:1，故n=(-2,1,1)。
2.空间向量可解决的立体几何问题1）判定类线面平行：a∥b当且仅当a∥b。
线面垂直：a⊥XXX且仅当a⊥b。
面面平行：α∥β当且仅当m∥n。
面面垂直：α⊥β当且仅当m⊥n。
2）计算类两直线所成角：cosθ=cos(a,b)=(a·b)/(|a||b|)。
线面角：sinθ=sin(a,m)=(a·m)/(|a||m|)。
二面角：cosθ=cos(m,n)（法向量夹角关系而定）或cosθ=-cos(m,n)。
点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为d=|AP·n|/|n|，即AP在法向量n上投影的绝对值。
3）点的存在性问题在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件。
解决该问题时，可以先设出所求点的坐标(x,y,z)，再想办法利用条件求出坐标。
为底面，以AD为高，构造平面ADE，可知平面ADE与平面ABCD- A1垂直，且平面ADE与平面EF所成角为所求角，故EF与平面ADE垂直。
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空间向量解立体几何题讲义【提纲】一、回顾平面向量的有关知识1、 平面直角坐标系2、 平面向量的坐标表示及运算3、 平面向量的数量积、模及夹角公式4、 平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广）1、 空间直角坐标系2、 空间向量的坐标表示及运算3、 空间向量的数量积、模及夹角公式4、 空间向量的平行和垂直的充要条件5、 直线的方向向量6、 平面的法向量7、 空间向量的应用 （1）证明：平行；垂直 （2）计算：角；距离 【教学过程】一、复习回顾平面向量的有关知识1、平面直角坐标系2、平面向量的坐标表示及运算3、平面向量的数量积、模及夹角公式4、平面向量的平行和垂直的的充要条件 二、介绍空间向量的有关知识（推广） （一）空间直角坐标系1、建立以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，即三条坐标轴．称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，如图所示。
注：作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=。
2、（正交）基底用{},,表示（二）空间向量的坐标表示及坐标运算 1、坐标表示给定空间直角坐标系O xyz -和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =，其中1a 叫横坐标，2a 叫纵坐标，3a 叫竖坐标．若),,(z y x A ，则),,(z y x =，如右图所示。
若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---，如右下图所示。
2、坐标运算若123(,,)a a a a =，123(,,)bb b b =，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++ （2）112233(,,)a b a b a b a b -=--- （3）123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ （三）空间向量的数量积、模及夹角公式1、设,是空间两个非零向量，我们把数><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，b a ⋅＝><,cos ||||规定：零向量与任一向量的数量积为0 2、模长公式：222||z y x ++==，其中()z y x ,,=3、夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅=⋅（四）空间向量的平行和垂直的充要条件1、//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩2、00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x ，其中,是两个非零向量）（五）直线的方向向量把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量 （六）平面的法向量若表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。
在空间求平面的法向量的方法：法1：（直接法）找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。
法2：（待定系数法）步骤：①建立空间直接坐标系；②设平面的法向量为(,,)n x y z =；③在平面内找两个不共线的向量111(,,)a x y z =和222(,,)b x y z =；④建立方程组：00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩； ⑤解方程组，取其中的一组解即可。
（七）空间向量的应用1、证明平行和垂直 （1）证明两直线平行已知两直线a 和b ,b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使AB CD λ=（2）证明直线和平面平行已知直线a B A a ∈⊄,,α和平面α的法向量n ,则a ∥0=⋅⇔⊥⇔n AB n AB α （3）证明两个平面平行已知两个不重合平面βα,,法向量分别为,,则α∥m ⇔β∥n （4）证明两直线垂直已知直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则0=⋅⇔⊥CD AB b a （5）证明直线和平面垂直已知直线a 和平面α，A 、B a ∈,平面α的法向量为n ,则AB a ⇔⊥α∥n （6）证明两个平面垂直已知两个平面α和β及两个平面的法向量n ，m ,则⊥⇔⊥βα 2、求角与距离（1）求两异面直线所成的角已知两异面直线b a ,，且b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线b a ,所成的角θ的计算公式为：cos =θ（2）求直线和平面所成的角已知A,B 为直线a 上任意两点，n 为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为:① 当⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈<2,0,π时，><-=n AB ,2πθ；② 当⎪⎭⎫ ⎝⎛>∈<ππ,2,时，2,πθ->=<（3）求二面角已知二面角,βα--l ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补,即>=<,θ或><-,π注:如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系？① 通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角,再由法向量成的角来定之。
② 通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。
（4）求两条异面直线的距离已知两条异面直线b a ,,m 是与两条异面直线都垂直的向量,且b B a A ∈∈,，则两条异面直线的距离为||m d =推导：作α⊥AC ，垂足为C ，连结BC ，d AC =即为所求，设θ=∠BAC ，则|||||||||,cos |||cos ||m m AB AB m AB AB AB d =⋅=><⋅=⋅=θ（5）求点到面的距离已知平面α和点B A ,，αα∈∉B A ,,为平面α的法向量，则点A 到平面α的距为d =推导过程：类似上面方法三、例题选讲例1（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是四边长均为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖（Ⅱ）求异面直线AB 与DM 所成角的大小； （Ш）求点B 到平面OCD 的距离.例2（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴O O 1折成直二面角，如图2（Ⅰ）证明：1BO AC ⊥； （Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小.BOCO 1D例3(2007四川理）如图，PCBM 是直角梯形，090=∠PCB ，PM ∥BC ，1=PM ，2=BC ，又1=AC ，0120=∠ACB ，PC AB ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60°（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小； （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.四、练习题1、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2====BD CD CB CA ,2==AD AB . （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；BE（III ）求点E 到平面ACD 的距离.2、(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．3、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上，060=∠PDA（Ⅰ）求DP 与1CC 所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面D D AA 11所成角的大小.OSBAC1A4、（2007安徽文、理)如图,在六面体1111D C B A ABCD -中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,四边形1111D C B A 是边长为1的正方形,⊥1DD 平面1111D C B A ,⊥1DD 平面ABCD ，21=DD(Ⅰ) 求证:11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； (Ⅱ) 求证:平面1111BDD B ACC A 平面⊥； (Ⅲ) 求二面角C BB A --1的大小.5、(2006全国Ⅰ卷文、理)如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在1l 上，点C 在2l 上，AM MB MN ==。
（Ⅰ）证明NB AC ⊥；(Ⅱ) 若60OACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。
ABMNCl 2l 1H例题及练习题参考答案例1 解：作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则(0,0,0),(1,0),,0),(,,0),A B P )2,0,0(O ，)1,0,0(M ，)0,42,421(-N(Ⅰ)2222(1,,1),(0,,2),(MN OP OD =--=-=-设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0=⋅OP n 即 220y z x y z -=⎨⎪-=⎪⎩ 取z =,解得n =∵()02,4,01,42,421=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅ ∴MN ∥平面OCD(Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==--∵ ∴21||||cos =⋅=MD AB θ ∴3πθ= , 即AB 与MD 所成角的大小为3π(Ⅲ)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量)2,4,0(=n 上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得32||==n d .所以点B 到平面OCD 的距离为23例2 解:（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标是)0,0,3(A ，)0,3,0(B ，)3,1,0(C ,)3,0,0(1O .从而)3,3,0(),3,1,3(1-=-=BO ，.03331=⋅+-=⋅BO 所以AC ⊥BO 1.（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅BO 所以BO 1⊥OC ，由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量.设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量，由,3.0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y z y x O 取 得)3,0,1(=.设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn ，1BO >，所以cos <=cos θ，1BO .431=例3 解：（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有)0,21,23(-A 设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为60，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得10=Z∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =， 则11110102y zy z +=⎧-=，取11x =，得{1,3,n =,平面ABC 的法向量取为()0,0,1m =设m 与n 所成的角为θ，则3c o s 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角大小为（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知，PCMN 为正方形 ∴011sin1203212P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅= （Ⅲ）解法二：取平面PCM 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离23||11==n h ∵1,1PC PM ==，∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯练习1：(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD.在△AOC 中，由已知可得AO=1, CO=3.而AC=2,∴AO 2+CO 2=AC 2,∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC.,0=OC BD ∴AO ⊥平面BCD .（Ⅱ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (0，3，0)，A (0,0,1), E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-= ∴,42=∙=CD BA CD BA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos （Ⅲ）解法一：设平面ACD 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x z y x AD n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x 令y=1，得n =(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-= ∴点E 到平面ACD 的距离h=.72173|||·|==n n （Ⅲ）解法二：设点E 到平面ACD 的距离为h . CDE A ACD A V V --- , ∴h 31·S △ACD =31·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2,∴S △ACD =,2722222132=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯而AO =1,S CDE =,23243212=⨯⨯∴h =,72127231=⨯=∙∆∆ACDCDE S S AO∴点E 到平面ACD 的距离为721. 练习2：证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且A O B C ⊥，又S B C △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且SO SA =，从而222SA SO OA =+．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B--的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B --． 练习3：解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DADH =<>，可得2m =m =21DH ⎛= ⎝（Ⅰ）因为0011cosDH CC ++⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，．可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 练习4：解（向量法）：以D 为原点，以DA ,DC ,1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111D C B A（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11-=-=AC C A),0,2,2(),0,1,1(11==B D .2,21111B D C A ==∴平行，与平行，与1111B D C A ∴ 于是11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面.（Ⅱ）证明：，）＝，，（），，＝（00222001-∙∙AC DD ，）＝，，（），，0022022-∙∙.1AC DB AC DD ⊥⊥∴，，是平面与111BDD B DB DD 内的两条相交直线，.11BDD B AC 平面⊥∴ 又平面，过AC ACC A 11.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴（Ⅲ）解：.210211201111），，＝（），，，），，，----CC BB 设的法向量，为平面11111),,(ABB A z y x n =,02,021111111==--=∙=+-=∙z y x BB n z x AA n 于是).1,0,2(,2,1,0111====n z z y 则取设的法向量，为平面11222),,(BCC B z y x m =.02,022212221=+-=∙=+--=∙z y CC m z y x BB m 于).1,2,0(,2,1,0222====m y z x 则取.51,cos ==n m .511---∴的余弦为二面角C BB A 练习5：解: 如图,建立空间直角坐标系M －xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB →=(1,－1,0).∴AC →·NB →=1+(－1)+0=0 ∴AC ⊥NB.(Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(－1,1,m), ∴|AC →|=|BC →|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt △CNB 中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2).连结MC,作NH ⊥MC 于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN →=(0,1－λ,－2λ),MC →=(0,1, 2). HN →·MC → = 1－λ－2λ=0, ∴λ= 13 ,∴H(0, 13, 23), 可得HN →=(0,23, －23), 连结BH,则BH →=(－1,13, 23),∵HN →·BH →=0+29 － 29 =0, ∴HN →⊥BH →, 又MC ∩BH=H,∴HN ⊥平面ABC,∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN →=(－1,1,0), ∴cos ∠NBH= BH →·BN →|BH →|·|BN →| = 4323×2= 63l 1。