浙江省衢州市高二数学《随机变量的方差(第2课时)》教案

§2.3.2离散型随机变量的方差（第2课时）

一、教材分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，

n

x 中，各数据与它

们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，2

2)(x x -，…，2)(x x n -，那么

[1

2n S =

21)(x x -＋2

2)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 。

二、学情分析：

学生学习本节应该比较轻松，定义比较简单，初中已经接触过方差，高中阶段是将原先学得知识进一步提升。主要学生能将离散型随机变量的分布列列出来，进行套公式运算就可以，应注意的是要求学生在计算过程中细心。有过探究、交流的课堂教学的尝试。 三、教学目标： 1、知识与技能

了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程和方法：

通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2

Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 3、情感和价值：

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

四、教学重点、难点：

重点：离散型随机变量的方差、标准差。

难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。 五、教学过程

（一）复习引入：

1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x 1 x 2 … x n … P

p 1

p 2

…

p n

…

则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .

9. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( （二）新课讲授

1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,

ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．

2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．

3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2

)(=+；（2）2

2

)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) . 4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 三、讲解范例：

例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为

1ξ

1 2 3 4 5 6 7

P

71 71 71 71 71 71 7

1 离散型随机变量2ξ的概率分布为

2ξ

3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3

P

71 71 71 71 71 71 7

1 解：471

77127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯

=ξE ； 471

)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD .

471

3.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；

2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .

点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，

2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指

出了2ξ比1ξ取值更集中．

1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 .

例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，

10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.

解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=

221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；

同理有8.0,922==ξξD E .

由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 .

例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A 机床

B 机床 次品数ξ1 0

1

2

3 次品数ξ1 0

1

2

3

概率P

0.7 0.2 0.06 0.04

概率P

0.8 0.06 0.04 0.10

问哪一台机床加工质量较好.

解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差.

D ξ1=（0-0.44）2

×0.7+（1-0.44）2

×0.2+（2-0.44）

2

×0.06+（3-0.44）2

×0.04=0.6064,

D ξ2=（0-0.44）2

×0.8+（1-0.44）2

×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2

×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. （三）．学生练习板演 课时作业习题 六、课时小结：

本节主要学习了⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的