第5章部分习题解答

P153题5.3.16 如图所示,质量为m,长为l的质量均匀分布的 细杆,可绕其一端的垂直于纸面的水平轴O转动. 如果把棒拉到水平位置后放手,棒落到竖直位置 时,与放置在水平面上A处的质量为M静止的物 体做完全弹性碰撞,物体在水平面上向右滑行了 一段距离S后停止.设物体与水平面间的摩擦系 6m 2 l 数 处处相同.求证： 2
J oz Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a 2 b2 ) 12,
第5章部分习题解答
解: (1)如图在坐标y处取一面 元ady,设质量面密度为 ,则 M ab
bdx Y
b O
M
a Z
ady
X
J ox y ady ...
2
b 2 b 2
dxdy
1 2 Mb 12
第5章部分习题解答
在坐标x处取一面元bdx,则
'
1 L剩 J 剩 ' ( MR 2 mR 2 ) 2
1 1 1 2 Ek J 剩 ' ( MR 2 mR 2 ) 2 2 2 2 2010.4.14
第5章部分习题解答
P153题5.3.20 如图所示,将一质量为m=0.05kg的小球系 于不能伸长的轻绳一端, 绳穿过一竖直的光滑 细管,手拉绳的另一端,先使小球以角速度大小 为3rad.s-1,在半径r1=0.2m的水平圆周上运动, 然后将绳向下拉,小球看作质点,当r2=0.1m时, (1) 小球的角速度是多大? (2) 该小球的转动动能变化了多少?
解:
S圆 R
2
1 2 S 挖 R 4
R
O'
2
3 S 剩 S圆 4
R
O
第5章部分习题解答
1 m挖 m 3
4 m圆 m 3
由平行轴定理可得
R 2 J圆 J 剩 J 挖 m挖 ( ) 2
即
2 2 1 4 1 1 R 1 R m R2 J 剩 m m 2 3 2 3 4 3 4
1 0
t全 8.3(s)
t ' t剩 8.3 5 3.3(s)
第5章部分习题解答
也可以
1 t ' 1 0
t ' 3.3(s)
2010.4.13
第5章部分习题解答
P152:5.3.7
一块质量为M的均匀的长方形薄 板 ,边长分别为a、b,中心O取为坐标原 点,直角坐标系OXYZ如图所示. (1)证明对OX轴和OY轴的转动惯量分 2 2 J Ma 12, ; 别为: J ox Mb 12, oy (2)证明薄板对OZ轴的转动惯量为:
(3)
2 a 4b 12c(rad.s 1 )
2 2b 12c(rad.s 2 ) 2010.4.13
第5章部分习题解答
P151题5.3.4 一飞轮在5s内转速由1000r.min-1均匀地减 小到400r.min-1.求角速度大小和5s内的总转数; 还需要经过多长时间,飞轮才停止转动? 解: (1)
第 5章 部分习题解答
第5章部分习题解答
P151:5.3.3 某发动机飞轮转动的角坐标与时间的关 2 3 系为 0 at bt ct (rad),如果 0 、a、b、 c均为常数, 求: (1) t=2s时的角坐标,t=2s内的角位移; (2) 飞轮角速度和角加速度的表达式; (3) t=2s时刻的角速度和角加速度大小.
第5章部分习题解答
解: 碰撞过程中,棒的角动量守恒 参考正方向如图,则
L/2

n
O
2L
L 1 L 2 2 mv0 [ m(2 L) m( ) ] 2 12 2
L/2
v0
L
6 v0 7L
第5章部分习题解答
P153题5.3.18
如图所示,轮对中心轴O的转动惯量为J,半径 为r,如果在轮边缘上绕一轻绳,下端一质量为m的 重物,设轮转动时所受的阻力矩为M 0 .求重物自 静止开始下落距离h时轮的角速度.设绳与轮间无 相对滑动. 解： 受力情况及坐标系如图,由转动定 律和牛顿第二定律可得
a 2 a 2
b 2 b 2
a 2 a 2
b 2 b 2
1 2 2 y dy M (a b ) 12
2
第5章部分习题解答
也可以用正交轴定理求解
1 2 2 J oz J ox J oy M (a b ) 12
第5章部分习题解答
P152题5.3.9 在一半径为R的均匀薄圆盘中,挖出一个直 径为R的圆形面积,所剩余部分的质量为m,圆形 空盘面积的中心 O 距圆盘中心 O'为R/2,求所剩 部分对通过盘心且与盘垂直的轴的转动惯量.
第5章部分习题解答
M向右滑动过程中，由动能定理得：
1 MgS 0 Mv 2 ......(4) 2
由(1)到(4)式可得
6m 2 l 2 (m 3M ) .S
2010.6.19
第5章部分习题解答
P153题5.3.17 如图所示,一均质棒长2L,质量为m,以与棒 长方向相垂直的速度v0 在水平面内运动时与固 定的O点发生完全非弹性碰撞,发生相碰处距棒 中心为L/2.求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的 角速度大小 .
第5章部分习题解答
解: (1)根据题意


d k dt
d
0

k dt
0
t
0ekt
(2)由题意
1 ln kt 2
1 kt 0 0 e 2
ln 2 t k
第5章部分习题解答
d 0 e kt dt
d 0ekt dt
第5章部分习题解答
解: 在两物体碰撞的过程中,m与球组成的 系统的角动量守恒.参考正方向如图所示. 设系统的末角速度为
mv0 R J0 ( J mR )
2
mv0
n
O M R
0
2 mv0 R MR 20 5 2 MR 2 m R2 5
2010.4.13
第5章部分习题解答
(m 3M ) .S
第5章部分习题解答
解： 杆从水平位置到竖直位置的过程中, 机械能守恒(势能零点如图)
1 l 2 mgl J0 mg ......( 1) 2 2
O
杆与物体碰撞时,系统的 角动量,动能都守恒
lm
M
S
J0 J Mvl......(2)
A 重力势能零点
M
1 1 1 2 2 J0 J Mv 2 .....(3) 2 2 2
2n0 n0 0 60 30

2n 60

n
30
0 t

0
t
4 (rad .s )
2
第5章部分习题解答
1 2 0t t 2
N 58.3(r ) 2
(2) 设从开始转动到停下来所需时间为 t全 则
1 0 t全
第5章部分习题解答
解: (1) 在题述过程中,小球的角动量守恒(规定 角动量的正向为小球实际转动方向),则
2 2 mr mr 2 2 1 1
mr 2 1 12rad.s 1 mr
1 1 2 (2) Ek J 22 J112 2.7 10 2 J 2 2
1 J oy a x bdx ... Ma 2 12 2 (2)在坐标(x、y)处取一面元dxdy,则
2 2
a
J oz ( x y )dxdy x dxdy y dxdy
2 2 2 2 s s s
x dx dy dx
2
13 J剩 mR 2 24
2010.4.13
第5章部分习题解答
P153:5.3.11 某飞轮摩擦力矩作用做减速转动,如果 角加速度与角速度成正比,即 k ,式 中k为比例常量.设初始时刻角速度为0 , 试求: (1)飞轮角速度随时间变化的关系; (2)角速度由 0 减为 0 2 所需的时间及 在此时间内飞轮转过的转数.
0 0

t

转数
0
k
(1 e ) ...
kt
0
2k
0 N ... 2 4k
第5章部分习题解答
P153题5.3.15 如图所示,质量为M、半径为R的质量均匀 分布的实心球体,以角速度 0 绕通过球心且垂 直于纸平面的水平轴转动.质量为m,初速度为 v0 的一小质点与球相碰撞,并粘在球的边缘上. 求碰撞后该系统的角速度大小表达式.
J圆 J剩 mR
2
2
1 2 2 J 剩 J圆 mR MR mR 2
在碎片飞出过程中,碎片和剩余部分组成的 系统角动量守恒,设剩余部分的角速度为 ' , 则
1 2 2 MR J 剩 ' m R 2
第5章部分习题解答
1 ( MR 2 mR 2 ) ' mR 2 2
第5章部分习题解答
如图所示,一质量M,半径为R,并以角速度 绕定轴转动着的匀质飞轮,在某一瞬时突然有一 质量为m的小碎片从飞轮的边缘飞出.设碎片脱 离飞轮时的速度方向正好竖直向上.试求: (1) 以飞出点为起点,碎片能上升的最大高度;
P153题5.3.19
(2) 剩余部分的角速度、角动量和转动动能.
第5章部分习题解答
解:
(1)碎片飞出时的速度 为 v R ,上升过程,机械 能守恒,设上升高度为h,碎 片飞出位置为势能零点, 则
1 1 2 mgh mv m( R ) 2 2 2
m
O
R
M
O'

R 2 2 h 2g
第5章部分习题解答
(2) 设剩下部分的转动惯量为 J 剩 ,则有
2 1 2 2
m
r
O
2010.4.14
第5章部分习题解答
第5章部分习题解答
n
J r
T
T
Tr M 0 J
mg T ma
y
a
m
mg
a r
mgr M 0 2 J mr
第5章部分习题解答
又因为
2
2 2 0
h r
0 0
2(mgr M 0 ) h 2 r ( J mr )
第5章部分习题解答
解: (1)
2 0 2a 4b 8c(rad)
2 0 2a 4b 8c(rad)
d 2 1 a 2bt 3ct (rad .s ) dt d 2b 6ct (rad .s 2 ) dt
(2)