东南大学控制原理参考答案7

设系统的传递函数为 G(s) =
s3
s+a + 7s2 + 14s + 8 ，分析当 a 为多大时，系统
将变为不完全能控或不完全能观。
解：系统的极点为： s1 = −1, s2 = −2, s3 = −4 ，即传递函数为：
G(s) =
s+a
，若 a=1 或 a=2 或 a=4 时，有零极点对消，系
(s +1)(s + 2)(s + 4)
统将是不完全能控或不完全能观
7.12 将下列系统化为能控规范性：
= （1） A
= −03 −02 , B
1 1
解：系统的特征多项式为：α (s) = det(sI − A) = s2 + 5s + 6 ，因此变换矩阵
8
自控原理第七章参考答案
=P
[B = AB]α11 10
= 11 −11 13 10
2
自控原理第七章参考答案
−−aa12vvii11
+ +
vi 2 vi3
= λivi1(1) = λivi2 (2)
−a3vi1 = λivi3(3)
由（1）得 v=i2 (λi + a1)vi1(4) 由（2）（4）得 vi3 = (λi2 + a1λi + a2 )vi1(5) 代入（3）得 vi1(λ3 + a1λ 2 + a2λ + a3) = 0 所以 vi1 是任意常数，取为 1，则 vi=2 λi + a1 ， vi3 =λi2 + a1λi + a2
变换矩阵为：
1 1 1 1
1
1
P = λ1
λ2
λ3
=−0.78
−0.11 +1.95i
−0.11
−
1.95i
λ12 λ22 λ32 0.61 -3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i
5 4 0 （2） −4 −3 0
−4 6 1
解：矩阵的特征值为：λ=1 λ=2 λ=3 1，rank(I − A) = 2 ，表明 λ = 1的几何重
0
0
0
1
−an 0 0 0 0
能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为：
1
1
λ1 + a1
λn + a1
=P
λ12 + a1λ1 + a2
λn2 + a1λn + a2
λ1n−1 + a1λ1n−2 + + an−1
λ n−1 n
+
a1λn n −2
+
+
an−1
证明：系统的特征方程为：det(λI − A) =0 ⇒ λ n + a1λ n−1 + + an−1λ + an =0
vi=2 λi + a1
所以可得 vi3
=λi 2
+
a1λi
+
a2 )
vin=
λ n−1 i
+
a1λi n−2
+
+
an−1
1
1
λ1 + a1
λn + a1
即=P
λ12 + a1λ1 + a2
λn2 + a1λn + a2
λ1n−1 + a1λ1n−2 + + an−1
λ n−1 n
3 0.1 −2.1
−1
，变换矩阵为
P
=
−3
0.25
2.75
−1.3
3 0.58 −3.58
7.2 已知系统状态方程，求状态变换阵 P，使系统变为对角线型（假设系统的特
征值为 λ1,λ2,λ3 ）
0 1 0
（1）
x
=
0
0
1
x
−a0 −a1 −a2
1 1 1
解：
P
=
λ1
λ2
λ3
λ12 λ22 λ32
2 4
1 1
P −1
=
−1
3
1 −2 ，
=A
P −= 1 AP
0 −6
1 −5= , B
P= −1B
0 1
= （2） A
= −31 −02 , B
1 1
解：系统的特征多项式为：α (s) = det(sI − A) = s2 + 3s + 2 ，因此变换矩阵
=P
[B = AB]α11 10
= 11 −−23 15 10
6 −11 6
1
7.13 将下列系统化为能观规范性：
= （1） A = −13 05 ,C [1 1]
解：系统的特征方程为：α (s) = det(sI − A) = s2 − 6s + 5
= 变换矩阵 Q
= α11 1 CCA
−6
1
= 10 −12 15
−an−1vi1 + vin = λivin−1 vi=n (λin−1 + a1λin−2 + + an−1)vi1(1)
−anvi1 = λivin
λivin + anvi1 = 0(2)
将（1）代入（2）得
λin + a1λin−1 + + an−1λi + anvi1 = 0 对比系统特征方程可知 vi1 = 1满足。
1 0
,
C
=02
1 1
0 1
−1 1
1 −2
解：= AB
0
−1
，
A2
B
=
0
1
2 0
4 0
rank B AB A2B = 3，所以系统完全能控。
2 1 0
C
0
1 1
= rank CA CA2
r= ank −02 −11 02 2 −3 0
3 ，所以完全能观。
0 1 4
6
自控原理第七章参考答案
= 设变换矩阵 P [v= 1,v2,,vn ],vi满足Avi λivi
设 vi = [vi1,vi2 ,,vin ]T ，则有：
3
自控原理第七章参考答案
−a1vi1 + vi2 = λivi1 −a2vi1 + vi3 = λivi2
v=i2 (λi + a1)vi1
⇒
vi3
=
(λi2 + a1λi + a2 )vi1
0 −4 24
C
1 0 0
= rank CA r= ank 0 0 1 3 ，所以完全能观
CA2
0 2 −3
7.5 证明状态反馈不会改变系统的能控性。
=x Ax + Bu
证明：考虑线性定常系统
y = Cx
，设 v 为参考输入，加入的状态反馈矩阵
为 K，前馈增益矩阵为 R，则状态反馈后闭环系统的状态空间模型为：
x = ( A − BK )x + BRv y = Cx
rank [λI − A + BK | BR]
=
rank
[λ
I
−
A
|
B ] KI
0 R
= rank [λI − A | B]
根据 PBH 判据可知，状态反馈不会改变系统的能控性。
7.7 证明 n 维系统（A、B）完全能控的必要条件是 rank[ A B] = n 证明：假设 rank[ A B] < n ，则说明[ A B] 的行向量线性相关，故存在非零
2
(
s
)
−
X3(s)] ⋅
2 s(s +1)
= X1(s)
4
自控原理第七章参考答案
即
x1 x2
= x3 = −2x1
−
3x2
−
2u
，所以系统的状态方程为：
=x3 2x2 − 3x3
0 0 1 0
x = −2 −3
0
x
+
−2 u
0 2 −3 0
y = [1 0 0] x
0 0 −4 rank B AB A2B= rank −2 6 −18= 3 ，所以完全能控。
∑ 7.8 判断下列系统 ( A, B,C) 的能控性和能观性
（= 1） A
1 0
0 = 2 , B
1 = 0 ,C
[1,1]
解：
AB
=
1 0
，
rank
[
B
AB] = 1，不是完全能控。
CA = [1
2]
，
rank
C CA
=
2
，系统完全能观。
−1 1 0 1 0
（2） A = 0 0
−1 0
0 , B =0 2 1
−a1 1 0 （2） x = −a2 0 1 x
−a3 0 0
解：系统的特征方程为： det(λI − A) =0 ⇒ λ3 + a1λ 2 + a2λ + a3 =0
= 设变换矩阵 P [v= 1,v2,v3],vi满足Avi λivi 设 vi = [vi1, vi2 , vi3 ]T ，则有：
+
a1λn n −2
+
+
an−1
7.4 写出图示系统的状态方程，是确定此系统是否完全能控和完全能观。
U(s)
-
2/(s+3)
X2(s)
-
X1(s)
Y(s)
2/s(s+1)
X3(s) s
解：由图得：
[U (s)
X
1
(s)
− X1(s)]⋅ s ⋅ s =X3(s)
2 +
3
= X 2 (s)
[
X
α1 α2 1 1 0 −5 11 −6 1 6 −6 1
P = B AB A2B α2 1
= 0 2 9
−6
1
= −3 2
0
1
1 5 19 1
0 −1 1
P−1 =−−123
−5 3
−2
2
3
1
−1
−2
2
9
自控原理第七章参考答案
0 1 0
0
=A P−= 1AP 0 0 1= , B P= −1B 0
9 29 15
−2 2 1 0
（4）
A
= −1 2 0 3 1 1
,
B
= 10 ,C = 00 04 11
解： rank B
0 1 −1 AB= A2B rank 0 = 0 −1 3 ，所以完全能控。
1 1 4
0 4 1
C
0
0 1
= rank CA CA2
−1 9 1 r= ank 3 1 1
5
自控原理第七章参考答案
α ∈ Rn ， 使 得 α T [ A B] = 0 ， 于 是= α T A 0= ,α T B 0 。 进 一 步 可 以 得 到
α= T AB 0,α= T AAB α= T A2B 0,,α T= An−1B 0 所以α T B AB A2B An−1B = 0 即 rank B AB A2B An−1B < n 这与系统完全可控矛盾，所以 rank[ A B] = n 是系统完全能控的必要条件
−4 17 0
3 ，所以完全能观
−4 9 4
= xx12
0
0
7.9
考虑系统
x 3
−6
y
=
[c1
c2
1 0 x1 0
0
1
x2
+
1 u
−11 −6 x3 0
x1
c3
]
x2
x3
试问：除 c=1 c=2 c=3 0 外， c1,c2,c3 取何值时系统是不能观的。
7
自控原理第七章参考答案
自控原理第七章参考答案
7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵
0 1 0
（1）
0
0
1
−3 −4 −1
解：矩阵的特征值为：λ1 = −0.78,λ2 = −0.11 + 1.95i,λ3 = −0.11 −1.95i ，因此
可化为对角线规范型：
−0.78
−0.11 +1.95i
−0.11 −1.95i
解：矩阵 A 的特征值为 λ1 = −1,λ2 = −2,λ3 = −3。 C
若要系统完全能观，则对每个特征值都有 rank λiI − A = 3。
−1 −1 0
当 λ =−1,λ1I − A = 0 −1 −1 ,rank [λ1I − A] =2
6 11 5
C 此时若使 rank λ1I − A = 2 ，则系统是不能观的。所以得 c2= c1 + c3 。
数为 3- rank(I − A) =1，即该特征值对应一个若尔当块。所以该矩阵的若尔当型
为：
1 1
0 4 1
1
1 ，变换矩= 阵 P
0
−4 0
1
−40 −4 0
4 2 1
（3） 0 4
3
5 2 −1
解：矩阵的特征值为：λ1 = −2,λ2 = 2.21,λ3 = 6.79 ，因此可化为对角线规范型：
1 所以 P = λ1 + a1
λ12 + a1λ1 + a2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
λ2 + a1 λ22 + a1λ2 + a2
1
λ3 + a1
λ32 + a1λ3 + a2
7.3 证明：对于具有互相不同特征值 λ1,λ2,,λn 的矩阵
−a1 1 0 0 0
−a2
0 1 0 0
A=
−an−1
C
1 2 1
例如取= c2
2= , c1
1,=c3
1时，
rank
CA=
rank −6
−10
−4= 2 ，
CA2
24 38 14
系统部能观。
同理，对于 λ2 = −2,λ3 = −3用相同的方法可以得到，当= c2
1 2
c1
+
2c3
时，
或者= c2
1 3
c1
+
3c3
时，系统是不能观的。
7.10
3 4 1 0
（= 3） A 0 3 = 2 , B = 0 ,C [1 0 1]
0 1 1 1
0 1 12 解： rank = B AB A2B r= ank 0 2 8 3，所以完全能控。
1 1 3
C
1 0 1
= rank CA r= ank 3 5 2 3 ，所以完全能观
CA2
1
自控原理第七章参考答案
−2
0 0.4 0.61
2.21
= ，变换矩阵为 P
0.41
0.37 −0.78
6.79
−0.81 −0.35 0.46
0 1 0 （4） 0 0 1
3 4 0
解：矩阵的特征值为： λ1 = 2.3,λ2 = −1,λ3 = −1.3，因此可化为对角线规范型：
2.3
2 3
1 1
P −1
=
−0.5
2
0.5
−1
，
=A
P −= 1 AP
0 −2
1 −3= , B
P= −1B
0 1
1 0 −1 1 = （3） A = 1 2 1 , B 0
2 2 3 1
解：系统的特征多项式为：α (s) =det(sI − A) =s3 − 6s2 + 11s − 6
因此变换矩阵为：