有限元矩阵分析及弹性力学基础
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弹性力学基础及有限单元法
第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。
实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。
根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。
这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。
钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。
木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。
同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。
在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。
在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。
也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。
物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。
若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。
上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
有限元分析方法第二章弹性力学基础
2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 3、将E换成 ，μ换成 ，可将 两种平面问题的应力应变关系写成如 下简洁的矩阵形式 σ=Dε 平面应力问题：
E1=E，μ1=μ 平面应变问题：
51
2.4.4 边界条件
位移边界条件 给定位移边界 Su ，物体的位移分量必须
等于边界上的已知位移，即
x
41
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 1、定义x方向的线应变
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
42
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 2、定义y方向的线应变
52
2.4.4 边界条件
力边界条件 给定面力边界 Sσ ，应力分量与面力分量
应满足平衡关系，在力边界点即在该点 的分布面力的两个分量为
53
2.4.5 平面问题的基本解法
8个未知变量 u，v，εx，εy，γxy，σx，σy，τxy 8个独立方程 平衡微分方程
xy yx
18
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 1、应力6分量
19
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 2、应力分量的正负约定
当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐 标面，如图中所示。反之，为负坐标面。 正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为 正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负 向为正。 2 应力的量纲是[力/长度 ]
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
有限元分析第3章弹性力学基础知识2
应变能密度的性质
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2 1 1 2 2 2 2 2 2 U 0 ij x y z x y y z z x xy yz zx 2E E 2G 1 2 2 2 2 2 2 2 U 0 ij e 2 G G x y z xy yz zx 2
1
1
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2 2 1 0
1
0 0 0
xy yz zx
xy
G
yz
G
0 x 0 y z 0 xy yz 0 zx 1 2 2 1 0
2、力的边界条件
边界上给定面力时，则物体边界上的应 力应满足与面力相平衡的力的平衡条件
X 0
以二维问题为例
注意ds为边界斜边的长度，边界外法 线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds
有：
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
同理：
Y 0
M 0
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
x z y
T
w (x,y,z) dz v dx u
Sp
dy
Ω
Su
一、弹性力学的边界条件
1、位移边界条件
T 边界上已知位移时，应建 立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件
w (x,y,z) dz v dx u dy
第2讲 矩阵分析及弹性力学基础PPT课件
主子式皆大于0
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
北京航空航天大学
19
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
北京航空航天大学
21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
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位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
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20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
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21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
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22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
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18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
ANSYS有限元分析——弹性力学基础知识二
15
弹性力学待求的物理量
空间问题
15个
[ ] { }σ = σ x
σy
σz
τ xy
τ yz
τT zx
[ ] { }ε = ε x
εy
εz
γ xy
γ yz
γT zx
{δ }= [u v w]T
平面问题
8个
[ ] {σ }= σ x
σy
τT xy
[ ] {ε}= ε x
εy
γT xy
{δ }= [u v]T 16
(3) y = +h, X = 0,Y = 0
( ) (σ
x
) s
⋅
0
+
τ xy
⋅ (+1) = 0
s
( ) ( ) σ y
⋅ (+1) +
s
τ xy
⋅0 = 0
s
( ) ( ) σ y s = 0, τ xy s = 0 σ y τ yx
σx
σx
τ xy
τ yx τ xy 29
σy
2-6 几何方程
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
思考：黑板和甲板力学模型各属于弹性力学那类问题?
21
2-4 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
PA = dx PB = dy
Z 方向取单位长度。
AC面：
σx
+
∂σ x
∂x
dx
+
1 ∂2σ x
2! ∂x2
≈σx
(dx)2 + L
+ ∂σ x dx
∂x
τ
O
y yx +
弹性力学待求的物理量
空间问题
15个
[ ] { }σ = σ x
σy
σz
τ xy
τ yz
τT zx
[ ] { }ε = ε x
εy
εz
γ xy
γ yz
γT zx
{δ }= [u v w]T
平面问题
8个
[ ] {σ }= σ x
σy
τT xy
[ ] {ε}= ε x
εy
γT xy
{δ }= [u v]T 16
(3) y = +h, X = 0,Y = 0
( ) (σ
x
) s
⋅
0
+
τ xy
⋅ (+1) = 0
s
( ) ( ) σ y
⋅ (+1) +
s
τ xy
⋅0 = 0
s
( ) ( ) σ y s = 0, τ xy s = 0 σ y τ yx
σx
σx
τ xy
τ yx τ xy 29
σy
2-6 几何方程
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
思考：黑板和甲板力学模型各属于弹性力学那类问题?
21
2-4 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
PA = dx PB = dy
Z 方向取单位长度。
AC面：
σx
+
∂σ x
∂x
dx
+
1 ∂2σ x
2! ∂x2
≈σx
(dx)2 + L
+ ∂σ x dx
∂x
τ
O
y yx +
弹性力学与有限元分析
m α 式中： = ∑i ， α1,α2 ,⋯ 2m 为待定系数。把位移函
i=1
n+1
数的这种描述形式称为广义坐标形式。 在确定二维多项式的项数时，需参照二维帕斯卡三 角形，即在二维多项式中，若包含帕斯卡三角形对称轴 一侧的任意一项，则必须同时包含它在对称轴另一侧的 对应项。
1 x x2 x3 x4 y xy y2 y3
1、结构的离散化——单元划分 2、假设单元的位移插值函数和形函数 3、计算单元刚度矩阵 4、载荷移置——把非节点载荷等效地移置 到节点上 5、计算结构刚度矩阵，形成结构刚度方程 6、引入位移边界条件，求解方程 7、计算应力与应变
三、两种平面问题
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两大类。 体力——指分布于物体体积内的外力，它作用于 物体内部的各个质点上，如重力、磁力 和运动时的惯性力等。 面力——指均布于物体表面上的外力，它作用于 物体表面的各个质点上，如物体间的接 触力和气体压力等。
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 Ni在节点 处的值为0。 2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
i处的值为1，而在其余两个节点
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y) = 1
六、计算单元刚度矩阵
U(x, y) Ni f (x, y) = = V(x, y) 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
Ui V i 0 U j Nm Vj Um Vm
其中 Ni , N j , Nm 称为单元位移的形状函数，简称形函 数，其值为：
1、用单元节点位移表示单元中任一点的应变，得
机械结构有限元分析---弹性力学基本知识
01
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
有限元Байду номын сангаас构分析
弹性力学基础知识
主讲老师：贺红林 联系电话：13970884866 Email: Hehonglin1967@
01
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
第1章 弹性力学基础知识
1.1 弹性力学中的基本假设 1.2 弹性力学中的基本物理量 1.3 弹性力学中的基本方程 1.4 弹性力学中的能量原理 1.5 两类平面问题
五、小变形假设
含义：假设物体在载荷或温度变化等外部因素作用下各点所 产生的位移都很小，使得各点的应变分量和转角都远远小于1。
这样，在建立物体微团平衡方向时，可用变形将的尺寸来代替 变形后的尺寸，使得到的基本方程为线性方程，从而大大降低求 解难度，并可利用叠加原理。
在五条假设中，前4条为物理假设，满足前4条假设的材料称 为线弹性材料。
Fx 0
Fy 0
Fz 0
x yx zx fx 0 x y z xy y zy f y 0 A f 0 x y z xz yx z fz 0 x y z
f ( fx , f y , fz )
面积力：作用于物体表面的力，一点的面力集度是指单位面积上 的力，记为
f ( fx , f y , fz )
01
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
1.3 弹性力学中的基本方程
一、平衡微分方程
01
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
对于弹性体内部任意一点，满足
01
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
有限元Байду номын сангаас构分析
弹性力学基础知识
主讲老师：贺红林 联系电话：13970884866 Email: Hehonglin1967@
01
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第1章 弹性力学基础知识
1.1 弹性力学中的基本假设 1.2 弹性力学中的基本物理量 1.3 弹性力学中的基本方程 1.4 弹性力学中的能量原理 1.5 两类平面问题
五、小变形假设
含义：假设物体在载荷或温度变化等外部因素作用下各点所 产生的位移都很小，使得各点的应变分量和转角都远远小于1。
这样，在建立物体微团平衡方向时，可用变形将的尺寸来代替 变形后的尺寸，使得到的基本方程为线性方程，从而大大降低求 解难度，并可利用叠加原理。
在五条假设中，前4条为物理假设，满足前4条假设的材料称 为线弹性材料。
Fx 0
Fy 0
Fz 0
x yx zx fx 0 x y z xy y zy f y 0 A f 0 x y z xz yx z fz 0 x y z
f ( fx , f y , fz )
面积力：作用于物体表面的力，一点的面力集度是指单位面积上 的力，记为
f ( fx , f y , fz )
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1.3 弹性力学中的基本方程
一、平衡微分方程
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对于弹性体内部任意一点，满足
01
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第2讲、有限元与弹性力学的基本原理
一、正压力（拉伸压缩应力）
Fn σ＝ S
例如图示， > 0 ，σ
（ 1）
其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅 显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可 以按严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复 杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而 且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传 导、电磁场、流体力学等问题。
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
1 12τ ρ= = R Ybh3
其中：R 和 ρ 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分 别为梁的高度和宽度，τ为梁仅受的靠端部的力偶。
杆的扭曲
产生扭转的力偶
τ
和实心圆柱扭转角 ϕ 的关系：
τ=
三维问题的弹性力学基本方程
平衡方程 几何方程(应变-位移关系) 物理方程（应力-应变关系） 力的边界条件 几何边界条件 弹性体的应变能和余能
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
∑ MC = 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 ∑ M c = 0
l0
（ 2）
Fn σ＝ S
例如图示， > 0 ，σ
（ 1）
其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅 显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可 以按严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复 杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而 且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传 导、电磁场、流体力学等问题。
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
1 12τ ρ= = R Ybh3
其中：R 和 ρ 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分 别为梁的高度和宽度，τ为梁仅受的靠端部的力偶。
杆的扭曲
产生扭转的力偶
τ
和实心圆柱扭转角 ϕ 的关系：
τ=
三维问题的弹性力学基本方程
平衡方程 几何方程(应变-位移关系) 物理方程（应力-应变关系） 力的边界条件 几何边界条件 弹性体的应变能和余能
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
∑ MC = 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 ∑ M c = 0
l0
（ 2）
有限元第一讲 弹性力学基础理论
k
2 23
k323
kk111111
k112 k112
0 0
0
0 0
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2 32
k
2 33
第一单元矩阵
第二单元矩阵
1.2.3.方程求解（约束条件的引入）
由前面可知，刚度矩阵是奇异阵，它的行列式值为0.矩阵的 逆不存在。故对应的线性方程组无定解，为什么？
FF43
1500 1500
11550000uu43
对弹簧1－2
对弹簧2－3
对弹簧3－4
1.2.5.实例
叠加这些方程为总的结构矩阵方程：
F1 ? 1200
FF32 F4
10 20 ?
答案是肯定的。
下面加以推导，每个弹簧单元的受力方程和单元 刚度矩阵如下：
FF12
ka ka
单元1
ka ka
uu12
FF32
kb kb
kb kb
uu32
单元2
1.2.2.组合弹簧的刚度矩阵
10 3000 20 1800
1800
3300
uu32
解得：u2＝0.0103603m；u3＝0.0117117m。将u1、u2、u3和u4代 入原方程可解得节点1和节点4处的作用力：
F1＝-12.432KN；F4＝-17.567KN
校核：F1＋F4＝-29.999KN＝30KN。
《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识
（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，
有限元课件-第2讲__矩阵分析及弹性力学基础
11 ε 21 31
12 22 32
剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。
弹性系数矩阵的Voigt标记
平面问题及其基本方程
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为平面应力问题和平 面应变问题。
三大类基本方程
在弹性力学中针对微小的单元体建立基本 方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分 析问题归结为偏微分方程组的边值问题。 弹性力学的基本方程包括
平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系
平衡方程
ab=dx ad=dy
F 0 F 0 M 0
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,
, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
第2讲
矩阵算法及弹性力学基础
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性Biblioteka 程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
du dL
有限元分析第3章 弹性力学基础知识-弹性力学的平衡
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的如果不分主次地考虑所有因素问题是十分复杂的数学推导将困难重重以至于不可能求根据问题性质建立力学模型时必须作出一些基本假设忽略部分可以暂时不予考虑的因素使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
第二章 弹性力学基本知识
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
1）任意斜截面上的应力
微四面体在应力矢量和体积力作用下 满足平衡条件，由x方向的平衡可得：
p x S x S l yx S m yx S m h S Fbx 0 3
对于微分四面体单元，h与单 元体棱边相关，为趋近于零的 极小量，因此 同理
8
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
6.无初应力假设
•——假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。 •弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生 的。
9
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
7
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
5.小变形假设
•——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的 影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于 高阶小量。 •在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形 所引起的尺寸变化。 •忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成 为线性的代数方程和微分方程。
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
第二章 弹性力学基本知识
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
1）任意斜截面上的应力
微四面体在应力矢量和体积力作用下 满足平衡条件，由x方向的平衡可得：
p x S x S l yx S m yx S m h S Fbx 0 3
对于微分四面体单元，h与单 元体棱边相关，为趋近于零的 极小量，因此 同理
8
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
6.无初应力假设
•——假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。 •弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生 的。
9
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
27
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
28
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
7
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
5.小变形假设
•——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的 影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于 高阶小量。 •在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形 所引起的尺寸变化。 •忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成 为线性的代数方程和微分方程。
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面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内 ➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
主子式皆大于0
二次型的微商
n
f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax aij xi x j i, j1
f
x
f
x1
f
x2
M
f
2 2
n
a1i xi
i 1
n
a2i xi
i 1
M
n
2
a11
a21
M
an1
a12 L a1n x1
两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
du
dL
dL dL+du
与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、2、3、12、 23、 31
指标记法和求和约定
自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标， 如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴x,y,z对应。
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
Q
lim S
A0 A
N A
N sin sin A
N sin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
a22 L M an2 L
a2n M ann
Mx2 xnຫໍສະໝຸດ 2 Axxn 2 i1 ani xi
x
对向量x各元素的偏导数
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。
正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。
应力分量的方向定义 ：
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
剪应力互等 xy yx , yz zy , zx xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、12、 23、31
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。
各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2a1n x1xn a22 x22 2a23x2 x3 L 2a2n x2 xn
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相
同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去
除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基
本方程时可以忽略高阶小量。
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
A: 对称矩阵
正定二次型：设 f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax 为实二次型，如果对于 任意的非零实向量X，都有 f xT Ax 0 A: 正定矩阵
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 L ann xn2
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
f (x1, x2 ,L , xn ) [x1 x2 L xT Ax
a11 a12 L a1n x1
xn
]
a21 M
an1
a22 L M an2 L
a2
n
M
ann
Mx2 xn
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
L L L L L L L L L
若取 a ji aij 则
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12
ann xn2 a12 x1x2 a13x1x3 L a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 L a2n x2 xn
L L L L L L L L L L L L L L L
重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。
求和约定：哑指标意味着求和。
爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续 介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有 着十分重要的作用。
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
力学学科各分支的关系
研究对象 质点
质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体
任意变形体 任意变形体
特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内 ➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
主子式皆大于0
二次型的微商
n
f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax aij xi x j i, j1
f
x
f
x1
f
x2
M
f
2 2
n
a1i xi
i 1
n
a2i xi
i 1
M
n
2
a11
a21
M
an1
a12 L a1n x1
两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
du
dL
dL dL+du
与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、2、3、12、 23、 31
指标记法和求和约定
自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标， 如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴x,y,z对应。
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
Q
lim S
A0 A
N A
N sin sin A
N sin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
a22 L M an2 L
a2n M ann
Mx2 xnຫໍສະໝຸດ 2 Axxn 2 i1 ani xi
x
对向量x各元素的偏导数
2.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。
正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。
应力分量的方向定义 ：
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；
➢ 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个 截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。
剪应力互等 xy yx , yz zy , zx xz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、12、 23、31
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。
各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。
矩阵行列式
或
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
矩阵的微分和积分
正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 L 2a1n x1xn a22 x22 2a23x2 x3 L 2a2n x2 xn
五个基本假定
连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相
同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去
除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基
本方程时可以忽略高阶小量。
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
A: 对称矩阵
正定二次型：设 f (x1, x2 ,L , xn ) xT Ax 为实二次型，如果对于 任意的非零实向量X，都有 f xT Ax 0 A: 正定矩阵
关于正定矩阵
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 L ann xn2
利用矩阵及其运算，二次型可表示为
f (x1, x2 ,L , xn ) [x1 x2 L xT Ax
a11 a12 L a1n x1
xn
]
a21 M
an1
a22 L M an2 L
a2
n
M
ann
Mx2 xn
2.1 矩阵算法
线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
L L L L L L L L L
若取 a ji aij 则
f (x1, x2 ,L , xn ) a11x12
ann xn2 a12 x1x2 a13x1x3 L a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 L a2n x2 xn
L L L L L L L L L L L L L L L
重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。
求和约定：哑指标意味着求和。
爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续 介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有 着十分重要的作用。
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
力学学科各分支的关系
研究对象 质点
质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体
任意变形体 任意变形体
特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形