高中数学知识点：二倍角公式的逆用及变形
高中数学知识点精讲精析 二倍角的三角函数
3.2 二倍角的三角函数1． 二倍角公式：αααcos sin 22sin =；)(2αS ；ααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为1cos 22cos 2-=αα或αα2sin 212cos -=)(2αC ' 探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他R ∈α（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α例1 设α∈(2π，π)，sin α＝1213，求2α的正弦、余弦和正切。
解：∵α∈(2π，π)，sin α＝1213 ∴cos α＝－513 则sin2α＝2sin αcos α＝－120169；cos2α＝1－2sin 2α＝－119169；tan α＝sin cos αα＝120119——没必要傻乎乎地先去求tan α，再用二倍角正切公式。
例2 用cos α表示cos3α；用sin α表示sin3α。
——设计意图：练练公式，提高兴趣 解：cos3α＝cos2αcos α－sin2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2cos α(1－sin 2α)＝4cos 3α－3cos αsin3α＝sin2αcos α＋cos2αsin α＝2sin α(1－sin 2α)＋(1－2sin 2α)sin α＝3sin α－4sin 3α例3化简：——设计意图：正向、逆向运用公式解：(1) 1cos 2x sin x －＝22sin x sin x＝2sinx (2) sin 41cos 4αα＋＝22sin 2cos 22cos 2ααα＝tan2α ——倍角是相对的：4α是2α的倍角 (3) 1cos 1cos αα＋－＝222cos 22sin 2αα＝cot 22α ——倍角是相对的：α是2α的倍角 (4) cotx －cot2x ＝1tan x －21tan x 2tan x －＝21tan x 2tan x＋＝2sec x 2tan x ＝12sin x cos x ＝1sin 2x(5) α∈(－2π，0) 分析：cos α＞0，sin α＜0cos α－sin α(6)α∈(π，32π)2cos α(7) α∈(－2π，0)2α(8) α∈(32π，2π) 分析：cos α＞0，cos 2α＜0cos 2α 例4求值：cos200 cos400 cos800分析：三个角成倍角关系，创造条件运用倍角公式解：原式＝00002sin20cos20cos40cos802sin20＝000sin40cos40cos802sin20＝00sin80cos804sin20＝sin1608sin20＝18。
三角恒等变换之二倍角公式及其变用
三角恒等变换之二倍角公式及其变用
学习目标：1.掌握二倍角公式； 2.会正用或逆用二倍角公式解决问题。 重点：掌握并且会用二倍角公式 难点：灵活选择适当的二倍角公式来解题。 教学过程
一、复习二倍角公式 sin2α = 2sinαcosα cos 2������ = ������������������ ������ − ������������������2 ������ = 1 − 2������������������ 2 ������ = 2������������������2 ������ − 1
பைடு நூலகம்
������
3.函数f x = sin x +
7������ 4
+ cos (x −
3������ 4
)
（1）求函数的最小正周期和最小值； （2）若cos β − α = 5 , cos ������ + ������ = − 5 , 0 < ������ < ������ ≤ 2 ,求f β 的值。
6 4 ������ ������ ������
2.若函数f x = 3������������������2������ + 2������������������ 2 ������ + ������在区间 0, 2 上的最大值为 6，求常数������的值及此 函数当x ∈ R时的最小值，并求相应的x的取值集合。
2. 求y = ������������������2 ������ − 3 ������ − 1的周期
2
四、解答题 1.若函数f x = 4cosxsin x + 6 − 1, (1)化f(x)为Asin(ωx + φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期； (3)若x ∈ [− , ],求函数的值域和取得最小值时x的集合。
二倍角公式
A.4 5 9
B.2 5 9
C．－4 5 9
D．－2 5 9
6．如果|cos θ|＝1，5π<θ<3π，则 sin θ的值是( )
52
2
A．－ 10 5
B. 10 5
C．－ 15 5
D. 15 5
二、填空题
7．2sin222.5°－Fra bibliotek＝.8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝
题型一 利用倍角公式化简求值 例 1 求下列各式的值． (1)cos π cos 5 π；
12 12 (2)1－2cos215°.
33
题型二 三角函数式的化简或证明 例 2 求证：3－4cos 2A＋cos 4A＝tan4 A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
跟踪训练 2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ. 1＋sin 2θ＋cos 2θ
2
2
二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活．其中
sin2α＝1－cos 2α，cos2α＝1＋cos 2α也称作降幂公式，1－cos α＝sin2α，1＋cos α＝cos2 α也称
2
2
2
22
2
作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．
知识点二 二倍角公式的常用变形
(1)sin 2α＝cos α，sin 2α＝sin α；
2sin α
2cos α
(2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；
(3)sin2α＝1－cos 2α，cos2α＝1＋cos 2α；
2
2
(4)1－cos α＝2sin2α,1＋cos α＝2cos2α.
高中数学3_2二倍角的三角函数教材梳理素材苏教版必修4
高中数学 3.2 二倍角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学 1.二倍角公式在两角和三角公式中，令α=β就可以得到下面的结论： sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos 2α-sin 2α, tan2α=αα2tan 1tan 2-,由于sin 2α+cos 2α=1，所以公式cos2α=cos 2α-sin 2α还可以变形为cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀 在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆. 深化升华 倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用. 对于倍角公式应注意以下几点： (1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠2πk +4π,α≠kπ+2π(k ∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式.(2)二倍角只是一个相对的概念，如：4α是8α的倍角，α±β是2βα±的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式,是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin 3α=2sin 6αcos 6α，cos3α=cos26α-sin26α=2cos26α-1=1-2sin 26α；sin3α·cos3α=21(2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；21sin 63αcos 63α=41sin3α；tan3x=23tan123tan22x x -；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等.应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.(3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α，利用该公式能消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式. 深化升华 由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=αα2tan 1tan 2+、cos2α=αα22tan 1tan 1+-，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数. 2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式.在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用；会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的，但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用.学法一得 运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式. 典题·热题知识点1 二倍角公式 例1 已知sinα=135,α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法.思路一：可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α，cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α.此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α.思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解.解：方法一∵sinα=135,α∈(2π,π), ∴cosα=-α2sin 1-=-1312.∴sin2α=2sinαcosα=-169120,cos2α=1-2sin 2α=169119,tan2α=-119120. 方法二∵sinα=135,∴cos2α=1-2sin 2α=169119.又∵α∈(2π,π)，∴2α∈(π,2π).∴sin2α=-α2cos 12-=-169120，tan2α=-119120.方法归纳 在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给，这就需要分类讨论. 例2 求证：θθθtan 24cos 4sin 1-+=θθθ2tan 14cos 4sin 1-++.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明.证明：原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 44cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+=tan2θ, 左边=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=++-+ =tan2θ=右边.方法归纳 在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式. 例3 若23π＜x ＜2π，化简x 2cos 21212121++. 思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号.根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形. 解：由于23π＜x ＜2π，则43π＜2x ＜π. 所以原式=2cos 2cos cos 212122cos 121212xx x x -==+=++. 方法归纳 解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华 对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准.化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式.例4 求sin6°cos24°sin78°cos48°的值.思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值. 解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°=︒︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin=21·︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 12sin =41·︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 24sin =161·︒︒6cos 96sin =161. 方法归纳 形如cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)或能够化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简. 例5 求(tan10°-3)sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式. 解法一：(tan10°-3)sin40°=(︒︒-︒10cos 10cos 310sin )sin40°=︒︒-=︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒10cos 80sin 10cos 40sin 50sin 210cos 40sin )60sin 10cos 60cos 10(sin 2=-1.解法二：(tan10°-3)sin40°=(tan10°-tan60°)sin40°=(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )sin40°=︒︒︒︒-︒︒60cos 10cos 60sin 10cos 60cos 10sin ·sin40° =︒︒-=︒︒︒-10cos 80sin 10cos 2140sin 50sin =-1. 方法归纳 (1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路.(2)在三角函数式的化简或求值的过程中，还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便. 例6 已知tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角，求α+2β的值. 思路分析：根据已知条件选择正切函数，先求出α+2β的正切值，再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解：∵tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角， ∴0＜α,β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.又∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=43，∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan -+=437114371⨯-+=1.∴α+2β=4π. 方法归纳 在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小，其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称. 问题·探究 交流讨论探究问题 是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形？ 探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么？ 学生甲：由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式.处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx 入手，将二倍角的正弦展开建立关于x 的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可. 师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙：我知道，显然方程可化为cos2x+4sin 2xcosx=2cosx, 即cos2x(2cosx-1)=0，解得cos2x=0或cosx=21. 但接下来怎样求x 的值我还不清楚.学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x 的取值只能是4π，43π，3π.而在这些值中只有3π+3π+3π=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形，它是一个正三角形.探究结论:存在，它是一个正三角形. 思维陷阱探究问题 在处理问题“已知cos(x+4π)=53,2π≤x＜23π,求cos(2x+4π)的值”时，一个同学给出了下面的解题过程： 因为cos(x+4π)=53，所以cos(2x+4π)=2cos 2(2x+4π)-1=2×259-1=-257.上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在上面的解题过程中以为2x 是x 的二倍，则2x+4π也是x+4π的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念.而事实上x+4π的二倍应是2x+2π. 探究结论:上面的解法不正确，正确的解法如下： cos(2x+4π)=cos2xcos 4π-sin2xsin 4π=22(cos2x-sin2x). 因为2π≤x＜2π,则43π≤x+4π＜47π,又cos(x+4π)=53＞0，则sin(x+4π)=-54,则cos2x=sin(2x+2π)=2sin(x+4π)cos(x+4π)=-2524， sin2x=-cos(2x+2π)=2cos 2(x+4π)-1=257,所以cos(2x+4π)=22(cos2x-sin2x)=-50231.。
二倍角公式
复数的除法： (a1+b1i)/(a2+ b2i)=(a1*a2+ b1*b2)/(a2^2 +b2^2)+(b1* a2a1*b2)/(a2^2
+0b2^2)i 4
微积分中的实例
导数的计算：利 用二倍角公式简 化导数的计算过 程
积分的计算：利 用二倍角公式将 积分转化为更容 易计算的形式
级数的求和：利 用二倍角公式求 解某些级数的和
级数：利用二倍 角公式进行级数 展开，方便求解
微分方程：利用 二倍角公式求解 微分方程，提高 求解速度
04
二倍角公式的应用方法
利用二倍角公式化简表达式
引入二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
举例说明：化简表达式 cos(2x) + cos(x)
应用二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， cos(x) = cos^2(x) sin^2(x)
求解sin(π/3)和cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解 sin(2π/3)的值
利用二倍角公式证明等式
引入二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
设定等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) 利用二倍角公式证明等式：将等式两边同时除以2，得到sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) 得出结论：等式成立，证明完毕。
单击此处输入你的智能图形项 正文
步骤： a. 利用二倍角公式将sin(2π/3) 转化为sin(π/3)和cos(π/3) b. 利用
三角函数值表或计算器求解sin(π/3)和 cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解
最新二倍角公式及其变形公式教学讲义ppt课件
2tan α 1－tan2
α＝tan
2α.
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第三章 三角恒等变形
1.(1)计算：cos 101°－＋cos3s8i0n°10°＝________. (2)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
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第三章 三角恒等变形
1 解：(1)原式＝22cos
10°＋
3 2 sin
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第三章 三角恒等变形
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，
sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，
24°cos 24°cos 16cos 6°
48°＝2sin164c8o°cso6s°48°
＝1s6inco9s66°°＝16cocos s66°°＝116.
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第三章 三角恒等变形
给值求值 (1)已知 α∈π2，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝__________， cos 2α＝__________，tan 2α＝__________. (2)已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且 α∈π2，π，求 tan 4α 的值．
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第三章 三角恒等变形
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第三章 三角恒等变形
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第三章 三角恒等变形
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第三章 三角恒等变形
3.1－tatnan1251°5°＝________．
解析：原式＝12×1－2tatann1251°5°＝12tan 30°＝ 63.
10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】； 【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系； 【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式； 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系； 【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点； 【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ； 【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ； 【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式） 【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。
二倍角公式及其变形公式
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( × ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( √ ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × )
解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的， 而二倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠π4＋kπ(k∈Z)， 故此说法错误． (2)正确．当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当 cos α＝1－2 3时，cos 2α＝2cos α.
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”
“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，
sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝2sisnin2αα，cos2α－sin2α＝cos 2α，
2tan α 1－tan2
解析：原式＝12×1－2tatann1251°5°＝12tan 30°＝ 63.
答案：
3 6
4．若 sin α＝ 55，则 cos4α－sin4α＝________.
解析：cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广
泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋c2os 2α，
③1－cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝1－c2os
2α .
二倍角公式总结
二倍角公式总结在我们的数学世界里，二倍角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
那咱们今天就来好好总结一下这些神奇的公式！首先，咱们来看看正弦函数的二倍角公式：sin2α = 2sinαcosα 。
这个公式就好像是一个“变形金刚”，在解决很多与三角函数相关的问题时都能大显身手。
比如说，有一次我在辅导一个学生做作业，遇到了这样一道题：已知sinα = 3/5 ，α 是锐角，求sin2α 的值。
这时候，二倍角公式就派上用场啦！因为α 是锐角，所以可以通过勾股定理求出cosα = 4/5 ，然后直接代入公式sin2α = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 ，问题就轻松解决了。
再来说说余弦函数的二倍角公式，它有三种形式呢！cos2α = cos²α - sin²α ，cos2α = 2cos²α - 1 ，cos2α = 1 - 2sin²α 。
这几个公式看起来有点复杂，但用起来可顺手啦！我记得有一次在课堂上，我给同学们出了一道这样的例题：已知cosα = 1/3 ，求cos2α 的值。
同学们一开始有点懵，不知道该用哪个公式。
我就提醒他们，可以先根据平方关系求出 s inα 的值，然后再选择合适的公式。
最后大家发现用cos2α = 2cos²α - 1 这个公式最简单，算出cos2α = -7/9 ，大家都特别有成就感。
正切函数的二倍角公式是tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。
这个公式在求解一些涉及正切函数的综合问题时常常能起到关键作用。
有一回，我在做一套数学试卷，遇到了这样一道难题：已知tanα =2 ，求tan2α 的值。
我马上就想到了二倍角公式，代入计算，tan2α = -4/3 ，那一刻，真的感觉这些公式就像是我的得力助手，帮我攻克了一个又一个难关。
咱们总结一下，二倍角公式在三角函数的计算、化简、证明等方面都有着广泛的应用。
【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。
2020届秒杀高考数学题型之二倍角公式及其变形公式
秒杀题型：二倍角公式及其变形公式【题型1】：二倍角公式。
『秒杀策略』:sin 22sin cos ααα=22cos 22cos 112sin ααα=-=-=22cos sin αα-；22tan tan 21tan ααα=-。
1.(2018年新课标全国卷III4)若31sin =α，则α2cos =()A.89B.79C.79-D.89-【解析】：选B 。
2.(高考题)已知5sin 5α=,则44sin cos αα-的值为()A.15-B.35-C.15 D.35【解析】：选B 。
3.(高考题)下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点；④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位得到3sin 2y x =的图象；⑤函数sin()2y x π=-在()0,π上是减函数。
其中真命题的序号是(写出所有满足题意的序号)。
【解析】：①④。
4.(2017年新课标全国卷III 文4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=()A.79-B.29-C.29D.79【解析】：平方得选A 。
2020届秒杀高考数学题型之二倍角公式及其变形公式5.(高考题)已知α为第二象限角，αsin ＋αcos =33,则α2cos =()A.35-B.95-C.59 D.53【解析】：平方得选A 。
6.(2007年新课标全国卷9)若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为()A.2-B.12-C.12D.2【解析】：22)sin 2)cos (sin 22sin cos 4sin(2cos 22-=+-=--=-ααααααπαα21sin cos =+αα，选C 。
7.(2011年辽宁卷)设31)4sin(=+θπ，则θ2sin =()A.97-B.91-C.91 D.97【解析】：法一：31)4sin(=+θπ，展开后得：31)cos (sin 22=+θθ，两边平方得972sin -=θ，选A 。
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式
(1)计算
sin110sin 20 cos2155 sin2155
的值为
(
)
A.- 1 B. 1 C. 3 D.- 3
2
2
2
2
(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为 ( )
A.- 2 B. 2 C. 1 D.- 1
2
2
2
2
答案 (1)B (2)B
2
2
α= 4 3 ,
5
即 3 cos α+ 3 sin α= 4 3 ,
2
2
5
所以
3 sin
2
α+
1 2
cos
α=sin
α
6
=
4 5
,
所以sin α
7 6
=-sin
α
6
=-
4 5
.
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第五节 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式及二倍角公式
解析
(1)
sin110sin 20 cos2155 sin2155
=
sin 70sin 20 cos 310
=
cos
20sin
20
=
1 2
sin
40
=
1
.
cos 50
sin 40 2
(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,
可得 tan A tan B =-1,
1 tan Atan B
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1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.有关公式的逆用、变形
高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点 第一部分：三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式：sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2βα+－2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值． 第二部分：解三角形1.边角关系的转化：〔ⅰ〕正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注：〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用：〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角；〔4〕求三角形面积S ；注：三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ；②内角和为180︒；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b ．〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角．〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况．〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C ．〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是：0°≤α＜360. 第三部分：数列 证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列：①定义法：对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法：对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列：①定义法：对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法：对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法：等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中〕 〔3〕递推式为1n a ＋＝n a ＋f<n> <采用累加法>；1n a ＋＝n a ×f<n> <采用累积法>；例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答：1n a =〕〔4〕构造法；形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答：1231n n a -=-〕； 〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决：an ＝〔an －an-1〕+<an-1－an-2>+……＋〔a2－a1〕＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答：132n a n =-〕；3.求数列前n 项和n S .常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法：等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注：讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和：如an=2n+3n ； 〔3〕错位相减法：nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ,如an=<2n-1>2n ；〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和：如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______；<答：48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++＝___〔答：72〕〔5〕裂项法求和：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答： 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注：n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大,最大值为169〕；②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答：4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕：①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性 如an=1562+n n6.常用性质：〔1〕等差数列的性质：对于等差数列{}n a ①．dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③．若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④．设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质：<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕 〔2〕等比数列性质：在等比数列{}n a 中①．mn m n q a a -=〔n m ≤〕；②.若m+n=p+q,则aman=apaq ；如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答：10〕.③．若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如：公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7．常见结论：〔1〕三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d ；〔2〕三个数成等比的设法：a/q,a,aq ； 〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分 不等式1．两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法．〔3〕分析法注：一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕 判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注：)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕 则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢？如：关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时，042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式 如果a ＞0,那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕；4恒成立问题〔注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式〕；5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围；〔①换元法；②线性规划法〕.4．简单的线性规划问题应用：〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注：可行域边界的虚实〕；〔2〕求可行域内整数点的个数；〔3〕求可行域的面积；〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕；〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+；注：几何平均数算术平均数，----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ；6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值），则和+=〔2〕若和22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即：积定和最小,和定积最大. 注：运用均值定理求最值的三要素："一正、二定、三相等〞技巧：①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例 当时,求的最大值；〔答：8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-；④拆项,例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答：9 〕⑤构造法,例 求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答：1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答：16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例 求2211y x x =++.第五部分 简易逻辑逻辑联结词,命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立 存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.9、反证法：从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分 圆锥曲线定义、标准方程与性质 〔一〕椭圆 1.定义：若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注：〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在；〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕,12222=+b x a y 〔a ＞b ＞0〕<注：222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质：线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时,椭圆越扁；反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义：若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注：〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线；〔2〕若2a ＞|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a ＞0,b ＞0〕注：〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例 实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =＞1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注：〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2．抛物线的标准方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注：〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例：p ：焦准距〔焦点到准线的距离〕；焦点： )0,2(p 准线： 2p x -=通径p AB 2= 焦半径：,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=－p2,x1x2=42p ;注：只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意：>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法：〔1〕直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>＝0,是求轨迹的最基本的方法；〔2〕待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕：若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；〔4〕定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程； 〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意：验证判别式大于零.〕〔6〕参数法：当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注：①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221B A C C d +-=注意点：①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则：2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想；〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0．注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分 能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性．6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释．7.创新意识：能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题．。
二倍角公式及其变形公式
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第三章 三角恒等变形
(2)因为 sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α， 则已知条件可化为 sinπ4＋αcosπ4＋α＝16， 即12sin2π4＋α＝16，所以 sinπ2＋2α＝13， 所以 cos 2α＝13.因为 α∈π2，π，所以 2α∈(π，2π)，
从而 sin 2α＝－ 1－cos22α＝－232， 所以 tan 2α＝csions 22αα＝－2 2，
α∈R
二倍角的
正切公式
T2α
2tan α tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α__
α≠π2＋kπ， α≠π4＋k2π，
其中 k∈Z
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第三章 三角恒等变形
2.倍角公式的变形 (1)因为 sin2α＋cos2α＝1，所以公式 C2α 可以变形为 cos 2α＝__1_－__2_si_n_2_α__＝__2_c_o_s_2_α_－__1__；① 或 cos2α＝1＋c2os 2α，sin2α＝1－c2os 2α.② 其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式． (2)常用的两个变形： (sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α， (sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.
2sin240°
10° ＝
2sin 40°＝ 2sin 40°
2.故填
2.
(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
＝23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
二倍角公式及其变形公式
第三章 三角恒等变形
2.已知 cos α＝－34，sin β＝23，α 是第三象限角，
β∈π2，π. (1)求 sin 2α 的值；
(2)求 cos(2α＋β)的值． 解：(1)因为 α 是第三象限角，cos α＝－34，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 47，
所以
sin
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第三章 三角恒等变形
【解】 (1)因为 α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以 cos α＝－255，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 55×－255＝－45，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35，
tan 2α＝csoins 22αα＝－43.故填－45，35，－43.
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第三章 三角恒等变形
【解】 连接 OA，设∠AOP＝α，过 A 作 AH⊥OP，垂足为 H，
在 Rt△AOH 中，OH＝cos α，AH＝sin α，
所以 BH＝taAnH60°＝ 33sin α，
所以
OB＝OH－BH＝cos
α－
3 3 sin
α，
设平行四边形 ABOC 的面积为 S，
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故 tan 4α＝1－2tatann22α2α＝－1－(4－22
2)2＝4
7
2 .
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第三章 三角恒等变形
把本例(1)中的条件“sin α＝ 55”改为“sin α＋ cos α＝ 55”，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值．
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第三章 三角恒等变形
解：因为 sin α＋cos α＝ 55，所以(sin α＋cos α)2＝15， 即 1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45. 因为 α∈π2，π，所以 cos α<0，所以 sin α－cos α>0， 所以 sin α－cos α＝ (sin α－cos α)2＝ 1－sin 2α＝355， 所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝ 55×－355＝－35，所以 tan 2α＝csions 22αα＝43.
人教版数学高一-人教A必修四 二倍角的正逆变三用素材.
二倍角公式的“正、逆、变”三用对于倍角公式：αααααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos ,cos sin 22sin -=-=-==， ααα2tan 1tan 22tan -=，它们是历年高考三角问题中的热点，对倍角公式不仅要会正用，还要会逆用，更要会灵活变着用。
一、正用公式例1. 已知214tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，1）求αtan 的值；2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 分析：通过已知直接由二倍角的正切公式求得αtan 的值；从而与ααα2cos 1cos 2sin 2+-取得联系求值。
解：1）21tan 1tan 14tan =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+αααπ ，31tan -=∴α 2）6521tan 2cos 2cos sin 21cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=-+-=+-ααααααααααα 【评注】这是一种三角求值中“给值求值”的一种形式，通过多次倍角公式的正用，来建立所求式与已知条件的关系。
二、逆用公式例2．已知,2,4,4124sin 24sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππααπαπ求1tan cot sin 22-+-ααα的值。
分析：如何建立与知角与所求角的三角函数的关系，才是解决问题的突破口。
解：由414cos 2142sin 2124cos 24sin 24sin 24sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπαπαπαπαπ 得214cos =α，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4ππα，125πα=∴ 1tan cot sin 22-+-ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 22-+-=-+-=()235322365cot 265cos 2cot 22cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=ππαα【评注】由于半角公式不再要求掌握，此题通过化切为弦，四次逆用倍角公式使已知角απ24±与α联系起来是解题的关键。