Maple 大作业

一、Maple 程序编写实例

1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m ，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变

形为40mm 。求此弹簧质量系统的振动规律。

解：●建模

图1 系统受力：mg,回复力kx 。物体作上下的自由振动运动。 ● Maple 程序

> restart: #清零

> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #

∑=F x m x ..

(delta[st]+x):

> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项

> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换

delta[st]=m*g/k,eq):

> eq:=expand(eq/m): #展开

> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换

> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解

> k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数

> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率

> x[0]:=-delta[st]: #初位移

> v[0]:=0: #初速度

> A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅

> beta:=-Pi/2: #初相角

> delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件

> omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件

> A:=eval(A): #振幅数值

> X:=evalf(X,4); #系统振动规律 := X -.04000()cos 15.65t

答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。

2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。若此物体在梁未变形的位

置无初速度释放，求系统自由振动的频率。

图2

解：●建模

系统受力：mg,F 。物体作直线运动。

● Maple 程序

> restart: #清零

> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g- #∑=F x m x ..

k*(delta[st]+x):

> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项

> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq):

> eq:=expand(eq/m): #展开

> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq); #代换

:= eq = + DDx ω02x 0

> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统的通解

> k:=m*g/delta[st]: #梁的刚度系数

> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率

> omega[0]:=subs(delta[st]=(mgl^3)

/(48*E*J),omega[0]); #代换 := ω048

g E J mgl 3 答：系统自由振动的频率为 := ω048

g E J

mgl 3。 3. 如图3所示一质量为m 、半径为r 的圆柱铁桶， 在半径为R 的圆弧上作无滑动的滚动。求圆柱铁桶在

平衡位置附近作微小振动的固有频率。

解：●建模

系统受主动力：mg,F 1,F 2。圆桶运动为定轴转动。 图3

● Maple 程序

> resart: #清零

> J[O1]:=1/2*m*r^2: #圆桶的转动惯量

> v[O1]:=(R-r)*Dtheta: #圆桶中心O 1 线的速度v o1

> omega:=(R-r)*Dtheta/r: #作纯滚动角速度ω

> T:=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2: #系统的动能

> V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)): #系统的势能

> V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V): #微动时，势能

> theta:=A*sin(omega0*t+beta): #θ的变化规律

> Dtheta:=diff(theta,t): #θ的导数

> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能

> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能

> eq:=Tmax=Vmax: #机械能守恒

> solve({eq},{omega0}); #解方程 ,{} = ω0-() - 6r 6R g - 3r 3R {} = ω0--() - 6r 6R g - 3r 3R 答：圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为R r g

R 336r 6-0

--=）（ω 4. 如图4所示弹簧质量系统，作水平方向的自由振动，求小车的固有频率。

图4

解：●建模

系统受回复力：Kx 。小车作自由振动。

● Maple 程序

> restart: #清零

> x:=A*sin(omega0*t+beta): #小车运动的变化规律

> Dx:=diff(x,t): #x 的导数

> T:=1/2*m*(Dx)^2: #系统的动能

> V:=1/2*K*x^2: #系统的势能

> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能

> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能

> eq1:=Tmax=Vmax: #机械能守恒

> solve({eq1},{omega0}); #解方程

,{} =

ω0m K m {} = ω0-m K m 答：小车在作往复运动的固有频率为m K m 0=

ω 5. 某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图5所示。已知系统的固有频率为3.8Hz 。橡胶隔振器的相对阻尼

系数ζ=0.125。如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s 。试

求设备的振幅。

解：●建模 图5

设备受力：mg,F e 。设备作曲线运动。

● Maple 程序

> restart: #清零

>B:=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2) #振幅

/9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):

> omega:=v/a: #地面振动频率

> p:=2*Pi*f: #系统振动频率

> lambda:=omega/p: #频率比

> v:=0.1256:a:=0.002: #已知条件

f:=3.8:zeta:=0.125:

> B:=evalf(B,4); #垂直振幅数值

:= B .001342

答：此设备的振幅为1.342mm.

6. 一汽车在波形路面上行驶，其模型可以简化为如图6所示的图形。路面的波形可以用函数

x l

d y π2s in =表示，其中振幅mm d 50=,波长m l 8=。汽车的质量kg m 2500=，弹簧的

刚度系数为m kN k /300 。忽略阻尼，求汽车以15m/s 匀速前进时，车体的垂直振幅？

解：●建模

汽车受主动力：mg,F e 。汽车作曲线运动。 图6

● Maple 程序

> restart: #清零

> x:=y*t: #汽车匀速行驶位移

> y[1]:=d*sin(2*Pi*x/l): #路面波形方程

> y[1]:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]): #代换

> omega:=(2*Pi*v)/l: #位移激振频率

> omega0:=sqrt(k/m): #系统的固有频率

> s:=omega/omega0: #频率比

> etal:=sqrt(1/(1-s^2)^2): #位移传递率

> b:=etal*d: #车体垂直振幅

> k:=300000:m:=2500:l:=8: #已知条件

> d:=0.050:v:=15: #已知条件

> b:=evalf(b,4); #振幅数值 := b .3184

答：车体的垂直振幅为31.84cm 。

7. 龙门起重机设计中，为避免在连续启动制动过程中引起的振动，要求每一次由于启动过程中或制动过

程中引起的振动的衰减时间不得过长。有如下规定：起重质量不大于50吨的龙门起重机，在纵向水平

振动时，振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。如图7所示为一15吨的龙门起

重机的示意图，在作纵向水平振动时，等效质量m=27.9kg.s 2

/cm 。水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测

得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间，问是否符合要求。

解：●建模图7

系统受力：mg,F d。物体作上下的自由振动运动。

●Maple程序

> restart: #清零

> T[d]:=((1/f*delta)*Lambda): #衰减时间

> Lambda:=ln(A[1]/A[j+1]): #对数缩减

> Lambda:=subs((A[1] #代换

/A[j+1]=y,Lambda)):

> f:=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m): #固有频率

> K:=2000:m:=27.9: #已知条件

delta:=0.10:y:=100/5:

> f:=evalf(f,4); #固有频率数值

f 1.347

:=

> T[d]:=evalf(T[d],4); #衰减时间

.2224

T

:=

d

答：所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求，所以是符合要求的。

8.一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示，两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在轻质细杆上。试求该系统的固有频率和固有振型。

解：●建模图8

已平衡位置为原点，只考虑沿铅垂方向的位移，分别以弹簧的两个支点的位移X1，X2为系统的两个坐标。

细杆受力mg,F e1和F e2。细杆作平面运动。

●Maple程序

> restart: #清零

> J[C]:=m*l^2/12: #均值细杆绕质心的转动惯量> F[1]:=k*x[1]: #弹簧恢复力F e1

> F[2]:=k*x[2]: #弹簧恢复力F e2

> x[C]:=(x[1]+x[2])/2: #细杆质心的坐标

> phi:=(x[1]-x[2])/d: #细杆绕质心的微小转动

> DDx[C]:=(DDx[1]+DDx[2])/2: #细杆质心加速度

> DDphi:=(DDx[1]-DDx[2])/d: #细杆绕质心微小角加速度

> eq1:=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]: #细杆的平面运动微分方程一> eq2:=J[C]*DDphi=-F[1] #细杆的平面运动微分方程二*d/2+F[2]*d/2:

> eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0: #移项

> eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0: #移项

> eq1:=expand(2*eq1/m): #展开

> eq2:=expand(d*eq2/J[C]): #展开

> eq1:=subs(k=m*b/2,eq1): #代换

> eq2:=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2): #代换

> x[1]:=A*sin(omega*t+theta): #设解

> x[2]:=B*sin(omega*t+theta): #设解

> DDx[1]:=diff(x[1],t$2): # X1对t的二阶导

> DDx[2]:=diff(x[2],t$2): # X2对t的二阶导

> eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)): #化简

> eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)): #化简

> eq3:=subs(B=A*nu,eq3): #代换

> eq4:=subs(B=A*nu,eq4): #代换

> eq3:=expand(eq3/A): #展开

> eq4:=expand(eq4/A): #展开

> b:=2*k/m: #方程系数

> c:=(6*k*d^2)/(m*l^2): #方程系数

> solve({eq3,eq4},{nu,omega^2}); #解方程

,{}, = ν-1 = ω26k d 2m l 2{}, = ν1 = ω22k m 答：系统的固有频率m k 21=ω，2226ml kd =ω，对称主振型11

11==A B γ和反对称主振型

1-2

22==A B γ。

9. 已知：vt l l -=0，求如图10摆的运动方程。

解：●建模 图9

小球作平面运动自由度f=1

取广义坐标φ

● Maple 程序

> restart: #清零

> x[rho]:=l: #初始状态

> x[phi]:=l*phi: #角度为φ时的位移

> x[rho]:=subs(l=l(t),x[rho]): #代换

> x[phi]:=subs(phi=phi(t),x[phi]): #代换

> v[rho]:=diff(x[rho],t): #关于t 的导数

> v[phi]:=diff(x[phi],t): #关于t 的导数

> V:=vector([v[rho],v[phi]]): #表示为矢量

> v[A]:=sqrt(v[rho]^2+v[phi]^2): #任意点A 速度大小

> T:=1/2*m*v[A]^2： #A 点动能 > T:=subs(diff(phi(t),t)=Dphi, #代换

phi(t)=phi,T):

> T:=collect(T,Dphi): #整理

> T[Dphi]:=diff(T,Dphi): #φ的导数对T 求导

> T[phi]:=diff(T,Dphi)： #φ的导数对T 求导

> T[Dphi]:=subs(l=l[0]-v*t, #代换

Dphi=Dphi(t),T[Dphi])： > V:=-m*g*(l[0]-v*t)*cos(phi): #速度表达式

> Q[phi]:=-diff(V,phi)： #φ对V 的导数

> eq:=diff(T[Dphi],t)-T[phi]-Q[phi]=0： #微分表达式一般式 > eq:=subs(diff(Dphi(t),t)=DDphi, #代换后的表达式

Dphi(t)=Dphi,eq):

> eq:=(l[0]-v*t)*DDphi-2*v*Dphi

+g*sin(phi)=0; #最终形式

答：摆的运动方程为

()0)sin(2.

..0=+--φ??g v vt l 。 10. 吸引子的仿真。以杜芬方程为例，杜芬方程表示如下：

t A bx

ax x c x Ω=+++cos 3... 解：●建模

把杜芬方程写成标准形式，令.

x y = ??

????????Ω+---==.3...cos t A bx ax cy y y x 求解微分方程

绘制杜芬方程相图

● Maple 程序

> restart: #清零

> with(plots): #加载绘图库

> de1:=diff(x(t),t)=y(t): #杜芬方程标准方程一

>de2:=diff(y(t),t)=-a*x(t) #杜芬方程标准方程二

-b*x(t)^3-c*y(t)+A*cos(Omega*t):

> a:=-1:b:=1:c:=0.15: #给定参数

A:=0.3:Omega:=1:

> duffing:=dsolve({de1,de2,

y(0)=-0.5,x(0)=-1},{x(t),

y(t)},type=numeric,method=lsode): #求解微分方程

>duffplot:=odeplot(duffing, #微分方程求解结果绘图

[x(t),y(t)],0..200,numpoints=4000):

> duffplot; #绘制杜芬方程相图

:= eq = - + () - l 0v t DDphi 2v Dphi g ()sin φ0

二、学习Maple后的心得与体会

Maple是一门非常优秀的计算机数学软件，它在我们的工程学习中用途十分的广泛，特别对于我们学振动的学生来说作用是十分的明显。它涉及到我们的单、双以及多自由度，有阻尼，无阻尼的振动分析，计算中的效果是显著地。

通过学习Maple，我不仅学到了一些编程的思想，以及一些模型的建设，而且还更一步加固了理论力学的学习，同时，Maple中的一些英语，还使我学到了许多英语单词。

虽然现在我刚刚学到了Maple的一点皮毛，但已经对我的学习提供了很大的便利。我相信有Maple结合理论力学这条路是正确的而且是光明的，我一定要坚持下去，利用Maple更好的学习理论力学，而我相信Maple的作用远不止于此，我还要努力学习它的其他的功能，使其能够更好的为我今后的学习工作生活服务。

因而，在此应感谢李老师在这半学年对我们的悉心教诲。