第十八章 含参变量的广义积分

第十八章 含参变量的广义积分

1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰

； (2) 20

cos() ()1xy dy x y +∞

-∞<<+∞+⎰； (3)

1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1

cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x

+∞

≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：

(1)

20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0

xy xe dy +∞-⎰，

（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2

()x e dx α+∞

---∞⎰，

（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞

-+<<+∞⎰.

3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞

⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证：

0()t f t dt λ+∞

⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.

4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22

0()x F x dy x y +∞

=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y

+∞

=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x x

y F x dy y y π

π-=-⎰，(0,2)x ∈.

5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分

()(,)c I x f x y dy +∞

=⎰

在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.

6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞

=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一

趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）

，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞

===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.

7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞

=⎰在[,]a b 的积分交换次序

定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.

8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()

n n dx I a x a +∞

+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x

--+∞

-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰

(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰

（0,0a b >>）； (2) 0

sin ax bx

e e mxdx x --+∞

-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x

+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x

α+∞=+⎰ 和

120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰

. 11． 2

0(0)xy e dy x +∞

-=>计算傅伦涅尔积分

2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和

2

1001cos 2F x dx +∞+∞==⎰

⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰

，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x

+∞

⎰； (2) 02

sin cos y yx dy y

π+∞⎰； (3)

220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰

(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰

(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t

+∞

-⎰； (2) 22

0ln(1)1x dx x +∞

++⎰. 14． 证明：

(1) 1

0ln()xy dy ⎰在1[,]b b

(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：

(1) 10⎰

；

(2) ⎰；

(3)

⎰;

(4)

0a x ⎰ (0)a >； (5)

6420sin cos x xdx π⎰； (6)

401dx x +∞+⎰； (7)

220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；

(8) 0π⎰

； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).

16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x

-+∞

+⎰；

(2) 1⎰

(3) 2

0tan n xdx π

⎰； (4) 1

01ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰

(0)α>. 17． 证明： (1) 11()n

x e dx n n +∞

--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1n

x n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：

111

0(,)(1)b a b

x x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞

--Γ=⎰ (0)

s >.