最新抛物线的几个常见结论及其用
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。
现整理如下。
先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。
引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。
（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。
由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。
（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。
抛物线十大经典结论
抛物线十大经典结论1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个定点F（称为焦点）距离等于到一条直线L（称为准线）距离的所有点的集合。
焦点F和准线L之间的距离被称为抛物线的焦距。
2. 抛物线的方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c都是常数，a称为抛物线的开口方向和大小（a>0表示向上开口，a<0表示向下开口），b称为抛物线在x方向上的位置，c称为抛物线在y方向上的位置。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是离准线最远的点。
顶点的坐标为（-b/2a，c-（b^2/4a））。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过焦点并且垂直于准线的一条直线。
它的方程为x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标抛物线的焦点坐标为（0，1/4a），其中a为抛物线开口的大小和方向。
6. 抛物线的准线方程抛物线的准线方程为y = -1/4a，其中a为抛物线开口的大小和方向。
7. 抛物线的直线切线抛物线的直线切线是通过抛物线上某一点的一条直线，它的斜率等于该点处的导数。
抛物线在顶点处有一条水平切线。
8. 抛物线的渐近线抛物线的渐近线是指抛物线趋近于一条直线的情况。
当a=0时，抛物线的渐近线为y = b。
9. 抛物线与圆的关系当平面上一抛物线的焦距等于准线的长度时，它与以焦点和准线为直径的圆相切于抛物线的顶点。
10. 抛物线的面积抛物线与x轴之间的面积可以用定积分来计算。
其公式为∫[a,b]（ax^2+bx+c）dx = 1/3a(b^3-a^3)+1/2b(ac-b^2)+c(b-a)。
其中a、b 为抛物线的两个端点。
抛物线结论及证明
抛物线的常用结论抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.结论1.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-.即12,,2p x x 成等比数列.证明：焦点坐标为F(2p,0).设直线AB 的方程为：2p x my =+2222202y px y pmy p p x my ⎫=⎪⇒--=⎬=+⎪⎭2222121212122()224y y y y y y p x x p p p ⇒=-⇒=⋅= 2222()44p p p -== 推广：结论2.若AB 是过定点(,0)(0)P t t ≠的抛物线2(0)y ax a =≠的弦，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：212x x t =，12y y at =-.即12,,x t x 成等比数列.（注：点P 不一定在抛物线的内部，开口向上或向下的情形可与此类推）证明：设直线AB 的方程为：x my t =+22y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭222221212121222()()y y y y at y y at x x t a a a a-⇒=-⇒=⋅=== 特别地，当t a =时，212y y a =-，212.x x a =故12120x x y y OA OB +=⇒⊥. 可用文字叙述为：结论3.（1）过抛物线内对称轴上到顶点的距离等于通径的定点的弦对着顶点处的角是直角.（2）若抛物线的弦对着顶点处的角是直角，则弦过定点，定点是抛物线内部对称轴上到顶点的距离等于通径的点.以上性质可叙述为：抛物线的定点弦，端点坐标积恒定.结论4.过抛物线的准线与轴的交点作两条切线，则两切线垂直.当开口向左或向右时，切点的横坐标等于焦点的横坐标. 当开口向上或向下时，切点的纵等于焦点的纵坐标.（注：对抛物线的方程是标准方程时适用）推广：结论5.过抛物线2y ax =外一点(,0)t （(0)at <作抛物线的两切切线，则切点横坐标为 -t.证明：设两条切线中的任一条的方程为：x my t =+，220y ax y amy at x my t ⎫=⇒--=⎬=+⎭(*) ∵直线与抛物线相切.∴△=2222()41()040(4)0am at a m at a am t --⨯-=⇒+=⇒+= ∵ a ≠ 0 ∴am 2+4t =024am t ⇒=-.由（*）知：切点的纵坐标为2am . 代入x my t =+，得切点横坐标为2422am tt t t -+=+=-. 结论6.过抛物线2(0)y ax a =≠上一点P 00(,)x y 的切线的方程是：00()2ay y x x =+. 设过点P 00(,)x y 的切线的方程为：00()x x m y y -=-,则00x my x my =+-把00x my x my =+-代入2y ax =并整理，得200()0y amy a x my ---=由直线与抛物线相切知：22200004()0()2(2)40a m a x my am am y ax ∆=+-=⇒-+=由于点00(,)P x y 在抛物线上，故200y ax =，于是2220002()2()(2)(2)0(2)0y am am y y am y m a-+=⇒-=⇒=切线方程为：220000000002()()222y a a a x x y y y y y x x y y x x y a -=-⇒-=-⇒=-+ 00000()222a a ay y x x ax y y x x =++⇒=+. 结论7.过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 证明：设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y . 过111(,)T x y 的切线1PT 的方程为：11()2ay y x x =+由于点00(,)P x y 在切线1PT 上，故1001()2a y y x x =+，即：0110()2ay y x x =+ ∴点111(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+上.同理可证：点222(,)T x y 在直线00()2ay y x x =+ ∴过两切点的直线方程为：00()2ay y x x =+ 结论8.过抛物线的两切线交点和切点弦中点的直线平行于对称轴或与对称轴重合，弦在对称轴上的截距与两切线交点的一次坐标反号.下面就抛物线方程为2(0)y ax a =≠的情形加以证明.证明：过抛物线2(0)y ax a =≠的处侧一点00(,)P x y 作两条切线，则过两切点的直线方程为：0000()22a y y x x ax y y ax =+⇒=-，代入2y ax =并整理，得20020y y y ax -+= 设两个切点为111222(,),(,)T x y T x y .12120022y y y y y y ++=⇒=. ∴切点弦120TT y 的中点的纵坐标为，与点P 的纵坐标示相同，故切点12T T 的中点和点P 的直线平于对称轴x 轴或与x 轴重合.把当0y =代入00()2ay y x x =+解得：0x x =-.即切点弦在对称轴上的截距与点的一次字母坐标，即横坐标互为相反数.以抛物线2(0)y ax a =≠内部一点00(,)P x y 为中点的弦所在的直线的方程是：200022a a y y x y x -=-. 结论9.抛物线的顶点为O,焦点为 F,焦准距为p ,抛物线上任一点为P,设∠OFP=θ, 证明：|0||||cos(180)EF PF θ=+-||cos p PF θ=-(1cos )||PF p θ⇒+=||1cos pPF θ⇒=+由前面结论知：0||1cos(180)1cos p pJF θθ==+-- 故||||||1cos 1cos p p PJ PF JF θθ=+=++-＝22221cos sin p pθθ==- 当090θ=时，2sin θ的最大值为1，22sin p θ有最小值22.1pp =焦点弦PJ 最短.这时的焦点弦称为通径.特别地，抛物线2(0)y ax a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝22||||1tan 1a a kθ=++. 抛物线2(0)x ay a =≠的倾斜角为非直角θ的弦点弦长＝2||(1tan )a θ+＝2||(1)a k + 结论10.通径是最短的焦点弦.结论11 焦点弦和顶点围成的三角形的面积等于半通径的平方除以弦与轴的夹角的正弦的商的一半.结论12.抛物线22(0)y px p =>（p 是焦准距）的焦点的两端点为1122(,)(,)A x y B x y 和，则1||2p FA x =+，2||2pFB x =+， 12||AB p x x =++ 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 .解：12=29sin α（其中α为直线AB 的倾斜角），则sin 2α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π. 结论13：三个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.（2）以焦点弦在准线上的射影为直径的圆和焦点弦相切. （3）以焦点弦为直径的圆和过顶点垂直于轴的直线相切.已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切.证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP.由抛物线定义：AM AF =，，∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ，∴∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN=12（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12MP NP FP MN === ∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切. 第三个相切的证明省略.结论14.焦点弦在准线上的射影对焦点处的角是直角.结论15.一条焦点弦的两条焦半径的倒数为定值，定值等于焦准距倒数的2倍. 下面对特殊情形加以证明：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =.则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 练习：1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q+= 【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =>，从而12p a=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对BN BF =BAMNQP yxO FO A MNP yxF B称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而12p q a==，故114a p q +=】2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线12CO p k y =；又由2112y px =，得1112AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得=．整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】 备选1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫⎪⎝⎭，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得化简整理得22444120x y xy x y ++--=，即为所求的方程． 例2已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．解析：设OA k t =，1OB OB OA k t ⊥⇒=-，据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．设线段中点()P x y ，，则222214142214142.2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．抛物线焦点弦性质1.1224p x x ⋅=，122y y p ⋅=-;2. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+= 3. '90AC B ∠=o ，''90A FB ∠=o4. 以AB 为直径的圆与准线l 相切，以AF 和BF 为直径的圆都与y 轴相切；5.112AF BF p+=; 6. A 、O 、'B 三点共线；B 、O 、'A 三点共线；7. 22sin AOB P S α=V ，23()2AOB S PAB =V （定值）；(8. 1cos P AF α=-，1cos P BF α=+，22||1cos p AB α==-9. 'BC 垂直平分'B F ，'AC 垂直平分'A F ；10.'C F AB ⊥；12.11'('')22CC AB AA BB ==+；13.AB 3=p k y ；14.1OA k 15.412111y y y =+；16.1212tan =22y y p p x x α=--;17A'B'4AF BF =⋅;18.1C'F A'B'2=.椭双抛遇到焦半径可转成点准距。
高考数学抛物线考试结论大全
⾼考数学抛物线考试结论⼤全抛物线（1）抛物线——⼆次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义⽅法，可抛物线只有⼀种：到⼀个定点和⼀条定直线的距离相等的所有点的集合.其离⼼率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，⼜⿍⽴在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，⼜⽣出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任⼀点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ??，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是⼤有帮助的. 【例2】过抛物线()022φp px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得： 12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成⽴；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的⽅程为：2p y k x ?=-.代⼊抛物线⽅程：2222p k x px ??-=.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l∵⽅程（1）之⼆根为x 1，x 2，∴1224k x x ?=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有pBF AF 211=+成⽴.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，⼜与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线⽅程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线22y px =上⼀点M （x 0，y 0）的切线⽅程是：y 0y=p （x+x 0）【证明】对⽅程22y px =两边取导数：22.py y p y y''?=∴=，切线的斜率 0x x p k y y ='==.由点斜式⽅程：()()20000001py y x x y y px px y y -=-?=-+20021y px =Q ，代⼊（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为⼈疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.⼀动圆的圆⼼在抛物线xy 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举⼀例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过⼀定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，⽽A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：⼀切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的⼀般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：22121112.y y p CA CB y y p =-??==设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴?=?∠=?中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析⼏何是⽤代数的⽅法去研究⼏何，所以它能解决纯⼏何⽅法不易解决的⼏何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川⽂科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A 、B ，则|AB|等于（）A.3B.4C.32 D.42【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的⽅程为：y x m=+. 由()223013y x m x x m y x =+??++-=?=-+?设⽅程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-.设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代⼊x+y=0：y 0=12.故有11,22M ??-. 从⽽1m y x =-=.直线AB 的⽅程为：1y x =+.⽅程（1）成为：220x x +-=.解得：2,1x =-，从⽽1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C.（2）⼏何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使⼏何学得到长⾜的发展，但伴之⽽来的却是难以避免的繁杂计算，这⼜使得许多考⽣对解析⼏何习题望⽽⽣畏.针对这种现状，⼈们研究出多种使计算量⼤幅度减少的优秀⽅法，其中最有成效的就是⼏何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上⽅的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂⾜为K ，则AKF △的⾯积（）A ．4 B． C．D ．8【解析】如图直线AF AFX=60°.XYAB FA 1B 11M C XOYABMl x y +=?XY O F(1,0)AK60°M△AFK 为正三⾓形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==且∠KFM=60°，∴24,4AKF KF S ?===选C. 【评注】（1）平⾯⼏何知识：边长为a 的正三⾓形的⾯积⽤公式24S a ?=计算. （2）本题如果⽤解析法，需先列⽅程组求点A 的坐标，，再计算正三⾓形的边长和⾯积.虽不是很难，但决没有如上的⼏何法简单.（3）定义法——追本求真的简单⼀着许多解析⼏何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，⽤最原始的定义去做，反⽽特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的⼀个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【分析】这道题如果⽤解析法去做，计算会特别繁杂，⽽平⾯⼏何知识⼜⼀时⽤不上，那么就从最原始的定义⽅⾯去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备⼯作：设双曲线的半焦距c ，离⼼率为e ，作MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离⼼率e.其次，121||||F F MF 与离⼼率e 有什么关系？注意到：()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +====-=-. 这样，最后的答案就⾃然浮出⽔⾯了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三⾓法——本⾝也是⼀种解析三⾓学蕴藏着丰富的解题资源.利⽤三⾓⼿段，可以⽐较容易地将异名异⾓的三⾓函数转化为同名同⾓的三⾓函数，然后根据各种三⾓关系实施“九九归⼀”——达到解题⽬的.因此，在解析⼏何解题中，恰当地引⼊三⾓资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（07.重庆⽂科.21题）如图，倾斜⾓为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
一口气总结33条有关抛物线的结论
一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。
一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。
2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。
4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。
5. 抛物线的焦距为1/4a。
三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。
2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。
3. 抛物线是直行的。
四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。
2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。
五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。
2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。
六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。
2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。
3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。
七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。
2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。
八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。
九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。
十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。
抛物线的8个结论推导过程
抛物线的8个结论推导过程抛物线的8个结论推导过程------------------------------------------------------------------抛物线的概念在数学中十分重要，它是一种二次函数，可以用来表示物理现象中的类型，抛物线的推导过程也是其重要的一部分，其中有8个结论，下面我们就来探讨一下。
一、抛物线的中点----------------------------抛物线的中点是抛物线图形上的一个重要特征，即抛物线图形的中心。
它有两条垂直轴，分别是横轴和纵轴，在它们的交叉点就是抛物线图形的中心，也就是抛物线的中点。
二、抛物线的对称性----------------------------抛物线有一个重要的性质，即它具有对称性。
它的对称性体现在它的图形上，如果一条抛物线图形可以通过一条垂直轴对称，那么这条抛物线就是对称的。
三、抛物线的标准方程----------------------------如果想要表示一条抛物线图形，就必须写出它的标准方程。
标准方程是一个二次函数，它可以用来表示一条抛物线的图形，它的标准方程为y=ax2+bx+c。
四、抛物线的顶点----------------------------顶点是抛物线图形上的一个重要特征，即抛物线图形的最高处。
在一条抛物线上，顶点处的X坐标是-b/2a，Y坐标是-b2/4a+c。
五、抛物线的焦点----------------------------焦点是抛物线图形上的一个重要特征，即抛物线图形上最下方的地方。
在一条抛物线上，焦点处的X坐标是-b/2a，Y坐标是-b2/4a+c。
六、抛物线的坐标变换----------------------------坐标变换是在数学中常用到的一个方法，它可以用来将一条抛物线图形从原来的位置变换到新位置。
坐标变换可以分为平行变换和旋转变换。
七、抛物线的对应式----------------------------对应式是在数学中常用到的一个方法，它可以用来表达一条抛物线图形上任意一个位置到另外一个位置之间的关系。
抛物线的有关结论
圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。
下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。
（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线的相关结论：当A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：1、直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -p²；（当A，B在抛物线x²=2py 上时，则有x1x2 = -p²，y1y2 = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）2、焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；3、（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））4、若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；5、焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；6、弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；7、△=b2-4ac；△=b2-4ac>0有两个实数根；△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；△=b2-4ac<0没实数根；8、由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；9、标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0），（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ，y=（y+y0）/2 ）扩展资料：切线方程：抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为：。
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。
抛物线各类方程式的共同点：1、原点在抛物线上，离心率e均为1；2、对称轴为坐标轴；3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4抛物线各类方程式的不同点：1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；2、开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
【数学】抛物线中必知的六大结论
【数学】抛物线中必知的六大结论
由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象确定系数a、b、c 以及相应的关系式，一般是给出3~6个结论，然后判断正确结论的个数或选出正确的结论，要解决此类问题，需要祭出一件制胜法宝——数形结合思想！
下面小编就带你见识一下数形结合思想在解题时如何大显神威：1、由抛物线开口方向确定a
2、由对称轴的位置确定b、ab
3、由抛物线与y轴的交点位置确定c
4、由抛物线与x轴的交点个数确定b2-4ac
5、由对称轴为x=±1时确定2a±b
6、特殊式子集锦光说不练假把式，下面我们就通过这道题来小试牛刀：。
高中数学抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦的八大结论：
第一类是常见的基本结论。
第二类是与圆有关的结论。
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论。
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）。
第五类是1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
第六类是当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。
第七类是如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。
第八类是如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
(2021年整理)抛物线的常见结论
（完整）抛物线的常见结论编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）抛物线的常见结论）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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抛物线的常见结论一、知识点总结1. 抛物线的弦长公式2122122124)(11x x x x k x x k l -+•+=-+=，其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
2122122124)(11y y y y m y y m l -+•+=-+=，其中弦长所在直线方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。
2. 抛物线的焦点弦对于抛物线，022>=p px y ，,倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A,B 两点,过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D ，那么有: ①221221,4p y y p x x -== 由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px y 得0222=--p pmy y (＊），因此⎪⎩⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长p x x AB ++=21,焦点弦长α2sin 2P AB = ααsin 4)(sin 2122121y y y y y y AB -+=-=，结合(＊）式与αtan 1=m 得：ααααααααααsin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 4422222222222+=+=+=+=p p p p p m p AB ααα22sin 2sin sin 12p p== ③PBF AF 211=+ 简单证明如下:pp p y y p y y PBF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积αsin 22P S = 简单证明如下：以AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：ααααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =⨯⨯== ⑤焦点弦相关的几何关系: a.以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b.以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c.以CD 为直径的圆与AB 相切 d.A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒=∠90CFD e. 以A ，B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线,两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。
初中数学抛物线必须掌握这六大结论，中考学子必备！
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由二次函数y=ax²+bx+c(a≠0）的图象确定系数a、b、c以及相应的关系式，一般是给出3~6个结
论，然后判断正确结论的个数或选出正确的结论，要解决此类问题，需要祭出一件制胜法宝
——数形结合思想！
下面就带你见识一下数形结合思想在解题时如何大显神威：
1.由抛物线开口方向确定a
2.由对称轴的位置确定b、ab
3.由抛物线与y轴的交点位置确定c
4.由抛物线与x轴的交点个数确定b²-4ac
5.由对称轴为x=±1时确定2a±b
6.特殊式子集锦。
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抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），
且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124
p x x =，212y y p =-。
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：
11AF BF
+为定值。
结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，
则
22sin P
AB α
=
（α≠0）。
（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线
对称轴的弦）最短。
例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
AB 倾斜角为3
π
或
23
π。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，
垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。
结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。
反之也成立。
结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2
22x pt y pt =⎧⎨
=⎩，
，
设抛物线22x py =上动
点P 坐标为2
(22)pt pt ，
，O 为抛物线的顶点，显然2
22OP pt k t pt
==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．
例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB
长为，求P 的值．
解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，
，，， 则11
2
A OA t k =
=，1
2B OA OB
t k k =
=-=-． A B ，的坐标分别为
(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，
．AB
∴=．2p =∴． 练习：
1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p
q
+= 故114a p
q
+=】
2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．
【证明：抛物线焦点为02
p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
．设直线AB 的方程为2
p
x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-．
BC x ∵∥轴，且点C 在准线1
2CO p
k y =
； 又由2112y px =，得11
1
2AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】
3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．
【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义
得
=
．
整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．
抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．
设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】
1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．
解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．
设对称轴和准线的交点是M ，可以求得625
5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据
22444120x y xy x y ++--=，
即为所求抛物线的方程．
例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，
求线段AB 中点的轨迹方程．
2010年报检员资格考试模拟试题及参考答案二
一、单选题
1、 通过报检员资格考试合格的人员，取得《报检员资格证》后，（ ）内未从事报检业务的，《报检员资格证》自动失效。
A.6个月 B.10个月
C.1年
D.2年
[答案]d
2、自理报检单位应在（）检验检疫机构办理备案登记手续。
A.报检地
B.报关地
C.工商注册地
D.A.B.C都可以
[答案]c
3、报检单位在按有关规定办理报检，并提供抽样、检验检疫的各种条件后，有权要求检验检疫机构在（）内完成检验检疫工作，并出具证明文件。
A.合同规定的装船期限
B.国家质检规定的检验检疫期限
C.货主要求的期限
D.代理单位要求的期限
[答案]b
4、报检员遗失《报检员证》的，应在（）日内向发证检验检疫机构递交情况说明，并登报声明作废。
A.5
B.7
C.10
D.14
[答案]b
5、报检单位的组织机构、性质、业务范围、名称、法定代表人、法定地址及隶属关系等发生重大改变和变动，应于（）日内以书面形式向原报检备案登记的出入境检验检疫机构提出变更申请。
A.15
B.7
C.10
D.30
[答案]a
6、检验检疫机构对自理报检单位实行（。