高等数学B资料：Ch2-曲率习题解答

y
=
−2ax a2 − x2
,
1
+
y
2
=
1
+
4a2x2 (a2 − x2)2
=
(a2 (a2
+ x2)2 − x2)2
y
=
−
2a (a2 + x2) (a2 − x2)2
K=
y (1 + y 2)3/2
=
2a(a2 − x2) (a2 + x2)2
K (x)
=
−4ax (3a2 − x2) (a2 + x2)3


1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
3
2
1
1
2
3
2.14
§2.9


K
R

2.1 (1)
⎧ ⎨ x = x(t) ⎩ y = y(t) ,
(2)
y = f (x) ,
R
=
1 K
(α, β)
α
=
x
−
y
(1 + y
y
2)
β
=
y
+
1
+ y
y
2
K=
yt xt − xt yt (xt2 + yt2)3/2
K=
y (1 + y 2)3/2
y = f (x)
2.2
α
=
x
−
y
(1 + y
y
2)
x

β
=
y
+
1
+ y
y
2
αOβ
xOy

2.9.1.

1. y = x + ln x, x = 1
y
=
1
+
1 x
,
y
=
−
1 x2
.
K(x) =
y (1 + y 2)3/2
π 3
=
a2
xtt = a sin t,
ytt = a cos t,
(yttxt
−
xttyt)t=
π 3
=
1 2
a2
Kt=
π 3
=
yt xt − xt yt (xt2 + yt2)3/2
t=
π 3
=
1 2a
y y
= =
(a(1 − cos t))t (a(t(c−otsi2tn)tt))t (a(t − sin t))t
=
0
x=0
0 < x < a K (x) < 0
x = 0
Kmax
=
2 a
(0, 0)
2.9.3.
y = tan x M
π 4
,
1
−a < x < 0 K (x) > 0
y=0
Rmin
=
a 2
.
.
57


y = sec2 x, y = 2 sec2 x tan x .
K(
π 4
)
=
y (1 + y 2)3/2
x=
π 4
=
√4 55
√
R
=
1/K
=
55 4
⎧
⎪⎪⎪⎪⎨ α =
x − y (1 + y 2) y
= π − 10
M
4
⎪⎪⎪⎪⎩ β =
y
+
1
+ y
y
2
M
=
9 4
(x −
π
− 4
10
)2
+
(y
−
9 4
)2
=
125 16
58
56
=
−
1 x2
(1
+
(1
+
1 x
)2)3/2


x=1
K (1)
=
√1 55
⎧
⎨ x = a(t − sin t), 2. ⎩ y = a(1 − cos t),
t
=
π 3
,
a
>
0
√ R = 5 5.
xt = a(1 − cos t),
yt = a sin t,
(xt2
+
yt2)t=
= =
a sin t a(1 − cos t)
=
cot
−
csc2
t 2
2a(1 − cos
t)
,
t 2
,
Kt=
π 3
=
y (1 + y 2)3/2
=1 π 2a
3
R = 2a .
y
(
π 3
)
=
√ 3
y
(
π 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
)
=
−
4 a
2.9.2.
y = a ln
1
−
x2 a2
(a > 0
)

.