2015浙江中考试题研究数学精品复习课件第4讲 分式及其运算
浙江省中考数学备战策略课件：第一部分 教材梳理 阶段练习第4讲 分 式(共56张PPT)
x＋ 1 x2 ＝ · x（ x＋ 1） x－ 1 x ＝ . x－ 1 ∵ x－ 1≠ 0， x(x＋ 1)≠ 0， ∴ x≠± 1， x≠ 0. 5 5 当 x＝ 5 时，原式＝ ＝ . 5－ 1 4
方法总结 ： 1．有理数的运算律对分式同样适用，要灵活运用乘法交 换律、结合律、分配律，使运算简便． 2．注意选取字母的值时要使整个过程中的每一个分式都 有意义．
考点一 例
确定分式有意义的条件
2 1(2017· 南京 )分式 在实数范围内有意义， 则 x 的取值 x－ 1
范围是 ________． 【点拨】 由分式有意义的条件，可得 x－ 1≠ 0，解得 x≠ 1. 【答案】 x≠ 1 方法总结 ： 分式有意义的条件是分母不为 0，当分母中含有二次根式时， 还要注意被开方数是非负数．
考点三 例
分式的加减
2
x 1 3(2017· 丽水 )化简 ＋ 的结果是 ( x－ 1 1－ x B． x－ 1
2
) x2＋ 1 D． x－ 1
A． x＋ 1
C． x2－ 1
2 x － 1 （ x＋ 1）（ x－ 1） x 1 【点拨】 原式＝ － ＝ ＝ ＝ x－ 1 x－ 1 x－ 1 x－ 1
2．约分 (1)把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分． (2)约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确 定最大公因式的一般步骤：当分子、分母是多项式时，先 分解因 式 ，再取系数的 最大公约数 与相同字母 (或因式 )的 最低次幂 的积为最大公因式．
3．通分 (1)把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母 的分式，叫做分式的通分． (2)通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确定最简公分 母的一般步骤：当分母是多项式时，先 分解因式 ，再取系数的 最小公倍数 与所有不同字母 (或因式 )的 最高次幂 的积为最简 公分母．
2015中考数学总复习——分式ppt.ppt
(1)在应用分式的基本性质进行变形时，要注意“都”“同一个 ”“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．
(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式，则 先要将这些多项式进行因式分解．
探究三 分式的化简与求值
命题角度： 1. 分式的加、减、乘、除、乘方各种运算的运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值．
第4课时 分式
第4课时 分式及其运算
• 知识考点•对应精练
• 考点分类一 分式的定义 知识考点
对应精练 C
D
4
2015年3月22日
第4课时 分式及其运算
• 考点分类二 分式的基本性质 知识考点
对应精练
C
A
2015年3月22日
第4课时 分式及其运算
知识考点
对应精练
·考点分类三 分式的运算
2015年3月22日
方法点析
谨防分式问题陷阱 (1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义． (2)分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零． (3)分式的值为正的条件是分子与分母同号；分式的值为负的条 件是分子与分母异号．
探究二 分式的基本性质的应用
命题角度： 1. 利用分式的基本性质进行变形； 2. 利用分式的基本性质进行约分和通分．
例 3 [2014·达州] 化简求值：(1＋1a)÷a2－a 1－a2－2a2－a＋1 1，a 取－1，0，1，2 中的一个数．
解：原式＝a＋a 1·（a－1）a（a＋1）－（2aa－－（1a－－21a）＋2 1＝（a－－a1）2. ∵a 不能取 0，±1，∴a 的值为 2. 当 a＝2 时，原式＝（a－－a1）2＝（2－－21）2＝－2.
方法点析
初中数学复习第四讲——整式与分式
适用标准文档初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识构造代数式分式整式整数分式的分式分式因式整式的运整式的指数运算的基的意分解算〔加、相关概幂的〔加、天性义减、乘、念运算减、乘、质除、乘方〕除〕说明：在本局部，代数式分为整式和分式议论。
在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
用数值取代代数式里的字母，依据代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所构成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包含符号〕；一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和构成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式 A、B 相除，即 A÷ B 时，能够表示为A. 假如 B 中含有字母，B那么A叫做分式， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。
B6.同类项：所含的字母同样，且同样的字母的指数也同样的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项归并成一项，叫做归并同类项；一个多项式归并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
归并同类项的法那么：把同类项的系数相加的结果作为归并后的系数，字母和字母的指数不变〔归并同类项，法那么不可以忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法那么和归并同类项来达成整式的加减运算。
去括号法那么：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。
〔括号前面是“+〞号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。
2015届湘教版中考数学复习课件(第4课时_分式)(共21张PPT)
x＝1不合题意；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x＝－1 时分式的值为0，故选C.
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考点聚焦
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回归教材
第4课时┃ 分式
【方法点析】 (1)分式有意义的条件是分母不为零． (2)分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． (3)分式的值为正数的条件是分子与分母同号；分式的值 为负数的条件是分子与分母异号．分式的值为正(负)数经常与 不等式组结合考查．
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第4课时┃ 分式
考点2 分式的基本性质
分式的基 本性质
A A×M A A÷M B＝B×M， B＝B÷M，(M是不为零的整式)
应 用
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 约分 的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因 式)，叫作分式的约分 通分 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成 同分母的分式 ____________________ 的过程，叫作分式的通分
d ad ________ ＝bc (b≠0, c≠0, d≠0) c
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第4课时┃ 分式
分式的 乘方
法则
分式的乘方是把分子、分母各自乘方
n a an n ＝________( n为整数) b 公式 b
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将 分式的 混合运 算 法则 除法化为乘法，然后进行约分化简，最后 进行加减运算，如果有括号，先算括号里 面的 特别 (1)实数的各种运算律也符合分式的运算； 说明 (2)分式运算的结果要化成最简分式或整式
探究四 有关分式的规律探究题
命题角度： 1.探究分式中的规律问题； 2.有条件的分式化简．
例5 [2013· 衡阳] 观察下列按顺序排列的等式：a1＝ 1 1 1 1 1 1 1 1－ ，a2＝ － ，a3＝ － ，a4＝ － ，„，试猜想第n 3 2 4 3 5 4 6 1 1 个等式(n为正整数)an＝______________. n－n＋2
浙教版中考数学复习课件—分式
a2
a
a
（4） (x2 x1 )4x
x22x x24x4 x22x
➢ 典型例题解析
【例4】 化简求值(1) ，其中a=-3
a2a13aa2 1 121aa3
(2) 1aa2bba2a42abb24b2 其中a= 3 b=-2 3
➢ 典型例题解析
▪ 【例5】(1)已知 x 1 3
▪ 的值。
x
求
()
【例1】 ± = ± =
【例4】 化简求值(1)
（1）当x取何值时，分式
【例5】(1)已知
求
若分式
的值为零，则x的值为
()
分式A/B中的字母代表什么数或式子是有条件的.
行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子
简分式的个数是
()
的分子、分母的最高次项系数化为正整数，然后约分， 化成最简分式.
a± =c ±ad =bc b d bd bd
ad bc bd
➢ 课前热身
1. 当x ≠1 时，分式
2.
计算： a
ab
b
a b=
1
3 有意义。 1 x .
3.计算：x24x45xx2 = 6
.
x2 x3 x 3
x y
4.在分式① x y
3x2y ,② 2 x
,③4
5
xy 5 xy
,④
3 x xy 3 y
x2 1 x2
▪
▪ （2）已知
x3 y4
求 xxyxxyx2y2y2 的值。
➢ 典型例题解析
【例6】 化简： 1
1 a
+1
1 a
2
+ 1 a2
+
浙江省年中考数学总复习第一章数与式第4讲分式及其运算讲解篇
第4讲分式及其运算1．分式的概念考试内容考试要求分式概念形如AB(A、B是整式，且B中含有，且B≠0)的式子叫做分式．a 有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为02.分式的基本性质考试内容考试要求分式的基本性质AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷M(M是不为零的整式)．c约分把分式的分子和分母中的约去，叫做分式的约分．通分根据分式的，把异分母的分式化为分式，这一过程叫做分式的通分．3.分式的运算考试内容考试要求分式的乘除法ab·cd＝acbd，ab÷cd＝ab·dc＝adbc.c分式的乘方(ab)n＝a nb n(n为整数)．分式的加减法a c ±bc ＝a ±b c ，a b ±cd ＝ad ±bc bd. 分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的．考试内容考试要求基本方法1.乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．c2.在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式分解因式再约分．3.分式求值：可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(2015·丽水)分式－11－x可变形为( )A ．－1x －1 B .11＋x C ．－11＋x D .1x －12．(2016·台州)化简x 2－y 2（y －x ）2的结果是( )A ．－1B ．1C .x ＋y y －x D .x ＋yx －y3．(2017·湖州)要使分式1x －2有意义，x 的取值应满足______________________________．4．(2017·舟山)若分式2x －4x ＋1的值为0，则x 的值为____________________．5．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b2a －b.【问题】(1)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．类型一 分式的概念例1 分式2x ＋6x 2－9.(1)若分式有意义，则x 的取值范围是________； (2)若分式的值为0，则x 的值为________； (3)把分式化为最简分式________．【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．1．已知分式x 2－4x －2，若分式无意义，则x 的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x ＝____________________.2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是( ) A .x 2－1x 2＋1 B .x ＋1x 2－1 C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋12类型二 分式的约分和通分例2 计算：(1)(2016·淄博)1－4a22a ＋1＝________；(2)2x x －1＋x ＋11－x ＝________； (3)2x ＋1－x －2x 2－1＝________； (4)1－a －1a －1＝________.【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．3．(1)(2016·丽水)1a ＋1b的运算结果正确的是( )A .1a ＋b B .2a ＋b C .a ＋b abD ．a ＋b (2)(2015·绍兴)化简x 2x －1＋11－x的结果是( )A ．x ＋1B .1x ＋1 C ．x －1 D .x x －1(3)若a 、b 都是正实数，且1a －1b ＝2a ＋b ，则aba 2－b 2＝____________________.(4)(2016·荆州)当a ＝2＋1，b ＝2－1时，代数式a 2－2ab ＋b2a 2－b2的值是 .(5)(2015·台州)先化简，再求值：1a ＋1－a（a ＋1）2，其中a ＝2－1.类型三 分式的运算与求值例3 (1)(2016·内江)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a ＝________.(2)(2015·黄冈)化简：b a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ＋b ＝________. (3)(2015·衢州)先化简，再求值：(x 2－9)÷x －3x ，其中x ＝－1.(4)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x －1－x ＋1÷4x 2－4x ＋11－x ，其中x 满足x 2＋x －2＝0.【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x 的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．4．(2015·成都)化简：(a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2.5．先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2xx 2＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．类型四 与分式有关的变形和应用例4 观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×(1－13)；第2个等式：a 2＝13×5＝12×(13－15)；第3个等式：a 3＝15×7＝12×(15－17)；第4个等式：a 4＝17×9＝12×(17－19)；…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝________＝________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．6．(1)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C .12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．【探索规律题】(2015·巴中)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数．a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2015＝________．【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．【分式的分母不能为零，除数不能为零】 分式x 2－4x 2－x －2的值是0，则x 的值为________．参考答案第4讲 分式及其运算【考点概要】1．字母 2.公因式 基本性质 同分母 【考题体验】1．D 2.D 3.x≠2 4.2 5.a ＋b. 【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b3，当a ＝6，b＝3时，原式＝6－33＝1(有6种情况)． (2)分式概念、运算法则，注意点等．【例题精析】例1 (1)x≠±3；(2)无解；(3)2x －3. 例2 (1)1－2a ；(2)1；(3)x x 2－1；(4)a 2－2a ＋21－a例3 (1)a ；(2)1a －b ；(3)原式＝(x ＋3)(x －3)·x x －3＝x(x ＋3)＝x 2＋3x ，当x ＝－1时，原式＝(－1)2＋3×(－1)＝－2；(4)原式＝x 2－（x －1）（x －1）x －1·1－x（2x －1）2＝2x －1x －1·1－x （2x －1）2＝11－2x.由x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，∵x ≠1，∴当x ＝－2时，原式＝11－2×（－2）＝15. 例4 (1)19×11，12×(19－111)；(2)1()2n －1×()2n ＋1，12×(12n －1－12n ＋1)．(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12×(1－13)＋12×(13－15)＋12×(15－17)＋…＋12×(1199－1201)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋1199－1201＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1201＝12×200201＝100201. 【变式拓展】 1．x ＝2 －2 2. A3. (1)C (2)A (3)－12 (4)22 (5)1（a ＋1）2，12.4. a －1a －2. 5.x 2.当x ＝1时，原式＝12. 6.(1)B (2)40 【热点题型】【分析与解】a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－（－12）＝23，a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11－23＝3，a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－3＝－12，…依此类推，∵2015÷3＝671……2，∴a 2015＝a 2＝23.故答案为：23.【错误警示】当x 2－4x 2－x －2＝0时，x 2－4＝0且x 2－x －2≠0，∴x ＝－2.故答案为－2.。
浙教版初中数学中考复习：分式及其运算 (共39张PPT)
2
考点一：分式的有关概念
• 1. 分式的概念
• (1)概念：形如������������(A、B是整式，B中含有字母，且B≠0)的代数式叫作分式．
• (2)当 B≠0
时，分式������有意义；
������
• 当 B＝0 时，分式������无意义；
������
•
当 A＝0，B≠0 时，分式������的值为零．
24
解析：
25
思维提升：
• 分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，此外，实数的运算律对分式 运算同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度；分子或分母的系数是负数 时，要把“－”号提到分式本身的前边；分式运算的最终结果若是分式，一定要化为 最简分式．
26
考点三：分式的化简与求值
27
解析：
• A．2
B．0
C．－2
• (2)(2017·湖州)要使分式������−12有意义，x的取值应满足 x≠2 ．
D．－5
7
考点一：分式的有关概念
• 【练】(1)若分式������������2−−11的值为0，则x的值为( )
• A．0
B．1
• (2)使代数式 ���������−���−43有意义的x的取值范围是( )
28
考点三：分式的化简与求值
29
解析：
30
考点三：分式的化简与求值
31
解析：
32
考点三：分式的化简与求值
33
解析：
34
考点四：分式的创新应用
• 【例】已知������2−������������+1 = 7，求������4+������������22+1的值.
中考数学总复习课件(完整版)
第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝__9×_1_1_1___＝
___12_×__19_－_1_11_______；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ （_2n_－__1_）_×_1_（__2_n＋__1_）__＝_12_×__2_n_1－_1_－__2_n_1＋_1___(n为正整数)；
第1讲 实数的有关概念 第2讲 实数的运算与实数的大小比较 第3讲 整式及因式分解 第4讲 分式 第5讲 数的开方及二次根式
第1讲┃ 实数的有关概念
第1讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的概念及分类
1．按定义分类：
实数
有理数
整数
分数
正整数 零 负整数
正分数 有限小数或 负分数 无限循环小数
________2．
图1－2
第1讲┃ 回归教材
2．[2011·贵阳] 如图1－3，矩形OABC的边OA长为2，
边 AB 长为1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB
的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
( D) A ． 2.5
B ． 2√2
C.√3
D.√5
图1－3 [解析] 由勾股定理得 OB＝ OA2＋AB2＝ 22＋12＝ 5.
而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示
的数不一定就是无理数，如
是有理数，
用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，
如sin30°、tan45°也不是无理数，一个数是不
是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果
是不是无限不循环小数．
第1讲┃ 归类示例
► 类型之二 实数的有关概念
浙江省中考考点复习数学课件：第4课 分 式 (共20张PPT)
【典例 1】 (2015 ·湖南常德)若分式xx2＋－11的值为 0，则 x＝ ________．
【点评】 本题主要考查分式值为 0 的条件，注意分式有意义
时“分母不为 【解析】
0”这个隐含条件是解题的关键． ∵原分式的值为 0，则
3．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分 式的约分，约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、 分母没有公因式的分式叫作最简分式．
要点点拨
分式的基本性质是约分和通分的依据，而约分和通分又 是分式运算的基础．利用分式的基本性质可以对分式进行化 简或变形．
特别关注 通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与 各分母所有字母的最高次幂的积为公分母；约分的关键是找 出分子与分母的最大公因式．
A．((ab－－ba))22＝1
B．－aa＋－bb＝－1
C．0.02.a5－a＋0.b3b＝52aa＋－130bb
D．aa－＋bb＝bb－＋aa
【点评】 本题主要考查分式的基本性质，熟练运用相关性 质是解题的关键． 【解析】 A，B，C 均正确，而aa－＋bb＝－bb－＋aa，故选 D． 【答案】 D
【解析】 原式＝x－x21－x－1 1＝xx2－－11＝(x＋x1－)(x1－1)＝x＋1．
【答案】 A
【典例 5】 (1)(2015·浙江台州)先化简，再求值：a＋1 1－ (a＋a1)2，其中 a＝ 2－1． (2)(2015 ·四川资阳)先化简，再求值：x－1 1－x＋1 1÷xx2＋－21，
3．分式运算中的常用技巧：分式运算题型较多，解题方法 不唯一．若能根据特点灵活求解，将会事半功倍．主要 有以下技巧：分步通分；重新排序；分组通分；先“分” 后“通”；整体通分；化积为差，裂项相消．
中考数学(浙江)总复习课件：第4讲 分式及其运算
分式的基本性质
【例 2】 (1)如果把x5＋xy的 x 与 y 都扩大 10 倍，那么这个代数式的值 (A )
A．不变 B．扩大 50 倍 C．扩大 10 倍 D．缩小到原来的110 (2)下列等式成立的是( C ) A.1a＋2b＝a＋3 b B.2a＋2 b＝a＋1 b C.aba－bb2＝a－a b D.－aa＋b＝－a＋a b
(3)已知 x＋y＝xy，求代数式1x＋1y－(1－x)(1－y)的值． 解：∵x＋y＝xy，∴1x＋1y－(1－x)(1－y)＝yx＋yx－(1－x－y＋xy)
＝x＋xyy－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0.
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不 得与此相违背，否则分式的值将改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出 分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因 式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂 的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的 方式来求代数式的值．
x2－x－3x2＋x＝x（xx－－22）＝x，
要使分式有意义，则xx＋2－32≠x≠0，0，解得 x≠－3，0，2. x－2≠0，
当 x＝－1 时，原式＝－1；当 x＝ 2时，原式＝ 2.
1.分式化简求值)
试题 先化简，再求值：xx22－－1x÷(2＋x2＋x 1)，其中 x＝ 2－1 . 审题视角 本题考查分式的化简及求值，针对本题，应从运算顺序上入手即先计算括号 里的分式加法，再将除法转化为乘法，最后约分化简，代入 x 的值进行计算． 规范答题 解：原式＝（x＋x（1）x－（1x）－1）÷(2x＋xx2＋1) ＝（x＋x（1）x－（1x）－1）·（x＋x1）2
浙江省中考数学一轮复习 第4课 分式及其运算课件
要点梳理
3．分式的运算法则： (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何
两个，分式的值不变． 用式子表示为：ab＝－－ab＝－－ba＝－－ba，－ba＝－ab＝－ba. (2)分式的加减法：
基础自测
5．(2011·芜湖) 分式方程2xx－－25＝2－3 x的解是
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1 或 x＝2
( C)
解析 当 x＝1 时，方程左边＝2×1－1－2 5＝－－31＝3， 右边＝2－3 1＝3，∴x＝1 是方程的解.
题型分类 题型一 分式的概念,求字母的取值范围
【例 1】 (1)(2012·宁夏)当 a __≠__－__2__时，分式a＋1 2有意义． 解析 当 a＋2≠0，a≠－2 时，分式a＋1 2有意义． (2)(2011·泉州) 当 x＝____2____时，分式xx－＋22的值为 0. 解析 当 x－2＝0，x＝2 时，分母 x＋2＝4，分式的值为 0.
(2)(2011·贵阳) 在三个整式 x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x 中， 请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个 作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求 当 x＝2 时分式的值．
解 答案不唯一．如，选择 x2－1 为分子，x2＋2x＋1 为分母，
x2－1 组成分式x2＋2x＋1.
探究提高
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数 不等于这些值，便可使分式有意义； (2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母 的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时， 型一 分式的概念,求字母的取值范围
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解析：由x2－1＝0，得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0， 故x＝1不合题意；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x ＝－1时分式的值为0.故选C
【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等
式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先 求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是 否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是 所要求的字母的值．
分式的性质
2 a ＋2a＋1 2 【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值：(a b＋ab)÷ ，其中 a＋1
a＝ 3＋1，b＝ 3－1. a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· ＝ab，当 a＝ 3＋1，b＝ 3－1 时，原 （a＋1）2 式＝3－1＝2 1 1 (2)(2014· 济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式 ＋ －(1－x)(1－y)的值． x y y＋x x＋y 1 1 解：∵x＋y＝xy，∴ ＋ －(1－x)(1－y)＝ －(1－x－y＋xy)＝ x y xy xy －1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
一个思想
类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之 间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预 测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜 想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的
相同点，利用已有的知识来认识新知识，分式与分数
有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注意与 分数进行类比学习理解．
4．(2014·台州)将分式方程1－＝去分母，得到正 确的整式方程是( B )
A．1－2x＝3
C．1＋2x＝3
B．x－1－2x＝3
D．x－1＋2x＝3
【例 1】 值范围是( A ) A．x≠1 C．x≠－1
2 (1)(2014· 贺州)分式 有意义，则 x 的取 x－1
B．x＝1 D．x＝－1 x2－1 (2)(2014· 毕节)若分式 的值为零， 则 x 的值为( C ) x－1 A．0 B．1 C．－1 D．±1
1．(1)(2013· 广州)若代数式
x 有意义，则实数 x 的取值范围是( D ) x－1
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1 解析：x≥0，x－1≠0，所以当 x≥0 且 x≠1 时分式有意义 |x|－3 (2)当 x＝__－3__时，分式 的值为 0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝± 3，而 x－3≠0，x≠3，故 x＝－3
(2)分式的加减法： a b a± b 同分母加减法：__ ± ＝ __； c c c b d bc± ad 异分母加减法：__ ± ＝ __． a c ac (3)分式的乘除法： ac ac · ＝__ __； bd bd a c ad ÷ ＝__ __． b d bc
(4)分式的乘方： n an a ( ) ＝__ n(n 为正整数)__． b b 4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因 式，那么这个分式叫做最简分式．
式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b x3y2 x A. ＝ B. 2 3 ＝ xy y 0.7a－b 7a－b a－b 1 2 3 C. ＝－1 D. ＋ ＝ c c c b－a x－2 1 (2)(2014· 广安)化简(1－ )÷ 的结果是__x－1__． x－1 x2－2x＋1
5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫 做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分 母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据 是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式
的最简公分母．
6．分式的混合运算
在分式的混合运算中， 应先算乘方 ， 再将除法 化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运 算．若有括号， 先算括号里面的．灵活运用运算 律，运算结果必须是最简分式或整式． 7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方 程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是 增根，需舍去．
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据， 所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变； (2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式， 如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式， 然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解 决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算
2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式 A A×M A A÷ M __，分式的值不变，用式子表示为 ＝ ， ＝ (M 是 B B×M B B÷ M 不等于零的整式)__．
3．分式的运算法则 (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其 中任何两个，分式的值不变． －a －a －a a a a a 用式子表示： ＝－ ＝ ＝－ ；－ ＝ ＝ . b b b －b b －b －b
两个技巧 (1)分式运算中的常用技巧
分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．
如：①分组通分； ②分步通分； ③先“分”后“通”； ④重新排序；⑤整体通分；
⑥化积为差，裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适 当的变形、转化．主要有以下技巧：
①整体代入法；②参数法；③平方法；
④代入法；⑤倒数法．
x＋1 1．(2014· 温州)要使分式 有意义，则 x 的取值应满足( A ) x－2 A．x≠2 B．x≠－1 C．x＝2 D．x＝－1 y 2．(2012· 台州)计算 xy÷ 的结果是__x2__． x 3 3．(2014· 义乌)分式方程 ＝1 的解是__2__． 2x－1
第4讲 分式及其运算
第4讲 分式及其运算
1．分式的基本概念 A (1)形如__ (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)__的式子叫 B 分式； A A (2)当__B≠0__时， 分式 有意义； 当__B＝0__时， 分式 无意义； B B A 当__A＝0 且 B≠0__时，分式 的值为零． B