构造全等三角形种常用方法

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构造全等三角形种常用方法

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为：

()

()()

()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨

⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩

⎩用用用用或

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．

1．截长补短法

例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，

求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ，

由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法）

若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．

证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC

=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ，

∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ，

∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP

=AQ+OQ+BO=AQ+BQ ．

A B C P Q D O

D

说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ， 构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： ① 如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ， 则△ADO ≌△ABO 来解决． ② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，

交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决． ③ 如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，

则△APD ≌△APC 来解决．

④ 如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，

则△ABP ≌△ADP 来解决．

（本题作平行线的方法还很多，感兴趣 的同学自己研究）．

3．旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例3 如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 与CD 上，并且AF 平分EAD ∠，求证：BE DF AE +=。 分析：本题要证的BE 和DF 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将ADF ∆绕点A 旋转90︒到ABG ∆，则

ADF ∆≌ABG ∆，BE =DF ，从而将BE BG +转化为线段GE ，

再进一步证明GE AE =即可。证明略。

4．倍长中线法

题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4．如图（7）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ．

求证：AC=BF

证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ，

∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（7）

∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．

5、过手练习：

（1）．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD

于F ，求证BE=AE+CF.

E A B C D F

H O

A

B C P Q

D 图（2）

A

B C P

Q

D E 图（3）

O A B C P Q 图（4） D O

A B C P Q 图（5） D O D

图 3

G

C

B

A E F

D

F

（2）.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 与BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。

6．翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD ⊥BC ，若BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．

解：以AB 为轴将△ABD 翻转180º，得到与它全等

的△ABE ，以AC 为轴将△ADC 翻转180º，得到 与它全等的△AFC ，EB 、FC 延长线交于G ，易证

四边形AEGF 是正方形，设它的边长为x ，则BG

=x －3，CG=x －2，在Rt △BGC 中，（x-3）2+（x-2）2=52

．

解得x=6，则AD=6，∴S △ABC=

2

1

×5×6=15． 图（8） 例6．已知：如图（6），P 为等边三角形△ABC 内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，

求∠APB 的度数．

分析：直接求∠APB 的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，

联想到构造直角三角形．

略解：将△BAP 绕A 点逆时针方向旋转60°至△ACD ，连接PD ， 则△BAP ≌△ADC ，∴DC=BP=4，∵AP=AD ，∠PAD=60°，

又∵PC=5，PD 2

+DC 2

=PC 2

图（6） ∴△PDC 为Rt △, ∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º． １、平移法构造全等三角形

例１ 如图１所示，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，若AB AD >，DC BC =，求证：

180B D ∠+∠=︒。

A B C

D E

G

F A B

C

P D