导数及不等式综合题集锦

导数及不等式综合题集锦

1．已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.

（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.

2. 已知函数.,1

ln )(R ∈-

=a x

x a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间；

（III ）当a=1，且2≥x 时，证明：.52)1(-≤-x x f

3. 已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；

（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

4．已知函数).,()1(3

1)(223

R ∈+-+-=

b a b x a ax x x f （I ）若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值；

（II ）若)(x f y =的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，

（i ）求)(x f 在区间[-2，4]上的最大值；

（ii ）求函数)(])2()('[)(R ∈+++=-m e m x m x f x G x 的单调区间

5．已知函数.ln )(x

a x x f +

= （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,2

3

求a 的值.

6．已知函数∈-++=b a m x b ax mx x f ,,,)1(3)(223

R （1）求函数)(x f 的导函数)(x f '；

（2）当1=m 时，若函数)(x f 是R 上的增函数，求b a z +=的最小值；

（3）当2,1==b a 时，函数)(x f 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围.

7．已知函数()2ln .p

f x px x x

=-

- （1）若2p =，求曲线()(1,(1))f x f 在点处的切线；

（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2(),[1,]e

g x e x

=

若在上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围。

8.设函数21

()()2ln ,().f x p x x g x x x

=--=

（I ）若直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切，且与函数)(x f 的图象相切于点(1,0)，求实数

p 的值；

（II ）若)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围。

9. 已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,22

1)(2

≠>=-=

，

如果)()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）。 （I ）求a 的值；

（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，

0()()

()g n g m g x n m

-'=

-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明

10. 设函数2

()ln f x x m x =，2

()h x x x a =-+。

（Ⅰ）当a=0时，()()f x h x ≥在（1，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）当m=2时，若函数()()()k x f x h x =-在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．

11. 已知函数.)(,)2(),2](,2[)33()(2n t f m f t t e x x x f x ==-->-⋅+-=设定义域为 （I ）试确定t 的取值范围，使得函数],2[)(t x f -在上为单调函数； （II ）求证：m n >；

（III ）求证：对于任意的2

00)1(32)(),,2(,20

-='-∈->t e x f t x t x 满足总存在，并确定这样的0x 的个数。

12. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.

（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；

（2）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (3）当1->b 时,若21

2)(x

bx x f -

≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.

13. 已知函数R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.

（1）求d c a ,,的值； （2）若;0)()(',4

1

243)(2<+-+-=

x h x f b bx x x h 解不等式 （3）是否存在实数m ，使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值－5？若存在，请

求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.

14. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫

-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．

15. 设函数ln ()ln ln(1)1x

f x x x x

=

-+++． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．