高等数学微分方程试题及答案.docx

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广

1．变量可分离的方程

（ 1）方程形式：dy

P x Q y Q y0通解

dy

P x dx C dx Q y

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0

通解M 1x

dx N 2

y

dy C M 2 x 0, N 1 y 0

M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式

dy

f y

（ 1）齐次方程

x

dx

令y

u ，则

dy

u x

du

f u

f

du dx c ln | x | c x dx dx u u x

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

dy

P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx

2．一阶线性非齐次方程

精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性

dx

非齐次方程求解。

dy1可化为

dx

P y x Q y y x

以为自变量，．方程：

P y x dy

dx Q y

为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

三、可降阶的高阶微分方程

方程类型解法及解的表达式

通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y

n

f

f x dx C1 x n 1

x

n次

令 y p ，则 y p ，原方程

y f x, y

f x, p ——一阶方程，设其解为p

g x, C1

p，

即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。

令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp

dx dy dx dy y f

把 y， y 的表达式代入原方程，得

dp1

f y, p—一阶方程，

y, y dy p

dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C

1

, 即

dy

g y, C1，则原方程的通解为

dx

令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C

3．伯努利方程

dy

Q x y0,1

P x y

dx

dy

x C2。

g y, C1

.

四．线性微分方程解的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程y p x y q x y0（ 1）

二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x（ 2）

1．若y1x， y2x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

C1 y1x C 2 y2x （ C1， C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当

y1 x y2x（为常数），也即 y1 x与 y2x线性无关时，则方程的通解为 y C1 y1 x C 2 y2 x

2．若y1x，y2x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1 x y2 x 为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若y x为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 y x为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则y x y x 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。

4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 C1 y1 x C 2 y2 x 为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1， C 2为独立的任意常数）则

y y x C1 y1x C 2 y2x 是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设y1x与y2x 分别是 y p x y q x y f1x与

y p x y q x y f 2x 的特解，则 y1x y2 x是

y p x y q x y f 1x f 2 x 的特解。

精品文档

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程

1．二阶常系数齐次线性方程

y py qy0其中 p， q 为常数，特征方程2p q 0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（ 1）特征方程有两个不同的实根 1

，

2 则方程的通解为y C1e 1x C 2e 2x （ 2）特征方程有二重根12则方程的通解为y C1 C 2 x e 1x

（ 3）特征方程有共轭复根i ，则方程的通解为y e x C1 cos x C 2 sin x 2．n阶常系数齐次线性方程

y n p1 y n1p2 y n 2p n 1 y p n y0其中 p i i1,2,, n 为常数。相应的特征方程

n

p1

n 1n2

p n p n0

p21

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（ 1）若特征方程有n 个不同的实根1, 2

,

,n 则方程通解

y C1e 1x C 2 e 2x C n e n x

（ 2）若0 为特征方程的k 重实根k n 则方程通解中含有

y= C1 C 2 x C k x k 1 e 0x

（ 3）若i为特征方程的 k 重共轭复根2k n，则方程通解中含有

e x C1 C 2 x C k x k 1cos x D1 D 2 x D k x k 1sin x

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是

三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程

的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。