最新抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），

且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2

124

p x x =，212y y p =-。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证：

11AF BF

+为定值。

结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，

则

22sin P

AB α

=

（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线

对称轴的弦）最短。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为3

π

或

23

π

。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，

垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。

结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。

结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2

22x pt y pt =⎧⎨

=⎩，

，

设抛物线22x py =上动

点P 坐标为2

(22)pt pt ，

，O 为抛物线的顶点，显然2

22OP pt k t pt

==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率．

例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB

长为，求P 的值．

解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，

，，， 则11

2

A OA t k =

=，1

2B OA OB

t k k =

=-=-． A B ，的坐标分别为

(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，

．AB

∴=．2p =∴． 练习：

1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p

q

+= 故114a p

q

+=】

2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ．

【证明：抛物线焦点为02

p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

．设直线AB 的方程为2

p

x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-．

BC x ∵∥轴，且点C 在准线1

2CO p

k y =

； 又由2112y px =，得11

1

2AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】

3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

【解：设()P x y ，是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义

得

=

．

整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．

抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =．

设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】

1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．

设对称轴和准线的交点是M ，可以求得625

5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，

．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，根据

22444120x y xy x y ++--=，

即为所求抛物线的方程．

例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，

求线段AB 中点的轨迹方程．

2010年报检员资格考试模拟试题及参考答案二

一、单选题

1、 通过报检员资格考试合格的人员，取得《报检员资格证》后，（ ）内未从事报检业务的，《报检员资格证》自动失效。 A.6个月 B.10个月

C.1年

D.2年

[答案]d

2、自理报检单位应在（）检验检疫机构办理备案登记手续。

A.报检地

B.报关地

C.工商注册地

D.A.B.C都可以

[答案]c

3、报检单位在按有关规定办理报检，并提供抽样、检验检疫的各种条件后，有权要求检验检疫机构在（）内完成检验检疫工作，并出具证明文件。

A.合同规定的装船期限

B.国家质检规定的检验检疫期限

C.货主要求的期限

D.代理单位要求的期限

[答案]b

4、报检员遗失《报检员证》的，应在（）日内向发证检验检疫机构递交情况说明，并登报声明作废。

A.5

B.7

C.10

D.14

[答案]b

5、报检单位的组织机构、性质、业务范围、名称、法定代表人、法定地址及隶属关系等发生重大改变和变动，应于（）日内以书面形式向原报检备案登记的出入境检验检疫机构提出变更申请。

A.15

B.7

C.10

D.30

[答案]a

6、检验检疫机构对自理报检单位实行（