算法的概念 优秀教案

算法的概念

【教学目标】

1．了解算法的含义，体会算法的思想。

2．能够用自然语言叙述算法。

3．掌握正确的算法应满足的要求。

【教学重点】

算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

【教学难点】

把自然语言转化为算法语言。

【教学过程】

一、情境导入：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。

二、探索研究

算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

三、例题分析

例1．任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

解析：根据质数的定义判断

解：算法如下：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n

不是质数；若没有这样的数，则n 是质数。

这是判断一个大于1的整数n 是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。请设计过河的算法。

解：算法或步骤如下：

S 1 人带两只狼过河；

S 2 人自己返回；

S 3 人带一只羚羊过河；

S 4 人带两只狼返回；

S 5 人带两只羚羊过河；

S6 人自己返回；

S7 人带两只狼过河；

S8 人自己返回；

S9 人带一只狼过河。

例2 给出求解方程组274511x y x y +=⎧⎨+=⎩

的一个算法。 解析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组。

解：用消元法解这个方程组，步骤是：

第一步：方程①不动，将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数，得到乘数422

m =

=； 第二步：方程②减去m 乘以方程①，消去方程②中的x 项，得到 2733x y y +=⎧⎨=-⎩

； 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到1y =-，4x =。

所以原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩

。 点评：通过例2再次明确算法特点：有限性和确定性

变式训练2：写出求过两点M(-2，-1)、N(2，3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。 解：算法：第一步：取x 1=-2，y 1=-1，x 2=2，y 2=3； 第二步：计算1

21121x x x x y y y y --=--； 第三步：在第二步结果中令x=0得到y 的值m ，得直线与y 轴交点(0，m)；

第四步：在第二步结果中令y=0得到x 的值n ，得直线与x 轴交点(n ，0)；

第五步：计算S=||||2

1n m ∙； 第六步：输出运算结果

例3 用二分法设计一个求解方程x2–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

第一步：令f(x)=x 2–2．因为f （1）<0，f （2）>0，所以设x 1=1，x 2=2．

第二步：令m=(x 1+x 2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m 为所长；若否，则继续判断f(x 1)·

f(m)大于0还是小于0.

第三步：若f(x 1)·f(m)>0，则令x 1=m ；否则，令x 2=m 。

第四步：判断|x 1–x 2|<0.005是否成立？若是，则x 1．x 2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二

点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。

变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法。

解： 算法1 按照逐一相加的程序进行。

第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．

算法2 运用公式123n +++

+=

2)1(+n n 直接计算。 第一步：取n =5； 第二步：计算2)1(+n n ； 第三步：输出运算结果。

算法3 用循环方法求和。

第一步：使1S =，；

第二步：使2

I=；

第三步：使S S I

=+；

第四步：使1

I I

=+；

第五步：如果5

I≤，则返回第三步，否则输出S。

点评：一个问题的算法可能不唯一。

四、回顾小结

1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法。算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。

2．算法的重要特征：

（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；

（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；

（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。

（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。

5．课后作业

写出求

111

1

23100

++++的一个算法

解：

第一步：使1

S=，；第二步：使2

I=；

第三步：使

1

n

I =；

第四步：使S S n

=+；

第五步：使1

I I

=+；

第六步：如果100

I≤，则返回第三步，否则输出S。