Maple 大作业

一、Maple 程序编写实例1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m ，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变形为40mm 。

求此弹簧质量系统的振动规律。

解：●建模图1 系统受力：mg,回复力kx 。

物体作上下的自由振动运动。

● Maple 程序> restart: #清零> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #∑=F x m x ..(delta[st]+x):> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换delta[st]=m*g/k,eq):> eq:=expand(eq/m): #展开> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解> k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率> x[0]:=-delta[st]: #初位移> v[0]:=0: #初速度> A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅> beta:=-Pi/2: #初相角> delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件> omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件> A:=eval(A): #振幅数值> X:=evalf(X,4); #系统振动规律 := X -.04000()cos 15.65t答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。

2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。

若此物体在梁未变形的位置无初速度释放，求系统自由振动的频率。

图2解：●建模系统受力：mg,F 。

物体作直线运动。

● Maple 程序> restart: #清零> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g- #∑=F x m x ..k*(delta[st]+x):> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq):> eq:=expand(eq/m): #展开> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq); #代换:= eq = + DDx ω02x 0> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统的通解> k:=m*g/delta[st]: #梁的刚度系数> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率> omega[0]:=subs(delta[st]=(mgl^3)/(48*E*J),omega[0]); #代换 := ω048g E J mgl 3 答：系统自由振动的频率为 := ω048g E Jmgl 3。

3. 如图3所示一质量为m 、半径为r 的圆柱铁桶， 在半径为R 的圆弧上作无滑动的滚动。

求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率。

解：●建模系统受主动力：mg,F 1,F 2。

圆桶运动为定轴转动。

图3● Maple 程序> resart: #清零> J[O1]:=1/2*m*r^2: #圆桶的转动惯量> v[O1]:=(R-r)*Dtheta: #圆桶中心O 1 线的速度v o1> omega:=(R-r)*Dtheta/r: #作纯滚动角速度ω> T:=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2: #系统的动能> V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)): #系统的势能> V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V): #微动时，势能> theta:=A*sin(omega0*t+beta): #θ的变化规律> Dtheta:=diff(theta,t): #θ的导数> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能> eq:=Tmax=Vmax: #机械能守恒> solve({eq},{omega0}); #解方程 ,{} = ω0-() - 6r 6R g - 3r 3R {} = ω0--() - 6r 6R g - 3r 3R 答：圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为R r gR 336r 6-0--=）（ω 4. 如图4所示弹簧质量系统，作水平方向的自由振动，求小车的固有频率。

图4解：●建模系统受回复力：Kx 。

小车作自由振动。

● Maple 程序> restart: #清零> x:=A*sin(omega0*t+beta): #小车运动的变化规律> Dx:=diff(x,t): #x 的导数> T:=1/2*m*(Dx)^2: #系统的动能> V:=1/2*K*x^2: #系统的势能> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能> eq1:=Tmax=Vmax: #机械能守恒> solve({eq1},{omega0}); #解方程,{} =ω0m K m {} = ω0-m K m 答：小车在作往复运动的固有频率为m K m 0=ω 5. 某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图5所示。

已知系统的固有频率为3.8Hz 。

橡胶隔振器的相对阻尼系数ζ=0.125。

如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s 。

试求设备的振幅。

解：●建模 图5设备受力：mg,F e 。

设备作曲线运动。

● Maple 程序> restart: #清零>B:=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2) #振幅/9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):> omega:=v/a: #地面振动频率> p:=2*Pi*f: #系统振动频率> lambda:=omega/p: #频率比> v:=0.1256:a:=0.002: #已知条件f:=3.8:zeta:=0.125:> B:=evalf(B,4); #垂直振幅数值:= B .001342答：此设备的振幅为1.342mm.6. 一汽车在波形路面上行驶，其模型可以简化为如图6所示的图形。

路面的波形可以用函数x ld y π2s in =表示，其中振幅mm d 50=,波长m l 8=。

汽车的质量kg m 2500=，弹簧的刚度系数为m kN k /300 。

忽略阻尼，求汽车以15m/s 匀速前进时，车体的垂直振幅？解：●建模汽车受主动力：mg,F e 。

汽车作曲线运动。

图6● Maple 程序> restart: #清零> x:=y*t: #汽车匀速行驶位移> y[1]:=d*sin(2*Pi*x/l): #路面波形方程> y[1]:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]): #代换> omega:=(2*Pi*v)/l: #位移激振频率> omega0:=sqrt(k/m): #系统的固有频率> s:=omega/omega0: #频率比> etal:=sqrt(1/(1-s^2)^2): #位移传递率> b:=etal*d: #车体垂直振幅> k:=300000:m:=2500:l:=8: #已知条件> d:=0.050:v:=15: #已知条件> b:=evalf(b,4); #振幅数值 := b .3184答：车体的垂直振幅为31.84cm 。

7. 龙门起重机设计中，为避免在连续启动制动过程中引起的振动，要求每一次由于启动过程中或制动过程中引起的振动的衰减时间不得过长。

有如下规定：起重质量不大于50吨的龙门起重机，在纵向水平振动时，振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。

如图7所示为一15吨的龙门起重机的示意图，在作纵向水平振动时，等效质量m=27.9kg.s 2/cm 。

水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间，问是否符合要求。

解：●建模图7系统受力：mg,F d。

物体作上下的自由振动运动。

●Maple程序> restart: #清零> T[d]:=((1/f*delta)*Lambda): #衰减时间> Lambda:=ln(A[1]/A[j+1]): #对数缩减> Lambda:=subs((A[1] #代换/A[j+1]=y,Lambda)):> f:=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m): #固有频率> K:=2000:m:=27.9: #已知条件delta:=0.10:y:=100/5:> f:=evalf(f,4); #固有频率数值f 1.347:=> T[d]:=evalf(T[d],4); #衰减时间.2224T:=d答：所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求，所以是符合要求的。

8.一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示，两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在轻质细杆上。

试求该系统的固有频率和固有振型。

解：●建模图8已平衡位置为原点，只考虑沿铅垂方向的位移，分别以弹簧的两个支点的位移X1，X2为系统的两个坐标。

细杆受力mg,F e1和F e2。

细杆作平面运动。

●Maple程序> restart: #清零> J[C]:=m*l^2/12: #均值细杆绕质心的转动惯量> F[1]:=k*x[1]: #弹簧恢复力F e1> F[2]:=k*x[2]: #弹簧恢复力F e2> x[C]:=(x[1]+x[2])/2: #细杆质心的坐标> phi:=(x[1]-x[2])/d: #细杆绕质心的微小转动> DDx[C]:=(DDx[1]+DDx[2])/2: #细杆质心加速度> DDphi:=(DDx[1]-DDx[2])/d: #细杆绕质心微小角加速度> eq1:=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]: #细杆的平面运动微分方程一> eq2:=J[C]*DDphi=-F[1] #细杆的平面运动微分方程二*d/2+F[2]*d/2:> eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0: #移项> eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0: #移项> eq1:=expand(2*eq1/m): #展开> eq2:=expand(d*eq2/J[C]): #展开> eq1:=subs(k=m*b/2,eq1): #代换> eq2:=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2): #代换> x[1]:=A*sin(omega*t+theta): #设解> x[2]:=B*sin(omega*t+theta): #设解> DDx[1]:=diff(x[1],t$2): # X1对t的二阶导> DDx[2]:=diff(x[2],t$2): # X2对t的二阶导> eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)): #化简> eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)): #化简> eq3:=subs(B=A*nu,eq3): #代换> eq4:=subs(B=A*nu,eq4): #代换> eq3:=expand(eq3/A): #展开> eq4:=expand(eq4/A): #展开> b:=2*k/m: #方程系数> c:=(6*k*d^2)/(m*l^2): #方程系数> solve({eq3,eq4},{nu,omega^2}); #解方程,{}, = ν-1 = ω26k d 2m l 2{}, = ν1 = ω22k m 答：系统的固有频率m k 21=ω，2226ml kd =ω，对称主振型1111==A B γ和反对称主振型1-222==A B γ。